Segmentul orientat și vectorul în plan (M2, științe ale naturii)

La ora de fizică, o forță nu se descrie niciodată printr-un singur număr: „treizeci de newtoni" nu spune nimic până nu adaugi încotro trage. La fel stau lucrurile cu viteza unui vapor sau cu deplasarea unui mobil — îți trebuie trei informații deodată: cât de mare este mărimea, pe ce direcție lucrează și în ce sens. Matematica are un obiect construit exact pentru situația asta, iar lecția de față, din traseul clasei a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), îl ridică de la zero: vectorul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, tema nu apare în programa probei MAT_P2 din 2030. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține capitolul „Vectori în plan", la materia clasei a IX-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu vectori.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: vectorii în plan sunt ceruți de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a. Nu e o materie „în plus, pentru cine vrea": e un capitol pe care proba scrisă îl are în listă până în 2029 inclusiv. Pornim de la cel mai simplu obiect cu putință — un segment ale cărui capete sunt numite în ordine — și ajungem, în câțiva pași, la un obiect care se poate muta liber prin plan fără să se schimbe.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești o mărime scalară de una vectorială și să spui, pentru fiecare mărime din fizică, din ce categorie face parte.
• Vei ști ce este un segment orientat și care sunt cele trei date care îl descriu complet: direcția, sensul și lungimea.
• Vei ști să decizi când două segmente orientate sunt echipolente, folosind criteriul mijlocului, care merge și în cazurile în care desenul te înșală.
• Vei ști ce este un vector, de ce se numește liber și cum recunoști doi vectori egali într-o figură dată.
• Vei ști să calculezi modulul unui vector într-o configurație cu date numerice și să nu confunzi egalitatea modulelor cu egalitatea vectorilor.
• Vei ști ce înseamnă că doi vectori sunt coliniari și cum se leagă asta de coliniaritatea a trei puncte, capitol numit ca atare în programa de examen 2027–2029.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un segment orientat?

Segmentul orientat este o pereche ordonată de puncte din plan: primul punct se numește origine, al doilea se numește extremitate, iar perechea $(A,B)$ se notează $\overrightarrow{AB}$. Ordinea contează: $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ sunt două segmente orientate diferite, construite pe același segment $[AB]$, dar parcurse invers.

Un segment orientat poartă exact trei informații, iar toate trei se citesc din desen.

Direcția este direcția dreptei $AB$, numită dreapta-suport. Două segmente orientate au aceeași direcție atunci când dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Atenție la cuvânt: în matematică „direcție" nu înseamnă „încotro", ci doar „pe ce familie de drepte paralele" — verticala e o direcție, iar în sus și în jos sunt două sensuri pe aceeași direcție.

Sensul este unul dintre cele două parcursuri posibile pe direcția dată: de la $A$ spre $B$ sau de la $B$ spre $A$. Pe desen îl arată vârful săgeții.

Lungimea este distanța dintre capete, adică lungimea segmentului $[AB]$, notată simplu $AB$. Este un număr pozitiv, cu excepția unui caz: când cele două capete coincid, obținem segmentul orientat nul $\overrightarrow{AA}$, de lungime $0$, care nu are nici direcție, nici sens.

2. Când sunt două segmente orientate echipolente?

Două segmente orientate se numesc echipolente dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime. Practic: dacă le-ai putea aluneca unul peste celălalt, fără să le rotești și fără să le întinzi, s-ar suprapune perfect.

Definiția se vede bine, dar se verifică greu: „aceeași direcție" cere paralelism, „același sens" cere o privire atentă la săgeți. De aceea se folosește un criteriu care se reduce la o singură verificare:

Segmentele orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt echipolente dacă și numai dacă segmentele $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc.

De ce funcționează? Dacă $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt echipolente și punctele nu sunt toate pe o dreaptă, patrulaterul $ABDC$ are laturile $[AB]$ și $[CD]$ paralele și congruente, deci este paralelogram, iar diagonalele lui, $[AD]$ și $[BC]$, se taie în părți egale. Reciproc, dacă $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc, patrulaterul $ABDC$ are diagonalele care se înjumătățesc, deci este paralelogram, iar de aici ies toate cele trei condiții deodată. Merită observată ordinea literelor: paralelogramul este $ABDC$, nu $ABCD$ — o inversare pe care mulți elevi o fac din grabă.

Criteriul mijlocului are un avantaj pe care definiția nu îl are: merge și când cele patru puncte sunt coliniare, situație în care nu există niciun paralelogram de desenat, iar ochiul nu mai poate decide.

3. Ce este un vector și cum îl recunoști?

Observația de la care pornește totul este că, în fizică, o forță de $50$ de newtoni orientată spre est rămâne aceeași forță indiferent de punctul în care o desenăm. Contează tripletul direcție–sens–lungime, nu locul. Matematica formalizează exact asta.

Vectorul determinat de segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$ este mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu $\overrightarrow{AB}$, iar fiecare dintre ele se numește reprezentant al vectorului. Se notează la fel, $\overrightarrow{AB}$, sau cu o singură literă mică, $\vec{u}$.

Aceeași notație pentru două lucruri poate să pară o neglijență, dar nu este: de fiecare dată când lucrezi cu $\overrightarrow{AB}$, tot ce faci depinde numai de direcție, de sens și de lungime, deci rezultatul e același pentru oricare reprezentant. Din cauza asta vectorul se numește liber: îl poți desena cu originea în orice punct al planului, iar prin fiecare punct trece exact un reprezentant al lui.

Consecința practică se reține într-un rând: doi vectori sunt egali exact atunci când au aceeași direcție, același sens și același modul. Cele trei condiții se verifică una câte una, iar a treia — sensul — este cea care scapă cel mai des: două săgeți paralele și la fel de lungi pot fi parcurse în sensuri opuse, iar atunci vectorii nu sunt egali, ci opuși. De aceea, într-o figură, ordinea literelor decide totul.

4. Ce este modulul unui vector și cum se comportă vectorul nul?

Modulul unui vector este lungimea comună a reprezentanților lui; pentru $\overrightarrow{AB}$ se notează $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ și este egal cu distanța $AB$. Este un număr real pozitiv sau nul, niciodată negativ, și se măsoară în unitatea configurației: centimetri pe desen, metri pe secundă la o viteză, newtoni la o forță.

Din definiție ies imediat două lucruri. Primul: $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\Vert \overrightarrow{BA}\Vert$, pentru că distanța dintre două puncte nu ține cont de ordinea lor — deși cei doi vectori sunt diferiți. Al doilea, și mai important: egalitatea modulelor nu înseamnă egalitatea vectorilor. Modulul măsoară numai lungimea, deci două săgeți la fel de lungi, dar așezate pe direcții diferite, au același modul fără să fie vectori egali. Este cea mai frecventă confuzie a capitolului.

Cazul special este vectorul nul, notat $\vec{0}$: vectorul determinat de un segment orientat cu capetele confundate, $\overrightarrow{AA}$. Modulul lui este $\Vert \vec{0}\Vert =0$, nu are direcție proprie și, prin convenție, se acceptă că are orice direcție — convenție care ne scutește mai târziu de zeci de cazuri particulare. În fizică vectorul nul apare firesc: un corp care pornește dintr-un punct și se întoarce în el are vectorul deplasare nul, oricât de lung ar fi drumul parcurs.

5. Ce înseamnă că doi vectori sunt coliniari?

Doi vectori nenuli se numesc coliniari dacă au aceeași direcție, adică dacă reprezentanții lor stau pe drepte paralele sau pe aceeași dreaptă. Sensul și modulul pot să difere oricât: $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ sunt coliniari, deși au sensuri contrare; într-un trapez cu $AB\parallel CD$, vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt coliniari, deși lungimile laturilor paralele sunt de obicei diferite. Prin convenție, vectorul nul este considerat coliniar cu orice vector.

Cuvântul „coliniar" e ales bine, pentru că leagă noțiunea de o proprietate a punctelor: punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari, cei doi având originea comună $A$, deci dreptele lor suport nu doar că sunt paralele, ci coincid. Așa se transformă o întrebare de geometrie („sunt punctele pe o dreaptă?") într-una de calcul vectorial; programa de examen 2027–2029 are chiar capitolul „Coliniaritate, concurență, paralelism — calcul vectorial în geometria plană".

Aici lecția se oprește la recunoașterea coliniarității din figură. Criteriul de calcul — scrierea unui vector ca produs dintre un număr și celălalt — se dă în lecția despre înmulțirea unui vector cu un scalar, unde devine unealta de lucru pentru probleme de coliniaritate și de paralelism.

6. De ce este vectorul unealta de bază a fizicii?

Programa de examen cere explicit „aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică", iar motivul e simplu: mărimile din natură se împart în două familii. Mărimile scalare sunt complet descrise de un număr cu unitate de măsură: masa, timpul, temperatura, volumul, energia, concentrația unei soluții. Mărimile vectoriale au nevoie în plus de direcție și de sens: forța, viteza, accelerația, deplasarea, intensitatea câmpului electric.

Distincția are consecințe măsurabile. Un alergător care parcurge un tur complet al unei piste de $400$ de metri are drumul parcurs egal cu $400$ de metri — mărime scalară — dar vectorul deplasare nul, pentru că a ajuns exact de unde a plecat. Pentru comparație, la mate-info (M1) configurațiile plane se descriu cu coordonate și cu ecuații de drepte, ca în lecția despre reperul cartezian, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment de la clasa a XI-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Perechile de vectori egali dintr-un paralelogram

Se consideră paralelogramul $ABCD$. Precizați care dintre vectorii determinați de două vârfuri sunt egali și care sunt doar coliniari.

Rezolvare. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt paralele și congruente, deci direcțiile și lungimile coincid; rămâne de verificat sensul, adică ordinea literelor. Parcurgând conturul $A\to B\to C\to D$, obținem $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ și $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Perechile $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$, respectiv $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$, sunt coliniare, dar nu egale: aceeași direcție, aceeași lungime, sensuri contrare. Verificare cu criteriul mijlocului pentru prima egalitate: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cere ca $[AC]$ și $[BD]$ să aibă același mijloc, ceea ce este exact proprietatea diagonalelor paralelogramului, studiată în gimnaziu la proprietatea diagonalelor paralelogramului.

Exemplul 2 — Module într-un dreptunghi

Se consideră dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8$ și $BC=6$. Calculați $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$, $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$ și $\Vert \overrightarrow{BD}\Vert$, apoi stabiliți dacă vectorii $\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{BD}$ sunt egali.

Rezolvare. Modulul unui vector este lungimea segmentului pe care îl determină, deci $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =8$.

Diagonala se află din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$, cu catetele $8$ și $6$: $A{C}^2=64+36=100$, deci $AC=10$ și $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =10$. Într-un dreptunghi diagonalele sunt congruente, așa că și $\Vert \overrightarrow{BD}\Vert =10$.

Cu toate acestea, $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$: dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în centrul dreptunghiului, deci nu sunt paralele, deci vectorii nici măcar nu au aceeași direcție. Egalitatea modulelor nu decide nimic singură.

Exemplul 3 — Vectori egali într-un hexagon regulat

Se consideră hexagonul regulat $ABCDEF$ cu centrul $O$ și latura de $4$ cm. Arătați că $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$ și calculați modulul lor comun, apoi calculați $\Vert \overrightarrow{AD}\Vert$.

Rezolvare. Într-un hexagon regulat cu centrul $O$, fiecare dintre triunghiurile $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODE$, $OEF$, $OFA$ este echilateral cu latura egală cu latura hexagonului, adică $4$ cm. Alăturând câte două triunghiuri vecine, obținem romburi cu latura de $4$ cm: $FABO$, $ABCO$ și $OCDE$.

Într-un romb laturile opuse dau vectori egali, exact ca într-un paralelogram. Din rombul $FABO$ rezultă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}$, din rombul $ABCO$ rezultă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$, iar din rombul $OCDE$ rezultă $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$. Punând cele trei egalități cap la cap, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}$, iar modulul comun este $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =4$ cm.

Diagonala mare trece prin centru, iar $[AO]$ și $[OD]$ sunt raze, deci $AD=4+4$ și $\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =8$ cm. Observă că $\overrightarrow{AD}$ are modulul dublu față de $\overrightarrow{AB}$, dar altă direcție.

Exemplul 4 — Drum parcurs și vector deplasare

Un cercetător măsoară traseul unei albine: zboară $30$ de metri spre nord, apoi se întoarce pe același drum și revine la stup. Precizați drumul parcurs și vectorul deplasare.

Rezolvare. Drumul parcurs este o mărime scalară și se obține adunând lungimile: $30+30=60$ de metri.

Deplasarea este o mărime vectorială: are ca origine punctul de plecare și ca extremitate punctul de sosire. Cum albina revine în stup, cele două puncte coincid, deci vectorul deplasare este $\vec{0}$, cu modulul $0$ metri. Cele două răspunsuri nu se contrazic, fiindcă măsoară lucruri diferite: distanța la care ajunge efectiv o insectă față de cuib nu se citește niciodată din lungimea traseului.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Într-un trapez $MNPQ$ cu $MN\parallel QP$, $MN=10$ și $QP=6$, un elev scrie: „laturile $MN$ și $QP$ sunt paralele, deci $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$". Corectați raționamentul.

Rezolvare. Concluzia este falsă, iar motivul se vede pe două căi.

Prima: egalitatea a doi vectori cere trei condiții, iar paralelismul asigură doar una, direcția. Modulele sunt $\Vert \overrightarrow{MN}\Vert =10$ și $\Vert \overrightarrow{QP}\Vert =6$, deci diferite, și atât e de ajuns ca să respingem egalitatea.

A doua: criteriul mijlocului. Egalitatea $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ ar cere ca $[MP]$ și $[NQ]$ — diagonalele trapezului — să aibă același mijloc, adică trapezul să fie paralelogram, ceea ce contrazice $MN\ne QP$. Formularea corectă este: vectorii $\overrightarrow{MN}$ și $\overrightarrow{QP}$ sunt coliniari, având aceeași direcție.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB=12$ și cu $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =13$, unde $[AC]$ este o diagonală. a) Arătați că $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. b) Calculați $\Vert \overrightarrow{DC}\Vert$ și $\Vert \overrightarrow{CA}\Vert$. c) Stabiliți dacă vectorii $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$ sunt egali.

Rezolvare. a) În paralelogramul $ABCD$ avem $AB\parallel DC$ și $AB=DC$, iar parcurgerile $A\to B$ și $D\to C$ se fac în același sens, deci cele trei condiții din definiția egalității sunt îndeplinite: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

b) Vectori egali au module egale, deci $\Vert \overrightarrow{DC}\Vert =\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =12$. Pentru al doilea modul, distanța dintre două puncte nu depinde de ordinea lor, deci $\Vert \overrightarrow{CA}\Vert =\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =13$, deși cei doi vectori sunt diferiți, având sensuri contrare.

c) Nu sunt egali. Direcția e aceeași ($AD\parallel BC$) și modulele sunt egale, dar sensurile sunt contrare: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, iar $\overrightarrow{CB}$ are sensul opus lui $\overrightarrow{BC}$. Vectorii $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$ sunt deci coliniari, fără să fie egali.

Să exersăm

Înainte de orice răspuns, verifică-ți reflexul: la egalitate de vectori se cer trei condiții, nu una; la coliniaritate se cere doar direcția; iar modulul e un număr, deci nu poate fi niciodată „egal cu un vector". Când figura nu e limpede, treci pe criteriul mijlocului.

1. Pentru segmentele orientate $\overrightarrow{PQ}$ și $\overrightarrow{QP}$, precizează originea, extremitatea, direcția, sensul și lungimea fiecăruia.

2. În paralelogramul $MNPQ$, scrie toate perechile de vectori egali determinați de două vârfuri.

3. În dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ și $BC=5$, calculează $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$, $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert$ și $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Doi vectori cu același modul sunt egali."

5. În triunghiul echilateral $ABC$ cu latura de $7$ cm, calculează $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$, $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert$ și $\Vert \overrightarrow{CA}\Vert$, apoi precizează dacă cei trei vectori sunt egali.

6. În pătratul $ABCD$ cu latura de $6$ cm, calculează $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$.

7. În rombul $ABCD$ cu latura de $9$ cm, stabilește dacă $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ și dacă $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$ și cu laturile neparalele de lungime $5$. Stabilește dacă vectorii $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{BC}$ sunt egali.

9. În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=15$ și $CD=9$, precizează dacă vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{DC}$ sunt coliniari și dacă sunt egali.

10. (Problemă aplicată.) Un biciclist parcurge două ture complete ale unei piste de $1200$ de metri, apoi se oprește la punctul de plecare. Calculează drumul parcurs și modulul vectorului deplasare, fiecare cu unitatea lui de măsură.

11. Se dau vectorul $\overrightarrow{AB}$ și un punct $C$ care nu aparține dreptei $AB$. Descrie, în trei rânduri, construcția reprezentantului lui $\overrightarrow{AB}$ care are originea în $C$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ și $BC=12$, iar $O$ este punctul în care se intersectează diagonalele. Calculează $\Vert \overrightarrow{AO}\Vert$ și stabilește dacă vectorii $\overrightarrow{AO}$ și $\overrightarrow{OC}$ sunt egali.

13. Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt astfel încât segmentele $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc. Justifică egalitatea $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

14. În hexagonul regulat $ABCDEF$ cu centrul $O$ și latura de $5$ cm, arată că $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DO}$ și calculează $\Vert \overrightarrow{OA}\Vert$.

15. Un elev scrie: „vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ sunt egali, pentru că sunt determinați de același segment". Corectează afirmația și precizează ce relație există, totuși, între cei doi vectori.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră rombul $ABCD$ cu $AB=6$. Calculează $\Vert \overrightarrow{CD}\Vert$ și precizează dacă vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt egali.

17. Pe o dreaptă se iau, în această ordine, punctele $A$, $B$, $C$, $D$, cu $AB=CD=4$ cm. Stabilește dacă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, folosind criteriul mijlocului.

18. (Provocare.) Arată că, dacă două segmente orientate sunt echipolente cu un al treilea, atunci sunt echipolente și între ele. Folosește apoi acest fapt ca să explici de ce prin fiecare punct al planului trece exact un reprezentant al unui vector dat.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $\overrightarrow{PQ}$: originea $P$, extremitatea $Q$, direcția dreptei $PQ$, sensul de la $P$ spre $Q$, lungimea $PQ$. Pentru $\overrightarrow{QP}$: originea $Q$, extremitatea $P$, aceeași direcție, sensul contrar, aceeași lungime. Cele două segmente orientate diferă printr-o singură dată din trei, dar asta e de ajuns ca să fie diferite.

2. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ și $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$, plus perechile citite invers, $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{PQ}$ și $\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{PN}$. Ordinea literelor urmează conturul $M\to N\to P\to Q$.

3. $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =12$ și $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =5$. Pentru diagonală, teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$: $A{C}^2=144+25=169$, deci $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =13$.

4. Fals. Modulul este doar una dintre cele trei date care definesc un vector. Contraexemplu imediat: $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ au același modul, dar sensuri contrare, deci sunt diferiți. Un al doilea contraexemplu, cu direcții diferite, sunt diagonalele unui dreptunghi.

5. Toate trei modulele sunt egale cu $7$ cm, fiind laturi ale unui triunghi echilateral. Vectorii nu sunt însă egali: dreptele $AB$, $BC$ și $CA$ nu sunt paralele două câte două, deci direcțiile diferă. Este cel mai scurt exemplu de vectori cu module egale care nu sunt egali.

6. Diagonala unui pătrat cu latura $6$ se află din teorema lui Pitagora: $A{C}^2=36+36=72$, deci $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =6\sqrt{2}$ cm.

7. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ este adevărată: rombul este paralelogram, deci $AD\parallel BC$, $AD=BC$ și sensurile coincid. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ este falsă: sensul lui $\overrightarrow{CB}$ este contrar. Lungimea laturii, $9$ cm, dă doar modulul comun, nu decide egalitatea.

8. Nu sunt egali. Modulele coincid, fiind laturile neparalele ale unui trapez isoscel: $\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =5$. Direcțiile însă diferă, pentru că dreptele $AD$ și $BC$ nu sunt paralele — se intersectează. Cum egalitatea cere toate cele trei condiții, ea cade la prima.

9. Sunt coliniari: $AB\parallel CD$, deci dreptele-suport sunt paralele. Nu sunt egali, pentru că modulele diferă: $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =15$ și $\Vert \overrightarrow{DC}\Vert =9$. Sensul, în schimb, este același, parcurgând $A\to B$ și $D\to C$ pe laturile paralele ale trapezului.

10. Drumul parcurs este o mărime scalară: $2\cdot 1200=2400$ de metri. Punctul de sosire coincide cu cel de plecare, deci vectorul deplasare este $\vec{0}$, cu modulul $0$ metri. Numărul de ture nu schimbă a doua concluzie.

11. Duci prin $C$ paralela la dreapta $AB$; pe ea măsori, de la $C$, un segment de lungime $AB$, în sensul lui $\overrightarrow{AB}$, și notezi capătul cu $D$. Atunci $\overrightarrow{CD}$ are aceeași direcție, același sens și același modul cu $\overrightarrow{AB}$, deci $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$. Punctul $D$ este unic.

12. Diagonala se află din teorema lui Pitagora: $A{C}^2=256+144=400$, deci $AC=20$. Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul lui $[AC]$ și $\Vert \overrightarrow{AO}\Vert =10$. Cei doi vectori sunt egali: stau pe aceeași dreaptă, au aceeași lungime, iar parcurgerile $A\to O$ și $O\to C$ se fac în același sens — cazul în care „paralelogramul" din criteriu se turtește.

13. Dacă $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc, patrulaterul $ABDC$ are diagonalele care se înjumătățesc, deci este paralelogram (sau punctele sunt coliniare, caz în care criteriul rămâne valabil prin calcul). Rezultă $AB\parallel CD$, $AB=CD$ și același sens de parcurgere, adică exact cele trei condiții ale egalității $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

14. $[OA]$ și $[OD]$ sunt raze ale hexagonului regulat, iar $A$, $O$, $D$ sunt coliniare, deci $O$ este mijlocul lui $[AD]$. Parcurgerile $O\to A$ și $D\to O$ se fac pe aceeași dreaptă, în același sens, cu aceeași lungime, deci $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DO}$. Modulul este raza, egală cu latura: $\Vert \overrightarrow{OA}\Vert =5$ cm.

15. Afirmația e falsă: inversarea literelor schimbă sensul de parcurgere, care intră în definiția egalității. Relația corectă are două părți: cei doi vectori sunt coliniari și au module egale, fiindcă distanța dintre două puncte nu depinde de ordinea lor. Îi desparte doar sensul.

16. Într-un romb toate laturile sunt congruente, deci $\Vert \overrightarrow{CD}\Vert =6$. Vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ au aceeași direcție și același modul, dar sensuri contrare, deci nu sunt egali; egali sunt $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{DC}$.

17. Notăm cu $M$ mijlocul lui $[AD]$ și cu $N$ mijlocul lui $[BC]$. Pe dreaptă, cu originea în $A$ și cu sensul de la $A$ spre $D$, punctele au abscisele $0$, $4$, $c$ și $c+4$, unde $c=AC>4$. Mijlocul lui $[AD]$ are abscisa $\frac{0+c+4}{2}$, iar mijlocul lui $[BC]$ are abscisa $\frac{4+c}{2}$ — aceeași valoare, deci $M=N$ și $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Aici desenul nu ajută deloc: niciun paralelogram nu se vede, iar criteriul decide singur.

18. Prima parte se sprijină pe cele trei date. Primul și al doilea segment orientat fiind echipolente cu al treilea, au dreptele-suport paralele cu una și aceeași dreaptă, deci paralele între ele; au același sens, fiindcă amândouă îl au pe al treilea; au lungimi egale, fiindcă amândouă sunt egale cu a treia. Sunt deci echipolente.

Partea a doua vine de aici. Fie un vector dat și un punct $C$. Prin $C$ trece o singură paralelă la dreapta-suport, iar pe ea, în sensul dat, există un singur punct aflat la distanța cerută — deci un singur reprezentant cu originea în $C$. Tocmai unicitatea aceasta face ca vectorul să poată fi mutat liber prin plan, fără ambiguitate.

De reținut

• Un segment orientat este o pereche ordonată de puncte și poartă trei date: direcția dreptei-suport, sensul de parcurgere și lungimea; schimbarea ordinii literelor schimbă doar sensul.
• Două segmente orientate sunt echipolente când au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, iar criteriul de verificare este: $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt echipolente dacă și numai dacă $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc.
• Vectorul este mulțimea segmentelor orientate echipolente cu unul dat; fiind liber, are exact un reprezentant cu originea în fiecare punct al planului, iar doi vectori sunt egali exact când au aceeași direcție, același sens și același modul.
• Modulul $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ este lungimea segmentului $[AB]$, deci un număr pozitiv sau nul; module egale nu înseamnă vectori egali, iar vectorul nul $\vec{0}$ are modulul $0$ și se consideră coliniar cu orice vector.
• Doi vectori nenuli sunt coliniari când au aceeași direcție, indiferent de sens și de modul; punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari.

Greșeli frecvente

• „Aceeași direcție" citit ca „același sens". În limbajul obișnuit „direcția aceea" înseamnă și încotro; în matematică direcția e doar familia de drepte paralele, iar pe fiecare direcție sunt două sensuri. Din confuzia asta ies răspunsuri de tipul „$\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ nu sunt coliniari", deși sunt așezați pe aceeași dreaptă.
• Egalitatea dedusă din module. Două module egale se compară ușor și tentația e mare, dar modulul e doar una dintre cele trei date. Într-un dreptunghi, diagonalele au module egale și direcții diferite; într-un triunghi echilateral, laturile au același modul și trei direcții diferite.
• Ordinea literelor sărită la paralelogram. Din $ABCD$ paralelogram nu rezultă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, ci $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Regula practică: literele se citesc urmând conturul, iar cele două săgeți trebuie să „meargă în aceeași parte" pe figură, nu una spre stânga și cealaltă spre dreapta.
• Criteriul mijlocului aplicat pe perechea greșită. Pentru $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ se compară mijloacele lui $[AD]$ și $[BC]$, adică se încrucișează extremitățile, nu se iau $[AB]$ și $[CD]$. Scrie de fiecare dată cele patru puncte în ordinea $A$, $B$, $C$, $D$ și formează perechile trecând peste vecin.
• Modulul raportat fără unitate de măsură sau cu semn. Când vectorul modelează o forță sau o deplasare, $\Vert \vec{v}\Vert$ este o mărime fizică și se scrie cu unitatea ei; iar un modul nu poate ieși niciodată negativ — dacă un calcul dă $-5$, s-a confundat modulul cu o coordonată sau cu un sens.

Aplică acasă

1. Harta vectorilor din laboratorul de fizică. Deschide capitolul de mecanică din manualul de fizică de clasa a IX-a și fă un tabel cu două coloane: mărimi scalare și mărimi vectoriale. Trece în el cel puțin zece mărimi, fiecare cu unitatea de măsură, și scrie, pentru cele vectoriale, ce anume dă direcția și sensul în problema respectivă.

2. Criteriul mijlocului, testat pe hârtie milimetrică. Desenează patru puncte oarecare $A$, $B$, $C$, $D$, măsoară mijloacele segmentelor $[AD]$ și $[BC]$ și verifică dacă ele coincid. Mută apoi punctul $D$ până când coincid și compară desenul cu definiția echipolenței. Repetă cu toate cele patru puncte pe aceeași dreaptă, ca să vezi cum lucrează criteriul acolo unde desenul nu mai spune nimic.

3. Deplasare contra drum parcurs, măsurate cu telefonul. Pornește o aplicație de urmărire a traseului și mergi pe un tur închis prin cartier; notează distanța totală afișată și distanța în linie dreaptă dintre plecare și sosire, apoi spune care dintre cele două numere este drumul parcurs și care este modulul deplasării.

Pentru părinți și profesori

Capitolul acesta este prima întâlnire a elevului cu un obiect matematic definit ca mulțime de obiecte echivalente, iar de aici vin și dificultățile, și frumusețea lui. Un segment orientat se vede pe desen; vectorul nu — el este ceea ce au în comun toate segmentele orientate echipolente cu unul dat. Elevii care trec prea repede peste distincția asta ajung să creadă că un vector „stă" într-un loc anume, iar mai târziu nu înțeleg de ce o forță poate fi mutată liber în desen. La științe ale naturii miza e dublă: același obiect apare la fizică, în mecanică.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă la egalitatea a doi vectori sunt verificate toate cele trei condiții sau doar lungimea; dacă literele paralelogramului sunt citite pe contur ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, nu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$); dacă la criteriul mijlocului perechile se formează încrucișat; dacă rezultatele cu sens fizic poartă unitatea de măsură. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Care sunt cele trei date ale unui segment orientat?"; „De ce $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ au același modul, dar nu sunt egali?"; „Ce înseamnă că un vector este liber?"; „Cum arăți, fără desen, că două segmente orientate sunt echipolente?". Semn că elevul a înțeles: desenează singur, printr-un punct dat, reprezentantul unui vector și nu mai confundă coliniaritatea cu egalitatea.

Programa și examenul. Vectorii în plan nu se află în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și nu apar nici în programa probei MAT_P2 de la bacalaureatul 2030; capitolul lipsește, de altfel, și din programa nouă a profilului matematică-informatică. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, pentru că elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde capitolul „Vectori în plan" este trecut la clasa a IX-a, cu conținuturile „segment orientat, vectori, vectori coliniari". Aceeași programă de examen cere explicit „aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică", ceea ce explică accentul pus aici pe mărimi vectoriale. Numărul de ore diferă între cele două generații: programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025) prevăd trei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre vectorii de la M1 și cei de la M2? Nu există o diferență de conținut: capitolul „Vectori în plan" apare identic, cuvânt cu cuvânt, în programa de examen din 2014, și la M_mate-info, și la M_șt-nat. Diferă restul probei — la M2 subiectele sunt construite pe materia profilului științe. În programele noi, din 2025, vectorii au fost scoși de la ambele profiluri, deci după 2029 tema rămâne doar ca fundal pentru fizică.

La ce subiect apare tema vectorilor la bacalaureatul M2? Programa 2027–2029 trece vectorii la materia clasei a IX-a, dar nu spune la ce subiect se cer. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ de la Subiectul I sunt de geometrie — una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic — și niciuna nu folosește vectori. Exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Ce este, mai exact, un vector? Un vector este mulțimea tuturor segmentelor orientate care au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime cu unul dat. Practic, îl recunoști după trei date și îl poți desena oriunde în plan: prin fiecare punct trece exact un reprezentant al lui. De aceea se numește vector liber, iar în fizică o forță de aceeași intensitate și orientare este același vector, indiferent unde o aplici.

Când sunt doi vectori egali? Când au aceeași direcție, același sens și același modul — toate trei condițiile deodată. Verificarea rapidă într-o figură: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ dacă și numai dacă segmentele $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc. Criteriul acesta funcționează și când cele patru puncte sunt coliniare, situație în care desenul nu mai poate fi citit cu ochiul.

Ce înseamnă modulul unui vector și cum se calculează? Modulul lui $\overrightarrow{AB}$ este lungimea segmentului $[AB]$, un număr pozitiv sau nul, notat $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$. Se calculează cu instrumentele obișnuite de geometrie: teorema lui Pitagora pentru diagonale, proprietățile figurii pentru laturi. Într-un dreptunghi cu laturile $8$ și $6$, diagonala are modulul $10$.

Ce sunt vectorii coliniari? Doi vectori nenuli sunt coliniari când au aceeași direcție, adică reprezentanții lor stau pe drepte paralele sau pe aceeași dreaptă; sensurile și modulele pot să difere. Vectorul nul se consideră coliniar cu orice vector. Legătura cu geometria: trei puncte $A$, $B$, $C$ sunt coliniare exact atunci când $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari.

Vectorii se dau și în reperul cartezian, cu coordonate? Da, iar acolo calculele devin mult mai scurte, pentru că egalitatea și coliniaritatea se decid comparând numere. Coordonatele unui vector nu fac însă parte din capitolul de clasa a IX-a, ci sunt tratate separat, în lecția despre coordonatele unui vector în reperul cartezian de la clasa a X-a. Până acolo, lucrăm cu figura și cu proprietățile ei.

Ce urmează după această lecție? Operațiile. Vectorii se pot aduna, iar regula are o formă geometrică simplă, în lecția despre adunarea vectorilor cu regula triunghiului și a paralelogramului; apoi se pot înmulți cu numere reale, ceea ce dă condiția de coliniaritate din programa de examen. Din ele se construiesc, mai departe, demonstrațiile vectoriale de coliniaritate, concurență și paralelism.