Adunarea vectorilor: triunghi și paralelogram (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Două remorchere trag același șlep, fiecare pe cablul lui, iar căpitanul are nevoie de un singur număr și de o singură direcție: cum se mișcă șlepul, până la urmă. La fizică operația se numește compunerea forțelor, iar rezultatul, rezultantă. În traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), lecția de față îi dă operației numele ei matematic — adunarea vectorilor — și două reguli de desen care o fac imediată. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 — ultimele care se dau pe programa veche — relațiile de acest fel apar la Subiectul I, printre cele șase cerințe scurte, iar în demonstrațiile vectoriale de la geometria plană sunt pasul de la care începe orice rezolvare.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: operațiile cu vectori sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a. Pornim de la vectorul construit în lecția despre segmentul orientat și vectorul în plan și îi adăugăm prima operație — cea care transformă desenul într-un calcul.

Ce vei învăța

Vei ști să aduni doi vectori cu regula triunghiului, așezând al doilea vector cu originea în extremitatea primului.
Vei ști când e mai comodă regula paralelogramului și de ce cele două reguli dau întotdeauna același rezultat.
Vei ști cele patru proprietăți ale adunării și ce anume îți scurtează fiecare dintre ele la un calcul de examen.
Vei ști să folosești relația lui Chasles ca să strângi un lanț de vectori într-unul singur și să arăți că suma pe un contur închis este vectorul nul.
Vei ști să scazi doi vectori, trecând prin vectorul opus, și să recunoști că $A B - A C = C B$ .
Vei ști să calculezi modulul sumei în cazurile care se cer la examen și în probleme de fizică: vectori perpendiculari, vectori coliniari, încadrare între două valori.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se adună doi vectori?

Suma a doi vectori $u$ și $v$ este vectorul obținut astfel: se alege un punct $A$ , se construiește reprezentantul $A B$ al lui $u$ , apoi reprezentantul $B C$ al lui $v$ , cu originea în extremitatea primului; suma este vectorul $A C$ , care închide drumul de la început la sfârșit. Aceasta este regula triunghiului, iar în scriere vectorială ea devine

$A B + B C = A C .$

Regula spune, în cuvinte, un lucru foarte concret: dacă mergi din $A$ în $B$ și apoi din $B$ în $C$ , efectul total al celor două deplasări este deplasarea directă din $A$ în $C$ . Punctul intermediar $B$ dispare din rezultat — este exact ce ne trebuie ca să simplificăm expresii lungi.

Un detaliu pe care mulți îl sar: suma nu depinde de punctul $A$ ales la început. Dacă pornim din alt punct, obținem un alt triunghi, dar vectorul-rezultat are aceeași direcție, același sens și același modul, deci este același vector. Tocmai libertatea vectorului, discutată în lecția precedentă, face operația bine definită.

2. Când e mai comodă regula paralelogramului?

Când cei doi vectori sunt deja desenați cu aceeași origine — cazul obișnuit în fizică, unde ambele forțe sunt aplicate în același punct al corpului. Atunci nu mai mutăm niciun vector: construim paralelogramul care are cei doi vectori drept laturi, iar suma este diagonala care pleacă din originea comună.

Concret, dacă $A B C D$ este paralelogram, atunci

$A B + A D = A C .$

Cele două reguli sunt aceeași regulă, văzută din două locuri. Într-adevăr, într-un paralelogram $A B C D$ avem $A D = B C$ , deci $A B + A D = A B + B C = A C$ , adică regula paralelogramului se obține din cea a triunghiului înlocuind un vector cu un reprezentant al lui. De aceea nu trebuie să le memorezi pe amândouă: o alegi pe cea care cere mai puține linii în desenul tău.

Construcția cere, firește, ca patrulaterul desenat să fie într-adevăr paralelogram — condițiile în care un patrulater este paralelogram sunt cele din gimnaziu, din lecția despre condițiile ca un patrulater să fie paralelogram.

Regula paralelogramului are și o limită de care ne lovim des: dacă cei doi vectori sunt coliniari, paralelogramul se turtește și nu se mai poate desena. Atunci se folosește regula triunghiului, care merge oricum, iar rezultatul se citește pe dreapta comună.

3. Ce proprietăți are adunarea vectorilor?

Patru, și fiecare se vede pe un desen.

Comutativitatea: $u + v = v + u$ . Paralelogramul o arată imediat, pentru că aceeași diagonală se obține pornind pe oricare dintre cele două laturi.

Asociativitatea: $(u + v) + w = u + (v + w)$ . La un lanț de trei deplasări, rezultatul nu depinde de felul în care grupezi etapele. Consecința practică: la o sumă de mai mulți vectori parantezele se pot ignora.

Vectorul nul este element neutru: $u + 0 = u$ . O deplasare urmată de „niciun pas" rămâne aceeași deplasare.

Orice vector are un opus. Vectorul opus lui $u$ se notează $- u$ și este vectorul cu aceeași direcție, același modul și sens contrar; pentru un vector dat prin capete, opusul se obține inversând literele. Așadar

$A B + B A = 0, - A B = B A .$

Cu opusul definit, scăderea se reduce la o adunare: $u - v = u + (- v)$ . Forma folosită la examen este cea cu origine comună: $A B - A C = C B$ , adică diferența a doi vectori cu aceeași origine este vectorul care unește extremitatea celui scăzut cu extremitatea celui din care se scade. Regula se justifică într-o singură linie, cu vectorul opus și cu regula triunghiului — drumul îl faci la Exemplul 3.

4. Ce este relația lui Chasles și la ce folosește?

Egalitatea $A B + B C = A C$ poartă numele lui Michel Chasles și se extinde la oricâți termeni, cu condiția ca fiecare vector să înceapă de unde s-a terminat cel dinainte:

$A B + B C + C D = A D .$

Mecanismul de calcul e ușor de ținut minte: literele din interior se „anulează" două câte două, rămân doar prima și ultima. De aici ies două consecințe folosite în aproape orice problemă de calcul vectorial.

Prima: suma vectorilor de pe un contur închis este vectorul nul. Dacă drumul se întoarce în punctul de plecare, prima și ultima literă coincid, deci

$M N + N P + P Q + QM = 0 .$

A doua: un vector se poate „sparge" oricând în doi, introducând un punct intermediar la alegere: $A C = A B + B C$ , pentru orice punct $B$ din plan, nu neapărat de pe segmentul $[A C]$ . Spargerea în sens invers — de la un vector la doi — e mișcarea prin care se demonstrează majoritatea relațiilor de la acest capitol: alegi ca punct intermediar exact punctul din care vrei să vezi figura.

5. Cât de mare este suma a doi vectori?

Aici se strecoară cea mai costisitoare greșeală a capitolului: modulul sumei nu este, în general, suma modulelor. Regula triunghiului arată de ce — cei trei vectori formează un triunghi, iar într-un triunghi o latură este mai mică decât suma celorlalte două. Așadar, pentru orice doi vectori,

$∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥ .$

Trei situații se rețin ca atare, pentru că acoperă tot ce se cere la clasa a IX-a. Dacă $u$ și $v$ sunt coliniari și de același sens, triunghiul se turtește și modulele se adună: egalitatea de mai sus devine egalitate. Dacă sunt coliniari și de sensuri contrare, modulul sumei este diferența modulelor, în valoare absolută. Dacă sunt perpendiculari, triunghiul devine dreptunghic și intervine teorema lui Pitagora: modulul sumei este rădăcina pătrată din suma pătratelor modulelor.

În rest, când unghiul dintre vectori nu e nici nul, nici drept, modulul sumei se află cu teorema cosinusului, dar valoarea lui rămâne mereu între $∣∥ u ∥ - ∥ v ∥∣$ și $∥ u ∥ + ∥ v ∥$ . Pentru doi vectori cu modulele $7$ și $4$ , de exemplu, modulul sumei este cuprins între $3$ și $11$ , oricum ar fi așezați.

6. Cum se compun forțele și vitezele?

Exact prin adunarea vectorilor: aceasta e și rațiunea pentru care programa de examen cere calcul vectorial la un profil de științe. Când asupra unui corp acționează două forțe, efectul lor este cel al unei singure forțe — rezultanta —, iar rezultanta este suma vectorială a celor două. Când o barcă înaintează pe un râu, viteza ei față de mal este suma dintre viteza proprie și viteza curentului.

De aici vine și o observație care îi surprinde pe elevi: două forțe de $60$ N și $80$ N pot avea rezultanta de $140$ N, de $20$ N sau de $100$ N, după cum sunt orientate — același „material", rezultate foarte diferite. Pentru comparație, la mate-info (M1) aceeași regulă a paralelogramului apare la clasa a X-a, în lecția despre interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe, unde suma a două numere complexe se citește tot ca o diagonală de paralelogram.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Regula triunghiului și lanțul de vectori

Se consideră punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ din plan. Calculați $A B + B C$ și apoi $A B + B C + C D + D E$ .

Rezolvare. Prima sumă este chiar regula triunghiului: $A B + B C = A C$ , indiferent de poziția celor trei puncte, inclusiv când sunt coliniare.

A doua sumă se calculează pas cu pas, fiecare pas fiind tot regula triunghiului: $A B + B C = A C$ , apoi $A C + C D = A D$ , apoi $A D + D E = A E$ . Pe scurt, $A B + B C + C D + D E = A E$ : din tot lanțul rămân prima și ultima literă.

Exemplul 2 — Regula paralelogramului, cu module

Se consideră dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 12$ și $B C = 9$ . Calculați $A B + A D$ și modulul acestui vector.

Rezolvare. Cei doi vectori au originea comună $A$ și sunt laturi ale dreptunghiului, deci se aplică regula paralelogramului: $A B + A D = A C$ , adică diagonala dusă din $A$ .

Pentru modul folosim triunghiul dreptunghic $A B C$ , cu catetele $A B = 12$ și $B C = A D = 9$ : $A C^{2} = 144 + 81 = 225$ , deci $∥ A B + A D ∥ = 15$ . Observă că suma modulelor ar fi fost $12 + 9 = 21$ , mult mai mare — vectorii nu sunt coliniari, deci inegalitatea este strictă.

Exemplul 3 — Diferența a doi vectori cu aceeași origine

Se consideră triunghiul $A B C$ . Arătați că $A B - A C = C B$ , apoi calculați $A B - A C + B A$ .

Rezolvare. Prin definiția scăderii, $A B - A C = A B + (- A C) = A B + C A$ . Suma se rearanjează, adunarea fiind comutativă, ca $C A + A B$ , iar regula triunghiului dă $C A + A B = C B$ .

Pentru a doua cerință folosim rezultatul de mai sus: $A B - A C + B A = C B + B A = C A$ . Din nou, punctul intermediar dispare din rezultat.

Exemplul 4 — Contur închis

Se consideră patrulaterul $A B C D$ . Arătați că $A B + B C + C D + D A = 0$ și deduceți valoarea sumei $A B + C D + D A$ .

Rezolvare. Aplicând relația lui Chasles de trei ori, $A B + B C = A C$ , apoi $A C + C D = A D$ , iar în final $A D + D A = 0$ , pentru că cei doi vectori sunt opuși. Concluzia se citește direct pe figură: parcurgi conturul și te întorci de unde ai plecat, deci deplasarea totală este nulă.

Pentru a doua cerință, scădem $B C$ din egalitatea demonstrată: suma cerută este opusul lui $B C$ , adică $A B + C D + D A = C B$ .

Exemplul 5 — Rezultanta a două forțe

Asupra unui cărucior acționează două forțe, de $60$ N și de $80$ N, aplicate în același punct. Calculați modulul rezultantei în trei situații: forțele au aceeași direcție și același sens; au aceeași direcție și sensuri contrare; sunt perpendiculare.

Rezolvare. Rezultanta este suma vectorială a celor două forțe, deci răspunsul depinde de unghiul dintre ele.

Același sens: vectorii sunt coliniari, iar modulele se adună, $60 + 80 = 140$ , deci rezultanta are $140$ N, orientată în sensul comun. Sensuri contrare: modulul este diferența, $80 - 60 = 20$ , deci rezultanta are $20$ N, orientată în sensul forței mai mari. Perpendiculare: triunghiul construit prin regula triunghiului este dreptunghic, cu catetele $60$ și $80$ , deci pătratul modulului rezultantei este $3600 + 6400 = 10000$ , iar rezultanta are $100$ N.

Cele trei valori sunt și marginile discuției: rezultanta a două forțe de $60$ N și $80$ N nu poate ieși în afara intervalului dintre $20$ N și $140$ N.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră paralelogramul $A B C D$ , ale cărui diagonale se intersectează în punctul $O$ . a) Arătați că $A B + A D = A C$ . b) Arătați că $O A + O C = 0$ . c) Arătați că $A B + C D = 0$ .

Rezolvare. a) Într-un paralelogram $A B C D$ avem $A D = B C$ , deci $A B + A D = A B + B C = A C$ , prin regula triunghiului. Este exact regula paralelogramului, scrisă cu literele configurației.

b) Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul lui $[A C]$ . Atunci $O A$ și $O C$ au aceeași direcție, module egale și sensuri contrare, adică sunt opuși, iar suma a doi vectori opuși este $0$ : $O A + O C = 0$ .

c) Într-un paralelogram, $A B = D C$ , iar $C D$ este opusul lui $D C$ , deci $C D$ este opusul lui $A B$ . Suma a doi vectori opuși este vectorul nul: $A B + C D = 0$ . Laturile opuse ale unui paralelogram dau, așadar, vectori egali când sunt parcurse în același sens și vectori opuși când sunt parcurse pe contur.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, uită-te la litere: dacă al doilea vector începe de unde s-a oprit primul, ai deja regula triunghiului; dacă amândoi pornesc din același punct, ai regula paralelogramului sau, la scădere, formula $A B - A C = C B$ . Iar la orice întrebare despre modul, verifică întâi unghiul: coliniari, perpendiculari sau oarecare.

1. Calculează $M N + N P$ și $M N + N P + P Q$ , pentru patru puncte oarecare din plan.

2. Se consideră rombul $A B C D$ cu diagonalele $A C = 24$ și $B D = 10$ . Calculează $∥ A B + A D ∥$ și $∥ A B - A D ∥$ .

3. Se consideră dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 20$ și $B C = 21$ . Calculează $∥ A B + A D ∥$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice doi vectori, modulul sumei este egal cu suma modulelor."

5. Arată că $A B + B C + C A = 0$ , pentru orice triunghi $A B C$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră paralelogramul $A B C D$ . Arată că $A B + A D + C B + C D = 0$ .

7. Calculează $A B + B C + C D + D E + E A$ , pentru cinci puncte oarecare.

8. Doi vectori au modulele $7$ și $4$ . Între ce valori se află modulul sumei lor? Precizează în ce caz se atinge fiecare margine.

9. Se consideră triunghiul $A B C$ . Arată că $C A - C B = B A$ .

10. (Problemă aplicată.) Două remorchere trag un șlep cu forțe perpendiculare, de $500$ N și de $1200$ N, aplicate în același punct. Calculează modulul rezultantei, cu unitatea de măsură.

11. Se consideră dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 8$ și $B C = 15$ . Compară $∥ A B + B C ∥$ cu $∥ A B ∥ + ∥ B C ∥$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ și $M$ mijlocul laturii $[B C]$ . Arată că $M B + M C = 0$ .

13. Determină vectorul $x$ din egalitatea $A B + x = 0$ .

14. O barcă are viteza proprie de $8$ m/s, perpendiculară pe direcția curentului, iar curentul are viteza de $6$ m/s. Calculează modulul vitezei bărcii față de mal.

15. Se consideră punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ din plan. Simplifică expresia $B A + D C - D A$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $M$ , $N$ , $P$ din plan. Arată că $M N = M P - N P$ .

17. Se consideră paralelogramul $A B C D$ . Arată că $A B - A D = D B$ .

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice patru puncte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ din plan, are loc egalitatea $A B + C D = A D + C B$ .

Răspunsuri și explicații

1. $M N + N P = M P$ , prin regula triunghiului. Adăugând al treilea vector, $M P + P Q = M Q$ , deci $M N + N P + P Q = M Q$ . Punctele intermediare $N$ și $P$ nu apar în rezultat.

2. Rombul este paralelogram, deci suma celor doi vectori cu origine comună este diagonala din $A$ : $∥ A B + A D ∥ = ∥ A C ∥ = 24$ . Diferența lor este cealaltă diagonală, parcursă de la $D$ spre $B$ : $∥ A B - A D ∥ = ∥ D B ∥ = 10$ . Într-un paralelogram, suma și diferența a două laturi cu origine comună sunt exact cele două diagonale.

3. Cei doi vectori sunt laturi cu origine comună, deci suma lor este diagonala: $A B + A D = A C$ . În triunghiul dreptunghic $A B C$ , cu catetele $20$ și $21$ , avem $A C^{2} = 400 + 441 = 841$ , deci $∥ A B + A D ∥ = 29$ .

4. Fals. Egalitatea are loc doar când vectorii sunt coliniari și de același sens; în rest, modulul sumei este strict mai mic. Contraexemplu numeric: pentru doi vectori perpendiculari cu modulele $3$ și $4$ , modulul sumei este $5$ , nu $7$ . Cazul extrem opus: doi vectori opuși cu același modul dau suma $0$ .

5. Vectorii formează conturul închis $A \to B \to C \to A$ : $A B + B C = A C$ , iar $A C + C A = 0$ , fiind vectori opuși. Deci $A B + B C + C A = 0$ .

6. Grupăm termenii pe vârfuri: primii doi pleacă din $A$ , ultimii doi din $C$ . Prin regula paralelogramului, $A B + A D = A C$ , iar $C B + C D = C A$ , a doua fiind aceeași regulă aplicată din vârful opus. Suma celor patru vectori devine $A C + C A = 0$ , fiind o sumă de vectori opuși. Gruparea potrivită înainte de calcul e toată rezolvarea.

7. Lanțul se închide în punctul de plecare, deci suma este $0$ . Pas cu pas: $A B + B C + C D + D E = A E$ , iar $A E + E A = 0$ .

8. Modulul sumei este cuprins între $7 - 4 = 3$ și $7 + 4 = 11$ . Marginea de sus se atinge când vectorii sunt coliniari și de același sens, iar cea de jos când sunt coliniari și de sensuri contrare. Pentru vectori perpendiculari s-ar obține $49 + 16$ , valoare cuprinsă între cele două margini.

9. Cei doi vectori au originea comună $C$ , deci se aplică regula diferenței, cu grijă la ordinea literelor: se scrie extremitatea vectorului scăzut prima. Obținem $C A - C B = B A$ . Controlul, în aceeași secundă: $C B + B A = C A$ , prin regula triunghiului, deci diferența e într-adevăr $B A$ .

10. Forțele fiind perpendiculare, triunghiul este dreptunghic, cu catetele $500$ și $1200$ : pătratul modulului rezultantei este $250000 + 1440000 = 1690000$ , deci rezultanta are modulul de $1300$ N. Compară cu suma modulelor, $1700$ N — ar fi valoarea obținută doar dacă remorcherele ar trage în aceeași direcție și în același sens.

11. $A B + B C = A C$ , iar în triunghiul dreptunghic $A B C$ , $A C^{2} = 64 + 225 = 289$ , deci $∥ A B + B C ∥ = 17$ . Suma modulelor este $8 + 15 = 23$ , deci modulul sumei este strict mai mic decât suma modulelor, exact cum prevede inegalitatea.

12. Punctul $M$ fiind mijlocul laturii $[B C]$ , cei doi vectori stau pe dreapta $B C$ , au module egale, $M B = M C$ , și sensuri contrare, deci sunt opuși. Suma a doi vectori opuși este vectorul nul, deci $M B + M C = 0$ . Relația se folosește mai departe, la lecțiile despre vectorul de poziție, ca „mijlocul se anulează".

13. Vectorul căutat este opusul lui $A B$ , adică $x = B A$ . Verificare: $A B + B A = AA = 0$ .

14. Viteza față de mal este suma vectorială dintre viteza proprie și viteza curentului, iar cele două fiind perpendiculare, pătratul modulului sumei este $64 + 36 = 100$ , deci modulul este de $10$ m/s. Barca se deplasează mai repede față de mal decât prin apă, dar pe altă direcție decât cea în care este îndreptată.

15. Scăderea se înlocuiește cu adunarea opusului: $- D A = A D$ , deci expresia devine $B A + D C + A D$ . Rearanjăm, adunarea fiind comutativă și asociativă, ca $D C + B A + A D$ , iar ultimii doi termeni se telescopează: $B A + A D = B D$ . Rămâne $D C + B D = B D + D C = B C$ .

16. Înlocuim scăderea cu adunarea opusului: $- N P = P N$ , deci membrul drept devine $M P + P N$ , iar regula triunghiului dă $M P + P N = M N$ . Deosebirea față de formula $A B - A C = C B$ : acolo cei doi vectori aveau aceeași origine, aici au aceeași extremitate, deci se șterge ultima literă, nu prima. Relația ține pentru orice poziție a celor trei puncte.

17. Cei doi vectori au originea comună $A$ , deci se aplică formula diferenței: $A B - A D = D B$ . Geometric, $D B$ este cealaltă diagonală a paralelogramului, parcursă de la $D$ spre $B$ — de reținut că prima diagonală, $A C$ , era suma, iar a doua este diferența.

18. Spargem fiecare vector din membrul stâng după punctul $D$ , respectiv $B$ : $A B = A D + D B$ și $C D = C B + B D$ . Adunând, $A B + C D = A D + C B + (D B + B D)$ , iar ultima paranteză este $0$ , fiind o sumă de vectori opuși. Rămâne exact egalitatea cerută, valabilă pentru orice patru puncte.

De reținut

Regula triunghiului spune că $A B + B C = A C$ : al doilea vector se așază cu originea în extremitatea primului, iar suma închide drumul de la început la sfârșit.
Regula paralelogramului se folosește când vectorii au aceeași origine: dacă $A B C D$ este paralelogram, atunci $A B + A D = A C$ , adică suma este diagonala dusă din originea comună.
Adunarea vectorilor este comutativă și asociativă, are ca element neutru vectorul nul și dă fiecărui vector un opus, $- A B = B A$ ; scăderea se reduce la adunarea cu opusul, iar pentru vectori cu origine comună $A B - A C = C B$ .
Relația lui Chasles strânge orice lanț de vectori într-unul singur, păstrând doar prima și ultima literă, iar suma vectorilor de pe un contur închis este $0$ .
Modulul sumei nu este suma modulelor: el este cel mult egal cu ea, cu egalitate doar la vectori coliniari de același sens; la vectori perpendiculari se calculează cu teorema lui Pitagora, iar la vectori coliniari de sensuri contrare este diferența modulelor.

Greșeli frecvente

Vectorii adunați „cap la cap" fără să fie cap la cap. Regula triunghiului cere ca al doilea vector să înceapă exact de unde s-a terminat primul. Din grabă apar scrieri de tipul $A B + C D = A D$ , care nu sunt adevărate decât din întâmplare. Când literele nu se potrivesc, se sparge întâi unul dintre vectori cu un punct intermediar potrivit.
Diagonala greșită a paralelogramului. Suma a doi vectori cu origine comună este diagonala care pleacă din originea lor, nu cealaltă. Într-un paralelogram $A B C D$ , $A B + A D = A C$ ; diagonala $[B D]$ nu e suma, ci diferența celor doi vectori. Regula de control: pune degetul pe originea comună și urmărește diagonala care pornește de acolo.
Semnul pierdut la scădere. Din $A B - A C$ mulți scriu $B C$ în loc de $C B$ . Controlul se face într-o secundă, cu regula triunghiului: din $A C + C B = A B$ rezultă imediat că diferența este $C B$ , nu opusul ei.
Rezultatul lăsat ca sumă, deși se cerea un singur vector. O cerință de examen care începe cu „calculați" așteaptă un vector scris cu două litere sau $0$ , nu o expresie cu trei termeni. Tot ce se poate simplifica prin Chasles se simplifică, altfel răspunsul e considerat neterminat.
Vectorul nul scris ca $0$ . Suma $A B + B A$ este vectorul nul, notat $0$ , nu numărul $0$ : un vector nu poate fi egal cu un număr. Distincția pare o formalitate, dar ține de înțelegerea temei, iar în fizică duce la confuzii reale între o forță nulă și un modul nul.

Aplică acasă

Compunerea forțelor, măsurată cu două cântare de bucătărie. Leagă două sfori de același obiect și trage de ele în direcții diferite, citind forțele pe două cântare de mână. Desenează la scară cei doi vectori și construiește paralelogramul; măsoară diagonala cu rigla și compară-i lungimea cu cea prezisă. Repetă cu sforile paralele și cu sforile perpendiculare.
Conturul închis al camerei. Măsoară în pași laturile camerei tale sau ale curții, în ordinea parcurgerii, și notează fiecare latură ca vector, cu direcția și sensul mersului. Desenează-le apoi cap la cap, la scară, pe o foaie: ultimul trebuie să se închidă exact în punctul de plecare, adică suma să fie vectorul nul. Dacă nu se închide, caută ce măsurătoare a ieșit greșit — conturul e propriul lui instrument de control.
Curentul râului, pe o foaie de calcul. Construiește un tabel cu viteza proprie a unei bărci și viteza curentului, perpendiculare, și calculează modulul vitezei față de mal pentru cinci perechi de valori. Alege perechile astfel încât rezultatul să fie număr întreg și explică, într-un rând, de ce barca nu ajunge niciodată drept în punctul spre care este îndreptată.

Pentru părinți și profesori

Adunarea vectorilor este locul în care geometria devine calcul: din momentul în care elevul scrie $A B + B C = A C$ , o figură se poate prelucra ca o expresie algebrică. Dificultatea nu stă în regulă, care se învață într-o oră, ci în două obișnuințe noi: să verifice potrivirea literelor înainte de a aduna și să nu transfere asupra modulelor proprietățile numerelor. A doua greșeală este și cea mai scumpă, pentru că apare identic la fizică, în capitolul despre compunerea forțelor.

De urmărit în caiet: dacă la fiecare sumă al doilea vector începe de unde se termină primul; dacă rezultatul este adus la forma cea mai scurtă, cu Chasles; dacă vectorul nul este scris $0$ , nu $0$ ; dacă la orice întrebare despre modul elevul spune întâi cum sunt așezați vectorii. Întrebări de control, în limbajul lecției: „De ce regula paralelogramului nu se poate folosi la doi vectori coliniari?"; „Cât este suma vectorilor de pe conturul unui pentagon?"; „Când este modulul sumei egal cu suma modulelor?"; „Cum scrii $A C$ ca sumă de doi vectori care trec printr-un punct ales de tine?". Semn că a înțeles: sparge singur un vector într-o sumă, alegând punctul intermediar de care are nevoie în problemă.

Programa și examenul. Operațiile cu vectori nu se regăsesc în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și nu apar nici în programa probei MAT_P2 de la bacalaureatul 2030; capitolul a fost scos, la fel, și din programa nouă a profilului matematică-informatică. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, fiindcă elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde la clasa a IX-a se cer explicit „operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare". Aceeași programă listează, printre competențele capitolului, utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică — de aici exemplele cu forțe și cu viteze. Ca număr de ore, programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, față de trei în planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Cum se adună doi vectori, pas cu pas? Se mută al doilea vector astfel încât originea lui să cadă în extremitatea primului, iar suma este vectorul care unește originea primului cu extremitatea celui de-al doilea. În scriere: $A B + B C = A C$ . Dacă vectorii au aceeași origine, nu se mai mută nimic: se construiește paralelogramul, iar suma este diagonala care pleacă din originea comună.

Care este diferența dintre regula triunghiului și regula paralelogramului? Nu este o diferență de rezultat, ci de desen. Regula triunghiului cere ca vectorii să fie așezați cap la cap și funcționează întotdeauna, inclusiv la vectori coliniari. Regula paralelogramului cere origine comună și se folosește mai ales în fizică, unde forțele sunt aplicate în același punct; la vectori coliniari nu se poate aplica, pentru că paralelogramul se turtește.

Se dă adunarea vectorilor și la M1, și la M2? Ce diferă? Capitolul „Vectori în plan" este scris identic în programa de examen din 2014 pentru ambele profiluri, deci conținutul cerut este același; diferă restul probei, construit pe materia fiecărui profil. În programele noi, din 2025, vectorii nu mai apar nici la științe ale naturii, nici la matematică-informatică, unde aceleași probleme se rezolvă cu coordonate și cu numere complexe.

La ce subiect apare adunarea vectorilor la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care valorează $30$ de puncte și are șase cerințe independente, de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a; una dintre ele este de geometrie plană. Proba durează trei ore și acoperă toate cele trei subiecte, deci o cerință de acest fel trebuie rezolvată în câteva minute — de aceea se cere o relație scurtă, nu o demonstrație lungă.

Ce este relația lui Chasles? Este egalitatea $A B + B C = A C$ , extinsă la oricâți termeni, cu condiția ca fiecare vector să înceapă de unde s-a terminat cel dinainte. Efectul ei practic: dintr-un lanț lung rămân doar prima și ultima literă. Tot ea justifică faptul că suma vectorilor de pe un contur închis, de exemplu laturile unui patrulater parcurse în ordine, este vectorul nul.

Cât este modulul sumei a doi vectori? Depinde de unghiul dintre ei. Dacă sunt coliniari și de același sens, modulele se adună; dacă sunt coliniari și de sensuri contrare, se scad; dacă sunt perpendiculari, se aplică teorema lui Pitagora. În orice situație, modulul sumei este cel mult egal cu suma modulelor și cel puțin egal cu diferența lor, luată în valoare absolută.

Cum se scad doi vectori? Prin adunarea cu opusul: $u - v = u + (- v)$ , unde $- A B = B A$ . Pentru doi vectori cu aceeași origine există o formulă directă, folosită mult la examen: $A B - A C = C B$ . Dacă ai un dubiu la ordinea literelor, verifică rezultatul adunând înapoi: $A C + C B$ trebuie să dea $A B$ . Geometric, diferența a doi vectori cu aceeași origine este vectorul care unește cele două extremități, orientat dinspre vectorul scăzut spre celălalt.

Ce urmează după adunarea vectorilor? Înmulțirea unui vector cu un număr real, care dă criteriul de coliniaritate folosit în aproape toate problemele de examen; o găsești în lecția despre înmulțirea unui vector cu un scalar. Împreună, cele două operații susțin demonstrațiile vectoriale de coliniaritate și concurență, cum este cea din lecția despre centrul de greutate demonstrat vectorial.