Care este domeniul de definiție al fracției $$\dfrac{4}{(x+2)(x-5)}$$?

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 5\}$$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{2,\ 5\}$$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ -5\}$$

$$D = \mathbb{R} \setminus \{2,\ -5\}$$

Cum aflu domeniul unei fracții algebrice?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Condiții de existență fracții algebrice

Te uiți numai la partea de jos a fracției: o egalezi cu zero, rezolvi ecuația și scoți valorile găsite din mulțimea numerelor reale. Ele se numesc valori interzise, iar ce rămâne este domeniul. Pentru $\frac{x + 1}{x - 5}$ pui $x - 5 = 0$ și obții $D = R ∖ {5}$ . Dacă jos stă un produs, fiecare paranteză dă câte o valoare scoasă, iar partea de sus nu contează deloc.

O fracție algebrică arată ca $\frac{E ( x )}{F ( x )}$ : o împărțire în care la numitor poate apărea o literă. Regula de aur, moștenită din clasele mici, e simplă și fermă: nu poți împărți niciodată la zero. De aceea, înainte de orice calcul, afli pentru ce valori ale variabilei numitorul devine zero — acelea sunt valorile interzise, iar restul numerelor reale formează domeniul de definiție, notat $D = R ∖ {valori interzise}$ .

Procedeul are trei pași: iei numitorul, îl pui egal cu zero și rezolvi ecuația; dacă numitorul e un produs de factori, fiecare factor dă câte o valoare interzisă (produsul nul); dacă numitorul e „pătrat plus număr pozitiv" (ex. $x^{2} + 4$ ), nu se anulează niciodată, deci $D = R$ . Numărătorul nu contează deloc pentru această condiție!

Exemplu. Pentru $\frac{x + 1}{x - 5}$ punem $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ , deci valoarea interzisă e $5$ și $D = R ∖ {5}$ .

De reținut

numitorul nu are voie să fie zero
$D = R ∖ {valorile interzise}$
numărătorul nu influențează condițiile

Greșeala tipică

Se caută valorile interzise uitându-se și la numărătorul fracției. Doar partea de jos poate strica scrierea, iar un numărător nul dă pur și simplu rezultatul zero, ceea ce este pe deplin permis.

Exerciții din această mini-lecție

Care este valoarea interzisă a fracției $\frac{x + 3}{x - 7}$ ?
- a) $x = 3$
- b) $x = - 3$
- c) $x = 7$
- d) $x = - 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = 7$

Punem numitorul egal cu zero: $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ . Numărătorul $x + 3$ nu contează pentru condiția de existență.
Care este domeniul de definiție al fracției $\frac{4}{( x + 2 ) ( x - 5 )}$ ?
- a) $D = R ∖ {2, 5}$
- b) $D = R ∖ {- 2, 5}$
- c) $D = R ∖ {- 2, - 5}$
- d) $D = R ∖ {2, - 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $D = R ∖ {- 2, 5}$

Un produs e zero când cel puțin un factor e zero: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ sau $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ . Deci $D = R ∖ {- 2, 5}$ .
Care este valoarea interzisă a fracției $\frac{2 x - 1}{x + 11}$ ?
- a) $x = 11$
- b) $x = \frac{1}{2}$
- c) $x = - 11$
- d) $x = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = - 11$

Punem numitorul egal cu zero: $x + 11 = 0 \Rightarrow x = - 11$ . Numărătorul $2 x - 1$ nu contează pentru condiția de existență.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă pun o valoare interzisă în fracție?

Partea de jos devine zero, iar împărțirea nu mai are rezultat, deci scrierea își pierde înțelesul. La $\frac{7}{x - 2}$ și $x = 2$ ai ajunge la o împărțire imposibilă. De aceea valoarea se scoate din start, înainte de orice calcul.

Cum scriu condițiile de existență în redactarea unei probleme?

Le treci pe primul rând al rezolvării, sub forma unei inegalități pentru fiecare numitor, apoi scrii domeniul cu simbolul de scădere a mulțimilor. Un exercițiu corect calculat, dar fără condiții scrise, pierde punctele acordate pentru ele.

Rămân valabile condițiile după ce simplific fracția?

Da, condițiile se iau de la forma inițială și nu se schimbă niciodată. Chiar dacă $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$ se simplifică la $x$ , valoarea $3$ rămâne interzisă. Simplificarea schimbă scrierea, nu mulțimea pe care fracția are sens.

Câte valori interzise poate avea o fracție algebrică?

Atâtea câte soluții are ecuația obținută din partea de jos. Un numitor de gradul întâi dă una, unul de gradul al doilea dă cel mult două, iar unul care nu se anulează niciodată nu dă niciuna. Numărul lor nu depinde de partea de sus.

De ce împărțirea la zero nu are rezultat?

Pentru că a împărți înseamnă a căuta un număr care, înmulțit cu împărțitorul, să dea deîmpărțitul. Cu zero jos, orice înmulțire dă tot zero, deci fie nu există niciun răspuns, fie ar merge oricare. Din ambele motive operația se lasă nedefinită.

La ce îmi folosesc condițiile de existență într-un exercițiu de examen?

Îți arată ce valori poți respinge la final. Dacă o ecuație cu fracții îți dă o soluție care coincide cu o valoare interzisă, o tai și scrii că nu convine. Fără condiții scrise la început nu ai pe ce sprijini respingerea.

Oamenii mai întreabă și: condiții de existență fracții algebrice · valori interzise la o fracție · domeniul de definiție al unei fracții algebrice · când nu are sens o fracție cu litere · numitor diferit de zero