Ce este un poligon regulat înscris în cerc?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Poligoane regulate în cerc

Este un poligon cu toate laturile de aceeași lungime și toate unghiurile de aceeași măsură, care are toate vârfurile pe același cerc. Centrul cercului se află la distanța $R$ de fiecare vârf, iar laturile taie cercul în $n$ arce la fel de mari. Unghiul din centru măsoară $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ , iar cel dintre două laturi vecine $\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$ . La hexagon ies $6 0^{\circ}$ și $12 0^{\circ}$ .

Un poligon regulat are toate laturile congruente ȘI toate unghiurile congruente (trebuie amândouă — un romb sau un dreptunghi nu sunt regulate). Orice poligon regulat are un centru $O$ egal depărtat de toate vârfurile, egal cu raza $R$ a cercului circumscris.

Două formule esențiale, pentru un poligon cu $n$ laturi:

unghi la centru $= \frac{360°}{n}$ (împarte cercul în $n$ arce congruente);
unghi interior $= \frac{( n - 2 ) \cdot 180°}{n}$ .

Cele două sunt suplementare (însumează $180°$ ).

Laturile poligoanelor uzuale: $l_{6} = R$ , $l_{4} = R 2$ , $l_{3} = R 3$ .

Exemplu: hexagon cu $n = 6$ : unghi la centru $= \frac{360°}{6} = 60°$ , unghi interior $= \frac{4 \cdot 180°}{6} = 120°$ ; $60° + 120° = 180°$ ✓.

De reținut

unghi la centru $= \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$
unghi interior $= \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$
$l_{6} = R$ , $l_{4} = R 2$ , $l_{3} = R 3$

Greșeala tipică

Se numește regulat orice poligon cu laturile egale, deși rombul are laturile egale fără să aibă unghiurile egale. Ambele condiții trebuie îndeplinite în același timp.

Exerciții din această mini-lecție

Un poligon regulat are unghiul la centru de $20°$ . Câte laturi are poligonul?
- a) 16 laturi
- b) 18 laturi
- c) 20 laturi
- d) 15 laturi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 18 laturi

Din $\frac{360°}{n} = 20°$ rezultă $n = \frac{360°}{20°} = 18$ laturi.
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R = 3$ cm. Care este latura pătratului (lăsată cu radical)?
- a) $32$ cm
- b) $33$ cm
- c) $6$ cm
- d) $3$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $32$ cm

Pentru pătrat, $l_{4} = R 2 = 32$ cm. ( $33$ ar fi latura triunghiului echilateral, iar $3$ cm ar fi latura hexagonului.)
Un poligon regulat are unghiul la centru de $24°$ . Câte laturi are poligonul?
- a) 12 laturi
- b) 15 laturi
- c) 25 laturi
- d) 35 laturi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 15 laturi

Din $\frac{360°}{n} = 24°$ rezultă $n = \frac{360°}{24°} = 15$ laturi.

Întrebări conexe

Cât este perimetrul hexagonului regulat înscris într-un cerc?

Laturile fiind egale cu raza, perimetrul iese de șase ori raza: $P = 6 R$ . Într-un cerc cu $R = 5$ cm hexagonul are perimetrul $30$ cm. Se vede și pe desen: cele șase raze duse spre vârfuri taie figura în șase triunghiuri echilaterale.

Cum aflu aria unui hexagon regulat cu latura dată?

Îl tai în șase triunghiuri echilaterale cu latura $ℓ$ și aduni ariile lor. Cum unul singur are $\frac{ℓ ^{2} 3}{4}$ , hexagonul are $\frac{3 ℓ ^{2} 3}{2}$ . Pentru $ℓ = 4$ cm rezultă $243$ cm², adică aproximativ $41, 6$ cm².

Ce este apotema unui poligon regulat?

Este distanța de la centru până la mijlocul unei laturi, măsurată perpendicular pe ea. Joacă rol de înălțime în triunghiul format de centru și o latură, așa că aria întregului poligon iese înmulțind perimetrul cu apotema și împărțind la doi.

Câte axe de simetrie are un poligon regulat cu n laturi?

Are exact $n$ axe. Când numărul laturilor este par, jumătate dintre ele trec prin două vârfuri opuse, iar cealaltă jumătate prin mijloacele a două laturi opuse. Când este impar, fiecare axă unește un vârf cu mijlocul laturii din fața lui. Pătratul are patru, hexagonul șase.

Cum apar poligoanele regulate în viața de zi cu zi?

Fagurii de albine sunt hexagoane regulate, la fel ca multe plăci de pavaj. Piulițele și capacele de canal au tot formă hexagonală, fiindcă se prind bine cu cheia din mai multe poziții. Semnele de circulație folosesc triunghiuri și octogoane regulate.

Ce se întâmplă cu poligonul regulat când n crește mult?

Conturul lui se lipește tot mai mult de cerc. Unghiul din centru scade spre zero, iar cel dintre laturi urcă spre $18 0^{\circ}$ , așa că fiecare latură pare aproape un arc. Pe această apropiere se sprijină ideea de lungime a cercului și de arie a discului.

Oamenii mai întreabă și: poligon regulat înscris în cerc · unghiul la centru al unui poligon regulat · latura hexagonului regulat · poligoane regulate formule · ce este un poligon regulat