Un elev a citit $$\frac{1}{5}$$ din paginile unei cărți într-o zi și $$\frac{1}{3}$$ din carte a doua zi. I-au rămas necitite $$28$$ de pagini. Dacă notăm cu $$x$$ numărul total de pagini, care este ecuația corectă?

$$\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+28=x$$

$$x-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=28$$

$$\frac{x}{5}+\frac{x}{3}-28=x$$

Un elev a citit $$\frac{1}{6}$$ dintr-o carte într-o zi și $$\frac{1}{4}$$ din carte a doua zi. I-au rămas necitite $$21$$ de pagini. Dacă notăm cu $$x$$ numărul total de pagini, care este ecuația corectă?

$$\frac{x}{6}+\frac{x}{4}+21=x$$

$$x-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=21$$

$$\frac{x}{6}+\frac{x}{4}-21=x$$

Cum scriu ecuația unei probleme cu fracții?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Probleme rezolvate cu ecuații raționale

Citești enunțul până înțelegi ce se cere, alegi mărimea necunoscută și o notezi cu $x$ , apoi traduci fiecare propoziție într-o relație matematică. Legătura de bază este că întregul se compune din părțile lui. La împărțirea a $60$ de lei în părți direct proporționale cu $2$ și cu $3$ scrii $2 k + 3 k = 60$ , de unde $k = 12$ , deci sumele sunt $24$ și $36$ de lei. La final faci proba și scrii răspunsul cu unitatea de măsură.

O problemă practică se rezolvă prin ecuație urmând cinci etape: înțelegi enunțul, alegi necunoscuta $x$ , traduci fiecare propoziție într-o relație matematică, rezolvi ecuația și verifici prin probă, interpretând rezultatul cu unitate de măsură. Ideea centrală este întregul = suma părților: dacă din întregul $x$ se iau fracții și rămâne un rest, scrii $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} + rest = x$ . La împărțirea unei sume în părți direct proporționale cu numerele $a$ și $b$ , scrii sumele $a \cdot k$ și $b \cdot k$ , apoi rezolvi $a \cdot k + b \cdot k = total$ . La părți invers proporționale cu $a$ și $b$ folosești inversele lor: $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} = total$ . Exemplu: împărțind $60$ lei direct proporțional cu $2$ și $3$ : $2 k + 3 k = 60$ , deci $k = 12$ , primul primește $24$ lei, al doilea $36$ lei.

De reținut

cinci pași: înțelegi, notezi, traduci, rezolvi, verifici
întregul = suma părților
direct proporțional: $a \cdot k + b \cdot k =$ total; invers: $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} =$ total

Greșeala tipică

Se scrie ca răspuns valoarea coeficientului sau a întregului, deși enunțul cerea altceva; după rezolvarea ecuației se recitește întrebarea și se calculează exact mărimea cerută.

Exerciții din această mini-lecție

Un elev a citit $\frac{1}{5}$ din paginile unei cărți într-o zi și $\frac{1}{3}$ din carte a doua zi. I-au rămas necitite $28$ de pagini. Dacă notăm cu $x$ numărul total de pagini, care este ecuația corectă?
- a) $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} + 28 = x$
- b) $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} = 28$
- c) $x - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = 28$
- d) $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} - 28 = x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} + 28 = x$

Întregul (numărul total de pagini) este suma părților citite plus restul necitit: $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} + 28 = x$ . (Rezolvând: $3 x + 5 x + 420 = 15 x \Rightarrow 420 = 7 x \Rightarrow x = 60$ de pagini.) Varianta b) tratează greșit restul ca fiind egal cu părțile citite, iar c) și d) nu respectă corect relația „întreg = părți + rest".
Se împart $90$ de bomboane între doi copii, invers proporțional cu numerele $2$ și $4$ . Câte bomboane primește copilul „legat" de numărul $2$ (adică cel cu partea mai mare)?
- a) $60$ de bomboane
- b) $30$ de bomboane
- c) $45$ de bomboane
- d) $75$ de bomboane
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $60$ de bomboane

Invers proporțional cu $2$ și $4$ înseamnă direct proporțional cu inversele lor, $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ . Părțile sunt $\frac{k}{2}$ și $\frac{k}{4}$ : $\frac{k}{2} + \frac{k}{4} = 90$ . Înmulțind cu $4$ : $2 k + k = 360 \Rightarrow 3 k = 360 \Rightarrow k = 120$ . Copilul legat de numărul mai mic ( $2$ ) primește partea mai mare: $\frac{120}{2} = 60$ bomboane (celălalt primește $\frac{120}{4} = 30$ ). Probă: $60 + 30 = 90$ . ✔
Un elev a citit $\frac{1}{6}$ dintr-o carte într-o zi și $\frac{1}{4}$ din carte a doua zi. I-au rămas necitite $21$ de pagini. Dacă notăm cu $x$ numărul total de pagini, care este ecuația corectă?
- a) $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} + 21 = x$
- b) $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 21$
- c) $x - \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = 21$
- d) $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} - 21 = x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} + 21 = x$

Întregul (numărul total de pagini) este suma părților citite plus restul necitit: $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} + 21 = x$ . (Rezolvând: $2 x + 3 x + 252 = 12 x \Rightarrow 252 = 7 x \Rightarrow x = 36$ de pagini.) Varianta b) tratează greșit restul ca fiind egal cu părțile citite, iar c) și d) nu respectă corect relația „întreg = părți + rest".

Întrebări conexe

Ce mărime aleg ca necunoscută într-o problemă cu fracții?

De obicei întregul din care se iau părțile, fiindcă atunci toate celelalte cantități se scriu ușor în funcție de el. Dacă enunțul dă direct întregul, notezi cu $x$ mărimea cerută. O alegere potrivită duce la o ecuație scurtă, cu o singură necunoscută.

Cum scriu ecuația când din întreg se iau două fracții și rămâne un rest?

Aduni părțile luate și restul, iar suma trebuie să dea întregul. Dacă din $x$ se ia o treime și un sfert, iar restul este $25$ , scrii $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 25 = x$ . Rezolvarea începe prin aducerea fracțiilor la același numitor.

Cum împart o sumă în părți invers proporționale cu două numere?

Folosești inversele numerelor date. Pentru $a$ și $b$ scrii părțile ca $\frac{k}{a}$ și $\frac{k}{b}$ , aduni și egalezi cu totalul. Numărul mai mic primește partea mai mare, ceea ce este și verificarea rapidă a rezultatului.

De ce trebuie interpretat rezultatul la sfârșitul unei probleme?

Pentru că numărul găsit pentru necunoscută nu este întotdeauna răspunsul cerut. Uneori ai aflat un întreg, dar problema cerea o parte, sau ai aflat coeficientul, nu suma. Ultimul pas este întoarcerea la întrebarea din enunț și scrierea răspunsului cu unitate de măsură.

Ce fac dacă ecuația problemei are numitori diferiți?

Înmulțești ambii membri cu un multiplu comun al numitorilor și scapi de fracții. Pentru numitorii $3$ și $4$ înmulțești cu $12$ . Ecuația devine una cu numere întregi, mai ușor de rezolvat, iar soluția rămâne aceeași.

Cum verific dacă rezultatul unei probleme are sens în context?

Compari valoarea găsită cu situația descrisă: nu poți avea persoane în număr negativ ori exprimat cu zecimale, iar o parte nu poate depăși întregul. Când răspunsul iese în afara acestor limite, greșeala este de obicei în scrierea ecuației, nu în calcul.

Oamenii mai întreabă și: probleme rezolvate cu ecuații · cum scriu ecuația unei probleme · probleme cu fracții și necunoscută · împărțire în părți proporționale cu ecuație