Progresie aritmetică sau geometrică? (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Două cantități pot crește după reguli diferite: una primește aceeași contribuție la fiecare etapă, cealaltă este înmulțită mereu cu același factor. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), alegerea modelului cere să legi regula de sensul datelor. Progresiile se află în programa pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și, pentru generația care începe liceul în 2026, în domeniul „Algebră” al probei MAT_P2 din 2030. Aici comparăm modelele pe intervalul cerut și explicăm cât permit datele să afirmăm.

Folosește recunoașterea progresiei aritmetice la M2 și regula progresiei geometrice la M2. Pentru enunțurile procentuale poți revedea calcularea unui procent dintr-un număr, clasa a VI-a. Nu reluăm toate demonstrațiile formulelor. Alegem instrumentul potrivit, precizăm ipotezele și verificăm dacă rezultatul calculat răspunde întrebării reale.

Ce vei învăța

Vei ști să deosebești contribuția fixă de multiplicarea cantității existente la fiecare etapă.
Vei ști să verifici modelul pe toate observațiile disponibile, inclusiv când unele momente lipsesc.
Vei ști să explici situațiile în care datele permit ambele reguli sau nu respectă niciuna.
Vei ști să separi o observație exactă de o predicție condiționată de continuarea regulii.
Vei ști să alegi între valoarea unei etape și totalul unor contribuții, apoi să compari rezultatele în context.

Hai să descoperim împreună

1. Întrebarea care precedă formula

Alegerea modelului înseamnă stabilirea unei reguli matematice care respectă mărimile, condițiile și toate datele problemei. În această lecție comparăm două reguli deja studiate. O progresie aritmetică are aceeași diferență între termeni consecutivi. O progresie geometrică, în convenția folosită aici, are termeni nenuli și același raport nenul între termeni consecutivi.

Înainte de calcule, spune ce reprezintă termenul. Poate fi masa rămasă, cantitatea adăugată într-o etapă, soldul după un an sau valoarea unei măsurători. Același tabel numeric poate căpăta interpretări diferite dacă schimbăm numele coloanei. Formula trebuie să descrie mărimea cerută, nu doar o listă convenabilă de numere.

O serie de valori $13$ , $18$ , $23$ poate indica adăugarea repetată a aceleiași cantități. Seria $13$ , $26$ , $52$ sugerează o multiplicare. Cuvântul „sugerează” privește datele observate. Pentru a prezice etapa următoare, avem nevoie și de ipoteza că regula identificată continuă.

Într-un enunț care declară explicit progresia, această ipoteză este dată. Într-un experiment cu doar câteva observații, ea trebuie formulată și verificată în limitele studiului. A confunda cele două situații ar transforma o posibilă explicație într-o certitudine nejustificată.

2. Ce rămâne constant?

Pentru candidatul aritmetic calculăm diferențele $u_{k + 1} - u_{k}$ . Pentru candidatul geometric calculăm rapoartele $u_{k + 1} / u_{k}$ , după ce am verificat că toți termenii folosiți sunt nenuli. Dacă o listă exactă are o diferență nepotrivită, nu este progresie aritmetică; un raport nepotrivit respinge modelul geometric pentru acea listă.

Diferența are aceeași unitate ca termenii. Dacă termenii sunt exprimați în grame, diferența se exprimă în grame pe etapă. Raportul dintre două asemenea mase este un număr fără unitate. Acest contrast ajută la explicarea rezultatului: adăugăm o cantitate sau înmulțim cantitatea existentă.

Nu alegem progresia numai după faptul că valorile cresc. Atât o progresie aritmetică, cât și una geometrică pot avea termeni pozitivi crescători. La fel, ambele pot descrie o scădere pe un interval finit potrivit. Criteriul este constanța diferențelor sau a rapoartelor, împreună cu sensul operației din enunț.

Pentru o listă finită verificăm toate trecerile disponibile. O singură trecere neconformă este suficientă pentru a respinge regula exactă pe întreaga listă. Nu eliminăm observația doar fiindcă celelalte se potrivesc; eventualele erori de măsurare trebuie declarate separat, nu inventate pentru a salva modelul.

3. Două valori, o constantă și prezența lui zero

Două valori nenule pot fi începutul unei progresii aritmetice și, totodată, al uneia geometrice. Există o diferență și un raport pentru singura trecere observată. A treia valoare calculată poate fi diferită în cele două continuări. Prin urmare, datele inițiale nu aleg singure regula viitoare.

O listă constantă cu valoarea nenulă $c$ satisface ambele condiții: diferența este zero, iar raportul este unu. Nu trebuie forțată într-o singură categorie dacă cerința permite toate clasificările. În schimb, o listă de zerouri este aritmetică și nu este geometrică în convenția termenilor nenuli adoptată aici.

Pentru o listă de cel puțin trei termeni care este simultan aritmetică și geometrică, toți termenii trebuie să fie egali și nenuli. Putem vedea de ce: diferența dintre primii doi este $u_{1} (q - 1)$ , iar următoarea este $u_{1} q (q - 1)$ . Egalitatea lor, cu $u_{1} \neq = 0$ , impune $(q - 1)^{2} = 0$ , deci $q = 1$ .

Precizarea numărului de termeni contează. Argumentul folosește două diferențe, deci cel puțin trei termeni. Nu îl aplicăm unei liste de două valori. Precizarea termenilor nenuli contează la fel de mult, fiindcă rapoartele nu pot fi calculate împărțind la zero.

4. Regula matematică trebuie să respecte situația

Într-o progresie geometrică abstractă este permis un raport negativ: semnele termenilor alternează. Dacă însă termenii reprezintă mase sau volume pozitive, acea regulă nu poate descrie întreaga situație. Verificarea aritmetică și interpretarea fizică sunt două etape necesare ale aceleiași rezolvări.

Pentru o cantitate pozitivă din care scoatem periodic aceeași masă, modelul aritmetic este valabil numai cât timp operația poate fi efectuată. Nu continuăm până la o masă negativă. Pentru scăderea cu un procent din cantitatea rămasă, factorul pozitiv subunitar păstrează pozitivitatea, dar intervalul de aplicare tot trebuie declarat.

Expresia „scade cu același procent” cere identificarea bazei. Dacă procentul se calculează de fiecare dată din cantitatea inițială, eliminăm o cantitate fixă. Dacă se calculează din cantitatea rămasă, folosim un factor constant. Cuvântul „procent” nu este suficient singur pentru alegerea progresiei geometrice.

În această lecție datele sunt exacte, dacă nu sunt marcate drept aproximative. Nu învățăm ajustarea statistică a unui model la măsurători zgomotoase. Putem spune că o listă nu respectă exact regula propusă fără a afirma că experimentul este inutil sau că observațiile trebuie înlocuite.

5. Momentele observațiilor fac parte din date

Un tabel poate conține înregistrări la fiecare etapă sau numai la unele dintre ele. Citește indicii înainte să compari trecerile. Dacă observăm fiecare a doua etapă a unei progresii aritmetice, diferența dintre înregistrări cuprinde două adaosuri. Într-o progresie geometrică, raportul cuprinde două înmulțiri.

Pentru momente aflate la distanțe diferite, compararea directă a diferențelor sau rapoartelor dintre rânduri poate fi înșelătoare. Folosești diferența indicilor și regula deja cunoscută. Formulele pentru termenul aritmetic la M2 și termenul geometric la M2 rămân instrumentele de calcul.

Dacă datele provin de la obiecte diferite, verifică dacă ordinea lor reprezintă într-adevăr etape ale aceluiași proces. Trei mase ale unor recipiente independente nu devin o evoluție în timp doar fiindcă le-ai ordonat crescător. Ele pot forma numeric o progresie, dar interpretarea ca proces cere informații suplimentare.

O verificare bună scrie într-o propoziție ce înseamnă o trecere: un minut, un an, o etapă a simulării sau următorul recipient dintr-o serie pregătită. Astfel, diferența și factorul primesc sensul corect, iar un calcul la un indice nou poate fi interpretat fără ambiguitate.

6. Ultimul termen și suma răspund unor întrebări diferite

Odată ales modelul, citește din nou cerința. „Cât se află în ultimul recipient?” cere un termen. „Cât s-a folosit pentru toate recipientele?” poate cere o sumă, dacă fiecare termen reprezintă o contribuție distinctă. Numărul termenilor adunați trebuie să coincidă cu numărul contribuțiilor cerute.

Pentru cantități independente, poți folosi formulele deja învățate ale sumelor. Dacă există puțini termeni, adunarea directă poate fi mai transparentă și poate verifica formula. Alegerea progresiei nu te obligă să folosești cea mai lungă metodă; scopul este calculul unei mărimi bine definite.

În schimb, valorile aceleiași mase rămase după etape succesive sunt fotografii ale aceleiași cantități în momente diferite. Adunarea lor nu reprezintă masa rămasă la final și nici masa consumată. Pentru consumul total, ai nevoie de diferența dintre masa inițială și cea finală, în condițiile descrise de problemă.

Unitatea de măsură, singură, nu decide ce trebuie adunat. Mai multe valori exprimate în mililitri pot descrie recipiente distincte sau același recipient observat repetat. Întrebarea „ale cui sunt aceste cantități?” previne o sumă corectă ca aritmetică, dar nepotrivită ca răspuns.

7. Cum formulăm comparația finală?

O afirmație precum „modelul geometric dă mai mult” este incompletă fără date inițiale, factor, adaos, moment și mărimea comparată. Pe un interval finit, calculezi valorile necesare și verifici concluzia acolo. Nu transformi rezultatul într-o afirmație despre orice altă alegere a parametrilor.

De exemplu, un model poate avea termenul final mai mare și suma contribuțiilor mai mică decât alt model. Nu există contradicție: comparăm mărimi diferite. Stabilește de la început dacă te interesează etapa finală, totalul sau prima etapă care îndeplinește o anumită condiție.

O rezolvare completă poate avea și concluzia „date insuficiente pentru alegere” ori „niciunul dintre cele două modele exacte”. Aceste răspunsuri sunt matematice atunci când sunt susținute de calcule și de condițiile problemei. Nu inventăm o regulă doar pentru a folosi una dintre formulele capitolului.

Încheie prin a menționa dependența predicției de ipoteză: dacă regula continuă pe intervalul declarat, rezultă valoarea calculată. Pentru datele deja observate, concluzia de compatibilitate se referă la acele observații. Diferența dintre verificare și predicție rămâne vizibilă până la propoziția finală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Aceleași date inițiale, două continuări

Primele două valori ale unui șir sunt $16$ și $20$ . Se cere următoarea valoare, dar nu se precizează regula. Explică de ce răspunsul nu este unic, comparând cele două modele.

Modelul aritmetic are diferența $20 - 16 = 4$ , deci ar continua cu $20 + 4 = 24$ . Modelul geometric are factorul $20/16 = 1, 25$ , deci ar continua cu $20 \cdot 1, 25 = 25$ . Ambele respectă cele două date inițiale.

Rezultatele diferite arată ce informație lipsește: regula de continuare. Nu alegem valoarea mai simplă sau pe cea întâlnită mai des în exerciții. Dacă enunțul ar declara una dintre progresii, răspunsul corespunzător ar fi determinat; în forma actuală sunt posibile ambele continuări.

Exemplul 2. Observații din două în două etape

Un model are valori pozitive la toate etapele de la zero la patru. La etapele zero, doi și patru, valorile sunt $9$ , $36$ și $144$ . Se știe că modelul este aritmetic sau geometric. Alege-l și află valoarea la etapa a treia.

Cele două intervale au aceeași lungime. Diferențele sunt $36 - 9 = 27$ și $144 - 36 = 108$ , deci modelul aritmetic este exclus. Rapoartele sunt $36/9 = 4$ și $144/36 = 4$ , corespunzătoare câte unui interval de două etape.

Factorul unei etape are pătratul egal cu patru. Pozitivitatea tuturor valorilor selectează $q = 2$ , nu factorul negativ. La etapa a treia obținem $36 \cdot 2 = 72$ . Am folosit atât momentele observațiilor, cât și condiția de semn; raportul dintre rândurile tabelului nu era factorul unei singure etape.

Exemplul 3. Același procent, două baze

O simulare pornește cu o masă de $80$ g și descrie patru etape. În varianta A se elimină la fiecare etapă $15%$ din masa inițială. În varianta B se elimină $15%$ din masa rămasă înaintea etapei. Compară masele după două etape.

În A, eliminarea este mereu $80 \cdot 15/100 = 12$ g. Masele formează o progresie aritmetică pe intervalul permis, iar după două etape rămân $80 - 2 \cdot 12 = 56$ g. Operațiile sunt posibile pe întregul interval declarat, fiindcă după patru etape rămân $80 - 4 \cdot 12 = 32$ g.

În B, fiecare etapă păstrează factorul $0, 85$ din masa precedentă. După două etape rămân $80 \cdot 0, 8 5^{2} = 57, 8$ g. Varianta B are cu $1, 8$ g mai mult la acest moment. Diferența apare din baza procentului, nu dintr-o schimbare a procentului scris.

Exemplul 4. O înregistrare respinge regula exactă

Patru observații exacte, la etape consecutive, au valorile $6$ , $9$ , $13, 5$ și $21$ . Verifică afirmația: „Toate sunt termenii unei progresii geometrice.”

Primele rapoarte sunt $9/6 = 1, 5$ și $13, 5/9 = 1, 5$ . Ultimul raport este $21/13, 5 = 14/9$ , diferit de factorul precedent. Modelul geometric exact nu respectă întreaga listă. El ar fi cerut la ultima etapă $13, 5 \cdot 1, 5 = 20, 25$ .

Nici diferențele nu sunt constante: primele două sunt $9 - 6 = 3$ și $13, 5 - 9 = 4, 5$ . Concluzia este că lista nu formează niciuna dintre cele două progresii. Nu rescriem ultima observație pentru a obține un exemplu convenabil și nu pretindem că am identificat cauza neconcordanței.

Exemplul 5. Cantități repartizate în recipiente distincte

Patru recipiente primesc, în ordine, $24$ , $18$ , $13, 5$ și $10, 125$ ml. Cantitățile sunt contribuții separate. Identifică modelul și calculează volumul total folosit, apoi numește volumul din ultimul recipient.

Fiecare raport consecutiv este $0, 75$ : $18/24 = 0, 75$ , $13, 5/18 = 0, 75$ și $10, 125/13, 5 = 0, 75$ . Avem o progresie geometrică finită de volume pozitive.

Totalul se obține adunând contribuțiile distincte: $24 + 18 + 13, 5 + 10, 125 = 65, 625$ ml. Ultimul recipient conține doar $10, 125$ ml. Cele două răspunsuri nu sunt interschimbabile. Dacă enunțul ar fi descris volumul rămas în același recipient, adunarea observațiilor nu ar fi însemnat volumul final.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Trei termeni consecutivi ai unei progresii, aritmetice sau geometrice, sunt $27$ , $45$ și $75$ , în această ordine. Determină tipul progresiei și termenul următor.

Diferențele $45 - 27 = 18$ și $75 - 45 = 30$ nu coincid, deci progresia nu este aritmetică. Rapoartele coincid: $45/27 = 5/3$ și $75/45 = 5/3$ . Toți termenii sunt nenuli, iar continuarea geometrică dă $75 \cdot 5/3 = 125$ .

Ipoteza din enunț precizează că termenii aparțin unei progresii, astfel că putem aplica regula și la termenul următor. Acesta este un exercițiu propriu pentru redactarea unei justificări scurte. Includerea progresiilor în programă nu stabilește apariția acestei cerințe într-o anumită variantă de examen.

Să exersăm

Datele de mai jos sunt exacte. Când se cere continuarea, aplică modelul precizat sau justificat prin ipoteza exercițiului. Pentru clasificări, folosește convenția termenilor nenuli la progresia geometrică.

1. Valorile $8$ , $17$ , $26$ , $35$ sunt începutul unei progresii. Alege tipul, află rația și continuă cu un termen.

2. Valorile $216$ , $36$ , $6$ , $1$ aparțin unei progresii. Identifică tipul și rația, apoi află termenul următor.

3. Clasifică lista constantă $- 4$ , $- 4$ , $- 4$ , $- 4$ în toate modurile permise și precizează rațiile corespunzătoare.

4. Lista $0$ , $0$ , $0$ este progresie aritmetică, geometrică sau ambele? Justifică folosind convențiile lecției.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Lista $100$ , $70$ , $49$ , $34, 3$ nu poate fi o progresie, fiindcă valorile scad tot mai încet.

6. Sunt cunoscute numai primele două valori nenule, $9$ și $12$ . Calculează al treilea termen în continuarea aritmetică și în cea geometrică. Explică de ce nu rezultă o alegere unică.

7. Șirul numeric începe cu $3$ , $- 15$ , $75$ , $- 375$ și este o progresie. Află tipul, rația și termenul următor.

8. Clasifică lista $- 6$ , $- 3$ , $0$ , $3$ . Explică ce rol are termenul nul în verificarea geometrică.

9. Un model geometric pozitiv are la etapele zero, unu și trei valorile $4$ , $12$ și $108$ . Verifică observația finală și află factorul și valoarea lipsă la etapa a doua.

10. O simulare începe cu $90$ g. Pe trei etape, elimină de fiecare dată $20%$ fie din masa inițială, fie din masa rămasă. Calculează masa finală în fiecare variantă și identifică modelele.

11. Un model didactic dă masa de drojdie dintr-un vas la patru etape consecutive: $25$ , $40$ , $64$ și $102, 4$ g. Stabilește tipul progresiei și rația. Are rația o unitate de măsură?

12. Lista $3$ , $- 12$ , $48$ , $- 192$ respectă o regulă geometrică. Află rația și explică de ce lista nu poate reprezenta patru mase ale aceleiași probe.

13. O probă de $512$ g păstrează, la fiecare dintre trei etape, $\frac{3}{8}$ din masa precedentă. Ce masă s-a consumat în total? Verifică rezultatul adunând cantitățile eliminate la fiecare etapă.

14. (Problemă aplicată.) Temperatura unei soluții încălzite este măsurată la $0$ minute cu valoarea $18$ °C, la $3$ minute cu $24$ °C și la $4$ minute cu $26$ °C. Sunt datele compatibile cu o creștere constantă pe minut? Determin-o.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Între $2$ și $98$ se introduce un termen pozitiv. Află-l pentru trei termeni consecutivi în progresie geometrică, apoi pentru progresie aritmetică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Primul termen este $42$ , iar fiecare termen următor se obține scăzând $6$ . Identifică progresia și calculează suma primilor patru termeni.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Primele trei valori ale unei progresii sunt $3$ , $21$ , $147$ . Determină tipul, rația și al cincilea termen.

18. Două planuri repartizează câte trei contribuții distincte, în mililitri: A folosește $30$ , $40$ , $50$ , iar B folosește $7$ , $21$ , $63$ . Compară contribuțiile finale, apoi totalurile. Dă tipul fiecărui model și explică schimbarea ordinii comparației.

Răspunsuri și explicații

1. Rația este $9$ , iar continuarea aritmetică are valoarea $44$ . Toate diferențele sunt egale, în timp ce rapoartele nu sunt constante.

2. Progresia este geometrică, cu rația $1/6$ , iar termenul următor este $1/6$ . Înmulțirea cu o șesime reproduce fiecare trecere observată.

3. Sunt permise ambele clasificări: diferența este $0$ , iar raportul este $1$ . Termenii constanți sunt nenuli, deci rapoartele există.

4. Progresia aritmetică are rația $0$ . Lista nu este geometrică în convenția cu termeni nenuli; nu împărțim zero la zero pentru a inventa un raport.

5. Fals. Rapoartele sunt $70/100 = 0, 7$ , $49/70 = 0, 7$ și $34, 3/49 = 0, 7$ , deci lista este o progresie geometrică de rație $0, 7$ . Diferențele $- 30$ , $- 21$ și $- 14, 7$ nu sunt egale, așa că lista nu este aritmetică. Scăderea valorilor nu exclude nicio progresie.

6. Continuările dau $15$ , respectiv $16$ . Avem $12 + (12 - 9) = 15$ și $12 \cdot (12/9) = 16$ . Fără o regulă suplimentară, ambele sunt compatibile cu datele inițiale.

7. Rația geometrică este $- 5$ , iar termenul următor este $1875$ . Semnele alternante sunt permise pentru acest șir numeric abstract.

8. Lista este aritmetică, cu rația $3$ . Termenul nul exclude condiția termenilor nenuli pentru progresia geometrică; în plus, nu putem forma toate rapoartele consecutive.

9. Factorul este $3$ , iar valoarea lipsă este $36$ . Observația finală se verifică prin $4 \cdot 3^{3} = 108$ , iar la etapa intermediară avem $12 \cdot 3 = 36$ .

10. Masele finale sunt $36$ g și $46, 08$ g. Primul model este aritmetic: $90 - 3 \cdot 18 = 36$ . Al doilea este geometric: $90 \cdot 0, 8^{3} = 46, 08$ . Ambele rămân pozitive pe intervalul cerut.

11. Rapoartele sunt $40/25 = 1, 6$ , $64/40 = 1, 6$ și $102, 4/64 = 1, 6$ , deci masele formează o progresie geometrică de rație $1, 6$ . Diferențele $15$ , $24$ și $38, 4$ g nu sunt egale. Rația este raportul a două mase, deci un număr fără unitate; numai diferențele s-ar exprima în grame.

12. Rația este $- 4$ . Regula este corectă pentru numere, dar valorile negative nu pot reprezenta masa probei. Compatibilitatea algebrică nu rezolvă această contradicție fizică.

13. Masele sunt $512$ , $192$ , $72$ și $27$ g, deci consumul total este $512 - 27 = 485$ g. Cantitățile eliminate la cele trei etape sunt $320$ , $120$ și $45$ g, iar $320 + 120 + 45 = 485$ . Și cantitățile eliminate formează o progresie geometrică, cu aceeași rație.

14. Creșterea este de $2$ °C pe minut: $(24 - 18) / (3 - 0) = 2$ și $(26 - 24) / (4 - 3) = 2$ . Observațiile sunt la intervale inegale, deci nu comparăm direct diferențele dintre rânduri.

15. Termenul geometric pozitiv este $14$ , iar cel aritmetic este $50$ . Pentru primul verificăm $1 4^{2} = 2 \cdot 98$ ; pentru al doilea folosim $(2 + 98) /2 = 50$ .

16. Suma este $132$ . Progresia este aritmetică, cu rație negativă; cei patru termeni sunt adunați în calculul $42 + 36 + 30 + 24 = 132$ .

17. Rația geometrică este $7$ , iar al cincilea termen este $7203$ . De la primul la al cincilea sunt patru treceri: $3 \cdot 7^{4} = 3 \cdot 2401 = 7203$ .

18. Contribuțiile finale sunt $50$ ml și $63$ ml, iar totalurile sunt $120$ ml și $91$ ml. A este aritmetic, B este geometric. B are ultima contribuție mai mare, însă A a repartizat mai mult în total; întrebările compară mărimi diferite.

De reținut

Modelul trebuie să respecte toate observațiile și sensul mărimii reprezentate de fiecare termen.
Verifică momentele înregistrărilor înainte să interpretezi diferențele sau rapoartele.
O listă constantă nenulă permite ambele clasificări; termenii nuli cer atenție la convenția geometrică.
O predicție folosește o ipoteză de continuare, chiar dacă datele de până acum sunt compatibile.
Compară aceeași mărime, la aceleași momente și în unități compatibile, pe intervalul declarat.

Greșeli frecvente

Scrii rația geometrică cu unitatea termenilor. Raportul a două mase este un număr fără unitate; numai rația unei progresii aritmetice se exprimă în grame pe etapă.
Respingi o listă constantă nenulă fiindcă pare să aibă două răspunsuri. Ambele clasificări sunt corecte; precizează rația fiecăreia.
Accepți mase negative doar fiindcă rapoartele sunt constante. Verificarea modelului include domeniul fizic al mărimii, nu numai egalitățile.
Compari rapoarte din intervale de durate diferite ca și cum ar fi factori ai aceleiași etape. Citește indicii și numără trecerile cuprinse între observații.
Schimbi criteriul comparației în timpul rezolvării. Un termen final mai mare nu înseamnă automat un total mai mare; păstrează mărimea cerută în ambele modele.

Aplică acasă

Pregătește cartonașe cu numele mărimilor „volum în ultimul vas”, „volum folosit în toate vasele” și „volum rămas”. Asociază fiecăruia o întrebare și o operație, explicând când ai voie să aduni.
Construiește o listă constantă nenulă și o listă care conține zero. Cere unui coleg toate clasificările posibile și o justificare care să menționeze convenția termenilor geometrici.
Inventează două planuri cu trei contribuții pozitive: unul să aibă ultima contribuție mai mare, celălalt totalul mai mare. Verifică dacă poți alege un plan aritmetic și unul geometric și prezintă separat cele două comparații.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea prin alegere și interpretare. Formulele termenilor și sumelor au fost predate anterior; acum elevul trebuie să decidă ce reprezintă datele, ce ipoteză autorizează predicția și care rezultat răspunde cerinței. Acceptați concluziile de incompatibilitate ori de informație insuficientă atunci când sunt argumentate.

Programa și examenul. Programa nouă, OMEC 6930/2025, anexa 28, introduce modelarea cu progresii pentru științe ale naturii, începând cu clasa a IX-a din 2026–2027. La Bacalaureatul 2030, MAT_P2, tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii claselor X–XII urmează programa anterioară pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, care include progresiile și condițiile ca numerele să fie termeni consecutivi. Modelul oficial pentru 2026 nu are o cerință despre progresii; în programa de examen (OMEN 4430/2014), progresiile sunt conținut de clasa a IX-a.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: alegerea modelului are alte aplicații; versiunea M2 insistă pe mărimea comparată, observații incomplete, verificarea domeniului și limitele predicției. Pentru calculele procentuale care preced comparația, revino la modificările procentuale repetate la M2. Materialul de față oferă un traseu complet fără preluarea aplicațiilor extinse ale versiunii M1.

Întrebări frecvente

Ce urmărește această sinteză M2 în comparație cu pagina M1?

Aici explici ce reprezintă termenii, verifici toate datele și precizezi de ce poți continua o anumită regulă. Compararea termenului final cu totalul contribuțiilor are un rol central. Pagina M1 dezvoltă alte aplicații și comparații de evoluții; pentru obiectivele lecției de științe poți lucra integral cu exemplele și condițiile prezentate aici.

Cum redactez alegerea modelului într-o cerință de bacalaureat M2?

Scrie diferențele sau rapoartele relevante, arată că satisfac condiția cerută și abia apoi folosește formula pentru rezultat. La M_șt-nat 2027–2029 tema este inclusă în programa de progresii; la MAT_P2 din 2030 aparține domeniului „Algebră”. Exemplul propriu din lecție exersează o justificare scurtă, fără a anticipa conținutul unei variante de examen.

De ce un model numeric corect poate fi nepotrivit pentru o masă?

O progresie abstractă poate avea termeni negativi sau semne alternante, dar masa dintr-un context fizic nu poate lua asemenea valori. Trebuie să verifici atât regula algebrică, cât și domeniul mărimii. Poți limita uneori intervalul modelului, dacă enunțul permite aceasta, însă nu poți schimba sensul masei pentru a păstra formula.

Pot compara un total cu valoarea ultimei etape?

Poți calcula ambele, însă ele răspund unor întrebări diferite. Pentru a compara două planuri după același criteriu, folosește totalul fiecăruia sau termenul final al fiecăruia. Un plan poate conduce într-o comparație și pierde în cealaltă. Precizează mărimea cerută înainte de calcule și păstreaz-o în propoziția finală.

Ce se întâmplă dacă valorile măsurate sunt rotunjite?

Diferențele și rapoartele calculate din valori rotunjite pot să nu coincidă exact, chiar dacă modelul teoretic folosește o regulă constantă. Lecția verifică liste exacte; pentru măsurători aproximative sunt necesare informații despre precizie și criteriul acceptat al erorii. Nu declarăm singuri o toleranță și nu înlocuim observațiile cu valori mai convenabile.

Schimbarea unității de masă schimbă tipul progresiei?

Trecerea din grame în miligrame înmulțește toate valorile cu același factor pozitiv. Diferențele se înmulțesc și ele cu acel factor, iar rapoartele rămân aceleași. Prin urmare, clasificarea aritmetică sau geometrică se păstrează. Condiția este să transformi toate valorile în mod consecvent, fără să amesteci unități în aceeași verificare.