Progresia geometrică și rația (M2, științe ale naturii)

Un protocol numeric păstrează la fiecare etapă aceeași fracțiune din cantitatea precedentă. Cantitatea pierdută se poate schimba, deși regula rămâne identică. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), progresia geometrică descrie acest mecanism printr-un raport constant. Tema face parte din pregătirea pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și din domeniul „Algebră” al probei MAT_P2 din 2030.

În lecția despre dobânda compusă și dinamica populației ai întâlnit valori obținute prin multiplicări succesive. Acum izolăm regula matematică, fără să presupunem că orice proces real o respectă. Folosim rangul și termenul unui șir; pentru calcule, poți revedea șirurile de rapoarte egale din clasa a VI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști aceeași multiplicare în trecerile dintre valori consecutive.
• Vei ști să calculezi rația după ce aduci datele la aceeași unitate de măsură.
• Vei ști să explici de ce primul termen și rația trebuie să fie nenule.
• Vei ști să construiești termeni înainte și înapoi, inclusiv când semnele alternează.
• Vei ști să deosebești o listă compatibilă cu regula de o regulă dată pentru întregul șir.
• Vei ști să precizezi până la ce etapă este autorizat un model practic.

Hai să descoperim împreună

1. Ce anume rămâne constant?

Progresia geometrică este un șir de numere reale al cărui prim termen este nenul și în care fiecare termen următor se obține înmulțind termenul precedent cu același număr real nenul. Acest factor fix se numește rație. Notăm termenii cu $b_1,b_2,b_3,\dots$, iar rația cu $q$.

Condițiile complete sunt $b_1\ne 0$, $q\ne 0$ și $b_{n+1}=q\cdot b_n$ pentru fiecare rang natural $n\ge 1$. Relația se referă la toate trecerile dintre termeni, nu doar la prima. Dacă lucrăm cu o listă finită, spunem că valorile sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice atunci când aceeași regulă funcționează la toate trecerile disponibile.

Rația este un factor, nu cantitatea adăugată. Când înmulțești o valoare cu același factor la fiecare etapă, diferențele dintre valori nu trebuie să fie egale. De aceea întrebarea potrivită este „de câte ori se modifică?”, nu numai „cu cât se modifică?”. Cuvintele din enunț trebuie traduse în operația pe care o cer efectiv.

Scrierea simbolică păstrează aceeași structură indiferent de unități. Într-un model cu mase, termenii reprezintă mase; într-un calcul pur numeric, ei sunt numere reale. Rația nu preia unitatea termenilor, deoarece compară două valori ale aceleiași mărimi, exprimate în aceeași unitate.

2. Cum extragem rația din date?

Pentru doi termeni consecutivi, relația de trecere poate fi citită invers. Împărțim termenul de la rangul următor la termenul precedent:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.$$

Numărătorul și numitorul au roluri precise. Urmărește ordinea cronologică sau ordinea rangurilor, nu ordinea mărimii numerelor. Dacă valorile scad, termenul următor va fi mai mic; raportul său la precedentul poate fi subunitar. Nu întoarce fracția doar pentru a obține un număr mai mare decât unu.

O listă cu patru valori oferă trei treceri. Scrie câte un raport pentru fiecare și compară rezultatele exacte. Simplificarea fracțiilor este mai sigură decât compararea unor zecimale tăiate după puține cifre. Două rapoarte care par egale după rotunjire nu sunt neapărat egale ca numere.

Într-un tabel, citește mai întâi linia rangurilor. Două coloane vecine pot reprezenta observații aflate la mai multe etape distanță. Raportul valorilor lor descrie atunci mai multe multiplicări, nu automat una singură. Identificarea termenilor consecutivi este parte din rezolvare, înaintea împărțirii.

3. De ce nu admitem termeni nuli?

Pornim de la un număr nenul și înmulțim de fiecare dată cu un număr nenul. Rezultatul rămâne nenul la fiecare pas. Astfel toate rapoartele care definesc rația au sens, iar rația se poate recupera din oricare pereche de termeni consecutivi.

Dacă primul termen ar fi zero, înmulțirea repetată l-ar păstra zero. Datele nu ar mai selecta un factor unic, iar raportul dintre două zerouri nu este definit. Dacă rația ar fi zero, termenii de după primul ar deveni nuli și aceeași problemă ar apărea la pașii următori. Convenția folosită aici exclude ambele situații.

Această excludere nu spune că procesele reale nu pot ajunge la zero. Spune numai că, atunci când un proces ajunge la zero, nu îl mai descriem prin progresia geometrică cu termeni nenuli definită în lecție. Modelul trebuie verificat înainte să i se aplice numele și formulele familiei.

Un număr negativ este, în schimb, admis. „Nenul” nu înseamnă „pozitiv”. Separăm condițiile matematice de condițiile contextului: o masă nu se modelează prin valori negative, dar un șir numeric cu semne alternante poate fi perfect corect ca progresie geometrică.

4. Cum citim semnul și mărimea rației?

Dacă rația este pozitivă, multiplicarea păstrează semnul termenului precedent. Toți termenii au atunci semnul primului. Dacă rația este negativă, fiecare multiplicare schimbă semnul; două treceri succesive refac semnul de pornire. Această observație permite un control rapid al unei liste, înainte de calculele complete.

Pentru un prim termen pozitiv, situațiile principale sunt următoarele. Tabelul descrie numai ipotezele scrise în prima coloană; ele nu pot fi omise când folosim concluzia.

Nu transferăm automat prima concluzie la un prim termen negativ. Înmulțirea unui număr negativ cu un factor mai mare decât unu îl face mai mic în ordinea numerelor reale. Putem verifica prin comparația termenilor calculați, fără să introducem un studiu general de monotonie.

Pentru rație negativă, alternarea semnelor nu spune singură dacă modulele cresc ori scad. Modulul fiecărui termen se înmulțește cu modulul rației. Când acesta este unu, mărimea rămâne aceeași, deși semnul poate alterna. În aplicațiile cu mase, concentrații sau lungimi pozitive folosim rații pozitive, potrivite obiectului măsurat.

5. Cum continuăm și cum revenim cu un pas?

După ce rația este cunoscută, continuarea înainte folosește multiplicarea. Revenirea la termenul anterior folosește împărțirea la aceeași rație. Aceasta este permisă deoarece rația nu este zero. Pe caiet, o săgeată orientată spre ranguri mai mari și alta spre ranguri mai mici pot preveni confuzia dintre operații.

Ai nevoie de un singur termen și de rație pentru a determina termenii vecini. Termenul cunoscut nu trebuie să fie primul. Păstrează însă indicele fiecărei valori: după o împărțire ai coborât cu un rang, nu ai ajuns automat la primul termen al șirului.

La rație negativă, revenirea schimbă și ea semnul, fiindcă împărțirea la un număr negativ schimbă semnul. La rație pozitivă subunitară, revenirea de la o valoare pozitivă mărește valoarea. Sensul deplasării în șir și sensul variației numerice sunt două informații diferite.

Pentru câțiva pași, calculul succesiv arată foarte bine mecanismul. Când se cere un rang îndepărtat, vom folosi termenul general al progresiei geometrice. În această lecție ne concentrăm pe trecerea dintre vecini și pe recunoașterea corectă a rației.

6. Ce poate demonstra o listă finită?

Dacă toate rapoartele unei liste de valori exacte coincid și valorile sunt nenule, lista poate constitui începutul unei progresii geometrice. Totuși, o listă nu stabilește ce se întâmplă la toate rangurile viitoare. O continuare care respectă regula este posibilă; o altă continuare poate să o încalce imediat după ultima observație.

Când enunțul declară că șirul este progresie geometrică, avem deja garanția aceleiași rații la toate rangurile admise. Când oferă numai un tabel de măsurări, verificăm compatibilitatea datelor cu regula. Nu transformăm o regularitate observată în lege a naturii prin simpla adăugare a unor puncte de suspensie.

Situația se schimbă dacă enunțul precizează o procedură: fiecare etapă multiplică exact valoarea anterioară cu un factor fix. Atunci regula justifică progresia pe intervalul în care procedura se aplică. Valorile calculate sunt consecințe ale ipotezei, iar eventualele date reale ar trebui comparate separat cu ele.

Contează și caracterul exact sau aproximativ al tabelului. În exercițiile noastre, valorile sunt exacte dacă nu se spune altfel. Nu justificăm o nepotrivire invocând singuri erori de aparat. Într-o măsurare reală, toleranțele trebuie cunoscute înainte de a hotărî ce înseamnă potrivire suficientă.

7. Ce verificăm într-un context de științe?

Scriem ce reprezintă fiecare termen, unitatea și durata unei etape. Dacă comparăm concentrații, toate valorile trebuie exprimate în aceeași unitate de concentrație. Dacă o coloană folosește miligrame și alta grame, convertim înainte de a calcula raportul. Rația trebuie să exprime modificarea mărimii, nu schimbarea notației unității.

Nu amestecăm mărimi diferite în aceeași listă. Raportul dintre o masă și o durată nu este rația unei progresii a maselor. Chiar dacă numerele ar avea un tipar atrăgător, interpretarea ar fi greșită. Numele și unitățile din antetul tabelului fac parte din datele problemei.

Un protocol școlar poate presupune diluări succesive ideale. Vom calcula concentrațiile din regula declarată, fără să afirmăm că orice amestec real se comportă identic. Precizăm numărul etapelor urmărite și nu extrapolăm rezultatul către o durată nelimitată ori către un fenomen biologic nespecificat.

La final, exprimăm concluzia la nivelul datelor: „aceste valori sunt compatibile cu rația găsită” sau „regula dată produce o progresie geometrică”. Această precizie este utilă în orice problemă aplicată, inclusiv atunci când calculul în sine este foarte scurt.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O listă exactă de valori descrescătoare

Verifică dacă $343,147,63,27$ pot fi patru termeni consecutivi ai unei progresii geometrice și determină următoarea valoare în această continuare.

Calculăm toate cele trei rapoarte: $\frac{147}{343}=\frac{3}{7}$, $\frac{63}{147}=\frac{3}{7}$ și $\frac{27}{63}=\frac{3}{7}$. Valorile sunt nenule, iar factorul este constant, deci lista este compatibilă cu o progresie geometrică de rație $q=\frac{3}{7}$.

Continuarea cerută păstrează aceeași rație: $27\cdot \frac{3}{7}=\frac{81}{7}$. Rezultatul poate fi fracționar; termenii unei progresii geometrice sunt numere reale, nu obligatoriu întregi. Nu rotunjim la un întreg, fiindcă astfel am modifica raportul exact și am construi o altă listă.

Exemplul 2. O valoare care rupe regula

Un tabel conține consecutiv valorile exacte $16,24,36,55$. Un elev spune că toate au rația $\frac{3}{2}$. Verifică afirmația și arată ce ultimă valoare ar face lista compatibilă cu regula propusă.

Primele treceri dau $\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$ și $\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$. Ultima dă însă $\frac{55}{36}\ne \frac{3}{2}$. Lista din enunț nu este o progresie geometrică.

Pentru continuarea cu factorul indicat ar fi necesar $36\cdot \frac{3}{2}=54$. Numărul găsit descrie o modificare a tabelului, nu o justificare a celui original. Diferența dintre date și corecția ipotetică trebuie păstrată în răspuns; nu înlocuim pe ascuns o observație ca să obținem modelul dorit.

Exemplul 3. Prim termen negativ și rație negativă

Construiește primii patru termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=-5$ și $q=-3$. Precizează ce se întâmplă cu semnele și cu modulele.

Prin multiplicări succesive obținem $b_2=(-5)\cdot (-3)=15$, $b_3=15\cdot (-3)=-45$ și $b_4=(-45)\cdot (-3)=135$. Lista este $-5,15,-45,135$.

Semnele alternează pornind de la minus. Modulele se multiplică de fiecare dată cu trei. Nu putem spune că valorile șirului cresc la fiecare pas: trecerea de la termenul pozitiv la următorul negativ este o scădere în ordinea numerelor reale. În acest exemplu numeric nu atribuim termenilor sensul unor mase sau concentrații.

Exemplul 4. Un model de diluare cu domeniu finit

Într-un model didactic, fiecare dintre trei diluări succesive împarte concentrația precedentă la cinci. Concentrația inițială este $150$ mg/L. Scrie cele patru concentrații, incluzând începutul, și precizează rația.

Datele modelului dau $150:5=30$, $30:5=6$ și $6:5=\frac{6}{5}$, toate în mg/L. Împărțirea la cinci este multiplicare cu $\frac{1}{5}$, astfel că cele patru valori sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu această rație.

Prima valoare reprezintă situația de dinaintea diluărilor. Avem patru valori, dar numai trei operații. Concluzia se referă la protocolul ideal declarat și la cele trei etape; nu deducem din el comportamentul oricărei substanțe ori al unui organism viu.

Exemplul 5. Recuperarea unui termen anterior

O progresie geometrică are $b_4=-70$ și $b_5=35$. Determină rația și termenul $b_3$.

Rangurile sunt consecutive, deci $q=\frac{35}{-70}=-\frac{1}{2}$. Pentru a reveni de la rangul patru la rangul trei, împărțim la rație: $b_3=(-70):\left(-\frac{1}{2}\right)=140$.

Verificăm în sensul definiției: $140\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-70$, iar $(-70)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=35$. Ambele treceri reproduc datele. Un control doar asupra semnului nu ar fi suficient: și mărimea factorului trebuie să corespundă. Valoarea recuperată aparține rangului trei, nu este primul termen al progresiei.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-o progresie geometrică se cunosc $b_2=26$ și $b_3=39$. Determină rația, primul termen și termenul al patrulea. Cerința este un antrenament propriu de calcul, în cadrul temei prevăzute de programa de examen.

Din vecinătatea rangurilor rezultă $q=\frac{39}{26}=\frac{3}{2}$. Revenim un pas pentru primul termen: $b_1=26:\frac{3}{2}=\frac{52}{3}$. Pentru termenul următor folosim multiplicarea: $b_4=39\cdot \frac{3}{2}=\frac{117}{2}$.

Cele două direcții au operații diferite. Putem controla primul rezultat prin $\frac{52}{3}\cdot \frac{3}{2}=26$. Răspunsurile fracționare sunt exacte și respectă convenția termenilor nenuli; enunțul nu cere ca progresia să aibă termeni naturali.

Să exersăm

Scrie rangurile înainte de calcule și păstrează fracțiile exacte. La problemele aplicate, precizează ce interval de etape ai verificat. Exercițiile de examen de mai jos sunt construite pentru antrenament, fără a reproduce un subiect oficial.

1. Verifică lista $11,44,176,704$. Dacă valorile sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, precizează rația și justifică folosind fiecare trecere disponibilă.

2. Valorile exacte $125,100,80,64$ sunt citite în această ordine. Calculează rapoartele consecutive și spune ce fracțiune din valoarea precedentă se păstrează la fiecare pas.

3. Analizează lista $-18,9,-\frac{9}{2},\frac{9}{4}$. Stabilește rația și explică separat regula semnelor și regula modulelor. Nu înlocui fracțiile cu aproximări zecimale.

4. Pentru $b_1=13$ și $q=-2$, construiește primii patru termeni. Marchează lângă fiecare trecere operația care a produs valoarea următoare.

5. Pentru $b_1=-32$ și $q=\frac{1}{4}$, construiește primii patru termeni. Sunt valorile succesive mai mari sau mai mici în ordinea numerelor reale?

6. Un șir are fiecare termen egal cu $-9$. Decide dacă respectă definiția progresiei geometrice și arată de ce semnul negativ al termenilor nu îl exclude.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Într-o progresie geometrică, $b_2=20$ și $b_3=-15$. Atunci $b_4=20$.

8. Într-o progresie geometrică, $b_3=45$ și $b_4=15$. Determină rația și $b_2$, apoi verifică valoarea recuperată prin multiplicare.

9. Se cunosc $b_2=-9$ și $b_3=-54$ într-o progresie geometrică. Află rația și primul termen. Explică de ce rația nu este negativă.

10. (Problemă aplicată.) Două mase consecutive dintr-un model geometric sunt $560$ mg și $1,12$ g. Determină rația după ce exprimi ambele valori în aceeași unitate.

11. Un tabel indică $b_1=17$, $b_2=34$ și $b_4=136$, iar enunțul garantează progresia geometrică. Completează $b_3$ și verifică informația de la rangul patru.

12. Valorile $50,25,12,5$ se citesc întâi de la stânga la dreapta, apoi invers. Calculează factorul unei treceri în fiecare sens și explică legătura dintre rezultate.

13. Sunt cunoscute numai trei observații consecutive: $15,60,240$. Oferă o a patra valoare care păstrează regula geometrică și una care o încalcă. Ce spune comparația despre limitele observațiilor?

14. Un program didactic aplică de trei ori la rând o mărire a unei lungimi, în care fiecare nouă valoare este $\frac{3}{2}$ din precedenta. Pornind de la $18$ mm, scrie cele patru lungimi și rația modelului finit.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o progresie geometrică, $b_1=-7$ și $b_2=21$. Calculează rația și $b_4$, scriind și termenul intermediar necesar.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dau $b_2=8$, $b_3=20$ și $b_4=50$ ale unei progresii geometrice. Determină primul termen și $b_5$. Folosește a treia informație pentru control.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un șir începe cu $36,30,25$. Presupunând că este progresie geometrică, află următorul termen și justifică factorul folosit.

18. Fie o progresie geometrică $(b_n)$ cu rația $q$. Definim $c_n=5b_n$ la aceleași ranguri. Arată că și $(c_n)$ este progresie geometrică și determină rația sa.

Răspunsuri și explicații

1. Cele trei rapoarte sunt $\frac{44}{11}=4$, $\frac{176}{44}=4$ și $\frac{704}{176}=4$. Lista respectă aceeași multiplicare la fiecare trecere, deci rația este patru. Toate valorile sunt nenule.

2. Obținem $\frac{100}{125}=\frac{4}{5}$, $\frac{80}{100}=\frac{4}{5}$ și $\frac{64}{80}=\frac{4}{5}$. La fiecare pas se păstrează patru cincimi din valoarea precedentă. Partea eliminată se calculează dintr-o bază care se schimbă.

3. Fiecare raport este $-\frac{1}{2}$. Semnele alternează, iar modulele se înjumătățesc. Primul termen negativ fixează începutul alternanței; nu este necesar ca o progresie geometrică să înceapă cu un număr pozitiv.

4. Termenii sunt $13,-26,52,-104$. Înmulțirea cu aceeași rație negativă schimbă semnul la fiecare trecere. Controlul rapoartelor confirmă atât semnele, cât și dublarea modulelor.

5. Lista este $-32,-8,-2,-\frac{1}{2}$. Valorile sunt succesiv mai mari, fiind numere negative cu module tot mai mici. Nu aplicăm regula de scădere a termenilor pozitivi unui șir care începe negativ.

6. Este progresie geometrică de rație $q=1$, deoarece fiecare raport este $\frac{-9}{-9}=1$. Termenii și rația sunt nenuli. Condiția definiției privește excluderea zeroului, nu excluderea numerelor negative.

7. Fals. Rația este $q=\frac{-15}{20}=-\frac{3}{4}$, deci $b_4=(-15)\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{45}{4}$. Valoarea $20$ s-ar obține cu raportul întors, $-\frac{4}{3}$, adică împărțind termenul precedent la cel următor.

8. $q=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$, iar $b_2=45:\frac{1}{3}=135$. Verificarea $135\cdot \frac{1}{3}=45$ arată că am revenit corect un singur rang. Primul termen nu era cerut.

9. $q=\frac{-54}{-9}=6$ și $b_1=(-9):6=-\frac{3}{2}$. Raportul a două numere negative este pozitiv. La trecerile acestei progresii semnul termenilor se păstrează, deși valorile devin mai mici.

10. A doua masă este $1120$ mg, astfel că rația este $\frac{1120}{560}=2$. Raportul dintre numerele scrise inițial, fără conversie, ar amesteca unitățile și nu ar descrie modificarea masei.

11. Perechea consecutivă inițială dă $q=2$, deci $b_3=34\cdot 2=68$. Următoarea multiplicare produce $68\cdot 2=136$, în acord cu tabelul. Rangurile au arătat unde lipsea o valoare.

12. În sensul inițial rația este $\frac{1}{2}$, iar în sens invers este $2$. Factorii sunt reciproci: o înmulțire cu unul este anulată prin înmulțirea cu celălalt. Listele au aceleași valori, dar în altă ordine.

13. Continuarea geometrică ar avea valoarea $240\cdot 4=960$. De exemplu, alegerea $961$ încalcă regula. Primele trei observații sunt compatibile cu ambele continuări până la punctul unde acestea încep să difere.

14. Lungimile sunt $18$, $27$, $40,5$ și $60,75$ mm, cu rația $\frac{3}{2}$. Ele provin din cele trei modificări declarate. Modelul nu afirmă că orice obiect material poate fi mărit astfel.

15. $q=\frac{21}{-7}=-3$, apoi $b_3=21\cdot (-3)=-63$ și $b_4=(-63)\cdot (-3)=189$. Semnele se schimbă de două ori între al doilea și al patrulea termen.

16. $q=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$, confirmat de $\frac{50}{20}=\frac{5}{2}$. Rezultă $b_1=8:\frac{5}{2}=\frac{16}{5}$ și $b_5=50\cdot \frac{5}{2}=125$. Am folosit toate datele, inclusiv verificarea raportului următor.

17. $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$ și $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$, deci următorul termen este $25\cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{6}$. Calculul continuării folosește explicit ipoteza că regula se păstrează.

18. Termenii $c_n$ sunt nenuli, iar $\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{5b_{n+1}}{5b_n}=q$. Factorul comun se simplifică, deci rația rămâne aceeași. Aceasta explică și de ce schimbarea comună a unității nu schimbă rația.

De reținut

• Progresia geometrică păstrează același factor, rația $q$, între oricare doi termeni vecini.
• În convenția lecției, primul termen, rația și toți termenii sunt nenuli; semnele negative sunt permise.
• Citește rangurile și adu mărimile la aceeași unitate înainte să calculezi rapoartele, în ordinea rangurilor.
• Pentru termenul următor înmulțești cu rația, iar pentru revenirea la termenul anterior împarți la ea.
• O listă finită exactă poate confirma compatibilitatea cu modelul, fără să demonstreze singură regula pentru orice continuare.

Greșeli frecvente

• Compararea coloanelor fără ranguri. Observații alăturate în tabel pot fi separate de mai multe etape. Verifică indicii înainte de a numi un raport „rație”.
• Amestecarea unităților. Un raport între grame și miligrame neconvertite include factorul de conversie. Scrie ambele valori în aceeași unitate.
• Respingerea unei fracții. Un rezultat neîntreg nu este prin el însuși greșit. Verifică domeniul cerut și raportul, nu aspectul zecimal al răspunsului.
• Extrapolarea unei măsurări. Datele din câteva etape nu garantează o regulă pentru toate etapele viitoare. Precizează dacă regula este ipoteză sau observație.
• Rotunjirea înainte de comparație. Păstrează rapoartele exacte până la verdict; aceeași aproximare zecimală poate ascunde două fracții diferite.

Aplică acasă

1. Tabel cu un gol. Construiește patru valori printr-un factor nenul ales și ascunde una dintre valorile interioare. Dă unui coleg și rangurile. Cere-i să refacă valoarea și să controleze ambele treceri vecine.
2. Aceleași date, alte unități. Imaginează trei mase consecutive într-un model geometric. Scrie o copie a tabelului în grame și alta în miligrame. Compară rațiile calculate și explică simplificarea factorului de conversie.
3. Fișa unei proceduri. Descrie pe hârtie un protocol numeric cu un factor fix și exact patru etape. Separă propoziția care dă regula de tabelul valorilor produse. Nu este necesar un experiment cu substanțe.

Pentru părinți și profesori

Urmăriți dacă elevul identifică perechile consecutive și justifică sensul raportului. O rezolvare bună explică de ce datele admit împărțirea, ce unitate folosesc și ce anume confirmă verificarea. Semnele negative se exersează în contexte numerice, iar mărimile fizice pozitive își păstrează domeniul firesc.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, progresiile sunt în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă include explicit progresiile geometrice. Modelul oficial pentru 2026 nu are o cerință dedicată lor; nu atribuim temei o poziție obligatorie în fiecare subiect.

Pentru verificare ulterioară folosiți testul progresiilor pentru M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: progresia geometrică și rația oferă un alt traseu al temei; nu este necesară pentru parcurgerea lecției de față.

Întrebări frecvente

Ce informație lipsește dacă un tabel nu arată rangurile?

Nu știm dacă valorile alăturate corespund unor etape consecutive. Raportul lor poate cumula mai multe multiplicări. Înainte să îl identifici cu rația, caută intervalul dintre observații. Dacă enunțul nu precizează acest interval, formulează ce se poate stabili din date și nu presupune automat că lipsește o singură etapă.

O schimbare de unitate modifică rația calculată?

Dacă transformi toate valorile cu același factor de conversie nenul, rația rămâne aceeași, deoarece factorul se simplifică în raport. Problema apare când numai unele valori sunt convertite. De aceea verifici antetul și unitățile fiecărei coloane înainte de calcul, mai ales la mase, volume și concentrații.

De ce un tabel aproape geometric nu primește automat acest nume?

Pentru valori declarate exacte, definiția cere rapoarte exact egale. O diferență mică rămâne o diferență. Dacă datele sunt măsurări aproximative, trebuie cunoscute precizia și criteriul modelării. Lecția nu stabilește singură o toleranță experimentală și nu înlocuiește o observație doar fiindcă alta ar face calculele mai comode.

Cum știu dacă un termen fracționar are sens în aplicație?

Privește mărimea reprezentată. O lungime sau o concentrație poate avea o valoare fracționară, în timp ce un număr efectiv de obiecte se exprimă printr-un întreg. Formula numerică trebuie interpretată în domeniul problemei. Dacă rezultatul nu respectă acel domeniu, revizuiește ipoteza modelului sau semnificația termenului, nu îl rotunji fără explicație.

Cum este delimitată lecția M2 față de varianta M1?

Păstrăm definiția, condițiile de nenulitate, calculul rației și continuările scurte. Exersăm suplimentar lectura rangurilor, unitățile și statutul unui model finit. Nu dezvoltăm aici caracterizări algebrice prin trei termeni, sisteme cu parametri sau demonstrația clasificării șirurilor care sunt simultan aritmetice și geometrice. Formula termenului general urmează separat.

Ce rol are tema în pregătirea subiectelor de bacalaureat M2?

Programa de examen include progresiile geometrice, astfel că recunoașterea rației susține calculul termenilor și al sumelor. Exercițiile scurte ale lecției antrenează aceste operații, fără să fie subiecte oficiale. Modelul pentru anul 2026 nu cere explicit o progresie geometrică; prezența temei în programă nu garantează apariția sa în fiecare variantă.