Termenul general al progresiei geometrice (M2, științe ale naturii)

Între prima și a șasea observație există cinci treceri, dacă observațiile sunt consecutive. Această numărare explică exponentul din formula progresiei geometrice. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), formula permite calculul direct al unei valori și verificarea unui model finit. Ea este inclusă în programa pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și în „Algebră” la MAT_P2 din 2030.

Pornim de la definiția progresiei geometrice și a rației. Vom folosi puterile cu exponent întreg din clasa a VII-a, dar calculele principale au exponenți naturali. În aplicații, separăm rangul din șir de numărul operațiilor efectuate după momentul inițial.

Ce vei învăța

• Vei ști să obții formula directă prin numărarea multiplicărilor necesare.
• Vei ști să verifici formula la primul rang înainte de a calcula un termen îndepărtat.
• Vei ști să pornești de la un termen cunoscut care nu este primul.
• Vei ști să testezi dacă o valoare apare la un rang natural admis.
• Vei ști să păstrezi toate rațiile compatibile cu datele, atunci când semnul nu este impus.
• Vei ști să scrii domeniul și semnificația indicilor într-un model cu un număr finit de etape.

Hai să descoperim împreună

1. Ce reprezintă formula termenului general?

Termenul general al progresiei geometrice este formula care asociază fiecărui rang valoarea corespunzătoare, pornind de la primul termen și de la rație. Pentru $b_1\ne 0$, $q\ne 0$ și un rang natural $n\ge 1$, avem $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. Ea descrie o valoare individuală a șirului, nu totalul mai multor valori.

Definiția progresiei spune că fiecare trecere multiplică valoarea precedentă cu același factor. De la primul la al doilea termen efectuăm o multiplicare; pentru următorul adăugăm încă una. Primul termen este deja cunoscut, astfel că nu are nevoie de o multiplicare ca să fie „obținut” din el însuși.

Tabelul nu este numai un ajutor de memorare. El arată ce numără exponentul: operațiile, nu observațiile. Diferența de o unitate între rang și exponent provine din faptul că valoarea de început se numără ca primul termen, deși încă nu s-a efectuat nicio trecere.

2. Cum justificăm formula pentru orice rang?

La rangul întâi, formula dă $b_1{q}^0=b_1$, deoarece rația este nenulă. Pentru trecerea următoare, înmulțirea cu rația mai adaugă un factor. Dacă la rangul $k$ avem $b_k=b_1{q}^{k-1}$, atunci definiția produce $b_{k+1}=b_{k}q=b_1{q}^k$. Am obținut formula pentru rangul următor.

Acesta este un argument prin inducție matematică: începutul este verificat, iar mecanismul funcționează de la orice rang la succesorul lui. Nu presupunem că un tipar văzut în câteva numere trebuie automat să continue; folosim relația de definiție a progresiei la fiecare pas.

Formula poate fi controlată și direct. Primul termen coincide cu valoarea dată, iar raportul a doi termeni consecutivi ai expresiei este rația cerută. Aceste două verificări au roluri diferite: raportul controlează regula de trecere, iar primul termen fixează de unde începe șirul.

Două formule pot avea același raport consecutiv și totuși să descrie șiruri diferite, dacă valorile de la primul rang diferă. De aceea simpla recunoaștere a unei puteri a rației nu este suficientă. Verificarea începutului nu poate fi înlocuită cu observația că expresia „arată ca o progresie”.

3. Cum organizăm calculul unui termen?

Separă cele trei date: primul termen, rația și rangul cerut. Calculează numărul trecerilor, apoi puterea rației, iar la sfârșit înmulțește cu primul termen. Ordinea scrierii păstrează vizibile atât indicele, cât și exponentul, care sunt ușor de confundat într-un calcul făcut dintr-o singură mișcare.

La o rație fracționară, ridicăm la putere atât numărătorul, cât și numitorul. Putem simplifica apoi cu primul termen. Calculul exact evită diferențele care apar dacă rotunjim rația înainte de a o folosi de mai multe ori. Aproximăm numai rezultatul final, dacă problema solicită explicit acest lucru.

La o rație negativă, paranteza cuprinde întreaga rație. Exponentul par produce o putere pozitivă, iar exponentul impar produce una negativă. Mai rămâne de luat în seamă semnul primului termen. Controlul final nu se reduce la semnul puterii: două numere negative înmulțite dau un rezultat pozitiv.

În cazul $q=1$, formula este în continuare valabilă și dă mereu primul termen. Nu există aici un numitor care să se anuleze. Tratarea separată a rației unu va fi necesară în formula sumei geometrice, unde apare o împărțire diferită.

4. Putem porni de la un rang intermediar?

Da. Dacă este cunoscut termenul $b_k$ și vrem termenul $b_n$, cu $n\ge k$, efectuăm exact $n-k$ treceri. Prin urmare $b_n=b_k{q}^{n-k}$. Diferența indicilor joacă același rol pe care îl avea diferența dintre rangul final și primul rang.

Nu este nevoie să recuperăm întotdeauna primul termen. Când problema cere un termen apropiat de cel cunoscut, calculul direct dintre aceste ranguri poate fi mai scurt. Alegerea reperului schimbă forma scrierii, dar trebuie să conducă la aceeași valoare a termenului cerut.

Dacă vrem să revenim de la un rang mai mare la unul mai mic, împărțim la puterea rației corespunzătoare numărului de treceri. Pentru $n>k$, relația se citește $b_k=b_n:q^{n-k}$. Această formă folosește un exponent natural și face vizibil sensul revenirii.

Într-un tabel incomplet, diferența rangurilor este indispensabilă. Un raport între două observații aflate la trei treceri distanță este puterea a treia a rației. Nu îl confundăm cu rația unei singure etape. Mai întâi citim indicii, apoi stabilim ce putere trebuie folosită.

5. Cum aflăm un rang sau verificăm apartenența?

Pentru a căuta un termen egal cu valoarea dată $T$, scriem ecuația $b_1{q}^{n-1}=T$. Necunoscuta este acum rangul. El trebuie să fie un număr natural cel puțin egal cu unu; în modelele finite trebuie să respecte și ultima etapă admisă.

În problemele elementare alegem valori care permit recunoașterea unor puteri mici sau calcularea unei liste scurte. Nu avem nevoie de logaritmi. Dacă valoarea căutată se află strict între doi termeni consecutivi ai unei progresii pozitive strict crescătoare, nu este ea însăși un termen al acelei progresii.

O valoare obținută printr-o formulă la un indice neîntreg nu este un termen al șirului indexat natural. Formula algebrică și domeniul de indexare trebuie citite împreună. Nu rotunjim un rang ca să forțăm apartenența; termenul de la rangul rotunjit trebuie să fie exact cel cerut.

Există și situații în care aceeași valoare apare la mai multe ranguri. Pentru rația unu, toate valorile sunt egale. Pentru rația minus unu, valorile se repetă alternativ. În aceste cazuri răspunsul poate fi o întreagă familie de ranguri, iar un singur rang găsit nu încheie cerința „determină toate rangurile”.

6. Ce spun doi termeni despre rație?

Din doi termeni cunoscuți și rangurile lor rezultă o ecuație de forma $q^{n-k}=\frac{b_n}{b_k}$. Împărțirea este permisă, deoarece termenii progresiei sunt nenuli. Puterea obținută depinde de distanța dintre ranguri, nu de numărul valorilor care au fost scrise în enunț.

La un exponent par, o valoare pozitivă în membrul drept poate permite două rații reale opuse. Ridicarea la putere pară le ascunde semnul. Dacă membrul drept este negativ, nu există o rație reală care să aibă acea putere pară. Așadar nu aplicăm mecanic regula „exponent par, două răspunsuri”, indiferent de date.

La un exponent impar, semnul puterii este semnul bazei. Pentru puterile simple folosite aici putem identifica rația și o verificăm prin ridicare la putere. După ce am determinat-o, revenim la unul dintre termenii dați pentru a recupera primul termen, dacă acesta este cerut.

Dacă enunțul impune termeni pozitivi, rația trebuie să fie pozitivă. Această informație poate elimina o ramură matematic posibilă. O eliminăm dintr-un motiv prezent în problemă, nu fiindcă valorile negative par mai puțin familiare. Într-un exercițiu numeric fără restricții de semn păstrăm toate posibilitățile admise.

7. Cum legăm rangul de etapele unui model?

În multe aplicații, valoarea inițială este notată cu $V_0$. După $k$ transformări cu același factor avem $V_k=V_0{q}^k$. Exponentul este chiar numărul transformărilor, pentru că reperul are indicele zero. Această notație nu contrazice formula progresiei care începe la rangul unu.

Dacă alegem în schimb $b_1=V_0$, atunci $b_{k+1}=V_k$. Același moment primește indici diferiți în cele două convenții. Scrie o propoziție despre primul termen înainte de substituire: reprezintă începutul sau valoarea de după prima operație? De răspuns depinde numărul factorilor din calcul.

Într-un model fizic folosim valori inițiale pozitive, un factor pozitiv și un interval declarat de etape. Numărul etapelor nu primește unitatea mărimii măsurate. Dacă termenii sunt în milimetri, produsul dintre valoarea inițială și puterea factorului rămâne exprimat în milimetri.

Formula poate fi evaluată și dincolo de ultima etapă, ca expresie numerică. Rezultatul astfel calculat nu este însă o predicție justificată de un model limitat la câteva operații. O soluție completă menționează domeniul, mai ales dacă se cere o valoare la marginea sau în afara intervalului autorizat.

8. Ce verificăm după obținerea răspunsului?

Controlează întâi rangul și numărul trecerilor. Verifică apoi semnul prin alternanță, dacă rația este negativă, și unitatea în problemele aplicate. Pentru un termen apropiat, un calcul succesiv independent oferă un control bun al puterii folosite.

La problemele inverse, substituie rezultatul în toate datele inițiale. Un candidat pentru rație poate reproduce unul dintre termeni fără să îl reproducă pe celălalt dacă ai greșit primul termen. La aflarea rangului, verificarea trebuie să redea exact valoarea țintă și să confirme că rangul aparține domeniului.

Nu confunda un rezultat numeric cu răspunsul cerut. Dacă întrebarea solicită rangul, scrie indicele; dacă solicită termenul, scrie valoarea. Când sunt cerute ambele, o pereche explicită rang–valoare păstrează legătura dintre calcul și întrebare și face soluția ușor de urmărit.

Este util să păstrezi în soluție și o estimare de sens, separată de calculul exact. Pentru un prim termen pozitiv și o rație pozitivă subunitară, un termen ulterior trebuie să fie mai mic decât reperul. Dacă rezultatul este mai mare, ai probabil inversat factorul sau direcția deplasării. Estimarea poate detecta o eroare, însă nu dovedește singură valoarea găsită: multe numere au mărimea potrivită, iar formula selectează unul precis.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calcul direct la un rang dat

Într-o progresie geometrică avem $b_1=13$ și $q=3$. Calculează termenul $b_7$.

De la rangul unu la rangul șapte sunt șase treceri. Aplicăm formula: $b_7=13\cdot 3^6=13\cdot 729=9477$. Numărul trecerilor a stabilit exponentul înainte de calcularea puterii.

Un control al scrierii se face la rangul întâi, unde puterea trebuie să fie zero și valoarea trebuie să rămână treisprezece. Termenul cerut este o valoare individuală; nu am adunat valorile de la rangurile anterioare. Această distincție va conta când vom folosi formula sumei.

Exemplul 2. Două semne care trebuie urmărite

Se dau $b_1=-6$ și $q=-\frac{1}{2}$. Determină $b_6$ și verifică semnul rezultatului.

Exponentul este cinci, deci $b_6=(-6)\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^5=(-6)\cdot \left(-\frac{1}{32}\right)=\frac{3}{16}$. Puterea rației este negativă, dar și primul termen este negativ, astfel că rezultatul este pozitiv.

Controlul prin alternanță pornește de la semnul minus la rangul unu. Rangurile pare au atunci semn pozitiv, în acord cu rezultatul. Modulele scad la fiecare trecere, astfel că obținerea unei fracții pozitive mici este compatibilă cu regula, fără să fie ea însăși o demonstrație a valorii exacte.

Exemplul 3. Corectarea unei formule propuse

Pentru progresia cu primul termen $15$ și rația $2$, un elev propune formula $c_n=15\cdot 2^n$, cu $n\ge 1$. Decide dacă este formula cerută și calculează termenul de rang patru al progresiei din enunț.

La primul rang, formula propusă produce $15\cdot 2=30$, deci nu respectă valoarea inițială. Raportul consecutiv ar fi corect, dar începutul este deplasat. Formula potrivită este $b_n=15\cdot 2^{n-1}$.

Rezultă $b_4=15\cdot 2^3=120$. Verificarea arată de ce trebuie controlate două lucruri: atât regula de trecere, cât și primul termen. O expresie poate descrie o progresie geometrică fără să descrie progresia cerută.

Exemplul 4. Un reper aflat în interiorul șirului

Într-o progresie geometrică, $b_4=27$ și $q=\frac{4}{3}$. Determină $b_7$ fără să calculezi primul termen.

Între rangurile patru și șapte sunt trei treceri, astfel că $b_7=27\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^3=27\cdot \frac{64}{27}=64$. Formula folosește direct termenul cunoscut drept reper.

Controlul succesiv dă valorile $27,36,48,64$ la rangurile patru, cinci, șase și șapte. Nu am redenumit termenul cunoscut „primul termen” al progresiei originale. El este doar începutul porțiunii folosite în calcul, iar indicii săi rămân aceiași.

Exemplul 5. Etape numărate de la zero

Un model didactic atribuie unui semnal intensitatea inițială de $640$ de unități. Fiecare dintre patru filtre păstrează exact $\frac{3}{4}$ din intensitatea incidentă. Calculează intensitatea după al patrulea filtru și precizează domeniul modelului.

Notăm cu $I_k$ intensitatea după $k$ filtre. Ipoteza produce $I_k=640\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^k$ pentru $k\in \{0,1,2,3,4\}$. Avem $I_4=640\cdot \frac{81}{256}=\frac{405}{2}=202,5$ unități.

Dacă am nota valoarea inițială cu $b_1$, rezultatul ar fi $b_5$. Sunt patru multiplicări și cinci observații, incluzând începutul. Modelul se referă numai la filtrele idealizate descrise; nu stabilește o lege pentru orice filtru real sau pentru un al cincilea filtru nespecificat.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-o progresie geometrică se dau $b_2=-20$ și $b_5=160$. Determină rația, primul termen și $b_6$. Exercițiul este un antrenament propriu pentru folosirea formulelor din programa de examen.

Distanța dintre ranguri este trei, deci $q^3=\frac{160}{-20}=-8$. Singura rație reală este $q=-2$. Revenind un pas, obținem $b_1=(-20):(-2)=10$.

Următorul termen după cel de rang cinci este $b_6=160\cdot (-2)=-320$. Pentru control, formula reproduce al cincilea termen: $10\cdot (-2{)}^4=160$. Semnul rației a fost stabilit de puterea impară, fără o presupunere despre pozitivitatea termenilor.

Să exersăm

Scrie formula cu indicii înainte de înlocuire. La căutarea unui rang, verifică atât egalitatea, cât și domeniul. Exercițiile marcate pentru examen sunt antrenamente proprii, nu reproduceri ale modelului oficial.

1. Într-o progresie geometrică, $b_1=25$ și $q=2$. Determină $b_6$, explicând de ce exponentul folosit este numărul corect de treceri.

2. Pentru $b_1=243$ și $q=\frac{2}{3}$, calculează $b_5$. Păstrează calculul exact până la simplificarea fracției rezultate.

3. Se dau $b_1=-4$ și $q=-3$. Determină $b_5$ și explică semnul rezultatului prin semnul primului termen și paritatea exponentului.

4. O progresie geometrică are $b_1=29$ și $q=1$. Calculează $b_{37}$ și spune dacă formula termenului general necesită vreo împărțire la zero.

5. Pentru primul termen $8$ și rația $\frac{1}{3}$, cineva scrie $b_n=8\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$, cu $n\ge 1$. Verifică primul rang și corectează formula.

6. Într-o progresie geometrică se cunosc $b_3=42$ și $q=-2$. Determină direct $b_6$, fără recuperarea primilor doi termeni.

7. Se dau $b_5=-96$ și $q=2$. Recuperează $b_2$ și verifică rezultatul prin cele trei treceri către rangul cinci.

8. Pentru $b_1=9$ și $q=4$, determină rangul termenului egal cu $2304$. Explică separat exponentul recunoscut și rangul obținut.

9. Progresia are $b_1=625$ și $q=\frac{1}{5}$. La ce rang apare valoarea $1$? Justifică prin puteri sau printr-o listă completă până la acel rang.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) În progresia geometrică cu $b_1=11$ și $q=3$ apare valoarea $200$. Motivează folosind doi termeni consecutivi care încadrează valoarea.

11. O progresie geometrică are $b_1=28$ și $b_3=175$, fără restricție de semn. Determină toate rațiile posibile și valorile corespunzătoare lui $b_2$.

12. Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, $b_2=14$ și $b_4=126$. Află rația și primul termen, explicând unde folosești ipoteza de pozitivitate.

13. (Problemă aplicată.) Un model numeric pornește de la o lungime $L_0=240$ mm și păstrează la fiecare etapă $\frac{3}{5}$ din precedenta, pentru $k\in \{0,1,2,3,4\}$. Calculează $L_3$ și spune dacă modelul justifică o concluzie despre $L_8$.

14. Șirul este definit prin $b_n=19\cdot 2^{n+1}$, pentru $n\ge 1$. Determină primul termen și rația, apoi rescrie formula folosind exponentul $n-1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O progresie geometrică are $b_1=23$ și $q=-2$. Calculează $b_5$ și scrie formula termenului general cu domeniul indicelui.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dau $b_3=52$ și $b_6=1404$ într-o progresie geometrică. Află rația și primul termen, apoi verifică termenul de rang trei.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $b_1=12$ și $q=\frac{1}{2}$, determină rangul termenului egal cu $\frac{3}{8}$. Nu confunda numărul înjumătățirilor cu rangul.

18. Progresia geometrică are $b_1=37$ și $q=-1$. Determină toate rangurile la care valoarea este $-37$. Explică de ce răspunsul nu este un singur număr.

Răspunsuri și explicații

1. $b_6=25\cdot 2^5=800$. Între primul și al șaselea rang există cinci treceri. Exponentul nu numără primul termen ca pe o operație deja efectuată.

2. $b_5=243\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=243\cdot \frac{16}{81}=48$. Simplificarea exactă evită introducerea unei aproximări zecimale a rației înainte de ridicarea la putere.

3. $b_5=(-4)\cdot (-3{)}^4=-324$. Puterea cu exponent par este pozitivă; înmulțirea cu primul termen negativ dă un rezultat negativ. Semnul puterii nu era singurul semn din calcul.

4. $b_{37}=29\cdot 1^{36}=29$. Formula rămâne definită. Cazul rației unu nu introduce nicio fracție în expresia termenului general, iar progresia este constantă.

5. Formula propusă dă la primul rang $8\cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{3}$, diferit de valoarea cerută. Corect este $b_n=8\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$, pentru ranguri naturale cel puțin egale cu unu.

6. Diferența rangurilor este trei, deci $b_6=42\cdot (-2{)}^3=-336$. Termenul cunoscut este reperul calculului; nu trebuie redenumit ca primul termen al șirului original.

7. $b_2=(-96):2^3=-12$. Multiplicările succesive duc de la $-12$ la $-24$, apoi la $-48$ și la $-96$. Controlul reproduce rangul și valoarea date.

8. $4^{n-1}=\frac{2304}{9}=256=4^4$, deci $n-1=4$ și $n=5$. Patru treceri pornind de la primul termen conduc la al cincilea termen.

9. Lista este $625,125,25,5,1$, astfel că rangul cerut este cinci. Echivalent, factorul ${\left(\frac{1}{5}\right)}^4$ anulează valoarea inițială $625=5^4$.

10. Fals. $b_3=11\cdot 3^2=99$ și $b_4=11\cdot 3^3=297$. Avem $99<200<297$, iar progresia pozitivă este strict crescătoare. Nu există un rang natural între trei și patru, deci valoarea nu apare.

11. $q^2=\frac{175}{28}=\frac{25}{4}$, deci $q=\frac{5}{2}$ sau $q=-\frac{5}{2}$. Termenii intermediari corespunzători sunt $70$ și $-70$. Ambele posibilități respectă datele și convenția de nenulitate.

12. $q^2=\frac{126}{14}=9$. Pozitivitatea termenilor impune $q=3$, astfel că $b_1=\frac{14}{3}$. Rația negativă ar produce termeni de semne alternante și ar încălca ipoteza enunțului.

13. $L_3=240\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{6480}{125}=51,84$ mm. Domeniul declarat se oprește la etapa patru. Expresia poate fi evaluată formal la opt, dar modelul dat nu autorizează acea extrapolare.

14. $b_1=19\cdot 2^2=76$, iar rația este $2$. Formula se rescrie $b_n=76\cdot 2^{n-1}$. Diferența de doi dintre exponenții inițiali și cei noi este compensată prin factorul patru inclus în primul termen.

15. $b_5=23\cdot (-2{)}^4=368$. Formula este $b_n=23\cdot (-2{)}^{n-1}$ pentru orice rang natural $n\ge 1$. Paranteza păstrează semnul rației în baza puterii.

16. $q^3=\frac{1404}{52}=27$, deci $q=3$. Rezultă $b_1=\frac{52}{9}$. Verificarea $\frac{52}{9}\cdot 3^2=52$ reproduce termenul de rang trei.

17. Împărțirea la primul termen dă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{32}={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$. Prin urmare rangul este șase. Cinci înjumătățiri se efectuează după valoarea de la primul rang.

18. Valoarea cerută apare la toate rangurile pare: $n=2k$, cu $k\ge 1$ natural. Formula $b_n=37\cdot (-1{)}^{n-1}$ este negativă exact când exponentul este impar. Repetarea alternativă exclude unicitatea rangului.

De reținut

• Formula directă numără trecerile de la primul termen: sunt $n-1$, deci $b_n=b_1{q}^{n-1}$, cu $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$.
• De la rangul $k$ la rangul $n$ sunt $n-k$ treceri, iar $b_n=b_k{q}^{n-k}$.
• Verifică începutul formulei, semnul rezultatului și domeniul indicelui.
• Într-un model notat de la zero, exponentul este numărul etapelor efectuate.
• Un rang căutat trebuie să fie natural și admis, iar uneori aceeași valoare corespunde mai multor ranguri.

Greșeli frecvente

• Folosirea distanței dintre coloane. Contează diferența rangurilor scrise, chiar dacă tabelul omite observații. Numără etapele, nu căsuțele disponibile.
• Confirmarea numai a rației. Două formule cu același raport pot avea începuturi diferite. Verifică și valoarea de la primul rang.
• Rotunjirea unui rang neadmis. Un indice apropiat de un întreg nu dovedește apartenența la șir. Egalitatea trebuie verificată la un rang natural exact.
• Presupunerea unui rang unic. Rațiile unu și minus unu produc valori repetate. Citește dacă se cer toate rangurile.
• Ignorarea ultimei etape. O formulă evaluabilă nu extinde singură domeniul unui model practic. Concluzia trebuie să rămână în intervalul declarat.

Aplică acasă

1. Două indexări. Construiește pe hârtie un model cu cinci operații identice. Notează începutul o dată cu indicele zero și o dată cu indicele unu. Leagă prin săgeți observațiile care reprezintă același moment.
2. Formula aproape corectă. Scrie o formulă care are rația dorită, dar un prim termen greșit. Cere unui coleg două controale independente: începutul și raportul consecutiv. Explicați de ce unul singur nu ajunge.
3. Reperul interior. Alege un prim termen și o rație rațională nenulă. Calculează un termen folosind direct începutul, apoi folosind drept reper un rang intermediar. Compară rezultatele exacte, fără rotunjiri.

Pentru părinți și profesori

Accentul cade pe semnificația exponentului și pe verificarea rezultatului în date. Este util ca elevul să arate pe o axă a rangurilor câte treceri efectuează, înainte să scrie puterea. Problemele inverse rămân la puteri ușor de recunoscut, fără metode de rezolvare care apar în clasele următoare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, termenul general al progresiei geometrice aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde formula este menționată explicit în conținuturile de examen. Modelul oficial pentru 2026 nu conține o cerință directă despre progresii; exemplele de aici sunt antrenamente proprii, construite pentru exersarea formulei și a interpretării indicilor.

Continuați cu testul de progresii M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: termenul general al progresiei geometrice poate servi drept comparație, fără ca parcurgerea ei să fie necesară traseului de aici.

Întrebări frecvente

De ce verificarea rației nu confirmă singură formula propusă?

Rația arată regula de trecere, dar nu stabilește de unde începe șirul. Mai multe progresii au aceeași rație și primii termeni diferiți. Înlocuiește primul rang în expresia propusă și compară rezultatul cu data inițială. Abia împreună, începutul corect și raportul corect identifică progresia cerută în problemă.

Cum folosesc un tabel care sare peste anumite ranguri?

Citește indicii celor două valori cunoscute și calculează diferența lor. Acea diferență numără multiplicările dintre observații. Raportul valorilor este puterea corespunzătoare a rației, nu neapărat rația însăși. Înainte de calcule, poți scrie pe caiet și rangurile lipsă, pentru a controla numărul trecerilor.

O valoare a progresiei poate avea mai multe ranguri?

Da. O progresie constantă repetă aceeași valoare la fiecare rang, iar rația minus unu produce două valori care alternează. Când se cer toate rangurile, descrie întreaga familie admisă. Într-un model finit păstrează numai indicii din domeniul precizat, chiar dacă formula numerică ar continua să repete valorile.

Pot folosi formula după ultima etapă a experimentului descris?

Poți calcula o valoare a expresiei, dar nu poți afirma că ea descrie experimentul fără ipoteze suplimentare. O procedură declarată pentru un număr finit de etape justifică numai acele etape. Distinge rezultatul algebric de interpretarea lui și menționează explicit limita domeniului atunci când întrebarea o depășește.

Ce diferențiază această tratare M2 de dezvoltările M1?

Folosim termenul general, un reper intermediar și probleme inverse elementare, cu atenție la domeniu și la datele fizice. Nu dezvoltăm sisteme neliniare cu sume și produse de termeni sau generalizări despre creșteri nelimitate. Exemplele de control al unei formule și de indexare a unui model finit susțin competențele profilului de științe.

La ce ajută formula în subiectele de bacalaureat M2?

Formula permite calculul unui termen din datele progresiei și leagă două ranguri cunoscute. Aceste operații sunt cuprinse în programa de examen și se potrivesc antrenamentului cu cerințe scurte. Modelul oficial din 2026 nu solicită explicit această formulă, astfel că exemplele lecției sunt propuneri de pregătire, fără promisiunea unei poziții fixe în subiect.