Termenul general al PA (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un tub de decantare, fiecare zi adaugă peste sediment un strat de aceeași grosime. Pentru grosimea atinsă după multe zile, adunările succesive devin greu de urmărit. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), formula termenului general al progresiei aritmetice numără aceste adaosuri într-un singur calcul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține formula termenului general în funcție de un termen dat și rație. Folosirea formulei începe cu o întrebare precisă: între ce ranguri ne deplasăm?

Reia, dacă este nevoie, definiția progresiei aritmetice și a rației. În această lecție presupunem că diferența constantă este deja garantată sau demonstrată. Vom calcula valori, vom reconstrui date și vom verifica dacă un rezultat poate fi rang. Formula nu decide singură dacă un model descrie realitatea; ea folosește regula și domeniul pe care enunțul le-a stabilit.

Ce vei învăța

Vei deduce formula termenului general numărând trecerile dintre două poziții.
Vei calcula un termen folosind primul termen sau orice alt termen cunoscut.
Vei afla rația din doi termeni situați la ranguri distincte, fără să confunzi rangul cu numărul de pași.
Vei verifica apartenența unei valori la progresie și vei trata separat cazul rației zero.
Vei adapta formula când numerotarea începe la zero sau când domeniul este finit.
Vei justifica primul rang care îndeplinește o inegalitate, controlând și rangul precedent.

Hai să descoperim împreună

1. De ce apare numărul de treceri?

Pornim cu o PA $(a_{n})_{n \geq 1}$ de rație $r$ . Termenul de rang doi se obține după o singură adunare a rației, cel de rang trei după două adunări, iar cel de rang patru după trei. Numărul scris în indice nu numără adunările efectuate de la primul termen.

Termen căutat	Trecerea de la primul termen	Valoare
$a_{1}$	Nicio trecere	$a_{1}$
$a_{2}$	O trecere	$a_{1} + r$
$a_{3}$	Două treceri	$a_{1} + 2 r$
$a_{n}$	$n - 1$ treceri	$a_{1} + (n - 1) r$

Termenul general este formula care exprimă valoarea de la orice rang admis. Obținem

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r, n \geq 1.$

Fiecare factor are un sens: $a_{1}$ este valoarea de la început, $n - 1$ numără trecerile, iar $r$ este modificarea produsă de o trecere. Produsul lor reprezintă schimbarea totală de la început până la rangul cerut.

Verificarea generală se poate face direct din regulă. Formula propusă dă valoarea corectă la rangul unu. Dacă ea este corectă la un rang $k$ , următorul termen este $a_{1} + (k - 1) r + r = a_{1} + k r$ , exact formula pentru $k + 1$ . Astfel, aceeași regulă este păstrată la toate rangurile. Acesta este un exemplu simplu al metodei inducției matematice la M2.

2. Cum folosim formula fără să pierdem semnele?

Scrie datele lângă rolul lor înainte de înlocuire. Dacă rația este negativă, păstreaz-o între paranteze la înmulțire. Dacă primul termen este fracționar, nu îl rotunji pentru a face calculul mai scurt: o rotunjire timpurie poate schimba verdictul unei cerințe de egalitate.

Testul de început este esențial. Pentru $n = 1$ , formula trebuie să întoarcă exact $a_{1}$ . Expresia $a_{1} + n r$ dă, în general, valoarea de după o trecere, deci nu descrie corect prima poziție. La $r = 0$ , cele două expresii coincid numeric, astfel încât acel caz particular nu poate demasca eroarea.

De exemplu, dacă $a_{1} = 9$ și $r = - 2$ , termenul de rang șapte se obține după șase scăderi: $a_{7} = 9 + 6 (- 2) = - 3$ . Valoarea negativă este admisă într-un șir numeric. Dacă termenul ar desemna un număr de obiecte disponibile, ar trebui verificat separat dacă rangul șapte mai aparține domeniului modelului.

Formula calculează un singur termen. Nu adună toate valorile până la acel rang. O expresie precum „la a șaptea etapă” și una precum „în primele șapte etape, în total” pot conduce la cerințe diferite. Sensul termenului trebuie păstrat pe tot parcursul rezolvării.

3. Putem porni de la un termen care nu este primul?

Da. Dacă știm $a_{m}$ , putem ajunge direct la $a_{n}$ , fără reconstruirea lui $a_{1}$ . Scădem formulele celor doi termeni:

$a_{n} - a_{m} = [a_{1} + (n - 1) r] - [a_{1} + (m - 1) r] = (n - m) r .$

Prin urmare,

$a_{n} = a_{m} + (n - m) r .$

Relația este valabilă pentru orice două ranguri admise. Dacă $n > m$ , înaintezi; dacă $n < m$ , te întorci. Diferența semnată $n - m$ gestionează ambele situații. Nu o înlocui automat cu o valoare absolută, deoarece ai pierde sensul deplasării.

Presupunând $a_{9} = 5$ și $r = 3$ , avem $a_{4} = 5 + (4 - 9) 3 = - 10$ . Cele cinci treceri înapoi scad de cinci ori rația. Verificarea înainte reface valoarea cunoscută: de la $- 10$ , cinci creșteri de trei duc la cinci.

Formula directă economisește calcule, dar alegerea ei nu este obligatorie. Poți afla mai întâi primul termen și apoi termenul cerut. Dacă folosești ambele metode pentru control, compară rezultatele și caută o eventuală eroare în numărul de intervale, nu doar în înmulțire.

4. Cum reconstruim rația și primul termen?

Când cunoaștem $a_{m}$ și $a_{n}$ la ranguri distincte, împărțim schimbarea valorii la numărul semnat de treceri:

$r = \frac{a _{n} - a _{m}}{n - m}, n \neq = m .$

Numitorul nenul este o condiție reală. Două informații despre același rang nu dau două poziții distincte: dacă valorile coincid, nu determină rația; dacă diferă, datele sunt incompatibile. Nu introducem o împărțire la zero în speranța că formula va alege un rezultat.

După aflarea rației, folosim $a_{1} = a_{m} - (m - 1) r$ . Verificăm apoi ambele valori inițiale. Una a fost folosită la reconstruire, cealaltă controlează dacă am numărat corect distanța dintre ranguri.

Doi termeni de valori egale la ranguri distincte impun $r = 0$ , într-o PA. Rezultă o progresie constantă. Acest lucru nu este valabil pentru orice șir: ipoteza de progresie aritmetică este cea care leagă toate trecerile și permite concluzia.

Când sunt date trei sau mai multe informații, primele două pot determina o PA candidată, iar restul trebuie verificate. Nu alegem două date convenabile și nu le ignorăm pe cele care nu se potrivesc. Validarea mai multor condiții este aprofundată în lecția despre recunoașterea modelului.

5. Ce înseamnă să aflăm rangul unei valori?

Dacă se cere rangul termenului egal cu un număr $v$ , scriem $a_{1} + (n - 1) r = v$ . Pentru $r \neq = 0$ , ecuația are o singură soluție reală. Aceasta este un rang al progresiei numai dacă este un întreg din domeniul indicilor.

Nu rotunjim soluția unei egalități. O valoare situată între doi termeni nu devine termen prin alegerea rangului apropiat. După obținerea candidatului, înlocuiește-l în formula inițială și verifică limitele domeniului. Într-o listă cu douăzeci de poziții, un rang natural mai mare decât douăzeci nu este admis.

Cazul $r = 0$ se discută separat, fără împărțire prin rație. Dacă $v = a_{1}$ , fiecare rang admis are acea valoare; dacă $v \neq = a_{1}$ , nu există niciun rang. Așadar, întrebarea „care este rangul?” nu are întotdeauna un răspuns unic.

De pildă, într-o listă constantă cu șase termeni egali cu opt, valoarea opt apare de șase ori, iar valoarea nouă nu apare. Numerotarea distinge pozițiile, chiar dacă valorile coincid. Verificarea domeniului privește indicii, nu numai numerele produse de formulă.

6. Ce se schimbă la începutul cu indice zero?

Unele probleme descriu o stare inițială, apoi un număr de operații. Este firesc să notăm starea inițială cu $b_{0}$ . După $k$ operații, fiecare schimbând valoarea cu $r$ , formula este $b_{k} = b_{0} + k r$ , pentru indicii admiși $k \geq 0$ .

Nu există două reguli incompatibile. Formula generală dintre ranguri spune $b_{k} = b_{m} + (k - m) r$ ; alegerea $m = 0$ produce forma cu $k r$ , iar alegerea $m = 1$ forma cu $(k - 1) r$ . Trebuie doar să nu amestecăm valoarea inițială dintr-o convenție cu indicele din cealaltă.

O listă poate începe și la un alt indice, dacă enunțul îl precizează. Pentru termeni etichetați $c_{4}, c_{5}, \dots$ , formula față de început este $c_{n} = c_{4} + (n - 4) r$ . Nu completăm automat rangurile anterioare: ele pot lipsi din domeniul problemei, chiar dacă formula algebrică ar permite o prelungire.

La interpretare, citește literal propoziția „după zero operații” sau „în prima etapă”. În primul caz nu a avut loc nicio modificare; în al doilea, valoarea poate fi deja rezultatul unei operații. Eticheta temporală este parte din date, nu un detaliu pe care îl alegem la final.

7. Cum justificăm primul rang care trece de un prag?

O cerință de tipul „primul termen strict mai mare decât” conduce la o inegalitate. Rezolvi condiția în indice și alegi cel mai mic întreg admis care o verifică. Dacă pragul este atins exact, termenul respectiv satisface „cel puțin”, dar nu satisface „strict mai mare”.

Sensul variației susține alegerea primului rang. La rație pozitivă, termenii cresc; după ce trec de prag, nu revin sub el. La rație negativă, pentru un prag inferior, urmărești descreșterea. Împărțirea unei inegalități printr-un număr negativ inversează sensul acesteia.

Verifică rangul candidat și vecinul anterior, dacă acesta aparține domeniului. Cele două valori arată unde se produce trecerea, iar monotonia explică de ce niciun rang mai mic nu a satisfăcut cerința. Verificarea a doi vecini fără cunoașterea evoluției nu ar fi o justificare pentru un șir arbitrar.

Uneori nu există un asemenea rang: progresia poate fi constantă de partea nepotrivită a pragului sau poate avea un domeniu prea scurt. Nu prelungi lista fără autorizarea enunțului. Răspunsul „nu apare în intervalul de etape dat” poate fi concluzia corectă a unui calcul bine făcut.

8. Cum recunoaștem aceeași formulă în altă scriere?

După desfacerea parantezelor, termenul general se poate scrie $a_{n} = r n + (a_{1} - r)$ . Coeficientul lui $n$ este rația, dar termenul liber nu este în general primul termen. Pentru a afla primul termen, înlocuiești indicele cu unu. Pentru o numerotare de la zero, termenul liber ar fi valoarea de la zero. Citirea formulei depinde deci și de domeniul indicilor.

Această distincție ajută când verifici o rezolvare care a simplificat expresia. De exemplu, cele două forme $a_{1} + (n - 1) r$ și $r n + a_{1} - r$ sunt identice, chiar dacă au aspect diferit. Compară prin desfacerea parantezelor sau prin gruparea termenilor; nu respinge o expresie doar fiindcă nu arată exact ca formula memorată.

Poți controla o formulă propusă folosind valoarea de început și diferența dintre doi termeni generali. Dacă ambele coincid cu datele PA, formula descrie aceeași progresie pe domeniul respectiv. O singură valoare verificată nu este suficientă: mai multe formule pot trece prin aceeași poziție și se pot despărți ulterior.

În problemele de reconstrucție contează și independența informațiilor. Dacă ți se dă primul termen și apoi din nou formula aceluiași prim termen, nu ai aflat ceva despre o trecere. Dacă, în schimb, ai două ranguri distincte, modificarea dintre ele determină rația. Numărul de propoziții din enunț nu este automat numărul de date independente.

Un răspuns verificat poate păstra forma care arată cel mai clar sensul. Pentru a calcula un termen, forma cu numărul de pași este comodă. Pentru o ecuație în indice, forma simplificată poate fi mai ușor de rezolvat. Cele două scrieri trebuie să conducă la aceeași valoare la fiecare indice admis.

Nu modifica domeniul în timpul simplificării. Două expresii algebrice identice, folosite pe domenii diferite, descriu liste diferite. Formula poate produce o valoare la un indice exterior, însă acea valoare nu devine automat parte din șirul cerut. La verificarea finală, scrie împreună expresia și indicii pentru care ai folosit-o; astfel, rezultatul rămâne legat de problema inițială.

În aceeași formulă, indicele este variabila care selectează termenul, iar primul termen și rația rămân fixe. Când reconstruiești progresia, aceste două constante sunt necunoscute la începutul rezolvării, dar nu se schimbă de la o poziție la alta. Dacă ai calculat câte o altă rație pentru fiecare termen, nu ai determinat o singură PA; ai schimbat regula pe parcurs.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un rang îndepărtat

O PA are $a_{1} = - 7$ și $r = 5$ . Calculează $a_{18}$ și verifică rezultatul pornind de la $a_{4}$ .

Rezolvare. Sunt șaptesprezece treceri de la primul termen: $a_{18} = - 7 + 17 \cdot 5 = 78$ . Pentru control, $a_{4} = - 7 + 3 \cdot 5 = 8$ . De la rangul patru la optsprezece sunt paisprezece treceri, deci $a_{18} = 8 + 14 \cdot 5 = 78$ .

Cele două căi pornesc din poziții diferite și ajung la aceeași valoare. Nu am adunat optsprezece termeni, ci am calculat valoarea unuia singur. Numărul de pași se schimbă odată cu punctul din care pornim.

Exemplul 2 — Rație negativă și date fracționare

Pentru o PA se cunosc $b_{1} = 23/2$ și $r = - 3/4$ . Calculează $b_{17}$ și primul rang la care termenul este negativ.

Rezolvare. $b_{17} = 23/2 + 16 (- 3/4) = 23/2 - 12 = - 1/2$ . Pentru negativitate cerem $46 - 3 (n - 1) < 0$ , după înmulțirea formulei cu patru. Obținem $3 n > 49$ , deci $n > 49/3$ .

Primul rang natural este șaptesprezece. Controlăm $b_{16} = 23/2 - 45/4 = 1/4 > 0$ , iar $b_{17} = - 1/2 < 0$ . Rația negativă garantează descreșterea, astfel încât rangurile anterioare nu pot conține deja un termen negativ.

Exemplul 3 — Reconstrucție din două ranguri

O PA are $c_{4} = 18$ și $c_{10} = - 6$ . Află rația, primul termen și $c_{15}$ .

Rezolvare. Schimbarea totală este $- 6 - 18 = - 24$ pe șase treceri, deci $r = - 4$ . Primul termen este $c_{1} = 18 - 3 (- 4) = 30$ . Direct de la rangul zece obținem $c_{15} = - 6 + 5 (- 4) = - 26$ .

Verificăm și formula pornită de la început: $c_{15} = 30 + 14 (- 4) = - 26$ . Datele inițiale sunt refăcute de $c_{4} = 30 - 12 = 18$ și $c_{10} = 30 - 36 = - 6$ . Numitorul pentru rație a fost șase, nu zece.

Exemplul 4 — Apartenență fără rotunjire

În PA cu $d_{1} = 11$ și $r = 6$ , verifică dacă valorile $83$ și $84$ apar printre termeni, pentru $n \geq 1$ .

Rezolvare. Pentru prima valoare, $11 + 6 (n - 1) = 83$ dă $n = 13$ . Înlocuirea confirmă: $11 + 72 = 83$ .

Pentru a doua, $6 (n - 1) = 73$ , deci $n = 79/6$ , care nu este întreg. Valoarea $84$ nu este termen al progresiei. Rotunjirea la treisprezece ar da tocmai valoarea $83$ , iar rangul paisprezece ar da $89$ ; niciunul nu rezolvă egalitatea cerută.

Exemplul 5 — Domeniul unei observații finite

Într-un tub de decantare, stratul de sediment are $12$ mm și crește cu $1, 5$ mm în fiecare zi. Observația durează cel mult opt zile. Scrie grosimea după $k$ zile și verifică dacă stratul poate ajunge la $27$ mm în timpul observației.

Rezolvare. Notăm grosimea cu $g_{k}$ , pentru $k \in {0, 1, \dots, 8}$ . Formula este $g_{k} = 12 + 1, 5 k$ , iar ultima grosime observată este $g_{8} = 24$ mm.

Ecuația $12 + 1, 5 k = 27$ dă $k = 10$ . Numărul este întreg, însă nu aparține domeniului observației. Grosimea de $27$ mm ar necesita zece zile; nu este atinsă în cele opt observate. Nu schimbăm domeniul numai pentru că ecuația are o soluție.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră PA $(u_{n})_{n \geq 1}$ cu $u_{6} = 17$ și $u_{14} = 81$ . Determină $u_{1}$ , calculează $u_{25}$ și află primul rang pentru care $u_{n} > 89$ .

Rezolvare. Rația este $(81 - 17) / (14 - 6) = 8$ , iar $u_{1} = 17 - 5 \cdot 8 = - 23$ . Astfel, $u_{n} = - 23 + 8 (n - 1) = 8 n - 31$ , deci $u_{25} = 169$ .

Pentru prag, $8 n - 31 > 89$ înseamnă $n > 15$ . Primul rang este $16$ : $u_{15} = 89$ nu depășește pragul, în timp ce $u_{16} = 97$ îl depășește. Progresia crescătoare justifică minimalitatea. Este un exercițiu de antrenament, fără atribuirea unui format obligatoriu subiectelor oficiale.

Să exersăm

La fiecare cerință, scrie întâi indicii admiși. Când cauți o valoare, numără trecerile; când cauți un rang, verifică atât caracterul întreg, cât și domeniul. Nu transforma o egalitate într-o aproximare și nu elimina cazul rației zero printr-o împărțire nepermisă.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O PA are $a_{1} = 8$ și $r = - 3$ . Calculează $a_{12}$ .

2. Pentru $b_{1} = - 5/2$ și $r = 3/4$ , calculează $b_{9}$ .

3. Într-o PA, $c_{8} = 22$ și $r = 5$ . Calculează $c_{3}$ direct, fără aflarea primului termen.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se cunosc $d_{5} = - 9$ și $d_{11} = 9$ într-o PA. Determină rația și $d_{1}$ .

5. În PA cu $e_{1} = 4$ și $r = 7$ , câți termeni sunt cuprinși între $50$ și $100$ ? Precizează primul și ultimul dintre ei.

6. O PA finită are indicii $1, \dots, 12$ , primul termen $2$ și rația $5$ . Valoarea $67$ apare în această listă?

7. Într-o PA, $f_{2} = - 9$ și $f_{12} = - 4$ . Află rația și verifică, fără să calculezi $f_{1}$ , dacă $f_{10} = - 5$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) În orice PA, $a_{12} - a_{5} = a_{9} - a_{2}$ .

9. În PA cu $g_{1} = - 22$ și $r = 4$ , află primul termen nenegativ și precizează rangul său.

10. În PA cu $h_{1} = 31$ și $r = - 5$ , află primul rang pentru care $h_{n} < 6$ . Verifică egalitatea de la rangul precedent, dacă apare.

11. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează uniform pe o axă: la pornire are coordonata $- 3$ m și avansează $0, 8$ m în fiecare secundă. Pentru $k = 0, \dots, 10$ secunde, scrie formula coordonatei și calculeaz-o după șapte secunde.

12. Termenii $v_{n}$ , cu $n \geq 4$ , formează o PA, $v_{4} = 20$ și $r = - 2$ . Scrie formula față de $v_{4}$ și calculează $v_{9}$ . Este $v_{1}$ definit prin enunț?

13. Într-o PA, $w_{2} = 12$ și $w_{11} = 30$ . Află $w_{20}$ fără să calculezi $w_{1}$ .

14. O PA are $z_{n} = 7 n - 12$ , $n \geq 1$ . Scrie-o în forma $z_{1} + (n - 1) r$ și verifică noua scriere la $n = 1$ și la $n = 2$ .

15. Șase repere, inclusiv cele două capete, trebuie așezate la distanțe egale pe un segment de $17, 5$ cm. Prima poziție este zero. Care sunt distanța dintre repere și poziția celui de-al patrulea?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o PA, $t_{2} = - 1$ și $t_{7} = 19$ . Determină $t_{1}$ , $t_{20}$ și rangul termenului egal cu $51$ .

17. (Problemă aplicată.) Un laborator pregătește o serie de $15$ soluții-etalon: prima are concentrația $2, 4$ mg/L, iar fiecare soluție următoare are cu $0, 3$ mg/L mai mult. Care este prima soluție cu concentrația peste $5$ mg/L? Face ea parte din serie?

18. (Provocare.) Într-o PA de rație nenulă se cunosc $a_{4} + a_{10} = 50$ și $a_{10} - a_{4} = 18$ . Află separat cei doi termeni, apoi rația și primul termen. Verifică ambele condiții inițiale.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{12} = 8 + 11 (- 3) = - 25$ . Sunt unsprezece treceri, fiecare negativă. Valoarea obținută este admisă pentru șirul numeric din enunț, care nu impune pozitivitatea termenilor.

2. $b_{9} = - 5/2 + 8 \cdot 3/4 = - 5/2 + 6 = 7/2$ . Am păstrat fracțiile exacte; opt este numărul de adunări ale rației, nu nouă.

3. $c_{3} = c_{8} + (3 - 8) 5 = 22 - 25 = - 3$ . Diferența rangurilor este negativă deoarece mergem înapoi. Controlul înainte adaugă din nou cele cinci rații.

4. $r = [9 - (- 9)] / (11 - 5) = 3$ , iar $d_{1} = - 9 - 4 \cdot 3 = - 21$ . Formula $d_{n} = - 21 + 3 (n - 1)$ reproduce ambele valori date, ceea ce verifică reconstrucția.

5. Condiția $50 \leq 4 + 7 (n - 1) \leq 100$ înseamnă $46/7 \leq n - 1 \leq 96/7$ , deci $n - 1 \in {7, \dots, 13}$ și $n \in {8, \dots, 14}$ . Sunt șapte termeni, de la $e_{8} = 53$ la $e_{14} = 95$ . Numărăm rangurile întregi admise, nu rotunjim valorile de la capete.

6. Formula ar da $2 + 5 (n - 1) = 67$ , deci $n = 14$ . Acest rang depășește limita doisprezece. Valoarea nu apare în lista cerută, chiar dacă ar apărea într-o prelungire infinită.

7. $r = [- 4 - (- 9)] / (12 - 2) = 1/2$ . De la rangul doi la zece sunt opt treceri: $f_{10} = - 9 + 8 \cdot 1/2 = - 5$ , deci valoarea este corectă. Control înainte: $- 5 + 2 \cdot 1/2 = - 4$ , adică exact $f_{12}$ .

8. Adevărat. Din formula dintre ranguri, $a_{12} - a_{5} = (12 - 5) r = 7 r$ și $a_{9} - a_{2} = (9 - 2) r = 7 r$ . Contează numai distanța dintre ranguri, nu rangurile înseși; egalitatea rămâne adevărată și pentru rația zero.

9. $- 22 + 4 (n - 1) \geq 0$ dă $n \geq 13/2$ . Primul rang întreg este șapte, cu $g_{7} = 2$ . Termenul anterior este $g_{6} = - 2$ , deci pragul nu fusese atins.

10. $31 - 5 (n - 1) < 6$ dă $n > 6$ . Primul rang este șapte, cu $h_{7} = 1$ . La rangul șase avem exact șase, valoare exclusă de inegalitatea strictă.

11. $q_{k} = - 3 + 0, 8 k$ m, pentru $k = 0, \dots, 10$ . După șapte secunde, $q_{7} = 2, 6$ m. Indicele zero reprezintă pornirea; folosirea lui $k - 1$ ar decala toate valorile cu o secundă.

12. $v_{n} = 20 - 2 (n - 4)$ , pentru $n \geq 4$ , deci $v_{9} = 10$ . Enunțul nu definește $v_{1}$ . Prelungirea formulei la acel indice ar construi un obiect suplimentar, care nu a fost cerut.

13. De la rangul doi la unsprezece sunt nouă treceri: $9 r = 30 - 12 = 18$ , deci $r = 2$ . Rangul douăzeci se află tot la nouă treceri după unsprezece: $w_{20} = 30 + 9 \cdot 2 = 48$ . Rangul unsprezece este la mijloc, iar $30$ este media valorilor $12$ și $48$ .

14. $z_{1} = 7 - 12 = - 5$ , iar coeficientul lui $n$ dă rația $r = 7$ . Forma cerută este $z_{n} = - 5 + 7 (n - 1)$ ; desfăcând, $- 5 + 7 n - 7 = 7 n - 12$ . La $n = 1$ ambele scrieri dau $- 5$ , iar la $n = 2$ ambele dau $2$ . Termenul liber $- 12$ nu este primul termen.

15. Șase repere determină cinci intervale, deci pasul este $17, 5/5 = 3, 5$ cm. Al patrulea reper se află după trei intervale, la $10, 5$ cm de început. Capetele sunt incluse în numărătoare.

16. $r = [19 - (- 1)] /5 = 4$ , iar $t_{1} = - 5$ . Rezultă $t_{20} = - 5 + 19 \cdot 4 = 71$ . Ecuația $- 5 + 4 (n - 1) = 51$ dă $n = 15$ , iar înlocuirea confirmă valoarea cerută.

17. Concentrația soluției $n$ este $s_{n} = 2, 4 + 0, 3 (n - 1)$ mg/L, pentru $1 \leq n \leq 15$ . Condiția $s_{n} > 5$ dă $n > 29/3$ , deci prima este soluția a zecea: $s_{9} = 4, 8$ mg/L, $s_{10} = 5, 1$ mg/L. Rangul zece face parte din serie.

18. Adunând condițiile, $2 a_{10} = 68$ , deci $a_{10} = 34$ și $a_{4} = 16$ . Cele șase treceri dau $r = 3$ , apoi $a_{1} = 7$ . Control: $16 + 34 = 50$ și $34 - 16 = 18$ , exact condițiile inițiale.

De reținut

Formula $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ numără trecerile pornind de la rangul unu. Punctul de pornire nu reprezintă o deplasare.
Formula $a_{n} = a_{m} + (n - m) r$ permite pornirea de la orice rang cunoscut. Diferența rangurilor păstrează sensul deplasării și nu se înlocuiește automat cu valoarea sa absolută.
Din doi termeni situați la ranguri distincte afli rația, apoi reconstruiești un termen de referință. Verifică datele inițiale prin înlocuire.
La o valoare cerută exact, rangul trebuie să fie întreg și admis. Rația zero permite toate rangurile sau niciun rang, în funcție de valoarea căutată.
Pentru un prag, scrii inegalitatea exactă și verifici momentul trecerii. Pentru un total, continuă cu suma primilor termeni ai PA la M2; formula termenului singur nu totalizează lista.

Greșeli frecvente

Formula confirmată printr-o singură valoare. Mai multe formule pot reda același termen cunoscut. Verifică și diferența generală, apoi toate datele impuse; o singură coincidență nu identifică progresia cerută.
Pierderea semnului la mersul înapoi. Folosește diferența $n - m$ în ordinea țintă minus plecare, exact ca în formulă.
Împărțirea prin rația zero. Separă progresia constantă înainte de a rezolva ecuația pentru indice.
Un termen negativ respins ca imposibil. Indicii naturali nu obligă valorile termenilor să fie pozitive. Într-o progresie abstractă, păstrează rezultatul negativ verificat; o restricție fizică trebuie să provină din enunț.
Ignorarea domeniului finit. Un rang întreg poate fi prea mare sau anterior începutului permis. Domeniul se verifică după calcul, nu se uită.

Aplică acasă

Pe o bandă de hârtie, marchează șapte poziții egale între două capete alese, incluzând capetele. Scrie coordonatele pozițiilor dacă primul capăt are coordonata zero. Ascunde apoi două valori și reconstruiește-le pornind de la o poziție intermediară, fără să refaci întreaga listă.
Redactează două întrebări pentru aceeași PA: una care cere o valoare exactă și una care cere primul termen care depășește un prag. Alege pragul astfel încât un termen să îl atingă exact. Compară răspunsurile la „cel puțin” și „strict mai mult”, justificând diferența prin termenii vecini.
Primește de la un coleg două formule pentru același șir. Verifică-le prin valoarea de început și diferența generală, apoi compară domeniile declarate. Explică dacă formulele descriu aceeași listă sau doar aceeași expresie algebrică.

Pentru părinți și profesori

Obiectivul este controlul indicelui, nu memorarea unor formule separate pentru fiecare context. Elevul care poate explica diferența rangurilor folosește aceeași relație pentru calcul înainte, calcul înapoi și început cu indice zero. Cereți-i să precizeze ce reprezintă termenul înainte de a substitui valorile.

Două verificări sunt complementare: refacerea datelor și controlul domeniului. Prima descoperă erori algebrice; a doua descoperă răspunsuri care nu aparțin problemei. La progresii constante, tratarea tuturor rangurilor posibile previne afirmația greșită că orice valoare căutată are un rang unic. Calculele pot fi sprijinite prin ecuații cu numere raționale, dacă elevul are nevoie de recapitulare.

Programa și examenul. Determinarea termenului general este conținut explicit al unității IX.4 din programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Pentru elevii care încep liceul în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cere formula termenului general în funcție de un termen dat și rație. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre progresii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: termenul general al progresiei aritmetice are adresă și parcurs separate.

Întrebări frecvente

Pot calcula direct un termen anterior celui cunoscut? Da, dacă rangul anterior aparține domeniului. Folosește diferența țintă minus plecare în formula dintre ranguri. Semnul negativ rezultat descrie întoarcerea și nu trebuie eliminat. La final, refă deplasarea înainte pentru a controla numărul de pași și semnul rației. Nu calcula un rang exclus prin enunț.

Doi termeni egali determină o rație? Într-o PA, da, dacă rangurile lor sunt distincte: rația este zero. Dacă informațiile se referă la același rang, ele nu oferă o distanță între poziții și nu determină singure rația. Dacă valorile raportate la același rang sunt diferite, datele sunt incompatibile, indiferent de rația pe care ai încerca să o alegi.

De ce nu păstrez orice soluție întreagă a ecuației pentru rang? Fiindcă domeniul poate începe mai târziu sau se poate termina după un număr finit de etape. Soluția trebuie să fie atât întreagă, cât și inclusă în domeniul din enunț. Înlocuiește candidatul în relația inițială, apoi compară-l cu începutul și sfârșitul listei. Ambele verificări sunt necesare pentru răspuns.

Când folosesc o formulă cu indicele înmulțit direct cu rația? Când valoarea de referință are indice zero. Pentru un început la alt indice, scazi acel indice din țintă. Verificarea formulei la începutul declarat este cel mai simplu control. Scrie și ce înseamnă indicele: număr de operații încheiate sau poziție în listă. Această precizare previne decalarea răspunsului.

Prin ce este orientată această lecție către M2, față de M1? Formula comună este explicată prin numărul de pași, iar exercițiile insistă pe ranguri admise, date insuficiente și interpretarea etapelor. Nu presupune studiul unor proprietăți avansate ale șirurilor și poate fi parcursă independent. Cazurile constante și domeniile finite sunt discutate explicit, astfel încât aceeași formulă să nu producă răspunsuri neadmise în context.

Ce rol are termenul general la bacalaureatul M2? El permite aflarea termenilor și a rației și pregătește calculul sumelor. Programa cere aceste conținuturi, fără să fixeze prin aceasta poziția fiecărui exercițiu într-un subiect. Verifică aplicarea prin testul M2 de progresii. La fiecare rezultat, notează numărul de treceri pe care l-ai folosit.