De ce rădăcina din a la pătrat dă modulul?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Formula √(a²) = |a|

Fiindcă ridicarea la pătrat șterge semnul, iar radicalul întoarce mereu o valoare pozitivă sau zero. Astfel $(- 5)^{2} = 25 = 5$ , nu $- 5$ . Formula corectă este așadar $a^{2} = ∣ a ∣$ : când $a$ este pozitiv, rezultatul e chiar $a$ ; când e negativ, rezultatul e opusul lui. Regula merge și cu litere, deci fără să știi semnul scrii $(x - 5)^{2} = ∣ x - 5∣$ .

Rădăcina pătrată dă mereu un rezultat pozitiv sau zero — nu poate ieși niciodată negativă. De aceea, când calculezi $a^{2}$ , nu obții mereu înapoi numărul $a$ de la care ai plecat, ci modulul lui: $a^{2} = ∣ a ∣$ .

De ce? Pentru că pătratul șterge semnul minus ( $(- a)^{2} = a^{2}$ ), iar rădăcina alege mereu varianta pozitivă. Dacă $a \geq 0$ , atunci $a^{2} = a$ , pentru că $∣ a ∣ = a$ . Dar dacă $a < 0$ , atunci $a^{2} = - a$ (adică opusul pozitiv al lui $a$ ).

Exemplu minimal: $(- 5)^{2} = 25 = 5$ , nu $- 5$ . Corect scris: $(- 5)^{2} = ∣ - 5∣ = 5$ .

Aceeași idee funcționează și cu litere: dacă nu știi semnul lui $x - 5$ , scrii direct $(x - 5)^{2} = ∣ x - 5∣$ , fără să presupui vreun semn.

De reținut

$a^{2} = ∣ a ∣$ , pentru orice număr real $a$
$∣ a ∣ = a$ dacă $a \geq 0$ , iar $∣ a ∣ = - a$ dacă $a < 0$
rezultatul unui radical nu este niciodată negativ

Greșeala tipică

Se scrie $a^{2} = a$ și pentru numere negative, deci $(- 3)^{2}$ ar da $- 3$ . Rezultatul corect este $3$ , adică modulul.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $(- 14)^{2}$ ?
- a) $196$
- b) $- 14$
- c) $14$
- d) $- 196$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $14$

$(- 14)^{2} = 196$ , apoi $196 = 14$ . Sau, direct cu formula: $(- 14)^{2} = ∣ - 14∣ = 14$ . Rezultatul e mereu pozitiv, chiar dacă am pornit de la un număr negativ.
Dacă $x = - 2$ , cât este $(x - 6)^{2}$ ?
- a) $- 8$
- b) $8$
- c) $4$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

Fiindcă nu știm semnul lui $x - 6$ , scriem $(x - 6)^{2} = ∣ x - 6∣$ . Pentru $x = - 2$ : $∣ x - 6∣ = ∣ - 2 - 6∣ = ∣ - 8∣ = 8$ . Modulul transformă rezultatul negativ din interior într-un rezultat pozitiv.
Cât este $(- 21)^{2}$ ?
- a) $441$
- b) $- 21$
- c) $21$
- d) $- 441$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $21$

$(- 21)^{2} = 441$ , apoi $441 = 21$ . Sau, direct cu formula: $(- 21)^{2} = ∣ - 21∣ = 21$ . Rezultatul este mereu pozitiv.

Întrebări conexe

Cât face modulul unui număr negativ?

Iese opusul lui, adică un număr pozitiv. Ai $∣ - 7∣ = 7$ și $∣ - 0, 5∣ = 0, 5$ . Modulul unui număr pozitiv rămâne numărul însuși, iar modulul lui zero este zero. Pe scurt, modulul șterge semnul minus și nu întoarce niciodată o valoare negativă.

Cum scap de modul dacă știu că expresia e pozitivă?

Scrii direct expresia, fără bare. Dacă enunțul spune că $x > 5$ , atunci $x - 5$ este pozitiv, deci $(x - 5)^{2} = x - 5$ . Dacă însă $x < 5$ , expresia dinăuntru e negativă, iar rezultatul devine $5 - x$ . Condiția din enunț hotărăște ce formă scrii.

Cum rezolv ecuația cu modulul lui x egal cu 7?

Ai două răspunsuri, $x = 7$ și $x = - 7$ , fiindcă amândouă se află la aceeași depărtare de zero. Dacă în dreapta ar sta un număr negativ, ecuația nu ar avea nicio soluție, întrucât modulul nu coboară sub zero. Iar la zero rămâne o singură valoare.

Ce distanță arată modulul pe axa numerelor?

Arată depărtarea de origine, măsurată fără să conteze direcția. Punctele care corespund lui $- 4$ și lui $4$ stau amândouă la patru unități de zero. De aceea modulul iese mereu pozitiv: o distanță nu poate fi mai mică decât nimic.

Cum calculez radical din x la pătrat minus 6x plus 9?

Recunoști sub radical un pătrat perfect de binom: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Prin urmare rezultatul este $∣ x - 3∣$ , nu $x - 3$ . Dacă enunțul îți spune ce valori poate lua $x$ , alegi forma potrivită, altfel lași barele de modul.

Unde apare modulul în exercițiile cu radicali?

Apare ori de câte ori sub radical stă un pătrat cu semn necunoscut, mai ales la expresii cu litere. Mai apare la scoaterea factorilor de sub radical, când factorul scos ar putea fi negativ. La numere concrete, calculezi direct și modulul nu mai e nevoie să fie scris.

Oamenii mai întreabă și: radical din a la pătrat egal modul · de ce apare modulul la radical · cât face radical din minus 5 la pătrat · modulul unui număr real · rădăcina pătrată nu e negativă