Cum ridic la putere o fracție algebrică?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Puterea unei fracții algebrice

Ridici separat partea de sus și partea de jos la acel exponent, păstrând condiția ca numitorul să nu fie zero. Regula vine din definiția puterii: fracția se înmulțește cu ea însăși de atâtea ori, iar la înmulțirea fracțiilor se lucrează separat sus și jos. Din $(\frac{2 x}{3})^{2}$ obții $\frac{4 x ^{2}}{9}$ , deci și coeficientul se ridică, nu doar litera. Dacă poți simplifica înainte, calculul iese mult mai scurt.

Ca să ridici o fracție algebrică la o putere naturală, ridici separat numărătorul și numitorul:

$(\frac{A}{B})^{n} = \frac{A ^{n}}{B ^{n}}, B \neq = 0.$

Regula vine direct din definiția puterii: $(\frac{A}{B})^{n}$ înseamnă $\frac{A}{B}$ înmulțit cu el însuși de $n$ ori, iar la înmulțirea fracțiilor se înmulțesc separat numărătorii și separat numitorii.

Exemplu: $(\frac{2 x}{3})^{2} = \frac{( 2 x ) ^{2}}{3 ^{2}} = \frac{4 x ^{2}}{9}$ — observă că și coeficientul $2$ se ridică la pătrat, nu doar litera $x$ .

Dacă baza e negativă, contează paritatea exponentului: par → rezultat pozitiv, impar → semnul minus rămâne. Iar dacă poți, simplifică fracția din interior înainte de a ridica la putere — economisești mult calcul. Condiția de existență se ia mereu din numitorul inițial.

De reținut

$(\frac{A}{B})^{n} = \frac{A ^{n}}{B ^{n}}$ , cu $B \neq = 0$
coeficientul numeric se ridică și el la putere
exponent par → rezultat pozitiv sau nul; exponent impar → semnul se păstrează

Greșeala tipică

Se ridică la putere doar numărătorul, iar numitorul rămâne neschimbat. Exponentul se aplică întregii fracții, deci și părții de jos, altfel valoarea obținută este cu totul alta.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $(\frac{4 x}{3 y})^{2}$ , pentru $y \neq = 0$ .
- a) $\frac{16 x ^{2}}{9 y ^{2}}$
- b) $\frac{8 x ^{2}}{6 y ^{2}}$
- c) $\frac{16 x}{9 y}$
- d) $\frac{4 x ^{2}}{3 y ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{16 x ^{2}}{9 y ^{2}}$

Se ridică la pătrat atât numărătorul, cât și numitorul, coeficient inclus: $(4 x)^{2} = 16 x^{2}$ și $(3 y)^{2} = 9 y^{2}$ , deci rezultatul este $\frac{16 x ^{2}}{9 y ^{2}}$ .
Calculează $(\frac{- 2 a}{5})^{3}$ .
- a) $\frac{8 a ^{3}}{125}$
- b) $- \frac{8 a ^{3}}{125}$
- c) $- \frac{6 a ^{3}}{15}$
- d) $\frac{- 2 a ^{3}}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{8 a ^{3}}{125}$

Exponentul $3$ este impar, deci semnul minus se păstrează: $(- 2)^{3} = - 8$ și $5^{3} = 125$ , adică rezultatul este $- \frac{8 a ^{3}}{125}$ .
Calculează $(\frac{5 m}{2 n})^{2}$ , pentru $n \neq = 0$ .
- a) $\frac{25 m ^{2}}{4 n ^{2}}$
- b) $\frac{10 m ^{2}}{4 n ^{2}}$
- c) $\frac{25 m}{4 n}$
- d) $\frac{25 m ^{2}}{2 n ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{25 m ^{2}}{4 n ^{2}}$

Ridicăm separat numărătorul și numitorul la puterea $2$ : $(\frac{5 m}{2 n})^{2} = \frac{( 5 m ) ^{2}}{( 2 n ) ^{2}} = \frac{25 m ^{2}}{4 n ^{2}}$ . Varianta d) ridică la pătrat doar litera din numitor, nu și coeficientul $2$ .

Întrebări conexe

Ce obțin dacă ridic o fracție la puterea întâi?

Chiar fracția de la care ai pornit, fiindcă exponentul unu înseamnă un singur factor. Exponentul se scrie rareori, tocmai pentru că nu schimbă nimic. Este util de știut la simplificarea puterilor cu aceeași bază.

Cum ridic la putere o fracție în care literele au deja exponenți?

Înmulțești fiecare exponent existent cu cel scris în afara parantezei. Din $(\frac{a ^{2}}{b ^{3}})^{4}$ obții $\frac{a ^{8}}{b ^{12}}$ , fiindcă $2 \cdot 4 = 8$ și $3 \cdot 4 = 12$ . Coeficienții numerici, dacă apar, se ridică la putere ca de obicei.

Ce se întâmplă dacă exponentul este zero?

Rezultatul este unu, cu condiția ca fracția să nu fie ea însăși nulă. Regula funcționează la fel ca la numere. Condițiile de existență rămân însă cele luate de la forma inițială.

Cum înmulțesc două puteri ale aceleiași fracții?

Aduni exponenții și păstrezi fracția ca bază. Produsul dintre pătratul și cubul aceleiași fracții dă acea fracție la puterea a cincea. Regula este identică cu cea de la puterile numerelor.

Cum verific rezultatul unei ridicări la putere?

Alegi o valoare simplă pentru literă și calculezi în ambele forme. Dacă fracția inițială ridicată la putere dă același număr ca forma finală, calculul este bun. Valoarea aleasă trebuie să respecte condițiile de existență.

Ce fac dacă sus am un produs de paranteze?

Ridici la putere fiecare paranteză în parte, fiindcă puterea unui produs se distribuie. Din $(\frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x})^{2}$ obții $\frac{( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2}}$ . Parantezele se dezvoltă abia dacă exercițiul cere asta.

Oamenii mai întreabă și: puterea unei fracții algebrice · cum ridic la putere o fracție · fracție la pătrat · ridicarea la putere a fracțiilor cu litere · exponent la numărător și numitor