Într-un triunghi isoscel cu laturile congruente $$MN$$ și $$MP$$, ce reprezintă, în același timp, dreapta dusă din vârful $$M$$ către mijlocul bazei $$NP$$?

bisectoare, înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată

doar înălțime, dar nu și mediană

o dreaptă oarecare, fără proprietăți speciale

Ce este un triunghi isoscel?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Triunghiul isoscel: proprietăți esențiale

Este triunghiul cu două laturi de aceeași lungime, numite brațe. A treia latură se cheamă bază, iar cel cuprins între brațe poartă numele de unghi de la vârf. Unghiurile așezate pe bază au aceeași măsură, deci le poți calcula din unghiul de la vârf: dacă acesta are 44 de grade, celor două le rămân 136, adică 68 de grade fiecare. Dreapta coborâtă din vârf pe bază este în același timp bisectoare, mediană, înălțime și mediatoare.

Un triunghi este isoscel dacă are două laturi congruente, numite laturi laterale (brațe). A treia latură este baza, punctul în care se întâlnesc brațele este vârful, iar unghiul dintre brațe este unghiul de la vârf. Unghiurile așezate pe bază se numesc unghiuri de la bază.

Proprietatea 1. Unghiurile de la bază sunt congruente: dacă $A B = A C$ , atunci $B \equiv C$ . Reciproc, dacă un triunghi are două unghiuri congruente, el este isoscel.

Proprietatea 2. Dreapta dusă din vârf este simultan bisectoare, înălțime, mediană și mediatoarea bazei.

Folosim mereu $v + 2 b = 180°$ , unde $v$ e unghiul de la vârf, $b$ un unghi de la bază.

Exemplu. Dacă $A = 44°$ , atunci $2 b = 180° - 44° = 136°$ , deci $b = 68°$ .

De reținut

două brațe egale, a treia latură este baza
unghiurile de la bază sunt congruente
$v + 2 b = 180°$ , cu $v$ la vârf și $b$ la bază
din vârf, cele patru linii importante coincid

Greșeala tipică

Se ia drept bază latura desenată jos. Baza este latura rămasă după cele două brațe egale, oricum ar fi întoarsă figura pe foaie.

Exerciții din această mini-lecție

Triunghiul isoscel $X Y Z$ are $X Y = X Z$ și unghiul de la vârf $X = 76°$ . Cât măsoară fiecare unghi de la bază?
- a) $52°$
- b) $76°$
- c) $104°$
- d) $38°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $52°$

Unghiurile de la bază sunt egale, notate $b$ . Din $v + 2 b = 180°$ obținem $2 b = 180° - 76° = 104°$ , deci $b = 104° : 2 = 52°$ . Răspuns corect: a.
Într-un triunghi isoscel cu laturile congruente $M N$ și $M P$ , ce reprezintă, în același timp, dreapta dusă din vârful $M$ către mijlocul bazei $N P$ ?
- a) doar mediană, nimic altceva
- b) bisectoare, înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată
- c) doar înălțime, dar nu și mediană
- d) o dreaptă oarecare, fără proprietăți speciale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) bisectoare, înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată

În triunghiul isoscel, dreapta dusă din vârful dintre laturile congruente coincide, în același timp, cu bisectoarea unghiului de la vârf, cu înălțimea și mediana corespunzătoare bazei, și cu mediatoarea bazei. Această coincidență are loc doar pentru linia din vârf, nu și pentru cele din vârfurile de la bază. Răspuns corect: b.
Triunghiul isoscel $S T U$ are $S T = S U$ și unghiul de la vârf $S = 98°$ . Cât măsoară fiecare unghi de la bază?
- a) $41°$
- b) $82°$
- c) $31°$
- d) $51°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $41°$

Unghiurile de la bază sunt egale, notate $b$ . Din $v + 2 b = 180°$ obținem $2 b = 180° - 98° = 82°$ , deci $b = 82° : 2 = 41°$ . (Varianta b) este chiar $82°$ , valoarea neîmpărțită la $2$ — o greșeală frecventă.)

Întrebări conexe

Cum știu că un triunghi cu două unghiuri egale este isoscel?

Laturile așezate în fața unghiurilor egale ies tot egale, deci triunghiul are două laturi de aceeași lungime. Este drumul invers al proprietății unghiurilor de la bază și se folosește ca să dovedești egalitatea a două segmente, pornind de la unghiuri.

Poate unghiul de la vârful unui triunghi isoscel să fie obtuz?

Poate, atâta timp cât rămâne sub 180 de grade. La un vârf de 120 de grade, celor două unghiuri de la bază le rămân 60, deci fiecare are 30. Cu cât vârful crește, cu atât triunghiul se turtește, iar baza se lungește.

Cum aflu perimetrul unui isoscel cu brațele de 11 cm și baza de 8 cm?

Aduni cele trei laturi, iar brațele fiind egale se numără de două ori: $11 + 11 + 8 = 30$ cm. Drumul invers merge la fel: dintr-un perimetru de 30 cm și brațe de 11 cm, baza rămâne $30 - 22 = 8$ cm.

Ce triunghiuri obțin tăind un echilateral pe una dintre înălțimi?

Obții două triunghiuri dreptunghice la fel de mari, fiecare cu unghiuri de 90, 60 și 30 de grade. Înălțimea cade la mijlocul laturii, deci cateta scurtă este jumătate din latura echilateralului, iar ipotenuza este chiar latura întreagă.

Cum desenez un triunghi isoscel cu rigla și compasul?

Trasezi baza cu rigla, apoi deschizi compasul la lungimea dorită a brațelor, mai mare decât jumătate din bază. Faci câte un arc din fiecare capăt al bazei și unești capetele cu punctul de intersecție. Ambele brațe ies egale, fiindcă amândouă sunt raze ale aceleiași deschideri.

De ce unghiurile de la bază ale unui isoscel sunt mereu ascuțite?

Fiindcă împreună au mai puțin de 180 de grade, cât rămâne după unghiul de la vârf, iar fiind egale fiecare stă sub 90. Așadar unghiul drept sau cel obtuz al unui triunghi isoscel poate fi numai cel de la vârf.

Oamenii mai întreabă și: triunghi isoscel · proprietățile triunghiului isoscel · unghiurile de la baza triunghiului isoscel · triunghi cu două laturi egale · unde este baza la triunghiul isoscel