Teza (lucrarea scrisă) la matematică, clasa a XII-a

Actualizat: 2 septembrie 2026.

Pe scurt: la clasa a XII-a, lucrarea scrisă din modulul 1 se dă de obicei înainte de 23 octombrie 2026, când se închide modulul, și acoperă legile de compoziție — proprietăți, element neutru, elemente simetrizabile, clase de resturi — și primele lecții despre grupuri. Sunt capitolele din care se dă, cel mai des, a doua problemă a Subiectului al II-lea la Bacalaureatul M1: în 54 din cele 91 de sesiuni oficiale 2010–2026 acolo se cer legi de compoziție și structuri algebrice, iar în celelalte 37, polinoame. Prima problemă a Subiectului al II-lea e, în toate cele 91, de matrice, determinanți și sisteme liniare — materie de clasa a XI-a. Mai jos ai un model complet, cu barem și rezolvări, scris de noi.

De ce nu se mai spune „teză" și cât contează nota în medie — cu articolele citate — e în ghidul despre lucrările scrise. Data de 23 octombrie 2026 e din Ordinul ministrului educației și cercetării nr. 3.194 din 9 februarie 2026 (Monitorul Oficial, Partea I, nr. 126 din 16 februarie 2026); același ordin, la art. 1 alin. (2) lit. a), spune că pentru clasa a XII-a zi cursurile se încheie pe 4 iunie 2027. Modelul pentru anul dinainte: teza de clasa a XI-a.

Ce intră, de obicei, în lucrarea din modulul 1

Modulul 1 are șapte săptămâni. La clasa a XII-a, matematică-informatică, se parcurge de regulă capitolul legilor de compoziție și se intră în cel al grupurilor. Dacă profesorul predă în paralel și analiza, în lucrare pot intra și primele lecții despre primitive; modelul de mai jos rămâne pe partea de algebră, care e cea dată cel mai des în modulul 1.

1. Legi de compoziție

2. Grupuri (începutul capitolului)

Toată materia anului, pe capitole, e în hub-ul clasei a XII-a.

Model de lucrare scrisă — clasa a XII-a, modulul 1

Model propriu, scris de noi pentru pagina asta. Timp de lucru: 50 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte.

Pentru exercițiile 1, 2, 3 și pentru problema 7 se folosește legea de compoziție definită pe mulțimea numerelor reale prin $x * y = x + y - 3$ .

Partea I — răspuns scurt (6 exerciții × 5 puncte = 30 de puncte)

1. Calculați $2 * 5$ .

2. Determinați elementul neutru al legii $*$ .

3. Determinați simetricul numărului 7 în raport cu legea $*$ .

4. În mulțimea claselor de resturi modulo 5, calculați $\hat{3} + \hat{4}$ .

5. În mulțimea claselor de resturi modulo 5, calculați $\hat{3} \cdot \hat{4}$ .

6. Determinați inversul clasei $\hat{3}$ în raport cu înmulțirea claselor de resturi modulo 5.

Partea a II-a — rezolvare completă (4 probleme × 15 puncte = 60 de puncte)

7. Arătați că mulțimea numerelor reale, împreună cu legea $x * y = x + y - 3$ , formează un grup abelian.

8. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea $x \circ y = 2 x y - 4 x - 4 y + 10$ . Arătați că $x \circ y = 2 (x - 2) (y - 2) + 2$ și determinați elementul neutru al legii.

9. Rezolvați, în mulțimea claselor de resturi modulo 6, ecuația $\hat{4} \cdot x = \hat{2}$ .

10. Arătați că mulțimea $H = {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}$ este subgrup al grupului claselor de resturi modulo 6 în raport cu adunarea.

Baremul și rezolvările

Oficiu: 10 puncte.

1. (5p) $2 * 5 = 2 + 5 - 3 = 4$ . Răspuns: 4.

2. (5p) Elementul neutru $e$ verifică $x * e = x$ pentru orice $x$ , adică $x + e - 3 = x$ , de unde $e = 3$ . Răspuns: $e = 3$ .

3. (5p) Simetricul $x^{'}$ al lui 7 verifică $7 * x^{'} = e = 3$ , adică $7 + x^{'} - 3 = 3$ , de unde $x^{'} = - 1$ . Răspuns: $- 1$ .

4. (5p) $3 + 4 = 7$ , iar restul împărțirii lui 7 la 5 este 2. Răspuns: $\hat{2}$ .

5. (5p) $3 \cdot 4 = 12$ , iar restul împărțirii lui 12 la 5 este 2. Răspuns: $\hat{2}$ .

6. (5p) Căutăm clasa $\overset{a}{^}$ pentru care $\hat{3} \cdot \overset{a}{^} = \hat{1}$ . Cum $3 \cdot 2 = 6$ , iar 6 dă restul 1 la împărțirea cu 5, inversul este $\hat{2}$ . Răspuns: $\hat{2}$ .

7. (15p) Verificăm cele patru condiții, plus comutativitatea.

Asociativitatea: $(x * y) * z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6$ , iar $x * (y * z) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6$ ; cele două coincid (5p)
Comutativitatea: $x * y = x + y - 3 = y + x - 3 = y * x$ (3p)
Elementul neutru: $e = 3$ , pentru că $x * 3 = x + 3 - 3 = x$ (3p)
Elementele simetrizabile: pentru orice $x$ real, $x * x^{'} = 3$ dă $x^{'} = 6 - x$ , care este tot număr real (3p)
Legea este bine definită pe mulțimea numerelor reale (suma și diferența a două numere reale sunt numere reale), deci structura este grup abelian (1p)

8. (15p)

Desfacem parantezele din forma propusă: $2 (x - 2) (y - 2) + 2 = 2 (x y - 2 x - 2 y + 4) + 2$ (5p)
$= 2 x y - 4 x - 4 y + 8 + 2 = 2 x y - 4 x - 4 y + 10$ , adică exact $x \circ y$ (4p)
Elementul neutru $e$ verifică $x \circ e = x$ , adică $2 (x - 2) (e - 2) + 2 = x$ pentru orice $x$ real (3p)
Scriem $x = (x - 2) + 2$ și obținem $2 (x - 2) (e - 2) = x - 2$ ; cum egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice $x$ , luăm $x \neq = 2$ și simplificăm: $2 (e - 2) = 1$ , deci $e = \frac{5}{2}$ (3p)

Răspuns: $e = \frac{5}{2}$ .

9. (15p) Clasa $\hat{4}$ nu este inversabilă modulo 6, pentru că 4 și 6 nu sunt prime între ele; ecuația nu se rezolvă prin înmulțire cu inversul, ci prin verificarea tuturor claselor.

$\hat{4} \cdot \hat{0} = \hat{0}$ , $\hat{4} \cdot \hat{1} = \hat{4}$ , $\hat{4} \cdot \hat{2} = \hat{8} = \hat{2}$ (5p)
$\hat{4} \cdot \hat{3} = 12 = \hat{0}$ , $\hat{4} \cdot \hat{4} = 16 = \hat{4}$ , $\hat{4} \cdot \hat{5} = 20 = \hat{2}$ (5p)
Egalitatea cu $\hat{2}$ se obține pentru $x = \hat{2}$ și pentru $x = \hat{5}$ (5p)

Răspuns: $x \in {\hat{2}, \hat{5}}$ .

10. (15p) Folosim criteriul: o submulțime nevidă a unui grup este subgrup dacă e stabilă la operație și conține simetricul fiecărui element al ei.

$H$ este nevidă și conține elementul neutru $\hat{0}$ (3p)
Stabilitatea: $\hat{2} + \hat{2} = \hat{4} \in H$ , $\hat{2} + \hat{4} = \hat{6} = \hat{0} \in H$ , $\hat{4} + \hat{4} = \hat{8} = \hat{2} \in H$ , iar adunările cu $\hat{0}$ nu scot din $H$ (6p)
Simetricele: opusul lui $\hat{2}$ este $\hat{4}$ , opusul lui $\hat{4}$ este $\hat{2}$ , opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$ — toate în $H$ (5p)
Prin urmare $H$ este subgrup (1p)

Punctaj maxim: 30 + 60 + 10 = 100 de puncte, adică nota 10.

Cum te pregătești în 7 zile

ziua	ce faci	unde
1	Vezi de unde pornești	Testul inițial de clasa a XII-a
2	Legea de compoziție și tabla operației	Test: legea de compoziție și tabla
3	Proprietățile legilor de compoziție	Test: proprietățile legilor de compoziție
4	Clase de resturi modulo n	Test: clasele de resturi modulo n
5	Reguli de calcul într-un grup	Test: reguli de calcul în grup
6	Subgrupuri	Test: subgrupuri
7	Repetiție generală, cronometrat	Modelul de mai sus, în 50 de minute

Dacă vrei să vezi cum arată aceleași capitole într-o probă de trei ore, în structura oficială a examenului, dă o simulare de Bacalaureat M1: are barem și rezolvare completă.

Ce faci mai departe

Algebra din modulul 1 e o parte din Subiectul al II-lea pe care se pierd des puncte la Bacalaureat, pentru că cere definiții exacte, nu calcul. Toate lecțiile clasei sunt în biblioteca de lecții, formulele cu legendă în formule, iar exercițiile lucrate integral în exerciții rezolvate. Aceleași teste, cu ghidaj la fiecare blocaj, sunt în aplicația Matepolis. Cum intră nota în medie: calculatorul de medie generală. Dacă vrei exerciții de lucrat pe hârtie, cu barem, sunt în fișele de lucru de clasa a XII-a.

Gratuit acum, integral. Fără reclame, fără plăți în aplicație, fără date de card.

Întrebări frecvente

Când se dă teza la matematică la clasa a XII-a?

De obicei în ultimele două-trei săptămâni ale modulului 1, care se închide pe 23 octombrie 2026 (OM nr. 3.194/2026). Data exactă o stabilește profesorul. Pentru clasa a XII-a zi, anul are 34 de săptămâni de cursuri și se încheie pe 4 iunie 2027.

Ce intră în teza de la clasa a XII-a în modulul 1?

Cel mai des: legile de compoziție și proprietățile lor (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile), clasele de resturi modulo n și primele lecții despre grupuri. Dacă profesorul predă în paralel și analiza, pot intra și primitivele.

Se dă și analiză matematică la lucrarea din modulul 1?

Depinde de școală. La multe licee, algebra și analiza au ore separate, iar lucrarea din modulul 1 acoperă doar algebra. Întreabă profesorul înainte să înveți.

Cât contează nota de la lucrarea scrisă în medie?

Cât o notă obișnuită. Art. 109 alin. (1) din OME nr. 5.726/2024: media anuală e media aritmetică a notelor, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg. Ponderea specială a tezei nu mai există.

Mai există „teza pe semestrul 1" la clasa a XII-a?

Nu. Semestrele au fost înlocuite cu cinci intervale de cursuri începând cu anul școlar 2022–2023 (OM nr. 3.505/2022). Ce se caută sub numele vechi e lucrarea scrisă din modulul 1.

De ce ecuația cu clase de resturi are două soluții?

Pentru că modulo 6 nu orice clasă este inversabilă: clasa $\hat{4}$ nu e, fiindcă 4 și 6 nu sunt prime între ele. Când coeficientul nu e inversabil, ecuația poate avea zero, una sau mai multe soluții, iar metoda sigură e verificarea tuturor claselor. Vezi problema 9 din model.

Cât contează capitolul ăsta la Bacalaureat?

Legile de compoziție și structurile algebrice — grupuri, inele — formează a doua problemă a Subiectului al II-lea la M1 în 54 din cele 91 de sesiuni oficiale 2010–2026; în celelalte 37, a doua problemă e de polinoame. Prima problemă a Subiectului al II-lea e, în toate cele 91 de sesiuni, de matrice, determinanți și sisteme liniare, adică materie de clasa a XI-a — deci, când apare, capitolul ăsta e a doua problemă, niciodată prima. Ce s-a cerut efectiv, an cu an, se vede în cele patru simulări de Bacalaureat M1, fiecare de trei ore, cu barem și rezolvare completă. Ce intră la proba de matematică, pe capitole: materia de la Bacalaureatul M1. Datele probelor din 2027 sunt deocamdată o propunere în consultare publică, neaprobată încă prin ordin de ministru (proiect pus în consultare de Ministerul Educației și Cercetării pe 13 august 2026, comunicat edu.ro; verificăm zilnic pagina de proiecte de acte normative); le ținem la zi în calendarul bacalaureatului 2027.