Teza (lucrarea scrisă) la matematică, clasa a XI-a

Actualizat: 2 septembrie 2026.

Pe scurt: la clasa a XI-a, lucrarea scrisă din modulul 1 se dă de obicei înainte de 23 octombrie 2026, când se închide modulul, și acoperă matricele — operații, înmulțire, puteri — și primele lecții despre determinanți. Sunt exact capitolele care deschid Subiectul al II-lea la Bacalaureatul M1, deci lucrarea asta e și primul antrenament pentru examen. Mai jos ai un model complet, cu barem și rezolvări, scris de noi.

De ce nu se mai spune „teză" și cât contează nota în medie — cu articolele citate — e în ghidul despre lucrările scrise. Data de 23 octombrie 2026 e din Ordinul ministrului educației și cercetării nr. 3.194 din 9 februarie 2026 (Monitorul Oficial, Partea I, nr. 126 din 16 februarie 2026). Modelele pentru anii vecini: teza de clasa a X-a și teza de clasa a XII-a.

Ce intră, de obicei, în lucrarea din modulul 1

Modulul 1 are șapte săptămâni. La clasa a XI-a, matematică-informatică, se parcurge de regulă capitolul de matrice și se intră în cel de determinanți. Dacă profesorul predă în paralel și analiza, în lucrare pot intra și primele lecții despre șiruri; modelul de mai jos rămâne pe partea de algebră, care e cea dată cel mai des în modulul 1.

1. Matrice și operații cu matrice

• Tablouri de date și noțiunea de matrice
• Tipuri de matrice: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară
• Egalitatea matricelor. Adunarea și scăderea matricelor
• Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul
• Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea
• Puterea unei matrice pătratice: definiție și calcul direct
• Ridicarea la putere prin inducție matematică

2. Determinanți (începutul capitolului)

• Determinantul de ordinul al doilea
• Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus
• Proprietățile determinanților: transpusa, linii nule, factor comun
• Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului

Toată materia anului, pe capitole, e în hub-ul clasei a XI-a.

Model de lucrare scrisă — clasa a XI-a, modulul 1

Model propriu, scris de noi pentru pagina asta. Timp de lucru: 50 de minute. Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte.

Pentru exercițiile 1–6 și pentru problema 7 se folosesc matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$.

Partea I — răspuns scurt (6 exerciții × 5 puncte = 30 de puncte)

1. Calculați $A+B$.

2. Calculați $2A$.

3. Calculați $\det A$.

4. Calculați $\det B$.

5. Calculați $A\cdot I_2$, unde $I_2$ este matricea unitate de ordinul al doilea.

6. Calculați $\det (2A)$.

Partea a II-a — rezolvare completă (4 probleme × 15 puncte = 60 de puncte)

7. Calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$ și arătați că cele două produse sunt diferite.

8. Determinați numerele reale $x$ pentru care matricea $M=\left(\begin{array}{cc}x& 3\\ 2& x-1\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

9. Calculați determinantul $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right|$, folosind regula lui Sarrus.

10. Fie $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Demonstrați prin inducție matematică faptul că $C^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$, pentru orice număr natural $n\ge 1$.

Baremul și rezolvările

Oficiu: 10 puncte.

1. (5p) Adunarea se face element cu element. Răspuns: $A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right)$.

2. (5p) Fiecare element se înmulțește cu 2. Răspuns: $2A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right)$.

3. (5p) $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2$. Răspuns: $-2$.

4. (5p) $\det B=0\cdot 2-1\cdot (-1)=1$. Răspuns: 1.

5. (5p) Matricea unitate este element neutru la înmulțire. Răspuns: $A\cdot I_2=A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.

6. (5p) Pentru o matrice de ordinul al doilea, $\det (kA)=k^2\det A$, deci $\det (2A)=4\cdot (-2)=-8$. Răspuns: $-8$.

7. (15p)

• $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+2\cdot (-1)& 1\cdot 1+2\cdot 2\\ 3\cdot 0+4\cdot (-1)& 3\cdot 1+4\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ -4& 11\end{array}\right)$ (6p)
• $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 1+1\cdot 3& 0\cdot 2+1\cdot 4\\ -1\cdot 1+2\cdot 3& -1\cdot 2+2\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$ (6p)
• Elementele de pe poziția din stânga sus diferă ($-2\ne 3$), deci $A\cdot B\ne B\cdot A$: înmulțirea matricelor nu este comutativă (3p)

8. (15p) O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul; deci nu este inversabilă exact când determinantul este zero.

• $\det M=x(x-1)-3\cdot 2=x^2-x-6$ (6p)
• Ecuația $x^2-x-6=0$ are discriminantul $\Delta =1+24=25$ (4p)
• $x_1=\frac{1+5}{2}=3$ și $x_2=\frac{1-5}{2}=-2$ (4p)
• Verificare pentru $x=3$: $\det M=9-3-6=0$ (1p)

Răspuns: $x\in \{-2,3\}$.

9. (15p) Regula lui Sarrus: se adună produsele de pe cele trei diagonale descendente și se scad produsele de pe cele trei diagonale ascendente.

• Diagonalele descendente: $1\cdot 1\cdot 0=0$, $2\cdot 4\cdot 5=40$, $3\cdot 0\cdot 6=0$; suma lor este 40 (6p)
• Diagonalele ascendente: $3\cdot 1\cdot 5=15$, $1\cdot 4\cdot 6=24$, $2\cdot 0\cdot 0=0$; suma lor este 39 (6p)
• Determinantul: $40-39=1$ (3p)

Răspuns: 1.

10. (15p)

• Verificarea: pentru $n=1$, $C^1=C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, care coincide cu forma din enunț (3p)
• Presupunerea: presupunem că $C^k=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$ (3p)
• Pasul: $C^{k+1}=C^k\cdot C=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (4p)
• Efectuând înmulțirea: $\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+k\cdot 0& 1\cdot 1+k\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0& 0\cdot 1+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& k+1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (4p)
• Prin principiul inducției, formula are loc pentru orice $n\ge 1$ (1p)

Punctaj maxim: 30 + 60 + 10 = 100 de puncte, adică nota 10.

Cum te pregătești în 7 zile

O pierdere frecventă de puncte la clasa a XI-a e ordinea factorilor la înmulțirea matricelor. Dacă la ziua 3 iese sub 7, reia lecția despre proprietățile înmulțirii și scrie de fiecare dată explicit linia care se înmulțește cu coloana.

Ce faci mai departe

Matricele și determinanții revin la Bacalaureatul M1, la Subiectul al II-lea, în fiecare an. Toate lecțiile clasei sunt în biblioteca de lecții, formulele cu legendă și exemplu numeric în formule, iar exercițiile lucrate integral în exerciții rezolvate. Aceleași teste, cu ghidaj la fiecare blocaj, sunt în aplicația Matepolis. Cum intră nota în medie: calculatorul de medie generală. Dacă vrei exerciții de lucrat pe hârtie, cu barem, sunt în fișele de lucru de clasa a XI-a.

Gratuit acum, integral. Fără reclame, fără plăți în aplicație, fără date de card.

Întrebări frecvente

Când se dă teza la matematică la clasa a XI-a?

De obicei în ultimele două-trei săptămâni ale modulului 1, care se închide pe 23 octombrie 2026 (OM nr. 3.194/2026). Data exactă o stabilește profesorul; la liceu, unii dau lucrarea pe două ore de curs.

Ce intră în teza de la clasa a XI-a în modulul 1?

Cel mai des: operațiile cu matrice, înmulțirea și necomutativitatea ei, puterea unei matrice, determinanții de ordinul al doilea și al treilea și criteriul de inversabilitate. Dacă profesorul predă în paralel și analiza, pot intra și primele lecții despre șiruri.

Se dă și analiză matematică la lucrarea din modulul 1?

Depinde de școală. La multe licee, algebra și analiza se predau de profesori diferiți sau în ore separate, iar lucrarea din modulul 1 acoperă doar partea de algebră. Întreabă profesorul înainte să înveți: e diferența dintre două capitole și cinci.

Cât contează nota de la lucrarea scrisă în medie?

Cât o notă obișnuită. Art. 109 alin. (1) din OME nr. 5.726/2024: media anuală e media aritmetică a notelor, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg. Ponderea specială a tezei nu mai există.

Mai există „teza pe semestrul 1" la clasa a XI-a?

Nu. Semestrele au fost înlocuite cu cinci intervale de cursuri începând cu anul școlar 2022–2023 (OM nr. 3.505/2022). Ce se caută sub numele vechi e lucrarea scrisă din modulul 1.

De ce iese altceva la A·B față de B·A?

Pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă: fiecare element al produsului se obține înmulțind o linie a primei matrice cu o coloană a celei de-a doua, iar când schimbi ordinea, se înmulțesc alte linii cu alte coloane. Vezi problema 7 din model, unde cele două produse diferă pe toate cele patru poziții.

Cum îmi dau seama dacă sunt pregătit?

Dă modelul cronometrat, la 50 de minute, fără barem în față. Peste 70 de puncte din 90 înseamnă că ești pregătit. Dacă pierzi puncte la problema 10, exersează scrierea celor trei pași ai inducției: la liceu, demonstrația se notează pe redactare, nu doar pe rezultat.