Exerciții rezolvate — Formule trigonometrice de bază (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Formule trigonometrice de bază", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul II. Cât este $\cos x$?

   • a) $\frac{4}{5}$
   • b) $-\frac{4}{5}$
   • c) $\frac{3}{4}$
   • d) $-\frac{3}{4}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-\frac{4}{5}$

   Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$, deci $|\cos x|=\frac{4}{5}$. În cadranul II cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$.

   Lecția: Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta →

2. Cum se demonstrează formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$?

   • a) Cu teorema lui Thales
   • b) Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul $OPM$ pe cercul trigonometric
   • c) Printr-o regulă de trei simplă
   • d) Cu teorema unghiului la centru
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul $OPM$ pe cercul trigonometric

   Catetele triunghiului dreptunghic $OPM$ (unde $P$ e proiecția lui $M$ pe $Ox$) au lungimile $|\cos x|$ și $|\sin x|$, iar ipotenuza este raza $1$; Pitagora dă direct ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

   Lecția: Formula fundamentală: sin²x + cos²x = 1 →

3. Care este formula corectă pentru $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$?

   • a) $\sin x$
   • b) $-\sin x$
   • c) $\cos x$
   • d) $-\cos x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\cos x$

   Punctele $M(x)$ și $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$, simetrie care schimbă între ele coordonatele: $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=(\sin x,\cos x)$. Deci $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, fără niciun semn minus.

   Lecția: Formule cu π/2: sin(π/2 − x) = cos x →

4. Care este formula corectă pentru $\mathrm{tg}(\pi +x)$?

   • a) $\mathrm{tg}x$
   • b) $-\mathrm{tg}x$
   • c) $\frac{1}{\mathrm{tg}x}$
   • d) $-\frac{1}{\mathrm{tg}x}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathrm{tg}x$

   $\mathrm{tg}(\pi +x)=\frac{\sin (\pi +x)}{\cos (\pi +x)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x$. Cele două semne minus, de la sinus și de la cosinus, se simplifică între ele.

   Lecția: Formule pentru tangentă: tg(π + x) și tg(π − x) →

5. Care este formula corectă pentru $\sin (\pi +x)$?

   • a) $\sin (\pi +x)=\sin x$
   • b) $\sin (\pi +x)=-\sin x$
   • c) $\sin (\pi +x)=\cos x$
   • d) $\sin (\pi +x)=-\cos x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sin (\pi +x)=-\sin x$

   Punctul $M(\pi +x)$ este simetricul lui $M(x)$ față de origine, deci ambele coordonate $(\cos x,\sin x)$ își schimbă semnul: $M(\pi +x)=(-\cos x,-\sin x)$. Identificând ordonatele, $\sin (\pi +x)=-\sin x$.

   Lecția: Formule cu π + x și 2π − x →

6. Cât este $\sin (\pi -x)$, în funcție de $\sin x$?

   • a) $-\sin x$
   • b) $\sin x$
   • c) $\cos x$
   • d) $-\cos x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sin x$

   Punctele $M(x)$ și $M(\pi -x)$ sunt simetrice față de axa $Oy$, iar simetria față de $Oy$ păstrează ordonata, adică sinusul. Deci $\sin (\pi -x)=\sin x$.

   Lecția: Reducerea la primul cadran: sin(π − x) și cos(π − x) →

7. Ce alege semnul lui $\cos x$ atunci când se cunoaște doar ${\sin }^{2}x$?

   • a) Forma cea mai simplă a rezultatului
   • b) Cadranul în care se află $x$
   • c) Semnul lui $\sin x$
   • d) Valoarea lui $\mathrm{tg}x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Cadranul în care se află $x$

   Formula fundamentală dă doar valoarea absolută $|\cos x|$, pentru că pe cerc există două puncte cu același sinus (simetrice față de axa $Oy$). Semnul corect se decide exclusiv din cadranul precizat în enunț.

   Lecția: Calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta →

8. Se știe că $\cos x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Cât este $\sin x$?

   • a) $\frac{3}{5}$
   • b) $\frac{4}{5}$
   • c) $-\frac{4}{5}$
   • d) $\frac{1}{5}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{4}{5}$

   ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\sin x=\pm \frac{4}{5}$. În cadranul I sinusul este pozitiv, deci $\sin x=\frac{4}{5}$.

   Lecția: Formula fundamentală: sin²x + cos²x = 1 →

9. Care este formula corectă pentru $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$?

   • a) $\cos x$
   • b) $-\cos x$
   • c) $\sin x$
   • d) $-\sin x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\sin x$

   Din $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=(\sin x,\cos x)$, abscisa este $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Spre deosebire de formulele cu $\pi$, aici funcția se schimbă (cosinus devine sinus), nu semnul.

   Lecția: Formule cu π/2: sin(π/2 − x) = cos x →

10. Care este formula corectă pentru $\mathrm{tg}(\pi -x)$?

    • a) $\mathrm{tg}x$
    • b) $-\mathrm{tg}x$
    • c) $\frac{1}{\mathrm{tg}x}$
    • d) $-\frac{1}{\mathrm{tg}x}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $-\mathrm{tg}x$

    $\mathrm{tg}(\pi -x)=\frac{\sin (\pi -x)}{\cos (\pi -x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\mathrm{tg}x$. Aici doar cosinusul își schimbă semnul, deci raportul își schimbă semnul.

    Lecția: Formule pentru tangentă: tg(π + x) și tg(π − x) →

11. Care este formula corectă pentru $\cos (2\pi -x)$?

    • a) $\cos (2\pi -x)=\cos x$
    • b) $\cos (2\pi -x)=-\cos x$
    • c) $\cos (2\pi -x)=\sin x$
    • d) $\cos (2\pi -x)=-\sin x$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\cos (2\pi -x)=\cos x$

    Punctul $M(2\pi -x)$ este simetricul lui $M(x)$ față de axa $Ox$: abscisa (cosinusul) rămâne neschimbată, doar ordonata (sinusul) își schimbă semnul. Deci $\cos (2\pi -x)=\cos x$, spre deosebire de $\cos (\pi +x)=-\cos x$.

    Lecția: Formule cu π + x și 2π − x →

12. Cât este $\cos 120^{\circ }$?

    • a) $\frac{1}{2}$
    • b) $-\frac{1}{2}$
    • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • d) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $-\frac{1}{2}$

    $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, deci $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

    Lecția: Reducerea la primul cadran: sin(π − x) și cos(π − x) →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.