Exerciții rezolvate — Intervale de numere reale (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Intervale de numere reale", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre următoarele afirmații despre intervalul $(3,8]$ este adevărată?

   • a) $3\in (3,8]$
   • b) $8\in (3,8]$
   • c) $3\in (3,8)$
   • d) $8\notin (3,8]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $8\in (3,8]$

   Capătul din stânga (3) are paranteză rotundă → exclus, deci $3\notin (3,8]$. Capătul din dreapta (8) are paranteză pătrată → inclus, deci $8\in (3,8]$ este adevărată.

   Lecția: Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime →

2. Determină $A\cap B$, unde $A=[2,7]$ și $B=[5,10]$.

   • a) $[5,7]$
   • b) $[2,10]$
   • c) $\varnothing$
   • d) $\{5\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[5,7]$

   Capătul stâng $=\max (2,5)=5$ (inclus în ambele), capătul drept $=\min (7,10)=7$ (inclus în ambele), deci $A\cap B=[5,7]$.

   Lecția: Intersecția intervalelor de numere reale →

3. Mulțimea $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge -5\}$ scrisă sub formă de interval este:

   • a) $[-5,+\infty )$
   • b) $(-5,+\infty )$
   • c) $[-5,+\infty ]$
   • d) $(-\infty ,-5]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[-5,+\infty )$

   Semnul $\ge$ conține egalitatea, deci capătul $-5$ este inclus $\to$ paranteză dreaptă. „Mai mare” înseamnă spre $+\infty$, unde punem obligatoriu paranteză rotundă. Rezultă $[-5,+\infty )$.

   Lecția: Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă →

4. Ce tip de interval este $(-5,2]$?

   • a) interval închis
   • b) interval deschis
   • c) semideschis, închis la stânga
   • d) semideschis, închis la dreapta
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) semideschis, închis la dreapta

   Paranteza rotundă la $-5$ înseamnă capăt exclus, iar paranteza pătrată la $2$ înseamnă capăt inclus. Deci intervalul e închis la dreapta (capătul inclus e cel din dreapta): $-5<x\le 2$.

   Lecția: Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise →

5. Scrie prin enumerare mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -5\le x<2\}$.

   • a) $\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$
   • b) $\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}$
   • c) $\{-4,-3,-2,-1,0,1\}$
   • d) $\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1\}$

   Universul este $\mathbb{Z}$, iar condiția $-5\le x<2$ include capătul $-5$ (semn $\le$), dar exclude capătul $2$ (semn $<$). Înșirăm întregii: $-5,-4,-3,-2,-1,0,1$.

   Lecția: Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor →

6. Determină $[1,4]\cup [3,7]$.

   • a) $[1,7]$
   • b) $[1,4]\cup [3,7]$
   • c) $[3,4]$
   • d) $[1,3]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[1,7]$

   Intervalele se suprapun pe $[3,4]$, deci reuniunea este o singură bucată: capătul stâng $1$ (de la primul interval) și capătul drept $7$ (de la al doilea), ambele incluse. $[1,4]\cup [3,7]=[1,7]$.

   Lecția: Reuniunea intervalelor de numere reale →

7. Ridicând la pătrat, stabilește cărui interval îi aparține $\sqrt{11}$.

   • a) $(2,3)$
   • b) $(3,4)$
   • c) $(1,2)$
   • d) $(4,5)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(3,4)$

   Comparăm $3^2=9$ și $4^2=16$. Cum $9<11<16$, rezultă $3<\sqrt{11}<4$, deci $\sqrt{11}\in (3,4)$.

   Lecția: Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime →

8. Determină $A\cap B$, unde $A=[-3,2)$ și $B=[2,6]$.

   • a) $\{2\}$
   • b) $[-3,6]$
   • c) $\varnothing$
   • d) $(2,6]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\varnothing$

   Intervalele se ating în $2$, dar $A$ îl exclude (paranteză rotundă), deci $2\notin A$. Nu mai există niciun punct comun, așa că $A\cap B=\varnothing$.

   Lecția: Intersecția intervalelor de numere reale →

9. Care dintre următoarele scrieri este corectă?

   • a) $[2,+\infty ]$
   • b) $[9,-\infty )$
   • c) $(-\infty ,6]$
   • d) $(6,-\infty ]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $(-\infty ,6]$

   Lângă $\pm \infty$ se pune mereu paranteză rotundă, iar $-\infty$ se scrie întotdeauna primul, la stânga. Singura scriere corectă este $(-\infty ,6]$, care înseamnă $x\le 6$.

   Lecția: Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă →

10. Intervalul $[-1,6)$ corespunde inegalității:

    • a) $-1<x<6$
    • b) $-1\le x\le 6$
    • c) $-1\le x<6$
    • d) $-1<x\le 6$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $-1\le x<6$

    Paranteza pătrată la $-1$ dă semnul cu egal ($\le$), iar paranteza rotundă la $6$ dă semnul strict ($<$). Rezultă $-1\le x<6$.

    Lecția: Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise →

11. Care dintre mulțimile de mai jos este vidă?

    • a) $\{x\in \mathbb{N}\mid 2<x<3\}$
    • b) $\{x\in \mathbb{R}\mid 2<x<3\}$
    • c) $\{x\in \mathbb{Z}\mid -1\le x\le 1\}$
    • d) $\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 0\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\{x\in \mathbb{N}\mid 2<x<3\}$

    Nu există niciun număr natural strict între $2$ și $3$ (între doi naturali consecutivi nu se află alt natural), deci mulțimea de la a) este $\varnothing$. La b) universul este $\mathbb{R}$, unde există o infinitate de numere între $2$ și $3$; c) are elementele $\{-1,0,1\}$; d) are elementul $\{0\}$, deci nu e vidă.

    Lecția: Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor →

12. Determină $(2,6]\cup (6,9)$.

    • a) $(2,9)$
    • b) $(2,9]$
    • c) $(2,6]\cup (6,9)$
    • d) $[2,9]$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $(2,9)$

    Punctul de contact este $6$. El este inclus în primul interval, $(2,6]$, deci este acoperit — nu rămâne nicio gaură. Capătul stâng $2$ rămâne exclus, capătul drept $9$ rămâne exclus: $(2,6]\cup (6,9)=(2,9)$.

    Lecția: Reuniunea intervalelor de numere reale →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.