Exerciții rezolvate — Puncte, drepte și plane. Paralelism în spațiu (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Puncte, drepte și plane. Paralelism în spațiu", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Punctele $M$, $N$, $P$ nu sunt coliniare. Ce se poate spune despre planul pe care îl determină?

   • a) Nu determină niciun plan
   • b) Determină un unic plan
   • c) Determină exact două plane
   • d) Determină o infinitate de plane
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Determină un unic plan

   Aceasta este axioma fundamentală: trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul, notat $(MNP)$.

   Lecția: Determinarea dreptei și determinarea planului →

2. Câte puncte comune are o dreaptă $d$ paralelă cu un plan $\alpha$?

   • a) Exact unul
   • b) Niciunul
   • c) O infinitate
   • d) Depinde de plan
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Niciunul

   Definiția paralelismului dreaptă–plan cere zero puncte comune. Dacă ar avea un punct comun, dreapta ar fi secantă; dacă ar avea o infinitate, ar fi inclusă în plan.

   Lecția: Dreaptă paralelă cu un plan →

3. Două plane distincte, $\alpha$ și $\beta$, au un punct comun $P$. Ce se poate spune despre poziția lor?

   • a) Au în comun o dreaptă întreagă care trece prin $P$ — sunt plane secante
   • b) Au în comun exact un singur punct, $P$
   • c) Sunt automat plane paralele
   • d) Nu se poate ști nimic fără informații suplimentare
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Au în comun o dreaptă întreagă care trece prin $P$ — sunt plane secante

   Două plane nu pot avea în comun „doar un punct": dacă au un punct comun, au automat o dreaptă întreagă de puncte comune. Deci $\alpha$ și $\beta$ sunt secante, cu dreapta de intersecție prin $P$.

   Lecția: Plane paralele →

4. Două drepte $m$ și $n$ din spațiu nu au niciun punct comun. Ce putem afirma cu certitudine?

   • a) Sunt sigur paralele
   • b) Sunt sigur necoplanare
   • c) Sunt paralele dacă sunt coplanare, sau necoplanare dacă nu sunt coplanare
   • d) Sunt sigur concurente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Sunt paralele dacă sunt coplanare, sau necoplanare dacă nu sunt coplanare

   „Fără punct comun” nu decide singur situația în spațiu. Mai trebuie verificat dacă dreptele încap într-un plan comun: dacă da, sunt paralele; dacă nu, sunt necoplanare. Concurente e exclus, căci concurentele au un punct comun.

   Lecția: Poziții relative a două drepte în spațiu →

5. Care dintre următoarele notații reprezintă corect un plan?

   • a) punctul $N$
   • b) dreapta $t$
   • c) planul $\delta$
   • d) dreapta $MN$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) planul $\delta$

   Planele se notează cu litere mici din alfabetul grecesc ($\delta$, $\alpha$, $\beta$…). $N$ este notație de punct (literă mare), iar $t$ și $MN$ sunt notații de dreaptă.

   Lecția: Puncte, drepte și plane în spațiu. Convenții de notare și reprezentare →

6. Se dă cubul $MNPQ{M}^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ (notat analog cu $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). Care simbol completează corect relația dintre punctul $N^{\prime }$ și planul bazei de jos $(MNP)$: $N^{\prime }\square (MNP)$?

   • a) $\in$
   • b) $\notin$
   • c) $\subset$
   • d) $\not\subset$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\notin$

   $N^{\prime }$ este un vârf al bazei de sus, deci se află deasupra planului bazei de jos, nu pe el. Fiind un punct, folosim $\in$/$\notin$ (nu $\subset$), iar răspunsul corect este $N^{\prime }\notin (MNP)$.

   Lecția: Relații între puncte, drepte și plane →

7. O prismă dreaptă are baza un pătrat cu latura de $8\text{cm}$. Un plan paralel cu baza secționează prisma. Ce perimetru are secțiunea obținută?

   • a) $16\text{cm}$
   • b) $24\text{cm}$
   • c) $32\text{cm}$
   • d) $64\text{cm}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $32\text{cm}$

   La prismă, secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza ($k=1$), deci are același perimetru: $P=4\cdot 8=32\text{cm}$, indiferent la ce înălțime tăiem.

   Lecția: Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice →

8. Pe cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ce măsură are unghiul dintre dreptele $BC$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$?

   • a) $30°$
   • b) $45°$
   • c) $60°$
   • d) $90°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $45°$

   $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (diagonalele bazelor sunt paralele), deci $\sphericalangle (BC,B^{\prime }{D}^{\prime })=\sphericalangle (BC,BD)=\widehat{DBC}$. În pătratul $ABCD$, diagonala $BD$ face cu latura $BC$ un unghi de $45°$.

   Lecția: Unghiul a două drepte în spațiu →

9. Care dintre următoarele situații NU determină un plan unic?

   • a) Trei puncte necoliniare
   • b) O dreaptă $d$ și un punct $A$ situat chiar pe $d$
   • c) Două drepte concurente
   • d) Două drepte paralele distincte
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) O dreaptă $d$ și un punct $A$ situat chiar pe $d$

   Dacă $A$ se află pe dreapta $d$, nu avem nicio informație în plus față de dreapta $d$, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane. E nevoie ca punctul să fie exterior dreptei.

   Lecția: Determinarea dreptei și determinarea planului →

10. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (baza jos $ABCD$, baza sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), care este poziția muchiei $B^{\prime }{C}^{\prime }$ față de planul $(ABCD)$?

    • a) $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este inclusă în $(ABCD)$
    • b) $B^{\prime }{C}^{\prime }$ intersectează $(ABCD)$ într-un punct
    • c) $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este paralelă cu $(ABCD)$
    • d) Nu se poate stabili fără măsurători
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este paralelă cu $(ABCD)$

    Fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este pătrat, deci $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Cum $BC\subset (ABCD)$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, din criteriul de paralelism rezultă $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABCD)$.

    Lecția: Dreaptă paralelă cu un plan →

11. Planul $\beta$ conține două drepte $m$ și $n$, ambele paralele cu planul $\alpha$. Ce condiție trebuie neapărat să îndeplinească $m$ și $n$ pentru a putea concluziona, prin criteriul de paralelism al planelor, că $\alpha \parallel \beta$?

    • a) Să fie perpendiculare una pe alta
    • b) Să fie concurente (să se intersecteze într-un punct)
    • c) Să aibă aceeași lungime
    • d) Nicio condiție suplimentară — criteriul e valabil oricum
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Să fie concurente (să se intersecteze într-un punct)

    Dacă $m$ și $n$ ar fi doar paralele între ele, ele ar prinde o singură direcție din $\beta$, iar planul $\beta$ ar putea totuși să taie $\alpha$. Doar dacă $m$ și $n$ sunt concurente (fixează două direcții diferite), criteriul garantează $\alpha \parallel \beta$.

    Lecția: Plane paralele →

12. Pe cubul $KLMN{K}^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$ (baza de jos $KLMN$, $K$ sub $K^{\prime }$ ș.a.m.d.), care pereche de muchii este formată din drepte necoplanare?

    • a) $KL$ și $LM$
    • b) $KL$ și $NM$
    • c) $KL$ și $K^{\prime }{L}^{\prime }$
    • d) $KL$ și $M{M}^{\prime }$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $KL$ și $M{M}^{\prime }$

    $KL$ e o muchie în baza de jos, iar $M{M}^{\prime }$ e verticală în colțul $M$, care nu aparține dreptei $KL$: nu au punct comun și au direcții diferite (orizontală vs. verticală) → necoplanare. Celelalte perechi sunt concurente ($KL$, $LM$ în $L$) sau paralele ($KL$–$NM$, laturi opuse; $KL$–$K^{\prime }{L}^{\prime }$, muchii omoloage).

    Lecția: Poziții relative a două drepte în spațiu →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.