Încadrarea integralei între două dreptunghiuri: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a; în tema ei stă la finalul paginii „Integrala definită”.

Dreptunghiul ridicat la înălțimea celei mai mici valori încape sub grafic, iar regiunea de sub grafic încape în dreptunghiul de înălțime maximă — o suprafață cuprinsă în alta are aria mai mică. Numerele $m$ și $M$ se caută pe întregul interval: acolo unde graficul suie și apoi coboară, vârful poate cădea în interior, nu în capete. Tăind intervalul în fâșii și reluând raționamentul, marginea de jos nu coboară, iar cea de sus nu urcă, deci încadrarea se strânge.

Exemplu: Pe $[0,2]$, funcția $f(x)=x^2+1$ are $m=1$ și $M=5$, deci $2\le {\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx\le 10$; valoarea adevărată, $\frac{14}{3}$, cade între ele.