Bijectivitatea pe un interval prin stricta monotonie: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Studiul variației funcțiilor”.

Bijectivitatea ține de tripleta formulă–domeniu–codomeniu, nu de formulă singură: o lege poate fi bijectivă privită pe un interval și să nu mai fie pe altul. Injectivitatea se scoate din stricta monotonie — din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$ la funcție crescătoare —, cale care merge și acolo unde calculul algebric din clasa a IX-a se blochează: la radicali, la logaritmi, la fracții. Cuvântul interval nu se poate sări: pe o mulțime cu o gaură, o derivată negativă peste tot nu dă o funcție descrescătoare. Surjectivitatea se verifică prin imagine, citită din tabelul de variație și comparată cu codomeniul. Un zerou izolat al derivatei, la care semnul nu se schimbă, nu strică injectivitatea. O funcție care nu trece testul se poate repara: ori se restrânge domeniul la un interval de monotonie, ori se ia drept codomeniu chiar imaginea.

Exemplu: $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+x$, are $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1>0$, deci este strict crescătoare, prin urmare injectivă. Cum $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, imaginea este $\mathbb{R}$, deci $f$ este bijectivă.