Imaginea unei funcții pe un interval de monotonie: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Studiul variației funcțiilor”.

Codomeniul este o declarație din enunț; imaginea se obține prin calcul și se citește din ultimul rând al tabelului de variație. Pe un interval pe care funcția este continuă și strict monotonă, valorile ei umplu fără goluri segmentul dintre cele două capete, iar imaginea întreagă se obține reunind imaginile bucăților de monotonie. Paranteza urmează capătul: dreaptă acolo unde funcția are valoare, rotundă la un capăt exclus sau la $\pm \infty$, unde funcția are doar limită — cu o excepție verificată la sfârșit, fiindcă o margine care apare ca limită poate fi atinsă în alt punct, și atunci capătul se închide. La funcție strict descrescătoare cele două capete se scriu în ordine inversă. Greșeala care se repetă este oprirea la extremele locale: fără valorile ori limitele de la capetele domeniului răspunsul e aproape sigur greșit.

Exemplu: $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$, are $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$, deci scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$, cu minimul $f(1)=2$. Cum $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, iar valoarea $2$ este atinsă, rezultă $\mathrm{Im}f=[2,+\infty )$.