În triunghiurile $$MNP$$ și $$QRS$$ avem $$[MN]\equiv[QR]$$, $$\angle M \equiv \angle Q$$ și $$[MP]\equiv[QS]$$, iar unghiul $$\angle M$$ este cuprins între laturile $$[MN]$$ și $$[MP]$$. Ce criteriu de congruență se aplică?

Nu se poate aplica niciun criteriu

Într-o problemă avem $$[XY]\equiv[UV]$$, $$[YZ]\equiv[VW]$$ și $$\angle X \equiv \angle U$$, dar unghiul $$\angle X$$ nu este cuprins între laturile $$[XY]$$ și $$[YZ]$$ (este lângă $$[XY]$$, în afara lor). Ce putem spune despre triunghiuri?

Avem combinația $$LLU$$, care nu garantează congruența

Sunt congruente prin criteriul $$LUL$$

Sunt congruente prin criteriul $$ULU$$

Sunt congruente automat, indiferent de poziția unghiului

În triunghiurile $$ABC$$ și $$DEF$$ avem $$\angle A \equiv \angle D$$, $$\angle B \equiv \angle E$$ și $$[AB]\equiv[DE]$$, iar latura $$[AB]$$ este cuprinsă între unghiurile $$\angle A$$ și $$\angle B$$. Ce criteriu de congruență se aplică?

Nu se poate aplica niciun criteriu

Cum aleg criteriul de congruență potrivit?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Alegerea criteriului potrivit de congruență

Numeri câte laturi și câte unghiuri cunoști despre cele două triunghiuri, apoi te uiți la locul lor în figură. Două laturi cu unghiul prins între ele duc la cazul $LU L$ , două unghiuri cu latura prinsă între ele la $U LU$ , iar trei perechi de laturi la $LLL$ . Poziția hotărăște: un unghi lipit în afara celor două laturi nu determină figura. Al treilea element lipsă se găsește adesea gata în desen, ca latură comună sau ca unghiuri opuse la vârf.

În aplicații nu ni se spune direct ce criteriu să folosim: numărăm câte laturi (L) și câte unghiuri (U) cunoaștem despre cele două triunghiuri și unde sunt așezate.

2 laturi și unghiul dintre ele → $LU L$
2 unghiuri și latura dintre ele → $U LU$
toate cele 3 laturi → $LLL$

Capcana: dacă unghiul nu este cuprins între laturi, combinația LLU nu este criteriu de congruență. Al treilea element lipsă se găsește adesea ca „cadou" în figură: latură comună ( $[A D] \equiv [A D]$ ), unghiuri opuse la vârf, mijloc de segment sau bisectoare. După ce scriem $△ A B C \equiv △ M N P$ (cu vârfurile corespunzătoare în ordine), tragem consecințe: laturile și unghiurile corespondente sunt congruente.

Exemplu: dacă $O$ e mijlocul lui $[A C]$ și $[B D]$ , atunci $[O A] \equiv [O C]$ , $[O B] \equiv [O D]$ și $∠ A O B \equiv ∠ C O D$ (opuse la vârf) — deci $△ A O B \equiv △ C O D$ prin $LU L$ .

De reținut

$LU L$ : unghiul se află prins între laturile cunoscute
$U LU$ : latura se află prinsă între unghiurile cunoscute
$LLU$ și $U U U$ nu sunt criterii de congruență
latura comună și unghiurile opuse la vârf sunt elemente gata date în figură

Greșeala tipică

Se aplică $LU L$ ori de câte ori apar două laturi și un unghi, fără să se verifice poziția. Când unghiul stă în afara celor două laturi, figura nu este determinată, deci congruența nu se poate afirma.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiurile $M N P$ și $QR S$ avem $[M N] \equiv [QR]$ , $∠ M \equiv ∠ Q$ și $[M P] \equiv [QS]$ , iar unghiul $∠ M$ este cuprins între laturile $[M N]$ și $[M P]$ . Ce criteriu de congruență se aplică?
- a) $LU L$
- b) $U LU$
- c) $LLL$
- d) Nu se poate aplica niciun criteriu
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $LU L$

Avem 2 laturi ( $[M N]$ și $[M P]$ ) și unghiul $∠ M$ cuprins între ele. Tiparul este L-U-L, deci se aplică criteriul LUL.
Într-o problemă avem $[X Y] \equiv [U V]$ , $[Y Z] \equiv [V W]$ și $∠ X \equiv ∠ U$ , dar unghiul $∠ X$ nu este cuprins între laturile $[X Y]$ și $[Y Z]$ (este lângă $[X Y]$ , în afara lor). Ce putem spune despre triunghiuri?
- a) Sunt congruente prin criteriul $LU L$
- b) Avem combinația $LLU$ , care nu garantează congruența
- c) Sunt congruente prin criteriul $U LU$
- d) Sunt congruente automat, indiferent de poziția unghiului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Avem combinația $LLU$ , care nu garantează congruența

Deși avem 2 laturi și 1 unghi, unghiul nu este între laturi, deci structura este LLU. Această combinație nu este criteriu de congruență — pot exista triunghiuri diferite cu aceleași date LLU.
În triunghiurile $A B C$ și $D E F$ avem $∠ A \equiv ∠ D$ , $∠ B \equiv ∠ E$ și $[A B] \equiv [D E]$ , iar latura $[A B]$ este cuprinsă între unghiurile $∠ A$ și $∠ B$ . Ce criteriu de congruență se aplică?
- a) $LU L$
- b) $U LU$
- c) $LLL$
- d) Nu se poate aplica niciun criteriu
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $U LU$

Avem 2 unghiuri ( $∠ A$ și $∠ B$ ) și latura $[A B]$ cuprinsă între ele. Tiparul este U-L-U, deci se aplică criteriul ULU.

Întrebări conexe

De ce nu este $LLU$ un criteriu de congruență?

Fiindcă un unghi care nu stă între cele două laturi lasă figura nehotărâtă: din aceleași date se pot construi două triunghiuri deosebite, unul cu al treilea unghi ascuțit, celălalt cu el obtuz. De aceea criteriile cer unghiul cuprins între laturile cunoscute.

Cum demonstrez că bisectoarea unui triunghi isoscel este și înălțime?

Compari cele două triunghiuri mici formate de bisectoare. Ele au laturile egale ale figurii, unghiurile tăiate de bisectoare și segmentul comun, deci sunt congruente prin $LU L$ . Rezultă că cele două unghiuri din piciorul bisectoarei sunt egale între ele; stând alăturate pe baza triunghiului, ele adună $180°$ , deci fiecare are $90°$ .

Ce mai au egal două triunghiuri congruente, în afară de laturi și unghiuri?

Au perimetrele egale și ariile egale, fiindcă unul se suprapune peste celălalt. Tot ce se măsoară la primul se regăsește la al doilea: înălțimile, medianele și bisectoarele corespondente au aceleași lungimi.

Cât măsoară unghiurile de la baza unui triunghi isoscel cu vârful de $44°$ ?

Suma unghiurilor fiind $180°$ , celor două de la bază le rămân $180° - 44° = 136°$ . Fiind egale între ele, fiecare măsoară $136° : 2 = 68°$ . Verificarea adună înapoi: $44° + 68° + 68°$ dau $180°$ .

Cum redactez o demonstrație cu criterii de congruență?

Scrii pe rând cele trei perechi de elemente egale, fiecare cu motivul ei, apoi numești criteriul folosit și tragi concluzia. Din congruența triunghiurilor scoți la final exact egalitatea cerută în enunț. O demonstrație fără motivele scrise alături nu este completă.

Oamenii mai întreabă și: ce criteriu de congruență folosesc · alegerea criteriului de congruență · LUL ULU LLL când se folosesc · criterii de congruență aplicații