Fără a calcula produsul direct, compară numerele $$A = 48 \cdot 50$$ și $$B = 49^2$$.

nu se pot compara fără calcul complet

Ce formulă de calcul prescurtat folosesc?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Alegerea formulei potrivite

Te uiți la forma expresiei. Doi termeni ridicați împreună la pătrat cer $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , iar un produs de sumă cu diferență cere $a^{2} - b^{2}$ . Pentru calcul rapid scrii numărul lângă unul rotund: $10 3^{2} = 10 0^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 9 = 10609$ . Doi vecini ai unui număr rotund merg cu diferența de pătrate, deci $98 \cdot 102 = 9996$ .

Secretul calculului rapid: recunoști care formulă se potrivește cu forma expresiei din fața ta:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

La calcul mental, scrii numărul „urât" ca sumă sau diferență față de un număr rotund: $103 = 100 + 3$ , deci $10 3^{2} = 10 0^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^{2} = 10609$ . Doi „vecini" ai unui număr rotund cer diferența de pătrate: $98 \cdot 102 = 10 0^{2} - 2^{2} = 9996$ .

Două identități scurtează calculele: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ și $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ . De exemplu, dacă știi $a + b$ și $a \cdot b$ , afli direct $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ , fără să cunoști efectiv $a$ și $b$ .

Capcana clasică: $(a + b)^{2}$ nu este $a^{2} + b^{2}$ — termenul din mijloc $2 ab$ nu are voie să dispară. Și reține: formulele se citesc în ambele sensuri, le „desfaci" sau le „restrângi", după nevoie.

De reținut

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$

Greșeala tipică

Se scrie $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ , uitând termenul din mijloc. Pentru $a = 2$ și $b = 3$ se vede imediat că $25$ nu este $13$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculează rapid $20 5^{2}$ , folosind formula potrivită.
- a) $42025$
- b) $41025$
- c) $40025$
- d) $42125$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $42025$

$205 = 200 + 5$ , deci folosim pătratul sumei: $20 5^{2} = 20 0^{2} + 2 \cdot 200 \cdot 5 + 5^{2} = 40000 + 2000 + 25 = 42025$ .
Fără a calcula produsul direct, compară numerele $A = 48 \cdot 50$ și $B = 4 9^{2}$ .
- a) $A = B$
- b) $A < B$ , cu $1$ mai mic
- c) $A > B$ , cu $1$ mai mare
- d) nu se pot compara fără calcul complet
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A < B$ , cu $1$ mai mic

$48$ și $50$ sunt vecinii lui $49$ : $A = (49 - 1) (49 + 1) = 4 9^{2} - 1 = B - 1$ . Deci $A < B$ , cu exact $1$ mai puțin.
Calculează rapid $30 7^{2}$ , folosind formula potrivită.
- a) $94249$
- b) $92149$
- c) $90049$
- d) $94349$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $94249$

$307 = 300 + 7$ , deci folosim pătratul sumei: $30 7^{2} = 30 0^{2} + 2 \cdot 300 \cdot 7 + 7^{2} = 90000 + 4200 + 49 = 94249$ .

Întrebări conexe

Cum calculez rapid 97 la pătrat?

Scrii $97 = 100 - 3$ și folosești pătratul diferenței. Obții $10000 - 2 \cdot 100 \cdot 3 + 9 = 9409$ . Termenul din mijloc are semnul minus, iar ultimul rămâne pozitiv, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ. Metoda merge la orice număr apropiat de o sută sau de o mie.

Cum aflu suma pătratelor din sumă și produs?

Folosești $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ . Dacă suma este $7$ , iar produsul $10$ , obții $49 - 20 = 29$ . Nu îți trebuie valorile separate ale celor două numere, ceea ce scurtează mult calculul la exercițiile de examen.

Cum restrâng expresia x pătrat plus 6x plus 9?

Recunoști pătratul unei sume. Primul și ultimul termen sunt pătrate, ale lui $x$ și ale lui $3$ , iar termenul din mijloc este dublul produsului lor. Deci expresia se strânge în $(x + 3)^{2}$ . Verificarea se face desfăcând înapoi paranteza.

Ce formulă folosesc la 47 înmulțit cu 53?

Cele două numere sunt egal depărtate de $50$ , deci scrii $(50 - 3) (50 + 3)$ . Diferența de pătrate dă $2500 - 9 = 2491$ . Trucul merge de fiecare dată când numerele au aceeași medie și se abat cu tot atât de o parte și de alta.

Cum descompun în factori o diferență de pătrate?

Scrii fiecare termen ca pătrat, apoi aplici formula în sens invers. Din $9 x^{2} - 25$ obții $(3 x)^{2} - 5^{2}$ , adică $(3 x - 5) (3 x + 5)$ . Metoda merge doar la scădere, iar o sumă de pătrate nu se descompune cu numere obișnuite.

Cum verific o restrângere cu o valoare numerică?

Alegi o valoare simplă pentru literă și calculezi amândouă formele. Pentru $x = 1$ , expresia $x^{2} + 6 x + 9$ dă $16$ , iar $(x + 3)^{2}$ dă tot $16$ . Dacă rezultatele diferă, ai greșit undeva semnul sau termenul din mijloc.

Oamenii mai întreabă și: formule de calcul prescurtat · pătratul sumei și pătratul diferenței · diferența de pătrate · cum calculez rapid 103 la pătrat · aplicații ale formulelor de calcul prescurtat