Conjuncția: propoziții legate prin «și» (M2, științe ale naturii)

Într-un exercițiu școlar, o fișă este selectată dacă are completate data observației și codul probei. O fișă cu dată, dar fără cod, nu trece selecția; nici una cu cod, dar fără dată. Trebuie îndeplinite ambele cerințe. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această regulă devine conjuncția a două propoziții. La Bacalaureatul M2, citirea condițiilor simultane ajută la justificarea soluțiilor, fără să îi atribuim operației un loc fix într-un subiect.

Vom separa afirmațiile, le vom verifica pe rând și vom reconstrui verdictul întregului enunț. Ai nevoie de propoziția logică și valoarea de adevăr pentru M2; pentru o condiție formulată negativ, revino la negația unei propoziții în aceeași unitate. Tabelele vor fi mici, iar situațiile experimentale vor avea date declarate, astfel încât dificultatea să rămână una de raționament matematic.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici cele două afirmații pe care un enunț le cere simultan.
• Vei ști să stabilești adevărul conjuncției după verificarea componentelor, fără să te oprești la prima confirmare.
• Vei ști să aplici două criterii aceluiași rând dintr-un tabel, păstrând obiectul și momentul observației.
• Vei ști să citești o intersecție și un sistem simplu de relații drept condiții care trebuie îndeplinite împreună.
• Vei ști să explici ce poți deduce și ce rămâne necunoscut când întregul enunț este fals.

Hai să descoperim împreună

1. Cum desparți corect enunțul?

Din „Fișa R are dată și are cod” extragem $p$: „Fișa R are dată” și $q$: „Fișa R are cod”. Ambele propoziții se referă la aceeași fișă. Enunțul complet afirmă că ele sunt adevărate împreună. Îl notăm $p\wedge q$ și citim „p și q”.

Conjuncția este operația prin care două propoziții sunt legate astfel încât enunțul rezultat se confirmă numai prin confirmarea ambelor componente. Dacă o componentă este falsă, cerința comună nu este satisfăcută. Nu există aici un verdict intermediar pentru o fișă „pe jumătate corectă”.

Poți repeta subiectul la descompunere, chiar dacă în fraza inițială el apare o singură dată. Această repetare clarifică exact ce verifici. În „Numărul $42$ este par și depășește $50$”, prima propoziție este despre paritatea lui $42$, iar a doua despre comparația aceluiași număr cu $50$.

Nu orice apariție a lui „și” se desparte astfel. „Vasele A și B sunt identice” vorbește despre o relație între două vase. Nu rezultă două afirmații de forma „A este identic” și „B este identic”, deoarece acestea ar fi incomplete. Înainte de simbol, verifică dacă fiecare componentă are sens ca afirmație.

2. De ce sunt necesare patru cazuri?

Prima propoziție poate fi adevărată sau falsă, iar pentru fiecare alegere a ei a doua are, la rândul său, două posibilități. Inventarul combinațiilor are patru rânduri. Nu alegem rândul după cum am dori să iasă problema; îl alegem după verdictele justificate prin date.

Ultimul rând exprimă singura situație care îndeplinește simultan cerințele. În celelalte rânduri lipsește cel puțin o confirmare. Dacă folosești valorile numerice $0$ și $1$, aceeași regulă se poate scrie prin produs:

$$v(p\wedge q)=v(p)\cdot v(q).$$

Această înmulțire este între valorile de adevăr, nu între numerele din propoziții. Dacă două calcule dau rezultatele $6$ și $9$, nu înmulțești automat $6$ cu $9$ pentru a afla adevărul enunțului. Întâi verifici ce se afirmă despre fiecare rezultat și obții cei doi indicatori, fiecare egal cu zero sau unu.

Formula este o prescurtare a tabelului, nu o regulă suplimentară. Poți rezolva corect fără să o folosești, scriind clar că ambele afirmații se confirmă sau indicând afirmația care nu se confirmă.

3. Două criterii aplicate aceluiași rând

Într-un tabel fictiv despre frunze, alegem criteriile „lungime de cel puțin $8$ cm” și „niciun punct marcat”. Denumirile sunt doar criterii de selecție ale exercițiului, fără să exprime o concluzie biologică.

Frunza A este singura selectată. Pentru B, al doilea criteriu nu repară lungimea insuficientă. Pentru C, lungimea suficientă nu repară numărul punctelor. D nu respectă niciun criteriu, dar verdictul comun este tot fals, la fel ca pentru B și C.

Observă diferența dintre „ambele criterii apar undeva în tabel” și „același rând le respectă pe ambele”. Dacă am lua lungimea de la C și numărul punctelor de la B, am construi o fișă care nu există în date. Conjuncția despre o frunză cere verificarea tuturor condițiilor pentru frunza respectivă.

Aceeași grijă se aplică momentelor. Două observații făcute în momente diferite nu certifică automat că două proprietăți au fost îndeplinite simultan. În problemele de aici momentul este precizat sau datele aparțin aceleiași înregistrări.

4. Legătura cu intersecția mulțimilor

Să notăm cu $A$ mulțimea codurilor $\{L,N,Q\}$ și cu $B$ mulțimea $\{N,P,Q\}$. Un cod care aparține ambelor liste trebuie căutat în partea comună. Obținem $A\cap B=\{N,Q\}$.

Pentru codul $N$, propozițiile „$N\in A$” și „$N\in B$” sunt amândouă adevărate. Pentru codul $L$, prima este adevărată, iar a doua falsă; condiția comună nu este îndeplinită. Relația logică se scrie:

$$x\in A\cap B\text{ıˆnseamna˘}x\in A\text{și}x\in B.$$

Aici $x$ este un element ales din universul de coduri discutat. După alegerea lui, cele două apartenențe sunt propoziții pe care le verifici. Nu presupui că el se află într-o mulțime numai fiindcă a apărut într-o alta.

Dacă este necesar, reia intersecția mulțimilor din clasa a VI-a. Legătura actuală explică de ce două filtre aplicate împreună pot elimina rezultate din fiecare listă. Numărul elementelor comune nu se află în general înmulțind numărul elementelor celor două mulțimi: formula cu produsul privește doar valorile de adevăr zero și unu.

5. Aceeași valoare trebuie să verifice toate relațiile

Condiția $3\le x<8$ înseamnă că valoarea aleasă este cel puțin $3$ și este strict mai mică de $8$. La $x=3$ ambele cerințe sunt respectate. La $x=8$, numai prima este respectată. Prin urmare primul capăt este admis, iar al doilea este exclus.

Nu poți verifica limita inferioară cu o valoare și limita superioară cu alta. A spune că $9$ este cel puțin $3$ și că $2$ este sub $8$ nu dovedește că una dintre aceste valori respectă condiția dublă. Trebuie păstrată aceeași valoare a lui $x$ pe tot parcursul verificării.

Un sistem de relații funcționează la fel. Pentru perechea $(x,y)$, condițiile $2x+y=9$ și $x-y=3$ trebuie verificate împreună. Perechea $(4,1)$ le respectă: $2\cdot 4+1=9$ și $4-1=3$. Aceasta este o verificare a perechii date, fără să avem nevoie să dezvoltăm aici o metodă generală de rezolvare.

Când există o condiție de sens, și ea contează. O egalitate care conține o împărțire presupune un numitor nenul. Nu tratăm un calcul nedefinit drept o propoziție falsă obișnuită și nu îl introducem în tabelul de adevăr fără verificarea condițiilor.

6. O componentă poate conține o negație

Fie $p$: „Numărul $55$ este divizibil cu $5$” și $q$: „Numărul $55$ este par”. Enunțul „$55$ este divizibil cu $5$ și nu este par” are forma $p\wedge \neg q$.

Prima componentă este adevărată, deoarece $55=5\cdot 11$. Propoziția $q$ este falsă, dar negația ei este adevărată. În conjuncția cerută intră $p$ și $\neg q$, deci cele două componente efective sunt adevărate. Cuvântul „nu” nu face automat întregul enunț fals.

Parantezele pot schimba ceea ce ai de verificat. În $p\wedge \neg q$ negarea privește doar a doua afirmație. În $\neg (p\wedge q)$ este respinsă condiția comună. Nu confunda expresiile și nu schimba una în cealaltă fără justificare; regulile generale de negare vor fi studiate separat.

Cazul $p\wedge \neg p$ este mai simplu: cele două componente au întotdeauna adevăruri diferite. Una este falsă, astfel că cerința comună nu se poate confirma. Putem vedea acest lucru direct din cele două rânduri ale tabelului negației, fără un calcul cu numere din enunț.

7. Ce poți concluziona din verdictul final?

Dacă o conjuncție este adevărată, fiecare componentă este adevărată. Dacă însă conjuncția este falsă, nu ai voie să anunți că ambele componente sunt false. Tabelul conține trei rânduri care dau zero, iar în două dintre ele există și o componentă adevărată.

Pentru a confirma întregul enunț trebuie să justifici fiecare cerință. Pentru a-l respinge este suficient un motiv care infirmă una dintre cerințe. Dacă întrebarea solicită și valorile componentelor, le verifici pe toate, chiar dacă verdictul final a devenit deja sigur.

Uneori datele sunt incomplete. Dacă știi că $p$ este falsă, poți stabili că $p\wedge q$ este falsă fără să cunoști adevărul lui $q$. Dacă știi doar că $p$ este adevărată, ai nevoie de informație despre $q$. A nu cunoaște o componentă nu este același lucru cu a-i atribui zero.

La trei criterii legate numai prin „și”, regula rămâne aceeași: fiecare trebuie respectat. Ordinea verificărilor nu schimbă verdictul, dar poate scurta justificarea unei respingeri. Alege întâi o condiție simplă, păstrând totuși toate condițiile în enunțul problemei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Selectarea unei înregistrări

Un exercițiu acceptă înregistrările cu temperatură de cel mult $24$ de grade și durată de cel puțin $6$ minute. Datele sunt: A — $23$ de grade, $7$ minute; B — $25$ de grade, $8$ minute; C — $24$ de grade, $5$ minute. Care înregistrare este acceptată?

Pentru A, ambele comparații sunt adevărate: $23\le 24$ și $7\ge 6$. Pentru B, prima este falsă. Pentru C, prima se verifică inclusiv la egalitate, dar durata nu atinge pragul. Numai A respectă conjuncția.

Am folosit criteriile declarate ale exercițiului, nu o regulă universală despre temperatură și durată. Concluzia descrie exact selecția celor trei înregistrări date. Modificarea unui criteriu ar cere o verificare nouă.

Exemplul 2 — De ce nu putem combina două fișe?

Într-un model, fișa A indică o concentrație de $4\%$ și un volum de $70$ ml, iar fișa B o concentrație de $6\%$ și un volum de $50$ ml. Criteriile fictive de selectare sunt „concentrație de cel puțin $5\%$” și „volum de cel puțin $60$ ml”.

Fișa A nu respectă primul criteriu, deși respectă al doilea. Fișa B respectă primul, dar nu pe al doilea. Niciuna nu este selectată. Nu putem lua concentrația de la B și volumul de la A pentru a declara că o fișă îndeplinește ambele condiții.

Exemplul nu propune amestecarea unor substanțe și nu descrie efecte fizice. El verifică doar citirea a două perechi de date. Fiecare verdict trebuie să poată fi urmărit până la un singur rând al informațiilor oferite.

Exemplul 3 — Repararea unei concluzii prea puternice

Pentru $p$: „$4,2+2,8=7$” și $q$: „$\frac{9}{4}=2$”, o elevă găsește conjuncția falsă și concluzionează că ambele propoziții sunt false. Verificăm raționamentul.

Suma este $7$, deci $v(p)=1$. Fracția este $2,25$, deci egalitatea afirmată de $q$ este falsă și $v(q)=0$. Avem într-adevăr $v(p\wedge q)=0$, însă prima propoziție rămâne adevărată.

Verdictul întregului enunț este bun, iar explicația generală a elevei este greșită. O conjuncție falsă ne spune că cel puțin o cerință nu este îndeplinită. Pentru a afla care, folosim datele și calculele, nu deducem automat două falsuri.

Exemplul 4 — Coduri comune în două selecții

O primă verificare reține codurile $\{A,C,E\}$, iar a doua reține codurile $\{B,C,D,E\}$. Cerința finală este trecerea ambelor verificări.

Codurile comune sunt $C$ și $E$. Pentru fiecare dintre ele, apartenența la prima listă și apartenența la a doua sunt adevărate. Codul $A$ nu trece a doua verificare; codurile $B$ și $D$ nu trec prima. Selecția finală are două elemente.

Nu adunăm lungimile listelor și nu alegem automat lista mai scurtă. Căutăm elementele care apar efectiv în ambele. Acesta este sensul intersecției în problema de selecție și al conjuncției pentru fiecare cod verificat.

Exemplul 5 — Două relații pentru aceeași pereche

Verificăm perechile $(3,2)$ și $(1,3)$ pentru condițiile $x+2y=7$ și $2x-y=4$. Trebuie să evaluăm conjuncția celor două egalități pentru fiecare pereche.

La $(3,2)$ obținem $3+2\cdot 2=7$ și $2\cdot 3-2=4$, deci ambele afirmații sunt adevărate. La $(1,3)$, prima egalitate rămâne adevărată, dar $2\cdot 1-3=-1$, diferit de $4$. Această pereche nu respectă sistemul.

Am păstrat ordinea coordonatelor și am folosit aceeași pereche în ambele relații. Nu este suficient ca fiecare ecuație să aibă o verificare reușită pentru o pereche oarecare; perechea propusă ca răspuns trebuie să treacă ambele controale.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați sistemul format din ecuațiile $x+3y=11$ și $3x-y=13$, apoi arătați că, pentru soluția lui, enunțul „$x>y$ și $x+y$ este impar” este adevărat.

Din a doua ecuație, $y=3x-13$. Înlocuind în prima, $x+3(3x-13)=11$, adică $10x=50$, deci $x=5$ și $y=3\cdot 5-13=2$. Verificăm: $5+3\cdot 2=11$ și $3\cdot 5-2=13$. Sistemul este chiar o conjuncție: perechea $(5,2)$ trebuie să verifice ambele ecuații deodată.

Pentru enunțul cerut, $5>2$, iar $x+y=7$ este impar. Ambele componente sunt adevărate, deci conjuncția este adevărată. Dacă una dintre ele ar fi căzut, rezolvarea corectă a sistemului n-ar fi salvat verdictul.

Exercițiul este construit pentru antrenament. Modelul oficial M_șt-nat din 2026 folosește cerințe de justificare, dar nu fixează o întrebare separată despre tabelul conjuncției. Aici accentul este pe faptul că soluția sistemului, singură, nu încheie cerința: fiecare componentă a enunțului se verifică separat, pe aceeași pereche.

Să exersăm

La enunțurile cu două componente, notează pe scurt ce verifici în fiecare. Dacă respingi conjuncția printr-o singură componentă, numește acea componentă și justifică de ce este falsă.

1. Fie $p$: „$16+27=43$” și $q$: „$56:8=7$”. Determină adevărul lui $p\wedge q$.

2. Evaluează „$3,6+1,4=5$ și $4,5-1,2=3$”, explicând separat cele două calcule.

3. Pentru câte dintre cele patru perechi $(v(p),v(q))$ este adevărată propoziția $\neg p\wedge q$? Scrie perechile și explică de ce celelalte sunt excluse.

4. Scrie cele două condiții din „Masa probei este de cel puțin $20$ g și de cel mult $28$ g”. Verifică masa exactă de $28$ g.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $p\wedge q$ este adevărată, atunci $p\wedge \neg q$ este falsă.”

6. Fie $A$ mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât $20$ și $B$ mulțimea multiplilor naturali ai lui $3$ mai mici decât $20$. Scrie $A\cap B$ și formulează apartenența la $A\cap B$ ca o conjuncție de două proprietăți.

7. (Problemă aplicată.) Fișa U are $18$ observații și $2$ câmpuri necompletate; fișa V are $21$ de observații și niciun câmp necompletat. Criteriile sunt „cel puțin $20$ de observații” și „toate câmpurile completate”. Ce fișă este selectată?

8. Din lista $8,11,14,17,20$, selectează numerele pare care depășesc $12$. Justifică eliminarea numerelor care respectă numai o condiție.

9. Evaluează enunțul cu trei componente „$3,5$ nu este număr întreg, $3,5>3$ și $3,5\cdot 6$ este impar”. Precizează valoarea fiecărei componente.

10. Se știe că $v(p\wedge q)=0$ și $v(\neg p)=0$. Determină $v(p)$ și $v(q)$.

11. Fișa Z este respinsă de regula „Exact două pagini și cel puțin trei imagini”. Fără alte date, poți afirma că fișa nu are două pagini? Dă două perechi posibile de date care explică răspunsul.

12. Pentru fiecare valoare din lista $-5$, $0$, $4$, $6$, evaluează enunțul „$\frac{30}{x}$ are sens și $\frac{30}{x}$ este număr întreg”. De ce contează aici ordinea în care verifici cele două componente?

13. (Problemă aplicată.) Patru probe au masele și volumele: A — $45$ g și $40$ ml; B — $36$ g și $40$ ml; C — $66$ g și $60$ ml; D — $48$ g și $48$ ml. Se selectează probele cu densitatea de cel puțin $1$ g/ml și volumul sub $50$ ml. Care probe sunt selectate?

14. Găsește un număr din lista $-2,0,2,4$ care satisface $x\ge 0$, $x<3$ și $x\ne 0$. Verifică toate cele trei condiții.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $v(p)\ne v(q)$, atunci $v(p\wedge q)=v(p)$.”

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele întregi $n$ pentru care este adevărată propoziția „$3n-4>2$ și $2n+3\le 17$”.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că pentru numerele $28$, $45$ și $53$ este adevărată propoziția „$28+45>53$ și $28^2+45^2=53^2$”. Ce spune ea despre un triunghi cu laturile de $28$ cm, $45$ cm și $53$ cm?

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) (Provocare.) Arătați că nu există niciun număr real $x$ pentru care să fie adevărată propoziția „$2x-1>7$ și $x+3<6$”.

Răspunsuri și explicații

1. Ambele propoziții sunt adevărate: adunarea dă $43$, iar împărțirea dă $7$. Perechea valorilor este $(1,1)$, deci conjuncția este adevărată. Cele două justificări privesc calcule diferite și sunt amândouă necesare pentru confirmarea cerinței.

2. Prima egalitate este adevărată. În a doua, diferența este $4,5-1,2=3,3$, nu $3$, deci afirmația este falsă. Enunțul legat prin „și” este fals; adunarea corectă din prima parte nu repară egalitatea greșită din partea a doua.

3. Numai pentru perechea $(0,1)$. Conjuncția cere ca ambele componente efective, $\neg p$ și $q$, să fie adevărate, adică $v(p)=0$ și $v(q)=1$. În celelalte trei perechi fie $p$ este adevărată, deci $\neg p$ este falsă, fie $q$ este falsă.

4. Dacă masa este notată $m$, condițiile sunt $m\ge 20$ și $m\le 28$. La $m=28$, ambele sunt adevărate. Pragul superior este admis deoarece formularea „cel mult” include egalitatea; nu transformăm a doua condiție într-o comparație strictă.

5. Afirmația este adevărată. Dacă $p\wedge q$ este adevărată, atunci $q$ este adevărată, deci $\neg q$ este falsă. O conjuncție cu o componentă falsă este falsă, așa că $p\wedge \neg q$ are valoarea $0$.

6. Avem $A\cap B=\{0,6,12,18\}$: sunt numerele naturale mai mici decât $20$ care sunt pare și multipli de $3$. Apartenența se scrie „$x$ este par și $x$ este multiplu de $3$”, pentru $x$ natural mai mic decât $20$. Numărul $0$ intră și el, fiind par și multiplu de $3$.

7. Fișa V este selectată: are suficient de multe observații și toate câmpurile completate. Fișa U nu respectă niciun criteriu. Pentru a o respinge ar fi suficient oricare dintre aceste două motive, dar datele permit verificarea completă.

8. Numerele selectate sunt $14$ și $20$. Valoarea $8$ este pară, dar prea mică. Valorile $11$ și $17$ nu sunt pare; chiar dacă $17$ depășește pragul, nu îndeplinește cerința comună. Verificarea rămâne individuală pentru fiecare număr.

9. Toate trei componentele sunt adevărate: $3,5$ se află strict între $3$ și $4$, deci nu este întreg; $3,5>3$; iar $3,5\cdot 6=21$, număr impar. Enunțul este adevărat. Prima componentă conține o negație, dar valoarea ei este $1$.

10. Din $v(\neg p)=0$ rezultă $v(p)=1$. Dacă și $q$ ar fi adevărată, conjuncția ar fi adevărată, contrar datelor. Prin urmare $v(q)=0$. Aici informația despre $p$ a permis aflarea componentei care a făcut conjuncția falsă.

11. Nu putem afirma aceasta. O fișă cu două pagini și o imagine este respinsă, deși prima condiție este adevărată. O fișă cu o pagină și trei imagini este și ea respinsă, dar prima condiție este falsă. Același verdict final admite ambele situații.

12. Pentru $-5$ obținem $-6$, întreg: enunțul este adevărat. Pentru $0$ prima componentă este falsă, deci enunțul este fals; a doua componentă nici nu mai are sens. Pentru $4$ obținem $7,5$, care nu este întreg, iar pentru $6$ obținem $5$, întreg. Enunțul este adevărat pentru $-5$ și $6$. Prima componentă se verifică întâi, fiindcă ea garantează că a doua are sens.

13. Densitățile sunt, în ordine, $\frac{45}{40}=1,125$, $\frac{36}{40}=0,9$, $\frac{66}{60}=1,1$ și $\frac{48}{48}=1$ g/ml. Sunt selectate A și D: ambele au densitatea de cel puțin $1$ g/ml și volumul sub $50$ ml; D este acceptată la limită. B cade la densitate, iar C cade la volum, deși are densitatea potrivită.

14. Numărul cerut este $2$. El este nenegativ, este sub $3$ și este diferit de zero. Valoarea $-2$ cade la prima condiție, $0$ la ultima, iar $4$ la a doua. Lista completă arată că alegerea este unică.

15. Afirmația este falsă. Pentru $v(p)=1$ și $v(q)=0$, valorile sunt diferite, iar $v(p\wedge q)=0\ne 1=v(p)$. Egalitatea are loc numai pentru perechea $(0,1)$, deci nu în toate cazurile cerute.

16. Prima componentă dă $3n>6$, adică $n>2$; a doua dă $2n\le 14$, adică $n\le 7$. Conjuncția cere ambele condiții pentru același $n$, deci $2<n\le 7$. Numerele întregi căutate sunt $3$, $4$, $5$, $6$ și $7$.

17. Avem $28+45=73$, iar $73>53$, deci prima componentă este adevărată. Apoi $28^2+45^2=784+2025=2809$ și $53^2=2809$, deci și a doua este adevărată. Conjuncția este adevărată: prima parte arată că latura cea mai lungă este mai mică decât suma celorlalte două, iar a doua, prin reciproca teoremei lui Pitagora, că triunghiul este dreptunghic.

18. Prima componentă cere $2x>8$, adică $x>4$, iar a doua cere $x<3$. Un număr mai mare decât $4$ nu poate fi mai mic decât $3$, deci cele două componente nu sunt adevărate niciodată pentru același $x$. Conjuncția este falsă pentru orice număr real, iar intersecția intervalelor $(4,\infty )$ și $(-\infty ,3)$ este vidă.

De reținut

• Pentru a confirma două cerințe legate prin „și”, verifică fiecare componentă și păstrează aceeași valoare ori același obiect.
• Un singur criteriu neîndeplinit respinge conjuncția; nu este necesar ca toate criteriile să eșueze.
• Produsul se aplică indicatorilor logici $0$ și $1$, după evaluarea propozițiilor, nu rezultatelor numerice din acestea.
• Intersecția reține elementele care apar în ambele mulțimi; un sistem cere aceleiași valori sau perechi să respecte toate relațiile.
• Falsul conjuncției nu identifică singur componenta falsă. Pentru aceasta sunt necesare datele sau verificările separate.

Greșeli frecvente

• Verifici capetele unei condiții duble pe numere diferite. În $a\le x<b$ ambele comparații privesc aceeași valoare a lui $x$; o valoare care trece de un capăt nu garantează nimic pentru o alta.
• Combini date din rânduri diferite. Păstrează codul observației în dreptul fiecărei verificări, apoi formulează verdictul pentru acel cod.
• Deduci două falsuri dintr-un rezultat fals. Recitește cele trei rânduri ale tabelului care dau valoarea zero.
• Uiți negația unei componente. Înainte de conjuncție stabilește valoarea componentei complete, inclusiv a negării ei.
• Folosești o expresie fără sens. Controlează întâi condițiile calculelor; o împărțire la zero nu primește automat eticheta de propoziție falsă.

Aplică acasă

1. Alege cinci cărți și notează pentru fiecare numărul de pagini și dacă are ilustrații. Stabilește un prag de pagini și selectează cărțile care îndeplinesc ambele criterii alese. Menține câte un rând pentru fiecare carte.
2. Scrie două liste de coduri pentru obiecte de pe birou, după două proprietăți precizate. Găsește codurile comune și explică de ce un obiect aflat într-o singură listă este eliminat.
3. Pregătește patru perechi de cartonașe cu valorile logice zero și unu. Amestecă perechile și reconstruiește rezultatul conjuncției, justificând fiecare răspuns prin regula celor două condiții.

Pentru părinți și profesori

Un elev care a înțeles operația poate explica diferența dintre respingerea și confirmarea unui enunț. Cereți-i să indice exact condiția care a eșuat, fără să afirme în plus că au eșuat și celelalte. Apoi propuneți o fișă pentru care prima condiție se confirmă, iar informația despre a doua lipsește.

Tabelele oferă un control al citirii datelor: fiecare verdict trebuie legat de același rând. Contextul de laborator este fictiv, iar criteriile sunt definite în problemă. Nu se formulează reguli de siguranță sau concluzii biologice. Pentru recapitularea mai largă a unității există testul de logică matematică M2; el include și noțiuni din lecțiile următoare.

Programa și examenul. Conjuncția și interpretarea ei prin intersecție ori sisteme de relații sunt prevăzute în programa de Științe, OMEC 6930/2025, anexa 28, pentru clasa a IX-a începând cu 2026–2027. În programa Bacalaureatului 2030, MAT_P2, apar în domeniul Algebră. Operația este inclusă și în programa M_șt-nat a Bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029. Modelul oficial din 2026 nu îi rezervă un exercițiu distinct; materialul de față dezvoltă justificări pe exemple originale.

Întrebări frecvente

De ce o condiție foarte bine îndeplinită nu compensează alta falsă?

Conjuncția nu face o medie a reușitelor și nu acordă puncte parțiale condițiilor. Ea verifică dacă fiecare cerință este adevărată. O valoare mult peste un prag nu repară lipsa unui alt criteriu. Dacă problema ar prevedea o compensare, aceea ar fi o regulă diferită, care trebuie formulată explicit în date.

Cum evit amestecarea datelor la o selecție din tabel?

Păstrează pe fiecare rând numele sau codul obiectului, apoi adaugă câte o coloană pentru adevărul fiecărei condiții. Verdictul final se formează numai din acele coloane ale aceluiași rând. Această organizare face vizibile atât criteriul care respinge observația, cât și situația în care toate criteriile sunt întrunite pentru ea.

Ce aflu sigur dacă o conjuncție este falsă?

Afli că cel puțin o componentă nu este adevărată. Nu afli automat care și nici dacă ambele sunt false. Pentru această informație suplimentară trebuie citite datele ori făcute verificările individuale. Tabelul arată trei combinații compatibile cu verdictul zero, deci o singură concluzie despre fiecare componentă ar depăși informația oferită.

Cum diferă această prezentare M2 de lecția M1?

La M2 construim verificarea pornind de la fișe, rânduri de tabel și relații simple, astfel încât condițiile simultane să fie vizibile. Exercițiile au date proprii și justificări scurte. Pentru comparație este disponibilă Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: conjuncția. Ea nu este necesară pentru continuarea traseului autonom de Științe.

La ce Subiect apare conjuncția la Bacalaureatul M2?

Operația este în programă, dar modelul oficial M_șt-nat din 2026 nu o izolează într-o cerință despre tabelul de adevăr. De aceea nu îi atribuim un Subiect fix. Exercițiile marcate aici pregătesc verificarea tuturor condițiilor dintr-un enunț și sunt construite pentru lecție, fără a reproduce o întrebare oficială.

Ce se schimbă dacă înlocuiesc legătura „și” cu „sau”?

Se schimbă regula care decide adevărul întregului enunț. La conjuncție ai nevoie de ambele componente adevărate; la disjuncție este suficientă cel puțin una. Perechile în care adevărurile diferă vor primi astfel alt verdict. Continuă cu disjuncția pentru M2, unde vei verifica și cazul în care ambele condiții sunt îndeplinite.