Negația unei propoziții (M2, științe ale naturii)

Pe fișa unui experiment școlar scrie că un recipient conține cel mult $250$ ml. Un coleg respinge afirmația și spune că recipientul conține mai puțin de $250$ ml. A respins-o cu adevărat? O cantitate mai mică respectă chiar condiția inițială. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), înveți să formulezi exact ce ar însemna ca o afirmație să fie falsă. Această atenție susține justificările de la Bacalaureatul M2, fără să presupună că negația va avea o cerință separată într-un anumit subiect.

Vei lucra cu date precizate, comparații și liste finite. Punctul de plecare este propoziția logică și valoarea de adevăr la M2. Dacă semnele de comparație îți dau de lucru, recitește compararea numerelor raționale din clasa a VI-a. În această lecție urmărești ce se schimbă atunci când negi o afirmație și ce trebuie păstrat: obiectul discutat, datele, momentul observației și înțelesul condiției.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești o afirmație care respinge exact propoziția dată, fără să inventezi o valoare înlocuitoare.
• Vei ști să treci de la verdictul unei propoziții la verdictul negației sale și să explici schimbarea.
• Vei ști să negi pragurile dintr-o fișă de lucru, tratând separat valoarea egală cu limita.
• Vei ști să verifici într-un tabel finit ce observație infirmă o afirmație despre toate datele.
• Vei ști să simplifici două negări succesive și să separi operația logică de simpla prezență a unor cuvinte negative.

Hai să descoperim împreună

1. Ce respingi și ce păstrezi?

Înainte să introduci negația, citește propoziția în întregime. Dacă ea vorbește despre volumul recipientului A la începutul experimentului, negația trebuie să privească tot recipientul A și același moment. O afirmație despre recipientul B nu poate înlocui această operație, chiar dacă are întâmplător altă valoare de adevăr.

Notăm cu $p$ propoziția „Recipientul A conține exact $180$ ml”. Negația lui $p$ afirmă că volumul nu este egal cu $180$ ml. O putem nota $\neg p$ și o citim „non p”. Formularea „Recipientul A conține exact $200$ ml” spune mai mult decât negația: alege o singură cantitate dintre toate cele care ar respinge egalitatea inițială.

Pentru a controla diferența, imaginează-ți că valoarea dată este $175$ ml. Atunci afirmația inițială este falsă, iar negația ei este adevărată. Afirmația despre $200$ ml ar fi însă falsă. Ai găsit astfel un caz care arată că schimbarea numărului nu produce, în general, negația.

O formulare de pornire sigură este „Este fals că…”, urmată de afirmația completă. După aceea poți rescrie mai natural, păstrând sensul. Acest pas este folositor mai ales când propoziția este lungă: împiedică mutarea negației asupra unei părți care nu era vizată.

2. Cum se schimbă valoarea de adevăr?

Negația are valoarea $1$ exact în cazul în care propoziția inițială are valoarea $0$. Dacă propoziția inițială este adevărată, respingerea ei este falsă. Regula privește adevărul întregului enunț, nu semnul numerelor care apar în el.

În fiecare rând se schimbă verdictul. Pe baza tabelului putem scrie:

$$v(\neg p)=1-v(p).$$

Pentru propoziția „$63:9=7$”, împărțirea confirmă egalitatea. Avem $v(p)=1$, deci $v(\neg p)=0$. Observă că operația logică nu cere să înlocuiești câtul cu $-7$. Numărul $7$ rămâne rezultatul calculului; negarea privește afirmația că acel rezultat este egal cu numărul anunțat.

Într-o rezolvare completă apar două etape: justifici verdictul inițial și aplici schimbarea din tabel. Dacă exercițiul îți oferă deja $v(p)$, calculul din interiorul propoziției poate lipsi, fiindcă informația necesară operației este cunoscută. Nu inventezi însă o justificare numerică atunci când nu ai primit enunțul lui $p$.

3. Pragurile: cazul egalității decide semnul

În multe fișe apar „mai mult”, „cel mult”, „minimum” sau „sub”. Tradu mai întâi aceste cuvinte într-o comparație. În tabelul următor, $a$ și $b$ desemnează numere reale fixate; pentru valori diferite aplici aceeași regulă de negare.

Să citim o singură linie în detaliu. Pentru „Durata este cel puțin $12$ minute”, egalitatea este admisă: durata de $12$ minute respectă afirmația. Negarea trebuie să cuprindă duratele mai mici și să excludă $12$. Așadar, „Durata este sub $12$ minute” este formularea potrivită.

Dacă ai scrie „Durata este cel mult $12$ minute”, ambele afirmații ar fi adevărate la durata exactă de $12$ minute. Acest lucru contrazice tabelul negației. Verificarea pe limită nu este un artificiu de memorare; ea arată direct dacă ai împărțit corect situațiile posibile.

Când compari mărimi, păstrează unitatea. Negația unei afirmații în minute rămâne o afirmație despre aceeași durată. Poți transforma minutele în secunde, dar transformi și pragul. Altfel ai schimba problema numerică, nu doar verdictul ei.

4. O altă afirmație falsă nu este automat negația

Două enunțuri pot avea verdicte diferite într-un caz și totuși să nu exprime o regulă de negare. De exemplu, pentru o durată de $16$ minute, „Durata depășește $14$ minute” este adevărată, iar „Durata este sub $10$ minute” este falsă. Cele două verdicte diferite nu demonstrează că enunțurile se neagă reciproc.

La durata de $11$ minute, ambele ar fi false. Negația corectă a primei condiții este „Durata este cel mult $14$ minute”. Ea acoperă și durata de $11$ minute, și durata de $14$ minute, precum și toate celelalte durate care nu depășesc pragul inițial.

Același principiu se aplică afirmațiilor despre culori, categorii sau rezultate. Din „Eticheta nu este albastră” nu rezultă că eticheta este verde, dacă sunt permise și alte culori. Poți face această înlocuire doar când datele spun explicit că există exact cele două posibilități.

În schimb, pentru un număr întreg, a spune că nu este par înseamnă că este impar. Domeniul numerelor întregi justifică aici cele două variante. Dacă numărul ar fi un real oarecare, nu ai avea voie să aplici etichetele de paritate fără să verifici mai întâi că este întreg.

5. Negarea unei afirmații despre o listă completă

Consideră lista temperaturilor $17$, $19$, $22$ de grade dintr-un model școlar. Afirmația „Toate cele trei valori sunt sub $21$” este falsă, deoarece valoarea $22$ nu respectă condiția. Negația spune că există în această listă cel puțin o valoare care nu este sub $21$.

Nu trebuie ca toate valorile să fie mari. Primele două pot respecta condiția inițială, iar a treia să o infirme. Un singur caz nepotrivit este suficient pentru a respinge un enunț despre fiecare element al listei.

La polul opus, „Niciuna dintre cele trei valori nu este sub $21$” ar cere ca toate cele trei să nu respecte pragul. Aceasta este o cerință mult mai puternică și este falsă pentru lista noastră. Negarea exactă păstrează informația necesară respingerii, fără să adauge cerințe suplimentare.

Lucrăm aici cu liste finite date integral, astfel încât poți controla fiecare element. Pentru propoziții cu „oricare” și „există”, regulile vor fi organizate într-o lecție separată. Deocamdată este suficient să precizezi elementul care contrazice afirmația și să îl cauți în lista despre care se vorbește.

6. Ce fac două negări succesive?

Pornind de la $p$, o negare schimbă verdictul, iar a doua îl schimbă încă o dată. Tabelul arată rezultatul fără să depindă de conținutul propoziției:

De aceea, $\neg (\neg p)$ are același adevăr ca $p$. Dacă $p$ spune „Fișa A are codul $28$”, enunțul „Este fals că fișa A nu are codul $28$” revine la afirmarea codului inițial. Datele fișei stabilesc apoi dacă această afirmație este adevărată.

Nu număra mecanic toate cuvintele negative dintr-o frază. În română, „Nimeni nu lipsește” nu înseamnă că lipsește cineva. Pentru operația matematică trebuie să recunoști două respingeri aplicate una în interiorul celeilalte, nu doar două cuvinte care par negative.

Parantezele din $\neg (\neg p)$ arată tocmai această așezare. Prima dată negi $p$; apoi negi propoziția obținută. Dacă apar mai multe operații, păstrezi parantezele până când ai stabilit ce enunț este negat. Conjuncția pentru M2 va introduce legarea a două propoziții; regulile pentru negarea unui întreg enunț compus se studiază după această etapă.

7. Cum redactezi un răspuns care poate fi verificat?

La cerința „Scrie negația”, răspunsul principal este un enunț, nu doar cifra $0$ sau $1$. La cerința „Determină valoarea de adevăr a negației”, cifra trebuie însoțită de motivul care stabilește adevărul propoziției inițiale. Citește verbul cerinței înainte să începi calculele.

O rezolvare scurtă poate avea trei propoziții: „Negația este…”, „Din date obțin…”, „Prin urmare valoarea ei de adevăr este…”. Când datele nu sunt suficiente pentru verdict, poți totuși formula negația: o afirmație despre un obiect deja fixat are o valoare de adevăr chiar dacă nu o cunoști, cum ai văzut în lecția despre propoziția logică.

Pentru control, verifică dacă ai modificat accidental un nume, un prag sau un moment. Apoi încearcă valoarea de pe limită ori o situație intermediară. Această verificare găsește frecvent erorile de sens înainte de orice calcul lung.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un total dintr-un inventar

O cutie are $18$ etichete albe și $25$ etichete galbene. Fie $p$: „Cutia are exact $45$ de etichete”. Scriem negația și stabilim adevărul ei.

Calculăm totalul: $18+25=43$. Propoziția $p$ este falsă. Negația ei spune „Cutia nu are exact $45$ de etichete”, așadar $v(\neg p)=1$. Numărul real de etichete justifică verdictul, dar nu intră obligatoriu în formularea negației.

„Cutia are $43$ de etichete” este o informație adevărată mai precisă. Ea ne permite să demonstrăm negația, fără să fie formularea generală a acesteia. Separăm astfel ce afirmă negarea de datele concrete prin care o verificăm.

Exemplul 2 — Negația unei afirmații cu unitate de măsură

Un debitmetru arată că printr-o conductă de laborator trec $0,35$ L de apă pe secundă, la debit constant. Fie $p$: „Debitul depășește $1200$ L pe oră”. Scriem negația și stabilim valoarea ei de adevăr.

Negația este „Debitul este de cel mult $1200$ L pe oră”. Ca să o verificăm, aducem debitul la aceeași unitate: o oră are $3600$ de secunde, deci prin conductă trec $0,35\cdot 3600=1260$ L pe oră. Cum $1260>1200$, propoziția $p$ este adevărată, iar negația ei este falsă: $v(\neg p)=0$.

Comparația directă a numerelor $0,35$ și $1200$ ar fi dus la verdictul opus, deși negația fusese formulată corect. Formularea negației privește relația; verificarea ei cere ca mărimea măsurată și pragul să fie exprimate în aceeași unitate.

Exemplul 3 — Ce informație lipsește dintr-o negare greșită?

Trei fișe au marcaje roșu, verde și galben. Un elev spune că negația lui „Marcajul fișei este roșu” este „Marcajul fișei este verde”.

Fișa galbenă infirmă această propunere: marcajul ei nu este roșu, dar nici verde. Negarea corectă este „Marcajul fișei nu este roșu”. Pentru fișele verde și galbenă, aceasta este adevărată; pentru fișa roșie, este falsă.

Greșeala nu se repară alegând altă culoare unică. Trebuie păstrate toate situațiile permise care resping culoarea roșie. Numai dacă enunțul ar limita explicit marcajele la roșu și verde, înlocuirea propusă ar funcționa în acel domeniu.

Exemplul 4 — O observație care respinge un „toate”

Într-o fișă fictivă, masele a patru probe sunt $4,2$, $4,8$, $5,1$ și $4,6$ g. Fie $p$: „Fiecare probă are masa sub $5$ g”. Care este negația și cum o justificăm?

Negația afirmă că măcar una dintre probe are masa de cel puțin $5$ g. Proba de $5,1$ g este suficientă: ea face propoziția inițială falsă și negația adevărată. Nu afirmăm că toate probele au mase de cel puțin $5$ g.

Lista ne permite și un control suplimentar: celelalte trei mase sunt sub prag. Ele arată de ce respingerea unui „fiecare” nu trebuie transformată în cerința ca fiecare probă să se afle de cealaltă parte a limitei.

Exemplul 5 — Negarea unei afirmații cu „exact”

Cinci probe încălzite au, la final, temperaturile de $37$, $42$, $45$, $40$ și $48$ de grade Celsius. Fie $p$: „Exact două probe au temperatura peste $40$ de grade”. Care este negația și ce valoare de adevăr are?

Negația este „Numărul probelor cu temperatura peste $40$ de grade este diferit de doi”. Ea nu spune „exact trei” și nici „niciuna”: respinge un singur număr și le acceptă pe toate celelalte. Numărăm valorile strict mai mari decât $40$: $42$, $45$ și $48$, adică trei probe; proba de $40$ de grade nu intră. Prin urmare $v(p)=0$ și $v(\neg p)=1$.

Numărul trei dovedește negația, dar nu este formularea ei. Dacă lista ar fi avut o singură probă peste prag, negația ar fi fost tot adevărată, cu altă justificare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră expresia $E(x)=\frac{x+4}{3x-6}$, unde $x$ este un număr real. Arătați că propoziția „$E(x)$ are sens” este falsă numai pentru $x=2$ și scrieți negația condiției de existență.

Fracția are sens exact când numitorul este nenul: $3x-6\ne 0$. Egalitatea $3x-6=0$ are o singură soluție, $x=2$, deci condiția de existență se scrie $x\ne 2$. Negația ei este $x=2$: numai pentru această valoare propoziția „$E(x)$ are sens” este falsă. De exemplu, $E(0)=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$ există, iar la $x=2$ numitorul devine $0$.

Negația condiției $x\ne 2$ este egalitatea $x=2$, nu o inegalitate nouă. Numărătorul nu influențează existența fracției: am negat condiția de existență, nu formula expresiei.

Acesta este un antrenament original de calcul și justificare. Formularea „Arătați că” este folosită și în modelul oficial M_șt-nat din 2026, dar modelul nu oferă o cerință separată despre această negație. Nu deducem de aici o poziție fixă a temei la examen.

Să exersăm

Formulează negația înainte de a calcula, atunci când cerința o solicită. Pentru întrebările despre valoarea de adevăr, scrie și verificarea. Exercițiile marcate pentru antrenament sunt originale.

1. Fie $p$: „La ora 8, frecvența cardiacă a sportivului A în repaus este diferită de $60$ de bătăi pe minut”. Care dintre propunerile următoare este negația lui $p$? a) „La ora 8, frecvența cardiacă a sportivului A în repaus este de $60$ de bătăi pe minut”; b) „La ora 8, frecvența sportivului A este de $58$ de bătăi pe minut”; c) „La ora 9, frecvența sportivului A este de $60$ de bătăi pe minut”; d) „La ora 8, frecvența sportivului B este de $60$ de bătăi pe minut”. Explică de ce le respingi pe celelalte.

2. Fie $q$: „$84:7=11$”. Stabilește $v(q)$ și $v(\neg q)$, justificând prin împărțire.

3. O baie de răcire este considerată pregătită dacă temperatura ei este de cel mult $-12^{\circ }\mathrm{C}$. Scrie condiția negată și verifică-o pentru temperaturile de $-15^{\circ }\mathrm{C}$ și $-9^{\circ }\mathrm{C}$.

4. Pentru numere reale deja fixate, neagă: a) $a<6$; b) $b\le -2$; c) $c\ne 9$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă propozițiile $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr, atunci și negațiile lor, $\neg p$ și $\neg q$, au aceeași valoare de adevăr.” Justifică verdictul.

6. Tabelul unui experiment arată că nivelul apei dintr-un vas era de $38$ cm la ora 12 și de $40$ cm la ora 13. Un elev neagă propoziția „La ora 12, nivelul apei era de $40$ cm” prin „La ora 13, nivelul apei nu era de $40$ cm”. Compară valoarea de adevăr a propunerii lui cu cea a negației corecte.

7. Aplicăm lui $p$ trei negări succesive și obținem $\neg (\neg (\neg p))$. Ce legătură are valoarea ei cu $v(p)$? Formulează o regulă pentru un număr oarecare de negări succesive și justific-o.

8. Fie $p$: „Numărul $18\cdot 5$ este mai mic decât $100$”. Verifică propoziția, apoi determină $v(\neg p)$ și $v(\neg (\neg p))$.

9. (Problemă aplicată.) Un protocol cere ca fiecare etapă să dureze cel mult $3$ minute. Duratele înregistrate sunt $170$ s, $3$ min $10$ s, $180$ s și $2,9$ min. Pentru fiecare, evaluează negația condiției. Câte negații sunt adevărate?

10. Într-o săptămână, planta A a crescut de la $12$ cm la $17$ cm, iar planta B de la $14$ cm la $19$ cm. Neagă afirmația „Planta A a crescut mai mult decât planta B” și stabilește care dintre cele două propoziții este adevărată. Este „Planta B a crescut mai mult decât planta A” negația cerută?

11. Pentru un număr întreg $n=46$, formulează și evaluează negația propoziției „$n$ este impar”. Precizează de ce poți folosi cuvântul „par”.

12. Într-o clasă de $35$ de elevi, $13$ au ales cercul de biologie. Neagă afirmația „Cel puțin $40\%$ dintre elevi au ales cercul de biologie” și decide care dintre cele două propoziții este adevărată.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația afirmației «Cel mult trei eprubete din lot sunt fisurate» este «Cel puțin trei eprubete din lot sunt fisurate».” Verifică propunerea.

14. Într-un tabel apar masa inițială $34$ g și masa finală $29$ g. Fie $p$: „Scăderea masei este mai mică de $5$ g”. Formulează și verifică $\neg p$.

15. Fie $A=\{2,6,10,14\}$. Pentru numărul $8$, scrie negația propoziției „$8\in A$” și justifică verdictul ei prin lista elementelor.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $n$ număr natural, expresia $\sqrt{15-2n}$ are sens exact când $15-2n\ge 0$. Arătați că $n=8$ este cel mai mic număr natural pentru care este adevărată negația acestei condiții.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că, pentru $x=2$, propoziția „$x^2-17x+30>0$” este falsă. Scrieți negația ei fără simbolul $\neg$ și stabiliți-i valoarea de adevăr.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) (Provocare.) Considerăm propoziția „$n^2+10$ este număr prim”, pentru $n\in \{1,2,\dots ,7\}$. Pentru câte dintre aceste valori este adevărată negația ei? Scrieți-le și justificați.

Răspunsuri și explicații

1. Negația este a): respingerea lui „diferită de $60$” înseamnă „egală cu $60$”, pentru aceeași persoană și același moment. Varianta b) alege o valoare care ar confirma chiar $p$. Varianta c) schimbă momentul, iar d) schimbă sportivul; amândouă vorbesc despre altă observație decât $p$.

2. Împărțirea dă $84:7=12$, nu $11$. Prin urmare $v(q)=0$ și $v(\neg q)=1$. Negația spune că acel cât nu este $11$; calculul arată concret de ce respingerea egalității este justificată.

3. Condiția negată este „Temperatura băii este mai mare de $-12^{\circ }\mathrm{C}$”. Pentru $-15^{\circ }\mathrm{C}$ negația este falsă, fiindcă $-15<-12$: baia este mai rece decât pragul, deci pregătită. Pentru $-9^{\circ }\mathrm{C}$ negația este adevărată, deoarece $-9>-12$. Dintre două numere negative, este mai mic cel cu modulul mai mare.

4. a) $a\ge 6$; b) $b>-2$; c) $c=9$. La comparații, cazul egalității trece în cealaltă categorie. La ultima relație, respingerea faptului că numerele sunt diferite înseamnă că ele sunt egale.

5. Afirmația este adevărată. Dacă $v(p)=v(q)$, atunci $v(\neg p)=1-v(p)=1-v(q)=v(\neg q)$. Negarea schimbă ambele verdicte în același fel, așa că egalitatea lor se păstrează.

6. Propoziția inițială este falsă, fiindcă la ora 12 nivelul era de $38$ cm; negația corectă, „La ora 12, nivelul apei nu era de $40$ cm”, este adevărată. Propunerea elevului este falsă, fiindcă la ora 13 nivelul era chiar de $40$ cm. Schimbarea orei a produs un enunț despre altă observație, cu alt verdict.

7. Două negări refac valoarea lui $p$, iar a treia o schimbă din nou, deci $v(\neg (\neg (\neg p)))=1-v(p)=v(\neg p)$. În general, un număr par de negări succesive păstrează valoarea lui $p$, iar un număr impar o schimbă: negările se anulează două câte două.

8. Produsul este $18\cdot 5=90$, iar $90<100$, deci $v(p)=1$. Prima negare este falsă: $v(\neg p)=0$. A doua negare revine la adevărul inițial, astfel că $v(\neg (\neg p))=1$. Verdictul de pornire este justificat prin calcul, apoi fiecare negare îl schimbă.

9. Negația condiției este „Durata depășește $3$ minute”, adică $180$ de secunde. Transformăm totul în secunde: $170$ s, $190$ s, $180$ s și $2,9\cdot 60=174$ s. Numai durata de $190$ s trece de prag, deci o singură negație este adevărată. Durata de exact $180$ s respectă condiția inițială și nu se numără.

10. Negația este „Planta A a crescut cel mult cât planta B”. Creșterile sunt $17-12=5$ cm și $19-14=5$ cm, deci afirmația inițială este falsă, iar negația ei este adevărată. Propunerea „B a crescut mai mult decât A” nu este negația: pentru creșteri egale ea este tot falsă, la fel ca afirmația inițială.

11. Negația este „$46$ nu este impar”, adevărată deoarece $46=2\cdot 23$. Putem spune și „$46$ este par”, întrucât numărul este întreg. Paritatea împarte întregii în cele două cazuri, fără să lase numere întregi în afara lor.

12. Negația este „Mai puțin de $40\%$ dintre elevi au ales cercul de biologie”. Cum $40\%$ din $35$ înseamnă $14$ elevi, iar numărul elevilor este natural, negația revine la „cel mult $13$ elevi”. Au ales cercul $13$ elevi, deci negația este adevărată, iar afirmația inițială este falsă.

13. Propunerea este falsă. Negația lui „cel mult trei” este „mai mult de trei”; numărul eprubetelor fisurate fiind natural, ea se scrie „cel puțin patru”. Pentru un lot cu exact trei eprubete fisurate, ambele formulări ale elevului ar fi adevărate, ceea ce o negație nu permite.

14. Scăderea este $34-29=5$ g. Propoziția inițială, care cere o scădere strict mai mică de $5$ g, este falsă. Negația „Scăderea este de cel puțin $5$ g” este adevărată, iar egalitatea cu limita explică diferența.

15. Negația este „$8\notin A$”. Numărul $8$ nu apare între cele patru elemente enumerate, deci negația este adevărată. Nu trebuie să alegem un alt element al mulțimii; verificăm apartenența aceluiași număr la aceeași mulțime.

16. Negația condiției este $15-2n<0$, adică $2n>15$, sau $n>7,5$. Pentru $n=7$ avem $15-14=1\ge 0$, deci expresia are sens și negația este falsă. Pentru $n=8$ avem $15-16=-1<0$, iar negația este adevărată. Primul număr natural situat după $7,5$ este $8$.

17. La $x=2$ obținem $2^2-17\cdot 2+30=4-34+30=0$, iar numărul zero nu este strict pozitiv, deci propoziția este falsă. Negația este „$x^2-17x+30\le 0$”, care pentru $x=2$ devine „$0\le 0$”, o propoziție adevărată. Negația lui „este pozitiv” nu este „este negativ”: valoarea zero nu verifică niciuna dintre aceste două formulări.

18. Pentru $n=1,2,\dots ,7$ obținem numerele $11$, $14$, $19$, $26$, $35$, $46$, $59$. Sunt prime $11$, $19$ și $59$. Negația, „$n^2+10$ nu este număr prim”, este adevărată pentru celelalte patru valori: $2$, $4$, $5$ și $6$. Pentru $n$ par numărul $n^2+10$ este par și mai mare decât $2$, iar pentru $n=5$ avem $35=5\cdot 7$.

De reținut

• Negarea respinge întreaga afirmație vizată și păstrează obiectul, datele și contextul acesteia.
• Valorile $v(p)$ și $v(\neg p)$ sunt diferite; formula de lucru este $v(\neg p)=1-v(p)$.
• La praguri, verifică locul egalității. Aceeași valoare nu poate respecta simultan condiția și negarea ei.
• O informație mai precisă poate demonstra negația fără să fie formularea negației. Nu înlocui arbitrar pragul ori numărul.
• Două negări aplicate succesiv refac adevărul inițial; simbolurile și parantezele arată ce enunț este negat.

Greșeli frecvente

• Schimbi semnul numerelor. Negarea privește adevărul relației. Păstrează calculul și respinge afirmația despre rezultatul lui.
• Alegi doar o valoare alternativă. Negarea unei egalități trebuie să admită toate valorile diferite, nu numai una preferată.
• Compari pragul cu o valoare exprimată în altă unitate. O negație formulată corect poate fi evaluată greșit. Adu mărimea măsurată și pragul la aceeași unitate înainte de comparație.
• Schimbi obiectul sau momentul propoziției. Negația privește aceeași probă, aceeași persoană și aceeași oră ca propoziția inițială. O afirmație despre altă observație nu o poate înlocui.
• Răspunzi printr-o cifră când se cere negația. La „Scrie negația” răspunsul este un enunț; valoarea $0$ sau $1$ vine abia la cerința despre adevăr.

Aplică acasă

1. Caută trei afirmații cu „exact” în orarul unui autobuz, al unui program TV sau al unui antrenament (de exemplu, „Autobuzul trece exact de patru ori pe oră”). Scrie negația fiecăreia fără să alegi un alt număr exact, apoi verifică pe orar care dintre cele două propoziții este adevărată.
2. Construiește trei cartonașe cu culori distincte. Formulează o afirmație despre culoarea unui cartonaș și explică de ce o anumită altă culoare poate să nu fie negarea exactă.
3. Scrie o egalitate numerică adevărată, negarea ei și încă o negare aplicată rezultatului. Cere unui coleg să identifice propoziția asupra căreia acționează fiecare simbol.

Pentru părinți și profesori

Urmăriți precizia răspunsului, nu viteza cu care elevul pune semnul negării. O probă utilă este să îi cereți să inventeze o situație în care o negare propusă ar eșua. Dacă găsește singur cazul egalității ori o categorie omisă, a înțeles mai mult decât o regulă de schimbare a semnelor.

Contextul științific este unul școlar, cu date furnizate. Nu se trag concluzii experimentale generale din listele fictive. Exercițiile antrenează lectura pragurilor, verificarea calculelor și diferența dintre o negare și o informație suplimentară. După continuarea unității se poate folosi testul M2 de logică matematică, care cuprinde și operații studiate ulterior.

Programa și examenul. Negația apare în „Elemente de logică matematică” din programa pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată clasei a IX-a din 2026–2027. În programa pentru Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, tema intră în domeniul Algebră. Operația figurează și în programa M_șt-nat pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029. Modelul oficial din 2026 nu stabilește o cerință distinctă pentru negație; antrenamentele lecției sunt originale și dezvoltă justificarea matematică.

Întrebări frecvente

Pot formula o negație înainte să aflu rezultatul calculului?

Da. Formularea negației depinde de relația afirmată, nu de rezultatul verificării. Poți respinge o egalitate păstrând membrii și schimbând egalitatea în inegalitate. După calcul stabilești care dintre cele două afirmații este adevărată. Este util să separi aceste etape, deoarece o formulare poate fi corectă chiar când calculul ulterior a fost greșit.

Cum verific rapid o negare care conține un prag?

Încearcă valoarea exactă a pragului, apoi o valoare de fiecare parte. Condiția inițială și negarea ei trebuie să aibă verdicte diferite în fiecare încercare. Acest control descoperă atât egalitățile omise, cât și suprapunerile. El nu înlocuiește regula matematică, dar îți arată concret unde o formulare a fost citită greșit.

De ce o altă cantitate exactă poate fi un răspuns prea puternic?

Respingerea unei cantități exacte permite orice cantitate diferită care respectă datele problemei. Dacă alegi o singură valoare, excluzi fără motiv alte posibilități. Acea valoare poate servi drept exemplu sau justificare când este dată, dar negarea trebuie formulată suficient de general încât să cuprindă toate cazurile care infirmă afirmația inițială.

Ce abordare are lecția pentru M2 față de M1?

Pagina de față insistă pe praguri, inventare și observații finite, cu calcule care lasă vizibil sensul negării. Nu cere extinderi de demonstrație pentru a rezolva sarcinile. Pentru o comparație de prezentare există Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: negația unei propoziții. Traseul curent continuă cu materialele autonome ale profilului Științe.

Există un Subiect fix pentru negație la Bacalaureatul M2?

Nu rezultă un asemenea loc fix din modelul oficial M_șt-nat din 2026. Programa include operația, însă modelul folosește justificări în probleme fără o întrebare separată despre negație. Marcajele din lecție indică exerciții originale de antrenament. Ele nu sunt reproduceri de subiecte oficiale și nu prezic forma unei cerințe viitoare.

Cum neg o afirmație care conține o unitate de măsură?

Păstrezi mărimea, unitatea și pragul și schimbi doar relația, după tabelul negării. Negația lui „Masa depășește $2$ kg” rămâne o afirmație despre aceeași masă, în kilograme. Transformarea în altă unitate apare abia la verificare și se aplică deopotrivă valorii măsurate și pragului; altfel verdictul poate ieși greșit, deși formularea negației a fost corectă.