Disjuncția: propoziții legate prin «sau» (M2, științe ale naturii)

O arhivă școlară afișează fișele care au fotografie sau desen de observație. O fișă cu fotografie este găsită, iar una cu desen este găsită și ea. Ce se întâmplă cu o fișă care le conține pe amândouă? Regula o acceptă, fără să o afișeze de două ori. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această situație introduce disjuncția. La Bacalaureatul M2, înțelegerea alternativelor ajută la scrierea justificărilor și a soluțiilor, fără o atribuire prestabilită a operației unui anumit subiect.

Vei compara această regulă cu conjuncția din traseul M2 și vei folosi negația unei propoziții pentru M2 atunci când una dintre componente respinge o afirmație. Exemplele urmăresc selecții din tabele, liste care se suprapun și ecuații elementare. Nu presupun cunoștințe suplimentare de biologie; condițiile de selectare sunt definite în enunțurile problemelor.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești „sau” matematic drept acceptarea a cel puțin unei componente adevărate, inclusiv a ambelor.
• Vei ști să confirmi ori să respingi o disjuncție prin verificările necesare, fără concluzii premature.
• Vei ști să selectezi observațiile care respectă măcar unul dintre două criterii, păstrând fiecare observație o singură dată.
• Vei ști să legi disjuncția de reuniunea listelor și de cazurile simple care apar la un produs nul.
• Vei ști să deosebești adevărul enunțului complet de informațiile pe care le ai despre fiecare componentă.

Hai să descoperim împreună

1. Cum confirmi o cerință pe două căi diferite?

Pentru fișa S, notăm $p$: „Fișa S are fotografie” și $q$: „Fișa S are desen”. Disjuncția este enunțul $p\vee q$, citit „p sau q”, care se confirmă prin adevărul a cel puțin uneia dintre componente. Este suficient ca una dintre ele să fie adevărată pentru a confirma regula de afișare.

Dacă fișa are numai fotografie, prima componentă este adevărată și a doua este falsă. Dacă are numai desen, valorile se inversează. În ambele situații, cel puțin o cale de acceptare este îndeplinită, deci enunțul complet este adevărat.

Când fișa are și fotografie, și desen, condiția este în continuare respectată. Cuvântul „sau” nu cere eliminarea unei informații deja existente. Enunțul devine fals doar pentru o fișă fără fotografie și fără desen, deoarece niciuna dintre cele două căi nu o acceptă.

Aceasta este o regulă despre adevărul propozițiilor, nu despre preferințele elevului. Într-o problemă nu alegi componenta care îți place; verifici componentele în raport cu datele. Poți începe cu cea mai simplă, dar nu îi atribui valoarea unu fără justificare.

2. Ce arată tabelul când comparăm „sau” cu „și”?

Pentru două propoziții avem patru perechi posibile de valori de adevăr. Scriem pe același rând verdictul conjuncției și al disjuncției, ca să vedem unde se schimbă rezultatul.

La valorile diferite, disjuncția este adevărată, iar conjuncția este falsă. La două falsuri, niciuna nu se confirmă. La două adevăruri, ambele operații dau adevăr. Diferența dintre operații nu se află în calculele componentelor, ci în regula după care le combinăm.

O formulă care descrie ultima coloană este:

$$v(p\vee q)=\max \{v(p),v(q)\}.$$

Se ia valoarea mai mare dintre cei doi indicatori logici. Pentru $0$ și $1$, rezultatul este $1$; numai perechea de zerouri dă zero. Această regulă nu spune că numărul elementelor unei reuniuni este maximul numerelor de elemente din cele două mulțimi.

Nu folosi adunarea simplă a valorilor de adevăr: la două componente adevărate ea ar da $2$, care nu este o valoare logică admisă. Disjuncția este adevărată o singură dată, indiferent dacă este susținută de una sau de ambele componente.

3. „Cel puțin una” păstrează și cazul „amândouă”

Expresia „cel puțin una” înseamnă una sau două dintre cele două componente. „Exact una” ar elimina cazul în care sunt adevărate amândouă. Nu înlocui prima formulare cu a doua în timpul rezolvării.

Pentru $30$, afirmațiile „Este multiplu de $5$” și „Este multiplu de $10$” sunt amândouă adevărate. Disjuncția lor se confirmă. Dacă enunțul ar cere exact una dintre proprietăți, acest număr nu ar respecta acea cerință diferită.

În vorbire, contextul poate impune o alegere unică. De exemplu, o instrucțiune poate cere să predai exact un singur format dintre două. Această restricție trebuie spusă prin „exact unul” sau „dar nu amândouă”; nu o adăugăm automat când apare simbolul $\vee$.

Pentru a recunoaște sensul din problemă, întreabă-te ce prevede explicit enunțul pentru situația cu două componente adevărate. În calculul logic al acestei lecții, răspunsul este fixat de tabel: disjuncția este adevărată. Nu construim o altă regulă pornind de la un obicei din conversație.

4. Reuniunea adună posibilități, fără să dubleze obiectele

Fie listele de coduri $A=\{R,T,V\}$ și $B=\{S,T,U\}$. Un cod acceptat dacă se află în prima sau în a doua listă aparține reuniunii lor:

$$A\cup B=\{R,S,T,U,V\}.$$

Codul $T$ apare în ambele liste, dar este un singur element al reuniunii. Codurile $R$ și $V$ sunt acceptate prin prima listă, iar $S$ și $U$ prin a doua. Toate cele cinci au cel puțin o apartenență adevărată.

Pentru un element ales $x$, condiția $x\in A\cup B$ se citește „$x\in A$ sau $x\in B$”. Dacă nu apare în niciuna dintre liste, ambele apartenențe sunt false și este exclus. Aceasta este traducerea disjuncției în limbajul mulțimilor.

Poți relua reuniunea mulțimilor din clasa a VI-a înainte de exercițiile de numărare. Procedeul sigur este să scrii elementele, fiecare o singură dată, apoi să le numeri. Adunarea directă a lungimilor listelor ar număra de două ori codurile comune.

Într-un tabel de observații este aceeași regulă: dacă un rând respectă două criterii alternative, el rămâne un singur rând selectat. Nu dubla proba sau numărul observațiilor pentru că ai găsit două motive de acceptare.

5. Alternativele dintr-o ecuație

Pentru numere reale, un produs de doi factori este zero când cel puțin un factor este zero. Dacă amândoi sunt zero, produsul este tot zero. Disjuncția include deci și acest caz.

De exemplu, ecuația $(x-4)(2x-8)=0$ permite cazul $x-4=0$ sau cazul $2x-8=0$. Ambele conduc la aceeași valoare $x=4$. Există o singură soluție distinctă, chiar dacă ea poate fi obținută din două verificări.

Argumentul care justifică regula produsului nul poate fi citit simplu. Dacă primul factor nu este zero, îl putem folosi ca împărțitor și egalitatea obligă al doilea factor să fie zero. Dacă primul este zero, produsul este deja zero, oricare ar fi al doilea.

În alte ecuații, cele două cazuri dau valori diferite. Atunci trebuie păstrate toate valorile care verifică ecuația inițială. Nu alegi arbitrar una dintre ramuri și nu ceri ca aceeași valoare să anuleze obligatoriu ambii factori.

La final, reunești soluțiile obținute din cazuri și elimini numai repetările. Distincția dintre „numărul cazurilor discutate” și „numărul soluțiilor distincte” este utilă chiar la ecuații elementare și previne răspunsurile incomplete.

6. Ce verificări sunt suficiente?

Ca să confirmi o disjuncție, ajunge să justifici o componentă adevărată. Dacă vrei însă să o respingi, trebuie să infirmi fiecare componentă. O primă componentă falsă nu spune încă nimic decisiv despre întregul enunț.

Să presupunem că $p$ este deja cunoscută ca adevărată, iar adevărul lui $q$ nu este precizat. Putem stabili că $p\vee q$ este adevărată, fiindcă ambele rânduri care încep cu $v(p)=1$ au acest rezultat. Adevărul lui $q$ rămâne necunoscut, nu devine automat unu.

Dacă știm numai că $p$ este falsă, disjuncția poate fi adevărată sau falsă, în funcție de $q$. Avem nevoie de informația suplimentară sau trebuie să spunem că datele sunt insuficiente pentru verdict.

Și sensul invers este important. Dintr-o disjuncție adevărată nu rezultă că fiecare componentă este adevărată. Dintr-o disjuncție falsă rezultă însă că ambele sunt false. Păstrează această diferență când citești concluzii dintr-un tabel.

7. Negarea într-o componentă și mai multe alternative

În expresia $\neg p\vee q$, prima componentă efectivă este negația lui $p$. Dacă $v(p)=1$ și $v(q)=0$, după negare obții două zerouri, deci disjuncția este falsă. Nu aplica regula direct valorilor inițiale ale lui $p$ și $q$ ignorând simbolul negării.

O situație specială este $p\vee \neg p$. Cele două componente au adevăruri diferite, iar una dintre ele este adevărată în fiecare caz. Disjuncția se confirmă indiferent de adevărul lui $p$. Acest lucru nu îți spune care componentă este adevărată într-o situație concretă.

Cu trei alternative legate numai prin „sau”, enunțul se confirmă dacă găsești cel puțin una adevărată. Pentru a-l declara fals trebuie să verifici că toate trei sunt false. Ordinea alternativelor nu modifică această regulă.

Dacă într-un enunț apar și „și”, și „sau”, pune paranteze pentru a arăta gruparea. Nu presupune că orice rearanjare păstrează sensul. Deocamdată lucrăm cu operația izolată sau cu o negare clar atașată unei componente; construirea tabelelor pentru combinații mai lungi urmează ulterior.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei moduri de a trece selecția

Într-un model, se selectează înregistrările cu masa de cel mult $12$ g sau lungimea de cel puțin $9$ cm. Datele sunt A: $11$ g și $8$ cm; B: $13$ g și $10$ cm; C: $12$ g și $9$ cm; D: $14$ g și $7$ cm.

A respectă criteriul masei, B pe cel al lungimii, iar C le respectă pe amândouă. Cele trei înregistrări sunt selectate. D nu respectă niciun criteriu și este respinsă. C nu apare de două ori în rezultat, chiar dacă are două motive de acceptare.

Pragurile sunt convenții ale exercițiului. Concluzia privește numai selecția înregistrărilor date, nu o proprietate generală a probelor. La C, egalitatea cu ambele limite este admisă prin formulările „cel mult” și „cel puțin”.

Exemplul 2 — O verificare falsă nu închide disjuncția

Fie $p$: „$2,7+1,6=4,3$” și $q$: „$45:6=8$”. Un elev observă că $q$ este falsă și declară fals întregul enunț $p\vee q$.

Împărțirea dă $45:6=7,5$, deci elevul a evaluat corect a doua componentă. Dar prima se confirmă prin adunare. Avem perechea $(v(p),v(q))=(1,0)$, așadar disjuncția este adevărată.

Greșeala este trecerea de la o componentă falsă la falsul întregului enunț. Această trecere funcționează pentru conjuncție, nu pentru disjuncție. Cu aceleași componente, $p\wedge q$ ar fi într-adevăr falsă; schimbarea legăturii schimbă verdictul.

Exemplul 3 — Ce aflăm dintr-o informație parțială?

Fișa unui grup conține $34$ de observații. Regula de afișare este „peste $30$ de observații sau existența unui desen”. Nu ni se spune dacă fișa are desen. Putem decide afișarea?

Da. Prima componentă este adevărată, deoarece $34>30$. Indiferent de adevărul celei de-a doua, disjuncția se confirmă. Nu deducem din această decizie că fișa are și desen.

Dacă numărul observațiilor ar fi fost sub prag, aceeași lipsă de informație despre desen ar fi împiedicat verdictul final. Diferența vine din rândurile tabelului: o componentă adevărată este suficientă, una falsă lasă deschise două posibilități.

Exemplul 4 — Un cod nu devine două obiecte

Două căutări returnează listele $\{D,F,H,K\}$ și $\{F,G,K\}$. Dorim codurile care apar în cel puțin una dintre liste.

Reuniunea este $\{D,F,G,H,K\}$, deci are cinci elemente. Codurile $F$ și $K$ se găsesc în ambele liste, dar le scriem o singură dată. Adunarea numerelor de elemente, $4+3=7$, ar include două repetări.

Acest rezultat verifică sensul inclusiv: elementele comune nu sunt excluse, dar nici duplicate. Într-o arhivă, două criterii care găsesc aceeași fișă nu creează două fișe distincte. Trebuie păstrată identitatea obiectului numărat.

Exemplul 5 — Două cazuri, două soluții

Rezolvăm în numere reale ecuația $(x-8)(x+3)=0$. Produsul este zero dacă $x-8=0$ sau $x+3=0$.

Obținem $x=8$ sau $x=-3$. Pentru prima valoare, factorii sunt $0$ și $11$; pentru a doua, sunt $-11$ și $0$. În ambele cazuri produsul este zero. Mulțimea soluțiilor este $\{-3,8\}$.

Nu cerem ca ambii factori să fie zero pentru aceeași valoare. O astfel de cerință ar lega ecuațiile factorilor prin „și” și ar elimina greșit ambele soluții. Regula produsului nul cere măcar un factor nul, iar verificările arată care este acesta.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid (x-2)(2x+3)=0\}$ și $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid |x|\le 2\}$. Arătați că $A\cup B=\{-2,-\frac{3}{2},-1,0,1,2\}$.

Ecuația-produs se descompune în cazurile $x-2=0$ sau $2x+3=0$, deci $A=\{-\frac{3}{2},2\}$. Numerele întregi cu modulul cel mult $2$ sunt $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, deci $B=\{-2,-1,0,1,2\}$. Un element aparține reuniunii dacă $x\in A$ sau $x\in B$; scriem fiecare element o singură dată și obținem mulțimea cerută, cu șase elemente.

Numărul $2$ aparține ambelor mulțimi, dar apare o singură dată în reuniune, iar $-\frac{3}{2}$ intră numai prin $A$. „Sau” a lucrat aici de două ori: o dată între cazurile ecuației, o dată între cele două apartenențe.

Antrenamentul este original și folosește o justificare prin calcul exact. Modelul oficial M_șt-nat din 2026 conține cerințe de justificare, fără o întrebare separată despre acest tabel logic. Fiecare element al reuniunii are cel puțin un motiv de apartenență; pentru $2$ sunt adevărate amândouă.

Să exersăm

Precizează ce componentă confirmă disjuncția. Când concluzia este falsul, verifică fiecare componentă. La liste și mulțimi numără obiectele distincte, nu numărul motivelor pentru care sunt acceptate.

1. Fie $p$: „$8\cdot 7=56$” și $q$: „$25$ este par”. Determină $v(p\vee q)$.

2. Verifică enunțul „$45$ este divizibil cu $4$ sau $45$ este divizibil cu $7$”, folosind resturile împărțirilor.

3. Pentru $k=14$, notează $p$: „$k$ este par”, $q$: „$k>15$” și $r$: „$k$ este multiplu de $3$”. Evaluează $p\vee q$, $q\vee r$ și $p\vee r$.

4. Pentru $n=77$, evaluează enunțul cu trei alternative „$n$ este par sau $n$ este multiplu de $3$ sau $n$ este pătrat perfect”. Justifică fiecare componentă.

5. Se știe că $v(p\vee q)=1$ și $v(p)=0$. Determină $v(q)$, apoi valoarea lui $\neg q\vee p$.

6. Din lista $-3,-1,0,2,5$, selectează numerele care verifică $x<0$ sau $x\ge 2$. Controlează separat valoarea $0$.

7. (Problemă aplicată.) O stație automată trimite un mesaj de stare într-o zi dacă în acea zi plouă sau dacă au trecut exact $3$ zile de la ultimul mesaj trimis. Primul mesaj a fost trimis în ziua $0$, iar în perioada zilelor $1$–$8$ a plouat numai în zilele $2$ și $5$. În ce zile din această perioadă se trimite mesajul?

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $p\vee q$ este adevărată, atunci $\neg p\vee \neg q$ este falsă.”

9. Se știe că $v(p\vee q)=1$ și $v(p\wedge q)=0$. Ce perechi $(v(p),v(q))$ sunt posibile? Formulează rezultatul în cuvinte.

10. Dacă $v(p\vee q)=1$, enumeră perechile posibile $(v(p),v(q))$. Poți afirma neapărat că $p$ este adevărată?

11. Pentru ce cifre $c$ este adevărată propoziția „Numărul $\overline{7c}$ este divizibil cu $3$ sau cu $5$”? Pentru care cifră sunt adevărate ambele componente?

12. Rezolvă în numere reale ecuația $(x-2)(x^2+1)=0$, scriind legătura logică dintre cazuri. Ce se întâmplă cu cazul al doilea?

13. Pentru $p$: „$0,4^2=1,6$” și $q$: „$\sqrt{1,21}=1,1$”, determină valorile lui $\neg p\vee q$, $p\vee \neg q$ și $\neg p\vee \neg q$.

14. (Problemă aplicată.) O regulă fictivă semnalează o valoare dacă $x\le -4$ sau $x>6$. Care dintre valorile $-4,0,6,7$ sunt semnalate?

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $p\vee q$ este falsă, atunci $\neg p\vee q$ este adevărată.”

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un produs de doi factori reali este pozitiv exact când ambii factori sunt pozitivi sau ambii sunt negativi. Folosind această disjuncție, arătați că mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $(x-6)(x+1)>0$ este $(-\infty ,-1)\cup (6,\infty )$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că, pentru orice număr natural $n$, propoziția „$n$ este par sau $n+1$ este par” este adevărată.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) (Provocare.) Rezolvați în numere reale ecuația $(x-1)(x-2)=(x-1)(2x-5)$. Explicați de ce împărțirea ambilor membri la $x-1$ ar pierde o soluție.

Răspunsuri și explicații

1. Produsul este $56$, deci $v(p)=1$. Numărul $25$ este impar, așa că $v(q)=0$. Disjuncția este adevărată: o componentă adevărată este suficientă. Nu este nevoie ca proprietatea de paritate să se confirme și ea.

2. Avem $45=4\cdot 11+1$ și $45=7\cdot 6+3$. Resturile nenule infirmă ambele divizibilități. Prin urmare disjuncția este falsă. Am verificat ambele alternative, deoarece eșecul uneia singure nu ar fi fost suficient pentru concluzie.

3. Numărul $14$ este par, nu depășește $15$ și nu este multiplu de $3$, deoarece $14=3\cdot 4+2$. Valorile componentelor sunt $1,0,0$. Cele trei disjuncții au, în ordinea cerută, valorile $1,0,1$: numai cea formată din două componente false este falsă.

4. Toate trei componentele sunt false: $77$ este impar; $7+7=14$, deci $77$ nu este multiplu de $3$; iar $8^2=64$ și $9^2=81$, deci $77$ nu este pătrat perfect. Enunțul este fals. Pentru acest verdict a fost nevoie să infirmăm fiecare alternativă.

5. Dacă $q$ ar fi falsă, ambele componente ar fi false și disjuncția ar fi falsă, contrar datelor. Deci $v(q)=1$. Atunci $\neg q$ este falsă, iar $p$ este falsă, astfel că $v(\neg q\vee p)=0$.

6. Sunt selectate $-3,-1,2,5$. Primele două verifică prima condiție, ultimele două pe a doua. Numărul $0$ nu este negativ și nu este cel puțin $2$, deci este exclus. Valoarea egală cu al doilea prag este admisă.

7. Mesajul se trimite în zilele $2$, $5$ și $8$. În ziua $2$ plouă. În ziua $5$ plouă și, în plus, au trecut exact $3$ zile de la mesajul din ziua $2$: ambele alternative sunt adevărate, dar se trimite un singur mesaj. În ziua $8$ nu plouă, dar au trecut $3$ zile de la ziua $5$. În zilele $1$, $3$, $4$, $6$ și $7$ ambele componente sunt false.

8. Afirmația este falsă. Pentru $v(p)=1$ și $v(q)=0$, disjuncția $p\vee q$ este adevărată, iar $\neg q$ este adevărată, deci și $\neg p\vee \neg q$ este adevărată. Cele două disjuncții sunt simultan false doar dacă ar fi false toate cele patru componente, ceea ce nu se poate.

9. Sunt posibile perechile $(1,0)$ și $(0,1)$. Disjuncția adevărată exclude perechea $(0,0)$, iar conjuncția falsă exclude perechea $(1,1)$. În cuvinte: exact una dintre propoziții este adevărată.

10. Perechile posibile sunt $(1,0)$, $(0,1)$ și $(1,1)$. Nu putem afirma sigur că $p$ este adevărată, deoarece perechea $(0,1)$ respectă datele. Verdictul comun adevărat nu identifică singur calea prin care a fost obținut.

11. Divizibilitatea cu $3$ cere ca $7+c$ să fie multiplu de $3$, deci $c\in \{2,5,8\}$. Divizibilitatea cu $5$ cere $c\in \{0,5\}$. Propoziția este adevărată pentru $c\in \{0,2,5,8\}$, reuniunea celor două mulțimi. Pentru $c=5$ sunt adevărate ambele componente: $75$ se divide și cu $3$, și cu $5$.

12. Produsul este zero dacă $x-2=0$ sau $x^2+1=0$. Primul caz dă $x=2$. Al doilea nu are soluții reale, fiindcă $x^2+1\ge 1$ pentru orice $x$ real. Componenta a doua a disjuncției este falsă pentru orice $x$, deci mulțimea soluțiilor este $\{2\}$.

13. Avem $0,4^2=0,16$, deci $v(p)=0$, iar $1,1^2=1,21$, deci $v(q)=1$. Rezultă $v(\neg p\vee q)=1$, $v(p\vee \neg q)=0$, fiindcă ambele componente sunt false, și $v(\neg p\vee \neg q)=1$.

14. Sunt semnalate $-4$ și $7$. Prima valoare respectă limita inclusă din prima condiție, iar a doua depășește strict pragul din a doua. Valorile $0$ și $6$ nu respectă nicio condiție; egalitatea cu $6$ nu este suficientă.

15. Afirmația este adevărată. O disjuncție falsă are ambele componente false, deci $v(p)=0$ și $\neg p$ este adevărată. Atunci $\neg p\vee q$ are o componentă adevărată și este adevărată.

16. Primul caz, „$x-6>0$ și $x+1>0$”, înseamnă $x>6$. Al doilea caz, „$x-6<0$ și $x+1<0$”, înseamnă $x<-1$. Legătura dintre cazuri este „sau”, deci reunim: $(-\infty ,-1)\cup (6,\infty )$. Valorile $-1$ și $6$ nu sunt soluții, fiindcă acolo produsul este zero, iar pentru un $x$ între ele factorii au semne opuse.

17. Dacă $n$ este par, prima componentă este adevărată. Dacă $n$ nu este par, atunci este impar, $n=2k+1$, iar $n+1=2k+2=2(k+1)$ este par, deci a doua componentă este adevărată. În fiecare caz cel puțin o componentă este adevărată, așa că disjuncția este adevărată pentru orice $n$ natural.

18. Trecem totul în membrul stâng și dăm factor comun: $(x-1)[(x-2)-(2x-5)]=0$, adică $(x-1)(3-x)=0$. Rezultă $x=1$ sau $x=3$, iar ambele valori verifică ecuația inițială. Împărțirea la $x-1$ presupune $x\ne 1$ și ar lăsa doar $x-2=2x-5$, cu soluția $3$; soluția $x=1$ s-ar pierde.

De reținut

• Disjuncția cere cel puțin o componentă adevărată și permite ca ambele să fie adevărate.
• Pentru confirmare este suficientă o alternativă justificată; pentru respingere trebuie infirmate toate alternativele.
• O reuniune păstrează fiecare element distinct o singură dată, inclusiv elementele comune listelor inițiale.
• La un produs nul discuți cazurile factorilor, reunești soluțiile și verifici repetările, fără să elimini arbitrar o ramură.
• Adevărul întregului enunț nu determină întotdeauna valorile componentelor; precizează ce informație este cunoscută efectiv.

Greșeli frecvente

• Împarți ambii membri la un factor comun. Împărțirea presupune tacit că factorul nu este zero și elimină exact cazul în care el se anulează. Adu totul într-un membru și dă factor comun.
• Tratezi o alternativă imposibilă ca pe o greșeală de calcul. Dacă un factor nu se anulează pentru niciun număr real, acel caz nu aduce soluții, iar celelalte cazuri rămân valabile.
• Numeri dublu un rezultat comun. Păstrează identitatea elementului și scrie lista finală fără repetări.
• Ceri anularea simultană a factorilor. Regula produsului nul are legătura „sau”; un singur factor nul este suficient.
• Deduci adevărul ambelor componente din rezultat. Verifică toate perechile compatibile cu disjuncția adevărată înainte de o concluzie individuală.

Aplică acasă

1. Notează cinci filme sau cărți într-un tabel și marchează două caracteristici independente, alese clar. Selectează titlurile care au măcar una dintre caracteristici și verifică separat titlurile care le au pe amândouă.
2. Alcătuiește două liste de rechizite, cu două obiecte comune. Scrie o listă unică pentru toate obiectele cerute de prima sau de a doua listă. Explică de ce simpla adunare a lungimilor listelor poate greși.
3. Propune unui coleg două afirmații numerice și cere-i să justifice disjuncția. Apoi modifică una dintre afirmații astfel încât disjuncția să devină falsă; verificați dacă și cealaltă componentă este falsă.

Pentru părinți și profesori

Verificarea decisivă pentru înțelegerea sensului inclusiv este cazul în care ambele componente sunt adevărate. Cereți elevului să explice acceptarea acelui caz în cuvinte, apoi să găsească o situație cu adevăruri diferite. Tabelul trebuie citit ca inventar de posibilități, nu ca o coloană de memorat fără sens.

La tabele și liste, urmăriți identitatea obiectului selectat. Două motive de acceptare nu produc două obiecte. În rezolvările numerice, separați greșeala de calcul de confundarea operațiilor. După parcurgerea unității poate fi folosit testul M2 de logică matematică, care verifică și noțiuni ce urmează după disjuncție.

Programa și examenul. Programa pentru științe ale naturii, OMEC 6930/2025, anexa 28, include disjuncția și interpretarea ei prin reuniune sau cazuri. Se aplică clasei a IX-a din 2026–2027. În programa Bacalaureatului 2030, MAT_P2, tema aparține domeniului Algebră. Disjuncția apare și în programa M_șt-nat pentru Bacalaureatul M2 din 2027–2029. Modelul oficial din 2026 nu îi atribuie o cerință izolată; antrenamentele de aici sunt originale și nu anticipează repartizarea unui subiect viitor.

Întrebări frecvente

De ce nu împart ambii membri ai unei ecuații la factorul comun?

Pentru că împărțirea este permisă numai când factorul este nenul, iar tocmai valorile care îl anulează pot fi soluții. Dacă dai factor comun, produsul egal cu zero se desface în cazuri legate prin „sau”, iar cazul factorului nul rămâne în discuție. Verifici apoi fiecare valoare găsită în ecuația inițială și păstrezi toate soluțiile distincte.

De ce nu adun pur și simplu valorile de adevăr?

Pentru două componente adevărate, adunarea ar produce doi, iar verdictul unui enunț precis poate fi doar adevărat sau fals. Tabelul disjuncției atribuie unu acelui caz. Formula cu maximul respectă această regulă pentru toate perechile. Ea operează asupra indicatorilor logici, nu asupra cantităților sau rezultatelor care apar în calculele propozițiilor.

Cum tratez un element găsit pe ambele căi?

Îl păstrezi, deoarece respectă disjuncția, dar îl numeri o singură dată dacă problema cere elemente distincte. Cele două apartenențe adevărate sunt două motive pentru același rezultat. Aceeași grijă apare la soluții de ecuații: dacă două cazuri conduc la aceeași valoare, mulțimea soluțiilor conține acea valoare o singură dată.

Cum este organizată lecția M2 în comparație cu M1?

Conținutul este organizat în jurul selecțiilor finite, al citirii informațiilor incomplete și al cazurilor elementare. Exemplele și exercițiile au date proprii. Pentru a compara prezentările, ai Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: disjuncția. Materialul M2 este suficient pentru cerințele sale și păstrează parcursul profilului Științe.

Trebuie așteptată disjuncția într-un Subiect anume la Bacalaureatul M2?

Programa include operația, însă modelul oficial M_șt-nat din 2026 nu fixează un exercițiu separat despre disjuncție. Nu deducem o poziție obligatorie. Problemele de antrenament din lecție folosesc calcule și justificări simple pentru a verifica sensul alternativelor; marcajul lor nu înseamnă că sunt întrebări reproduse din modelul oficial.

O componentă necunoscută împiedică întotdeauna verdictul final?

Nu. Dacă cealaltă componentă este deja adevărată, disjuncția este adevărată indiferent de informația lipsă. Dacă cealaltă este falsă, trebuie cunoscută și componenta rămasă. Distincția se vede din rândurile tabelului: unele informații determină rezultatul operației, dar nu determină neapărat adevărul fiecărei propoziții din interiorul ei.