Propoziția logică și valoarea de adevăr (M2, științe ale naturii)

Într-un experiment școlar imaginar, dintr-o tavă cu $32$ de semințe au germinat $24$. În raport poți scrie „Au germinat mai mult de jumătate dintre semințe”, dar și „Toate semințele au germinat”. Prima afirmație se potrivește cu datele, a doua nu. Amândouă pot fi verificate. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această deosebire deschide studiul logicii: înveți să recunoști ce afirmă un enunț și să susții răspunsul printr-un motiv. La Bacalaureatul M2, deprinderea te ajută să redactezi justificările cerute în probleme, chiar când nu ți se cere explicit o valoare de adevăr.

Lecția urmărește câteva gesturi precise: citești datele, identifici afirmația, verifici și formulezi concluzia. Vei folosi calcule cunoscute și tabele mici. Pentru comparațiile numerice poți relua ordonarea și aproximarea numerelor reale pentru M2; dacă zecimalele îți dau de lucru, ai și compararea numerelor raționale din clasa a VI-a. Aici atenția se mută de la rezultatul unui calcul la ceea ce ne permite acel rezultat să afirmăm.

Ce vei învăța

• Vei ști să separi o constatare verificabilă de o întrebare sau de o instrucțiune dintr-o fișă de lucru.
• Vei ști să păstrezi în categoria propozițiilor și afirmațiile false, explicând de ce sunt false.
• Vei ști să notezi verdictul prin $v(p)$ și să-l susții cu un calcul ori cu o informație precisă din tabel.
• Vei ști să observi când lipsește o valoare atribuită unei variabile și când lipsesc doar informațiile cititorului.
• Vei ști să extragi afirmațiile simple dintr-o descriere cu două constatări, fără să adaugi concluzii pe care datele nu le susțin.

Hai să descoperim împreună

1. Ce condiție trebuie să îndeplinească o propoziție logică?

Propoziția logică este un enunț care, într-un context precizat, are o singură valoare dintre adevărat și fals. Numim valoare de adevăr tocmai acest statut al afirmației. Cuvântul „propoziție” nu certifică faptul că enunțul este corect; spune că enunțul poate primi unul dintre cele două verdicte.

Compară „$18>9$” și „$18=9$”. Prima afirmație este adevărată, iar a doua falsă. Numerele și relațiile sunt precizate în ambele cazuri. În schimb, „Compară numerele!” cere o acțiune, iar „Care număr este mai mare?” cere un răspuns. Nu le atribuim adevărat sau fals în sensul lecției.

Un enunț vag poate fi făcut precis. Dacă stabilim că „multe” înseamnă „cel puțin $15$”, avem o condiție de verificat. Important este să păstrăm aceeași condiție pe tot parcursul rezolvării. Schimbarea pragului după ce vedem rezultatul ar schimba și afirmația analizată.

2. Cum scriem valoarea de adevăr fără să o confundăm cu rezultatul calculului?

Putem denumi propozițiile prin $p$, $q$ sau $r$. Litera ține locul întregii afirmații, nu al unui număr din ea. Scriem $v(p)=1$ dacă propoziția $p$ este adevărată și $v(p)=0$ dacă este falsă. Notațiile A și F exprimă aceleași două verdicte, când exercițiul le preferă.

Pentru $p$: „$72:8=9$”, calculul dă $9$, dar valoarea de adevăr este $1$. Sunt două răspunsuri la două întrebări diferite: cât este câtul, respectiv dacă egalitatea este corectă. A scrie $v(p)=9$ ar confunda aceste întrebări.

Un răspuns complet cuprinde verdictul și motivul. De exemplu: „$v(r)=0$, deoarece $(-4{)}^2=16>0$.” Nu este nevoie de o explicație lungă când un calcul hotărăște situația. Este însă nevoie ca acel calcul să verifice chiar afirmația din enunț. Numărul $0$ din $v(r)=0$ nu înseamnă că pătratul calculat este zero.

3. Ce trebuie să știm despre context și despre date?

Într-un exercițiu, datele din tabel sunt informațiile pe care le folosim. Dacă pentru proba P, la ora precizată, este înregistrată temperatura de $18^{\circ }\mathrm{C}$, afirmația „Temperatura înregistrată pentru P depășește $20^{\circ }\mathrm{C}$” este falsă. Comparăm valoarea consemnată cu pragul dat. Nu inventăm o altă măsurare și nu schimbăm proba.

La fel, „Astăzi este cald” nu oferă un criteriu numeric pentru „cald”. Formularea „În înregistrarea de la ora 9, temperatura este mai mare de $20^{\circ }\mathrm{C}$” precizează ce trebuie verificat. În modelele școlare luăm datele oferite ca punct de plecare; o discuție despre erorile aparatelor ar fi o altă problemă.

Mai există o diferență utilă: o afirmație poate fi precisă, deși tu nu ai încă informația necesară pentru a o verifica. Într-un plic închis se află o singură fișă, deja completată cu un număr natural. Afirmația „Numărul scris pe acea fișă are trei cifre” are o valoare de adevăr. Deschiderea plicului îți permite să o afli; nu îi creează valoarea.

Așadar, „nu cunosc încă răspunsul” nu este o a treia valoare de adevăr. Într-o rezolvare poți spune că datele disponibile nu îți permit să alegi verdictul. Ai descris atunci limita informațiilor tale, fără să declari automat că enunțul nu este propoziție.

4. De ce o variabilă liberă cere o atenție în plus?

Scrierea „$t-6=11$”, cu $t$ număr real neprecizat, este un enunț deschis: rezultatul verificării depinde de valoarea atribuită lui $t$. Pentru $t=17$ obținem o egalitate adevărată. Pentru $t=9$ obținem o egalitate falsă. În această formă, fără atribuirea lui $t$, nu tratăm enunțul ca pe o propoziție cu valoare fixată.

După înlocuire, lucrurile sunt clare. Nu „litera este interzisă”, ci trebuie să citim ce rol are. Dacă problema spune de la început „$a=12$”, atunci „$a>10$” are sens precis și este adevărată. Valoarea lui $a$ este deja dată, chiar dacă nu a fost rescrisă numeric în fiecare rând.

De asemenea, în notația $p$: „$12>10$”, litera $p$ denumește propoziția întreagă. Nu este o variabilă numerică rămasă liberă. Prin $v(p)$ întrebăm despre adevărul acelei afirmații, nu cerem o valoare numerică pentru $p$.

Enunțurile deschise se studiază ulterior sub numele de predicate. Pentru această lecție este suficient să identifici datele lipsă și să faci înlocuiri simple. Nu trebuie să rezolvi orice ecuație în care vezi o literă: uneori exercițiul cere doar să explici de ce nu se poate atribui încă un verdict unic enunțului deschis.

5. Cum folosim un tabel ca justificare?

Considerăm trei recipiente cu volumele de apă din tabel. Valorile sunt cele date în exercițiu, exprimate în aceeași unitate.

Afirmația „Recipientul S conține $150$ ml” se verifică direct în coloana S. Afirmația „Fiecare dintre cele trei recipiente conține cel puțin $150$ ml” este falsă: R conține numai $125$ ml. Acest recipient este un contraexemplu, adică un caz dintre cele vizate care nu respectă proprietatea afirmată.

Dacă vrem să verificăm că fiecare recipient conține mai mult de $100$ ml, trebuie să controlăm toate cele trei valori. O putem face, pentru că lista este completă și are numai trei elemente. Nu ajunge să arătăm spre T și să spunem că acolo condiția este îndeplinită.

Limita concluziei este la fel de importantă. Datele permit afirmații despre R, S și T, nu despre orice recipient din laborator. O propoziție poate deveni falsă când îi lărgim nejustificat domeniul. În rapoarte, păstrează formulări precum „cele trei recipiente din tabel”, „înregistrarea dată” sau „lotul descris”. Ele arată exact la ce se referă concluzia.

6. Cum despărțim o descriere în afirmații simple?

Într-o fișă scrie: „Soluția are volumul de $80$ ml și masa de $92$ g.” Sunt două constatări: una despre volum, alta despre masă. Le putem nota separat prin $p$ și $q$, păstrând în fiecare formulare obiectul despre care vorbim.

În analiza unui enunț, propozițiile elementare sunt afirmațiile luate separat, înainte de a aplica operații logice asupra lor. Identificarea lor te ajută să vezi ce verifici. Nu deduci masa din volum numai pentru că ambele sunt în aceeași frază; ai nevoie de datele corespunzătoare fiecărei afirmații.

Deocamdată nu construim tabele pentru „și”, „sau” ori „dacă”. Recunoaștem doar cele două părți. Regulile de compunere vor avea propriile lecții. Nici numărul de verbe nu este un criteriu sigur: o afirmație matematică poate fi scrisă numai cu simboluri și poate avea totuși o valoare de adevăr.

La finalul unei verificări, recitește propoziția inițială. Ai folosit aceleași date, aceeași relație și aceeași unitate? Un rezultat numeric corect poate susține o concluzie greșită dacă ai citit „mai mare” în loc de „mai mic” sau ai înlocuit „cel puțin” cu „strict mai mult”. Controlul acesta scurt previne multe răspunsuri grăbite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O afirmație falsă rămâne o afirmație

Pe o fișă sunt scrise: a) „$46$ este multiplu de $7$”; b) „Împarte $46$ la $7$!”; c) „Ce rest obții?”. Precizează care enunț este propoziție și stabilește-i valoarea de adevăr.

Rezolvare. Primul enunț afirmă o proprietate precisă a unui număr. Îl notăm cu $p$ și verificăm împărțirea: $46=7\cdot 6+4$. Restul nu este nul, deci $46$ nu este multiplu de $7$. Rezultă $v(p)=0$.

Al doilea enunț este o instrucțiune de lucru, iar al treilea este o întrebare. Ele ne pot conduce la un calcul, dar nu sunt afirmații cărora să le atribuim valoarea $0$ sau $1$.

Ordinea rezolvării contează: întâi identificăm felul enunțului, apoi verificăm afirmația. Nu eliminăm propoziția de la a) după ce descoperim restul. Tocmai posibilitatea de a demonstra că ea este falsă confirmă că discutăm despre o propoziție. Nu scriem $v(p)=4$: acel număr este restul împărțirii, nu verdictul logic.

Exemplul 2 — Două observații dintr-un experiment

Într-un model de laborator, un vas gol are masa de $52$ g, iar vasul cu apă are masa de $187$ g. Analizează afirmațiile $p$: „Apa din vas are masa de $135$ g” și $q$: „Masa apei este mai mare decât masa vasului gol”.

Rezolvare. Datele se referă la același vas, înainte și după adăugarea apei. Masa apei se obține prin scădere: $187-52=135$. Prima afirmație este adevărată, deci $v(p)=1$.

Pentru a doua nu comparăm $187$ cu $52$, fiindcă $187$ include și vasul. Comparăm masa apei, deja calculată, cu masa vasului gol: $135>52$. Avem și $v(q)=1$.

Exemplul arată de ce trebuie să numești mărimea calculată. Un șir de numere corecte, fără precizarea obiectului lor, poate ascunde o comparație greșită. Concluzia privește vasul și apa din modelul dat. Nu spune că apa este întotdeauna mai grea decât recipientul în care se află.

Exemplul 3 — Un prag și o valoare aflată chiar pe el

Într-un exercițiu, patru mostre au masele de $4,8$ g, $5,0$ g, $5,3$ g și $5,7$ g. Propoziția $p$ afirmă că exact trei mostre au masa mai mare de $5$ g. Propoziția $q$ afirmă că exact trei mostre au masa de cel puțin $5$ g. Stabilește verdictele.

Rezolvare. Pentru $p$, condiția este strictă. Numărăm numai valorile $5,3$ și $5,7$, deci găsim două mostre. Propoziția despre exact trei este falsă: $v(p)=0$.

Pentru $q$, expresia „cel puțin” admite egalitatea. Intră în numărătoare și valoarea $5,0$, alături de cele două valori mai mari. Sunt exact trei mostre, astfel că $v(q)=1$.

Lista nu s-a schimbat. S-a schimbat condiția pe care o testăm, iar mostra de pe prag decide diferența. Dacă ai obținut același răspuns pentru ambele enunțuri, verifică dacă ai tradus corect „mai mare” și „cel puțin”. Nu rotunji valorile înaintea comparației: aici ele sunt date exact în forma în care trebuie folosite.

Exemplul 4 — Găsește greșeala din justificare

Un elev verifică propoziția $p$: „$3,2-1,7=1,5$” și scrie: „Scăderea dă $1,5$, deci $v(p)=1,5$.” Ce este corect și ce trebuie reparat?

Rezolvare. Operația numerică este corectă. Putem controla prin adunare: $1,5+1,7=3,2$. Eroarea apare numai la ultima notație. Valoarea de adevăr nu preia rezultatul operației; ea spune dacă egalitatea verificată este corectă.

Redactarea reparată este: „Deoarece $3,2-1,7=1,5$, egalitatea este adevărată și $v(p)=1$.” Am păstrat calculul bun și am înlocuit concluzia greșită.

Este util să localizezi exact greșeala, nu să respingi întreaga rezolvare. În alte probleme, calculul poate fi greșit chiar dacă verdictul a fost ghicit corect. De aceea verificăm separat rezultatul numeric și legătura lui cu afirmația cerută. Aici controlul prin operația inversă confirmă prima parte, iar definiția valorii de adevăr repară a doua parte.

Exemplul 5 — Două valori atribuite aceleiași variabile

Pentru enunțul deschis „$3u+2=20$”, unde $u$ este real, verifică ce se obține la $u=6$ și la $u=4$. Explică de ce nu alegem un verdict pentru forma cu $u$ neprecizat.

Rezolvare. La prima înlocuire, membrul stâng devine $3\cdot 6+2=20$. Obținem o propoziție adevărată. La a doua, membrul stâng devine $3\cdot 4+2=14$, diferit de $20$. Propoziția rezultată este falsă.

Nu atribuim două valori de adevăr aceleiași propoziții. Înlocuirile au produs două afirmații diferite: una despre numărul $6$, alta despre numărul $4$. Forma inițială conține variabila liberă, așa că trebuie precizat mai întâi ce valoare folosim.

Dacă enunțul problemei ar fi fixat deja $u=6$, nu am mai avea această lipsă de precizare. Când citești o formulă izolată dintr-o rezolvare, întoarce-te la datele problemei: uneori informația necesară este scrisă cu câteva rânduri înainte. Prezența unei litere, singură, nu decide clasificarea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați, fără calculator, că propoziția $p$: „$3,31<\sqrt{11}<3,32$” este adevărată.

Rezolvare. Cele trei numere sunt pozitive, așa că le putem compara prin pătratele lor: dintre două numere pozitive, este mai mare cel care are pătratul mai mare. Calculăm exact:

$$3,31^2=10,9561,3,32^2=11,0224.$$

Din $10,9561<11<11,0224$ rezultă $3,31<\sqrt{11}<3,32$, deci $v(p)=1$. Justificarea nu folosește nicio aproximare a radicalului: am comparat numai numere scrise exact. O valoare afișată de calculator, de pildă $3,3166$, ar sugera verdictul, dar nu l-ar dovedi, fiindcă este ea însăși rotunjită.

Acesta este un exercițiu de antrenament creat pentru lecție, cu formularea „Arătați că”, întâlnită în modelul oficial. Nu este o reproducere a unei cerințe oficiale. Modelul M_șt-nat din 2026 nu are un exercițiu separat care cere definiția propoziției logice sau notația $v(p)$. Legătura utilă este redactarea: pornești de la date, faci operațiile și ajungi la afirmația pe care trebuia să o justifici.

Să exersăm

Lucrează mai întâi fără răspunsuri. Când se cere un verdict, adaugă motivul care îl decide. La problemele cu date dintr-un tabel sau dintr-un experiment imaginar, folosește numai informațiile precizate. Exercițiile marcate ca antrenament pentru Bacalaureat M2 sunt construite pentru această lecție, nu sunt preluate dintr-un subiect oficial.

1. Clasifică enunțurile: a) „Suma a două numere impare este un număr par”; b) „Verifică afirmația pentru $7$ și $9$!”; c) „Există un număr impar care să fie pătrat perfect?”. Pentru enunțul care este propoziție, stabilește valoarea de adevăr printr-un argument valabil pentru orice două numere impare, nu printr-un singur exemplu.

2. Determină valorile de adevăr pentru $p$: „$2,6+1,9=4,5$”, $q$: „$8,4-3,6=5,2$” și $r$: „$1,2\cdot 5=6$”. Arată fiecare calcul.

3. Un tabel arată că o frunză are lungimea de $9$ cm și lățimea de $4$ cm. Scrie o propoziție adevărată despre comparația celor două dimensiuni și o propoziție falsă despre diferența lor.

4. Fie $p$: „$\frac{5}{12}+\frac{1}{4}=\frac{2}{3}$”. Verifică egalitatea și scrie $v(p)$. Separă în răspuns rezultatul adunării de valoarea de adevăr.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două propoziții au aceeași valoare de adevăr, atunci ele afirmă același lucru.” Evaluează afirmația și sprijină verdictul pe o pereche de propoziții alese de tine.

6. Enunțul „$3a-b=10$” conține două numere reale neprecizate, $a$ și $b$. Verifică perechile $(a,b)=(4,2)$ și $(a,b)=(5,4)$, apoi explică de ce precizarea numai a valorii $a=4$ nu transformă enunțul într-o propoziție.

7. (Problemă aplicată.) Într-o activitate școlară, trei grupe înregistrează câte $13$, $17$, respectiv $21$ de observații. Verifică afirmațiile: a) „Grupele au împreună mai puțin de $50$ de observații”; b) „Media observațiilor pe grupă este un număr natural”.

8. O regulă scrisă pe fișă acceptă lungimi de cel mult $12$ cm. Dintre lungimile $11,6$ cm, $12$ cm și $12,4$ cm, câte sunt acceptate? Este adevărată afirmația „Exact două respectă regula”?

9. O problemă începe cu „Fie $b$ cel mai mare număr prim mai mic decât $50$”. Mai jos apare afirmația „$b>45$”. Este ea o propoziție, deși litera $b$ nu a primit o valoare scrisă cu cifre? Determină-i valoarea de adevăr.

10. Din descrierea „Termometrul T2, care arată $21^{\circ }\mathrm{C}$, a fost calibrat ieri și este așezat la umbră” extrage toate propozițiile elementare. Atenție: una dintre ele nu este legată de celelalte prin „și”.

11. Pe eticheta unui flacon scrie $1,2$ L. Un elev notează propoziția „Flaconul conține mai puțin de $900$ ml” și o declară adevărată, pentru că numărul $1,2$ este mai mic decât numărul $900$. Stabilește corect valoarea de adevăr și explică greșeala.

12. Precizează ce informație lipsește din „Proba este ușoară”. Reformulează enunțul ca afirmație verificabilă despre proba C, pentru care masa dată este $6,4$ g. Alege explicit un prag și stabilește verdictul.

13. Într-un tabel, cele patru valori sunt $7$, $11$, $13$, $20$. Respinge afirmația „Toate valorile sunt impare” printr-un contraexemplu și explică de ce celelalte trei valori nu salvează afirmația.

14. (Problemă aplicată.) Într-un model, $21$ dintre cele $30$ de semințe au germinat. Verifică propozițiile $p$: „Au germinat $70\%$ dintre semințe” și $q$: „Au rămas negerminate mai puțin de $8$ semințe”.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru două numere reale fixate $a$ și $b$, cel puțin una dintre propozițiile «$a>b$» și «$a<b$» este falsă.” Stabilește verdictul și precizează dacă pot fi false amândouă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că propoziția „$3^5<2^8$” este adevărată și precizați cu cât diferă cele două puteri.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că propoziția „$|\sqrt{13}-4|=4-\sqrt{13}$” este adevărată, fără aproximarea radicalului.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) (Provocare.) Se consideră propoziția $p$: „Numărul $80$ are exact $10$ divizori naturali”. Un elev scrie divizorii $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $16$, $20$, $40$ și conclude că $v(p)=0$. Verificați lista și stabiliți valoarea de adevăr corectă a lui $p$.

Răspunsuri și explicații

1. Numai a) este propoziție: b) cere o acțiune, iar c) cere o informație. Două numere impare se scriu $2m+1$ și $2n+1$, cu $m$ și $n$ naturale, iar suma lor este $2m+2n+2=2(m+n+1)$, un număr par. Argumentul acoperă orice pereche, deci valoarea de adevăr este $1$. Calculul $7+9=16$ ar fi confirmat doar un caz.

2. Avem $v(p)=1$, deoarece $2,6+1,9=4,5$. Pentru $q$, diferența corectă este $8,4-3,6=4,8$, deci $v(q)=0$. În fine, $1,2\cdot 5=6$, astfel că $v(r)=1$. Verdictul fiecărei propoziții este distinct de numărul obținut în calcul.

3. Un răspuns posibil: „Lungimea frunzei este mai mare decât lățimea ei”, adevărată deoarece $9>4$; „Diferența dintre lungime și lățime este de $6$ cm”, falsă deoarece $9-4=5$. Sunt acceptate și alte afirmații precise care respectă cele două cerințe.

4. Cu numitor comun, $\frac{5}{12}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Egalitatea este adevărată, așadar $v(p)=1$. Suma este $\frac{2}{3}$; ea nu este valoarea lui $v(p)$. Cele două notații răspund unor întrebări diferite.

5. Afirmația este falsă. De exemplu, „$5\cdot 7=35$” și „$64$ este pătrat perfect” au amândouă valoarea $1$, dar prima vorbește despre un produs, iar a doua despre numărul $64=8^2$. Valoarea de adevăr păstrează doar verdictul, nu și conținutul afirmației.

6. Pentru $(4,2)$ obținem $3\cdot 4-2=10$, o propoziție adevărată. Pentru $(5,4)$ obținem $3\cdot 5-4=11$, iar $11\ne 10$, deci o propoziție falsă. Dacă fixăm numai $a=4$, rămâne enunțul „$12-b=10$”, în care $b$ este încă liber; verdictul depinde de $b$, așa că enunțul rămâne deschis.

7. Totalul este $13+17+21=51$, iar $51$ nu este mai mic decât $50$, deci a) este falsă. Media pe grupă este $51:3=17$, un număr natural, deci b) este adevărată. A doua propoziție privește o mărime calculată din date, nu una dintre valorile înregistrate: a trebuit aflată întâi media.

8. Sunt acceptate $11,6$ cm și $12$ cm, în total două lungimi. Expresia „cel mult” include egalitatea cu pragul. Valoarea $12,4$ cm îl depășește. Afirmația despre exact două lungimi este adevărată, iar justificarea trebuie să includă tratarea lungimii de pe limită.

9. Da. Definiția din primul rând fixează un singur număr: $49=7\cdot 7$, $48$ este par, iar $47$ este prim, deci $b=47$. Înlocuind, obținem $47>45$, o propoziție adevărată. Litera nu este liberă: valoarea ei este determinată de enunț, chiar dacă trebuie aflată printr-o verificare.

10. Sunt trei: $p$: „Termometrul T2 arată $21^{\circ }\mathrm{C}$”, $q$: „Termometrul T2 a fost calibrat ieri” și $r$: „Termometrul T2 este așezat la umbră”. Prima stă în construcția „care arată…”, fără „și”, dar afirmă și ea ceva verificabil. Toate privesc același termometru, iar niciuna nu se deduce din celelalte.

11. Aducem valorile la aceeași unitate: $1,2$ L înseamnă $1200$ ml. Cum $1200>900$, flaconul nu conține mai puțin de $900$ ml, deci propoziția este falsă și are valoarea $0$. Elevul a comparat numerele fără unități; relația dintre ele era corectă, dar nu privea aceeași mărime exprimată în aceeași unitate.

12. Lipsește criteriul pentru „ușoară”. De exemplu, alegem pragul de $7$ g și scriem „Masa probei C este mai mică de $7$ g”. Noua propoziție este adevărată, deoarece $6,4<7$. Un alt prag este admis dacă este anunțat clar și comparația este corectă.

13. Valoarea $20$ este pară, fiind $2\cdot 10$, și face parte din lista dată. Prin urmare afirmația despre toate cele patru valori este falsă. Cele trei numere impare confirmă numai propriile lor cazuri; nu schimbă cazul care a infirmat afirmația.

14. Raportul este $\frac{21}{30}=\frac{7}{10}=70\%$, deci $v(p)=1$. Au rămas negerminate $30-21=9$ semințe. Cum $9$ nu este mai mic decât $8$, avem $v(q)=0$. Ambele verdicte se referă la lotul dat, nu la semințe în general.

15. Afirmația este adevărată. Dacă am avea simultan „$a>b$” și „$a<b$” adevărate, numărul $a$ ar fi în același timp înaintea și după $b$ pe axă, ceea ce nu se poate. Pot fi însă false amândouă: pentru $a=b=6$ nu este adevărată niciuna dintre cele două inegalități stricte.

16. Calculăm exact $3^5=243$ și $2^8=256$. Deoarece $243<256$, propoziția este adevărată, iar diferența este $256-243=13$. Nici baza mai mare, nici exponentul mai mare nu decid singure verdictul; îl decid valorile exacte ale celor două puteri.

17. Deoarece $13<16$, avem $\sqrt{13}<\sqrt{16}=4$, deci numărul $\sqrt{13}-4$ este negativ. Modulul unui număr negativ este opusul lui: $|\sqrt{13}-4|=-(\sqrt{13}-4)=4-\sqrt{13}$. Propoziția are valoarea de adevăr $1$; verdictul l-a decis semnul expresiei, stabilit fără aproximări.

18. Lista elevului omite chiar numărul $80$. Divizorii naturali ai lui $80$ se grupează în perechi cu produsul $80$: $1\cdot 80$, $2\cdot 40$, $4\cdot 20$, $5\cdot 16$ și $8\cdot 10$. Sunt exact $10$ divizori, deci $v(p)=1$. Cuvântul „exact” cere o numărătoare completă; un singur element omis a schimbat verdictul elevului.

De reținut

• Întâi stabilești dacă enunțul afirmă ceva precis; abia apoi cauți verdictul. O instrucțiune de calcul nu primește automat valoarea $0$.
• În $v(p)$ consemnezi adevărul afirmației: $1$ sau $0$. Rezultatul operației numerice poate fi cu totul alt număr.
• Păstrezi obiectul, momentul, unitatea și pragul din date. „Cel puțin” și „mai mare” pot conduce la verdicte diferite.
• O singură valoare nepotrivită din lista vizată respinge o afirmație despre toate valorile listei. Pentru confirmare, controlezi lista completă.
• Un răspuns sigur leagă datele de concluzie. Poți verifica separat calculul, comparația și sensul propoziției înainte de a încheia.

Greșeli frecvente

• Citești „exact” ca pe „cel puțin”. „Exact trei valori” înseamnă trei valori și niciuna în plus. Numără toate cazurile care respectă condiția, apoi compară numărul obținut cu cel din enunț.
• Treci rezultatul operației în dreptul lui $v(p)$. Întreabă-te dacă ai aflat un număr sau dacă ai verificat o afirmație despre acel număr.
• Te oprești când vezi o literă. Recitește datele: litera poate avea valoarea fixată sau poate denumi chiar propoziția analizată.
• Ignori valoarea de pe prag. Tradu „cel mult” și „cel puțin” cu egalitatea inclusă. Folosește semnul strict numai când formularea îl cere.
• Generalizezi dincolo de tabel. O concluzie despre mostrele enumerate nu descrie automat alte mostre. Menționează explicit lotul la care se referă afirmația.

Aplică acasă

1. Alege trei ambalaje și notează cantitatea înscrisă pe fiecare, în aceeași unitate. Scrie o afirmație adevărată și una falsă despre numerele notate. Precizează că lucrezi cu valorile de pe etichete, fără să pretinzi că ai măsurat conținutul.
2. Întocmește un tabel cu duratele a patru melodii, în secunde. Alege un prag egal cu una dintre durate. Compară numărul duratelor strict mai mici decât pragul cu numărul celor cel mult egale cu el și explică diferența.
3. Schimbă cu un coleg câte o instrucțiune și câte două afirmații numerice. El identifică propozițiile și justifică verdictele. Verificați apoi dacă fiecare concluzie răspunde exact enunțului primit, inclusiv atunci când afirmația este falsă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică citirea precisă și justificarea, nu memorarea unei liste de enunțuri. Un semn bun este că elevul poate explica separat de ce o afirmație este propoziție și de ce este falsă. Cereți-i un motiv scurt pentru verdict și întrebați ce date a folosit. La o greșeală, localizați problema: clasificare, calcul, comparație sau notație.

Tabelele și experimentele sunt modele școlare cu date oferite explicit. Nu cer cunoștințe suplimentare de chimie sau biologie. Sarcinile despre praguri pregătesc citirea condițiilor din probleme; cele despre variabile rămân la substituții simple. Pentru verificarea întregii unități, după parcurgerea lecțiilor următoare, este disponibil testul de logică matematică pentru M2. Testul include și noțiuni care se învață ulterior.

Programa și examenul. Conținutul este aliniat programei pentru științe ale naturii din OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicate clasei a IX-a începând cu anul școlar 2026–2027. Propozițiile și predicatele apar la „Elemente de logică matematică”. În programa pentru Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, această temă aparține domeniului Algebră. Pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa M_șt-nat include, de asemenea, propoziția și predicatul. Modelul oficial din 2026 nu rezervă o cerință separată valorii de adevăr; folosește cerințe de justificare în cadrul problemelor. Exemplele de antrenament de aici sunt originale și nu prezic repartizarea temei într-un viitor subiect.

Întrebări frecvente

Cum deosebesc „afirmație falsă” de „nu este propoziție”?

În primul caz există o afirmație precisă, iar verificarea o infirmă. În al doilea, enunțul poate cere o acțiune sau o informație, fără să afirme ceva. Începe prin a identifica ce se susține, apoi calculează. Un rest nenul poate respinge afirmația despre divizibilitate, dar nu o transformă într-o întrebare.

La ce mă uit când valoarea se află exact pe prag?

La cuvintele care definesc relația. „Cel puțin” admite pragul și valorile mai mari, iar „cel mult” admite pragul și valorile mai mici. „Mai mare decât” și „mai mic decât” îl exclud. Scrie relația înainte de numărătoare, apoi verifică separat cazul egalității, fiindcă acolo apare frecvent diferența dintre două răspunsuri.

De ce contează unitatea de măsură când verific o propoziție?

Pentru că o comparație are sens numai între mărimi exprimate în aceeași unitate. Valorile de pe o etichetă și dintr-o fișă pot fi corecte fiecare, iar propoziția care le compară poate ieși totuși falsă dacă sari peste transformare. Aduci întâi ambele valori la aceeași unitate, apoi citești relația cerută și abia la final scrii verdictul.

Ce studiez aici diferit față de varianta M1?

Definiția de bază este aceeași pentru cele două profiluri. Pagina M2 organizează antrenamentul în jurul datelor din tabele, al pragurilor și al justificărilor scurte, cu exerciții proprii. Nu sunt necesare extensiile pentru a rezolva sarcinile de aici. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: propoziția logică și valoarea de adevăr rămâne un reper de comparație, nu o parte a lecției curente.

La ce Subiect de Bacalaureat M2 se cere valoarea de adevăr?

Modelul oficial M_șt-nat din 2026 nu conține o întrebare separată despre această notație, deci nu îi atribuim un loc fix. Programa include noțiunea, iar verificarea afirmațiilor susține rezolvările cu justificare. Exercițiile marcate în această lecție sunt antrenamente originale; ele ilustrează redactarea unui calcul care confirmă ori infirmă o afirmație.

Este suficient un rezultat corect ca să accept o justificare?

Verifică și pașii care conduc la el. Un elev poate greși calculul, dar poate nimeri adevărul unei afirmații, de exemplu când atât numărul greșit, cât și cel corect sunt naturale. În acest caz păstrezi verdictul potrivit și repari calculul. Justificarea trebuie să susțină concluzia prin relații corecte, nu doar să ajungă întâmplător la ea.