Implicația: dacă… atunci… (M2, științe ale naturii)

Pe o fișă de observații apare regula: „Dacă o casetă conține cel puțin opt plăntuțe, atunci caseta are o etichetă”. Pentru a găsi o încălcare, cauți o casetă care are destule plăntuțe, dar nu are etichetă. O casetă cu numai trei plăntuțe nu contrazice regula, indiferent dacă este etichetată. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), acest mod de citire te ajută să înțelegi implicația logică. La Bacalaureatul M2, este folositor în justificări și în verificarea condițiilor dintr-o problemă, fără să presupună o cerință separată despre casete sau despre tabele logice.

În această lecție folosim reguli imaginare, stabilite explicit pentru exercițiu, și afirmații matematice simple. Reia, dacă este nevoie, propoziția logică și valoarea de adevăr, apoi conjuncția a două enunțuri și disjuncția propozițiilor legate prin „sau”. Nu trebuie să ghicești ce a vrut să spună autorul unei reguli: trebuie să identifici exact condiția și consecința scrise. Pentru exemplele cu inegalități îți poate folosi compararea numerelor raționale din clasa a VI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici ipoteza și concluzia într-o formulare de tipul „dacă… atunci…”.
• Vei ști să stabilești valoarea unei implicații folosind cele patru combinații ale valorilor de adevăr.
• Vei ști să explici de ce implicația materială nu afirmă o legătură de cauzalitate.
• Vei ști să deosebești o condiție suficientă de una necesară și să citești expresia „numai dacă”.
• Vei ști să verifici separat reciproca și să respingi o afirmație generală printr-un contraexemplu potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt ipoteza și concluzia unei implicații?

Din două propoziții $p$ și $q$ construim propoziția compusă „dacă $p$, atunci $q$”, notată $p\Rightarrow q$. Propoziția $p$ este ipoteza, iar $q$ este concluzia. Săgeata arată sensul în care citim condiția. Nu reprezintă o operație între două numere și nu afirmă că am stabilit deja adevărul fiecărei părți.

În „Dacă $15>11$, atunci $15>6$”, ipoteza este „$15>11$”, iar concluzia este „$15>6$”. Amândouă sunt adevărate. În „Dacă $15>11$, atunci $15<6$”, ipoteza rămâne adevărată, dar concluzia devine falsă. Tocmai această a doua combinație face implicația falsă.

Ordinea propozițiilor într-o frază poate varia. „Numărul depășește șase dacă depășește unsprezece” exprimă aceeași direcție ca „Dacă numărul depășește unsprezece, atunci depășește șase”. Cuvântul „dacă” introduce ipoteza chiar când apare în a doua parte a frazei. Citește enunțul complet înainte să așezi săgeata.

Când apare o variabilă, precizezi și domeniul. „Dacă $x>11$, atunci $x>6$”, pentru orice număr real $x$, afirmă o regulă valabilă pe întregul domeniu. Pentru un $x$ fixat poți verifica cele două propoziții. Pentru afirmația generală ai nevoie de un argument care acoperă toate valorile admise, nu doar de câteva înlocuiri reușite.

2. Când este falsă implicația logică?

Implicația $p\Rightarrow q$ este falsă numai în combinația: ipoteză adevărată, concluzie falsă. În celelalte trei cazuri este adevărată. Cu $1$ pentru adevărat și $0$ pentru fals, definiția se scrie astfel:

Revenim la o regulă despre fișe: „Dacă fișa este marcată, atunci este numerotată”. O fișă marcată și nenumerotată încalcă regula. O fișă marcată și numerotată o respectă. Pentru o fișă nemarcată, regula nu impune numerotarea; ambele situații sunt compatibile cu ea. Acest exemplu explică ce condiție verificăm, fără să schimbe definiția din tabel.

Există două moduri rapide, dar sigure, de lucru. Dacă ipoteza este adevărată, valoarea implicației coincide cu valoarea concluziei. Dacă ipoteza este falsă, implicația este adevărată, indiferent de concluzie. Poți de asemenea observa că o concluzie adevărată face implicația adevărată pentru oricare dintre cele două valori ale ipotezei.

Nu confunda verdictul întregului enunț cu verdictul unei singure părți. Din „implicația este adevărată” nu rezultă automat „concluzia este adevărată”. Rândul cu ambele propoziții false arată imediat de ce. Pentru a deduce concluzia ai nevoie și de adevărul ipotezei.

3. De ce o ipoteză falsă nu face implicația falsă?

Definiția urmărește o singură incompatibilitate: condiția anunțată se îndeplinește, însă urmarea cerută nu se îndeplinește. Dacă prima condiție lipsește, nu ai identificat această incompatibilitate. De aceea ambele rânduri care încep cu zero au rezultatul unu. Acest rezultat nu repară propoziția falsă și nici nu o transformă în adevăr.

De exemplu, $p$: „$10<4$” este falsă. Dacă $q$ este „$17$ este impar”, implicația $p\Rightarrow q$ este adevărată. Dacă înlocuiești concluzia cu „$17$ este par”, implicația este tot adevărată. În al doilea caz, concluzia rămâne falsă. Ceea ce ai evaluat este combinația logică, nu corectitudinea fiecărei afirmații luate separat.

Această operație se numește implicație materială. Valoarea ei depinde numai de valorile propozițiilor. Nu cere ca una să o cauzeze pe cealaltă, să o preceadă în timp sau să ofere o explicație științifică pentru ea. Două constatări fără legătură cauzală pot avea valori care dau o implicație adevărată în sensul tabelului.

În limbajul obișnuit, „dacă încălzesc, atunci…” poate sugera un mecanism fizic. Un astfel de mecanism trebuie justificat prin cunoștințe despre situație; nu se dovedește prin tabelul logic. Tot așa, verificarea unei reguli pe patru observații nu stabilește singură o lege pentru toate experimentele viitoare. Separăm atent evaluarea logică a datelor de explicația fenomenelor.

4. Cum citim „numai dacă” și condițiile necesare sau suficiente?

Pentru o implicație adevărată $p\Rightarrow q$, îndeplinirea lui $p$ este suficientă ca să avem $q$. De aceea $p$ se numește condiție suficientă pentru $q$. În același timp, $q$ este condiție necesară pentru $p$: dacă $p$ se îndeplinește, $q$ nu poate lipsi. Vorbim aici despre relația dată, nu despre orice relație posibilă între propoziții.

Să alegem numere reale. Condiția „numărul este mai mare decât $20$” este suficientă pentru „numărul este pozitiv”. Pozitivitatea este necesară pentru ca numărul să fie mai mare decât $20$, însă nu este suficientă: numărul $2$ este pozitiv și nu depășește $20$. Un exemplu ales atent desparte astfel două idei pe care formularea verbală le poate apropia prea mult.

Expresia „$p$ numai dacă $q$” se scrie tot $p\Rightarrow q$. Ea spune că $p$ nu este permis împreună cu lipsa lui $q$. În schimb, „$p$ dacă $q$” se scrie $q\Rightarrow p$. Cuvântul „numai” schimbă ceea ce cere fraza; nu poate fi ignorat la traducere.

O verificare practică a traducerii este să întrebi ce situație interzice enunțul. „Un dosar este acceptat numai dacă este semnat” interzice dosarul acceptat, dar nesemnat. Nu promite acceptarea oricărui dosar semnat. Pot exista alte condiții, însă ele nu sunt exprimate de această singură implicație. Nu le presupunem și nici nu le negăm.

5. Cum verificăm reciproca fără să schimbăm problema?

Din $p\Rightarrow q$ obținem reciproca $q\Rightarrow p$, schimbând locul celor două propoziții. Reciprocă nu înseamnă automat adevărată. Verificarea ei constituie o sarcină nouă, chiar dacă enunțul inițial a fost demonstrat corect.

De exemplu, pentru orice număr real $x$, implicația „dacă $x>20$, atunci $x>0$” este adevărată. Reciproca ar spune „dacă $x>0$, atunci $x>20$”, iar valoarea $x=2$ o infirmă. Această valoare nu infirmă enunțul inițial: în enunțul inițial ipoteza ar fi falsă.

Pentru un contraexemplu la o implicație generală cauți simultan două lucruri: ipoteza adevărată și concluzia falsă. Un număr care face ambele afirmații false nu este un contraexemplu. Nici unul care face ambele adevărate nu decide singur dacă regula funcționează pentru toate numerele.

Există și implicații a căror reciprocă este adevărată. De pildă, „un număr întreg este multiplu de zece” și „numărul este divizibil cu zece” exprimă aceeași proprietate. Important este să verifici sensurile, nu să hotărăști din forma săgeții că reciproca trebuie să fie falsă. Când ambele sensuri sunt valabile, ajungem la echivalența: dacă și numai dacă.

6. Ce justificare este suficientă într-o rezolvare?

Pentru două propoziții numerice fixate, calculezi valorile lor și folosești rândul potrivit din tabel. Pentru o listă finită declarată completă, verifici fiecare obiect al listei. Pentru o afirmație despre toate numerele unui domeniu, construiești un raționament general sau găsești un contraexemplu. Aceste trei situații cer justificări diferite.

De exemplu, dacă $x\ge 12$, atunci $x>5$, deoarece orice număr cel puțin egal cu doisprezece este mai mare decât cinci. Nu este nevoie să testezi separat $12$, $13$ și $14$; comparația acoperă toate numerele reale din ipoteză. Dacă ai verificat numai acele trei valori, explicația ta nu ar acoperi numerele dintre ele sau pe cele mai mari.

Când folosești o regulă deja stabilită, scrie de ce ipoteza ei este îndeplinită. Din „dacă un număr este multiplu de paisprezece, atunci este par” și „numărul este multiplu de paisprezece” poți deduce că numărul este par. Din simplul fapt că numărul este par nu poți deduce că este multiplu de paisprezece.

O rezolvare lizibilă are trei repere: condiția verificată, regula folosită și concluzia obținută. Nu câștigi claritate înlocuind orice propoziție printr-o săgeată. Cuvintele „deoarece”, „prin urmare” și „această valoare este un contraexemplu” arată cititorului de ce fiecare pas este justificat.

Mai verifică dacă ai răspuns la întrebarea cerută. „Este adevărată pentru numărul ales?” și „Este adevărată pentru orice număr real?” sunt întrebări diferite. În prima, un calcul încheie verificarea; în a doua, același calcul este doar un caz particular, dacă nu constituie chiar un contraexemplu. Precizarea domeniului și a întinderii concluziei face parte din răspuns.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Verificarea unei reguli într-o fișă de observații

Într-o activitate imaginară sunt exact patru casete. Regula este: „Dacă o casetă are cel puțin opt plăntuțe, atunci are etichetă”. Identifică toate încălcările din fișa completă.

Notăm prin $p$ condiția privind numărul și prin $q$ existența etichetei. A dă valorile $(1,1)$, B dă $(0,1)$, C dă $(1,0)$, iar D dă $(0,0)$. Implicația este falsă numai pentru C. Așadar, C este singura încălcare din lista dată.

Prezența lui D nu constituie o a doua încălcare: regula nu cere etichetă când sunt mai puțin de opt plăntuțe. De asemenea, eticheta lui B nu contrazice nimic; regula nu interzice etichetarea altor casete. Concluzia privește cele patru înregistrări, nu toate casetele care ar putea exista.

Exemplul 2. Recuperarea unei valori de adevăr lipsă

Se știe că $v(q)=0$ și $v(p\Rightarrow q)=1$. Determină $v(p)$ și explică de ce răspunsul este unic.

Păstrăm numai rândurile în care concluzia are valoarea zero. Dacă ipoteza ar avea valoarea unu, implicația ar fi falsă, împotriva datelor problemei. Rămâne rândul $(0,0)$, în care implicația este adevărată. Prin urmare, $v(p)=0$.

Nu am dedus valoarea ipotezei doar din falsitatea concluziei. Am folosit și informația că implicația este adevărată. Dacă această informație ar lipsi, $p$ ar putea avea oricare dintre cele două valori. La problemele cu date parțiale, păstrează toate condițiile și elimină numai cazurile incompatibile cu ele.

Exemplul 3. O regulă formulată cu „numai dacă”

Un regulament imaginar spune: „Un cod este validat numai dacă apare în registru”. Notează $p$: „codul este validat” și $q$: „codul apare în registru”. Tradu regula și precizează dacă înregistrarea codului garantează validarea.

Regula se scrie $p\Rightarrow q$. Ar încălca-o un cod validat care nu apare în registru. Prezența în registru este deci necesară pentru validare. Formularea nu exclude existența unui cod înregistrat, dar încă nevalidat; această situație corespunde lui $v(p)=0$ și $v(q)=1$.

Așadar, din regula dată nu rezultă că orice cod înregistrat este validat. Pentru acea concluzie ar trebui o a doua regulă, $q\Rightarrow p$. Am stabilit sensul unei condiții administrative din exercițiu, fără să atribuim procedurii alte cerințe nescrise.

Exemplul 4. Un contraexemplu ales în direcția corectă

Pentru numere reale, verifică afirmația „Dacă $x>5$, atunci $x>2$” și reciproca ei.

Afirmația inițială este adevărată: din $x>5$ și $5>2$ rezultă $x>2$. Argumentul acoperă orice număr real care satisface ipoteza. Reciproca spune „Dacă $x>2$, atunci $x>5$”. Alegem $x=3$: ipoteza reciprocei este adevărată, iar concluzia ei este falsă. Reciproca este deci falsă ca afirmație generală.

De ce nu alegem $x=1$ pentru a respinge reciproca? Deoarece atunci ipoteza ei este falsă, iar implicația pentru acea valoare este adevărată. Valoarea aleasă trebuie să testeze chiar promisiunea formulată: condiția de pornire îndeplinită, urmarea absentă.

Exemplul 5. O concluzie adevărată decide singură

Registrul de temperaturi al unui acvariu nu are înregistrarea de la ora 14, așa că nu știm dacă $p$: „La ora 14, apa din acvariu avea peste $26^{\circ }\mathrm{C}$” este adevărată. Fie $q$: „$37\cdot 27=999$”. Putem stabili valoarea implicației $p\Rightarrow q$?

Da. Calculăm produsul și găsim $37\cdot 27=999$, deci $v(q)=1$. Propoziția $p$ are o valoare fixată de temperatura de atunci, chiar dacă registrul nu o păstrează; ideea a fost lămurită în lecția despre propoziția logică. Ambele rânduri ale tabelului cu $v(q)=1$ dau $v(p\Rightarrow q)=1$, oricare ar fi valoarea lui $p$.

Nu aflăm astfel temperatura de la ora 14 și nu spunem că produsul a influențat vreo temperatură. Am evaluat o operație logică ale cărei rezultate, în cele două cazuri rămase posibile, coincid. Dacă, în schimb, concluzia ar fi fost falsă, lipsa înregistrării ar fi împiedicat verdictul: rândurile cu $v(q)=0$ dau rezultate diferite.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră un număr real $x$ pentru care $3x+2=17$. Arată că $x^2>20$ și explică sensul implicației folosite.

Din ipoteză scădem doi și obținem $3x=15$, deci $x=5$. Atunci $x^2=25>20$. Am justificat enunțul:

$$3x+2=17\Rightarrow x^2>20.$$

Această rezolvare folosește condiția dată pentru a obține o concluzie. Nu susține și reciproca. De exemplu, $x=6$ verifică inegalitatea, dar nu ecuația inițială. A scrie o echivalență în locul implicației ar adăuga o afirmație falsă.

Exercițiul este o construcție de antrenament pentru redactarea unei justificări, nu reproducerea unui subiect oficial. Legătura cu pregătirea pentru Bacalaureatul M2 este controlul pașilor: pornești din date, calculezi și formulezi exact concluzia cerută.

Să exersăm

1. Dacă $v(p)=0$ și $v(q)=1$, determină $v(p\Rightarrow q)$ și numește rândul folosit.

2. Completează tabelul implicației $q\Rightarrow p$ pentru cele patru perechi $(v(p),v(q))$ și compară-l, rând cu rând, cu tabelul lui $p\Rightarrow q$. Pe ce rânduri diferă cele două implicații?

3. Stabilește valoarea implicației „Dacă $5^3=125$, atunci $221$ este divizibil cu $13$”. Ce valoare are implicația dacă păstrăm ipoteza și schimbăm concluzia în „$221$ este divizibil cu $11$”?

4. Rescrie sub forma „dacă…, atunci…” afirmația „Orice triunghi echilateral are toate unghiurile congruente”. Scrie apoi reciproca și stabilește dacă este adevărată.

5. În calendarul pe care îl folosim, este „anul se împarte exact la $4$” o condiție necesară pentru „anul este bisect”? Este ea și o condiție suficientă? Scrie implicația corespunzătoare și justifică fiecare răspuns.

6. Scrie reciproca afirmației „Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente” și arată printr-un contraexemplu că reciproca este falsă.

7. Adevărat sau fals? „Dacă $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr, atunci implicația $p\Rightarrow q$ este adevărată.” Motivează.

8. (Problemă aplicată.) Într-un laborator se folosește regula „Dacă o probă are masa peste $50$ g, atunci volumul ei este peste $40$ ml”. Ce volume respectă regula pentru o probă de $62$ g? Dar pentru o probă de $45$ g? Explică de ce răspunsurile diferă.

9. Fie $v(p)=1$, $v(q)=0$ și $v(r)=0$. Determină valoarea implicației $(p\wedge q)\Rightarrow r$, stabilind întâi valoarea ipotezei.

10. Pe mulțimea $\{0,1,2,3,4\}$ se consideră implicația „Dacă $x$ este par, atunci $x>2$”. Pentru ce valori ale lui $x$ este ea falsă? Pentru care este adevărată cu ipoteza falsă?

11. Găsește un contraexemplu la afirmația „Pentru orice număr real $x$, dacă $x>0$, atunci $x^2>4$”.

12. Justifică pentru orice număr real $x$ implicația „Dacă $x>3$, atunci $3x-2>7$”, fără să folosești înlocuiri numerice.

13. Arătați că, pentru orice număr real $x$, dacă $x>1$, atunci $x^3>x$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Arătați că, pentru orice număr natural $n$, dacă ultima cifră a lui $n$ este $3$, atunci ultima cifră a lui $n^2$ este $9$. Este adevărată și reciproca? (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Pentru $n$ număr natural, justifică implicația „Dacă $n=4k$ pentru un număr natural $k$, atunci $n$ este par”. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Pentru ce valori reale ale lui $a$ este adevărată, pentru orice număr real $x$, implicația „Dacă $x>a$, atunci $x>3$”?

17. Scrie ca implicație regula „Semnalul sonor al frigiderului din laborator pornește de fiecare dată când ușa rămâne deschisă peste $40$ de secunde”. Precizează ipoteza, concluzia și o situație care ar încălca regula.

18. Știi că $v(p\Rightarrow q)=0$ și $v(q\Rightarrow r)=1$. Determină valorile care sunt obligatorii pentru $p$, $q$, $r$, apoi valoarea lui $p\Rightarrow r$ dacă $v(r)=0$. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Valoarea este $1$. Folosești rândul cu ipoteză falsă și concluzie adevărată. Falsitatea ipotezei nu este o încălcare a regulii.

2. Pentru perechile $(1,1)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(0,0)$, implicația $q\Rightarrow p$ are valorile $1$, $1$, $0$, $1$, iar $p\Rightarrow q$ are valorile $1$, $0$, $1$, $1$. Ele diferă pe rândurile $(1,0)$ și $(0,1)$: pe fiecare dintre ele, una este falsă, iar cealaltă are ipoteza falsă. De aceea o implicație nu poate fi înlocuită cu reciproca ei.

3. Ipoteza este adevărată. Deoarece $221=13\cdot 17$, prima concluzie este adevărată, deci implicația are valoarea $1$. Cum $221=11\cdot 20+1$, a doua concluzie este falsă, iar implicația devine falsă. Afirmațiile nu au nicio legătură de conținut; valoarea depinde numai de perechea valorilor de adevăr.

4. „Dacă un triunghi este echilateral, atunci are toate unghiurile congruente.” Reciproca, „Dacă un triunghi are toate unghiurile congruente, atunci este echilateral”, este adevărată: în triunghi, unghiurilor congruente li se opun laturi congruente, deci toate cele trei laturi sunt congruente. Aici ambele sensuri sunt valabile, lucru care nu se întâmplă la orice implicație.

5. Implicația adevărată este „Dacă anul este bisect, atunci se împarte exact la $4$”, deci condiția este necesară: niciun an bisect nu o încalcă. Nu este suficientă: anul $1900$ se împarte la $4$, dar nu a fost bisect, fiindcă anii terminați în $00$ sunt bisecți numai dacă se împart și la $400$. Reciproca are, așadar, un contraexemplu.

6. Reciproca este „Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci ele sunt opuse la vârf”. Două unghiuri de câte $40^{\circ }$, desenate în colțuri diferite ale caietului, sunt congruente, dar nu sunt opuse la vârf: ipoteza reciprocei este adevărată, iar concluzia ei falsă. Afirmația inițială rămâne adevărată; contraexemplul privește numai reciproca.

7. Adevărat. Valori egale înseamnă perechea $(1,1)$ sau perechea $(0,0)$, iar pe ambele rânduri implicația are valoarea $1$. Singurul rând fals, $(1,0)$, are valori diferite, deci nu poate apărea aici.

8. Pentru proba de $62$ g ipoteza este adevărată, deci regula cere un volum strict mai mare de $40$ ml; un volum de exact $40$ ml ar încălca-o deja. Pentru proba de $45$ g ipoteza este falsă, așa că orice volum respectă regula. Regula restrânge volumul numai atunci când masa trece de prag.

9. Ipoteza este conjuncția $p\wedge q$, cu valoarea $0$, deoarece $q$ este falsă. O implicație cu ipoteza falsă este adevărată, deci $v((p\wedge q)\Rightarrow r)=1$, deși și concluzia $r$ este falsă.

10. Implicația este falsă pentru $x=0$ și $x=2$: numerele sunt pare, dar niciunul nu trece de $2$. Pentru $x=4$ este adevărată, cu ambele părți adevărate. Pentru $x=1$ și $x=3$ ipoteza este falsă, deci implicația este adevărată.

11. De exemplu, $x=1$: avem $1>0$, dar $1^2=1$ nu este mai mare decât $4$. Ai verificat explicit ambele cerințe ale contraexemplului.

12. Din $x>3$, înmulțind cu numărul pozitiv $3$, obținem $3x>9$; scăzând $2$ din ambii membri, obținem $3x-2>7$. Fiecare pas păstrează sensul inegalității, deci argumentul acoperă toate numerele reale care verifică ipoteza.

13. Scriem $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$. Pentru $x>1$, toți cei trei factori sunt pozitivi, deci produsul este pozitiv și $x^3>x$. Nu am afirmat reciproca: de exemplu, $x=-\frac{1}{2}$ verifică $x^3>x$, deoarece $-\frac{1}{8}>-\frac{1}{2}$, deși nu depășește $1$.

14. Dacă $n=10k+3$, cu $k$ natural, atunci $n^2=100k^2+60k+9=10(10k^2+6k)+9$, deci ultima cifră a lui $n^2$ este $9$. Reciproca este falsă: $n=7$ are pătratul $49$, cu ultima cifră $9$, deși ultima cifră a lui $n$ nu este $3$.

15. Din $n=4k$ rezultă $n=2(2k)$. Numărul $2k$ este natural, astfel că $n$ este de două ori un număr natural, deci este par. Argumentul include și $k=0$.

16. Pentru $a\ge 3$: dacă $x>a$ și $a\ge 3$, atunci $x>3$. Dacă $a<3$, numărul $x=\frac{a+3}{2}$ se află strict între $a$ și $3$, deci verifică ipoteza fără concluzie și este un contraexemplu. Răspunsul este $a\in [3,\infty )$.

17. $p$: „ușa rămâne deschisă peste $40$ de secunde”, $q$: „semnalul sonor pornește”; regula este $p\Rightarrow q$. Ipoteza este condiția introdusă de „de fiecare dată când”, chiar dacă stă la finalul frazei. Regula ar fi încălcată de o ușă lăsată deschisă, de exemplu, $55$ de secunde, fără ca semnalul să pornească.

18. Prima condiție impune $v(p)=1$ și $v(q)=0$. A doua este atunci adevărată pentru ambele valori ale lui $r$, deci $r$ nu este determinată. Dacă se adaugă $v(r)=0$, obținem $v(p\Rightarrow r)=0$.

De reținut

• Implicația $p\Rightarrow q$ are ipoteza $p$ și concluzia $q$; ordinea trebuie păstrată la traducere.
• Unicul caz fals este ipoteza adevărată împreună cu concluzia falsă.
• O implicație materială adevărată nu dovedește o relație de cauzalitate între propoziții.
• Într-o implicație adevărată, ipoteza este suficientă pentru concluzie, iar concluzia este necesară pentru ipoteză.
• Reciproca se verifică separat; pentru a infirma o implicație generală este suficient un contraexemplu corect ales.

Greșeli frecvente

• Săgeata pusă între numere. Săgeata leagă propoziții complete, nu rezultate. Un rând de forma „$x=5\Rightarrow 25$” nu afirmă nimic; scrie propoziția întreagă, „$x=5\Rightarrow x^2=25$”.
• Verificarea unei implicații generale pe câteva numere întregi. Între numerele încercate rămân numere reale neverificate. Un argument care pornește doar de la ipoteză acoperă tot domeniul.
• Aplicarea unei reguli fără verificarea ipotezei ei. O implicație adevărată spune ceva numai despre cazurile în care ipoteza are loc. Înainte să folosești concluzia unei reguli, arată că datele tale îndeplinesc ipoteza ei.
• Alegerea unui contraexemplu cu ipoteză falsă. Înainte să-l prezinți, scrie cele două valori de adevăr; ai nevoie de perechea $(1,0)$.
• Transformarea unei observații într-o lege cauzală. Precizează ce ai verificat în date și evită explicațiile despre mecanisme care nu apar în enunț.

Aplică acasă

1. Alege o concluzie din viața de zi cu zi, de exemplu „apa din cană se încălzește”, și scrie trei condiții suficiente diferite pentru ea. Formulează fiecare pereche ca implicație și explică de ce niciuna dintre cele trei condiții nu este necesară, atâta timp cât există celelalte două.
2. Alege două praguri numerice diferite și construiește o implicație adevărată între comparații. Scrie reciproca și caută un număr care o infirmă. Verifică separat ipoteza și concluzia pentru numărul ales.
3. Citește o cerință „Arătați că” dintr-o temă recentă. Subliniază datele folosite și încadrează concluzia. Rescrie raționamentul în trei propoziții: ce știi, ce calculezi, ce ai demonstrat.

Pentru părinți și profesori

Discutați întâi cazul care încalcă o regulă și abia apoi notația. Elevul trebuie să poată explica verbal fiecare rând, în special cele două cu ipoteză falsă. Întrebarea „Ce anume contrazice regula?” este mai utilă decât memorarea mecanică a șirului de rezultate. La contraexemple, cereți verificarea ambelor părți.

Programa și examenul. Implicația, alături de celelalte operații logice cu propoziții, este prevăzută în Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, și în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Implicația este inclusă și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu are o cerință distinctă de completare a tabelului implicației; nu atribuim lecției un loc fix în structura subiectelor.

După exerciții, continuați cu echivalența logică pentru M2 și cu tabelul de adevăr al unui enunț compus. Recapitularea unității este în testul de logică matematică și metode de demonstrație M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: implicația rămâne un reper de comparație între trasee; nu este o condiție pentru parcurgerea lecției de față.

Întrebări frecvente

Ce verific întâi când primesc un enunț cu „dacă… atunci…”?

Identifici cele două propoziții și le păstrezi în ordinea cerută: condiția după „dacă” este ipoteza, iar urmarea este concluzia. Stabilești valorile lor din date. Apoi cauți cazul care face implicația falsă: ipoteză adevărată, concluzie falsă. Pentru o afirmație generală, precizezi și domeniul în care trebuie verificată.

O implicație adevărată mă asigură că și concluzia este adevărată?

Numai dacă știi în plus că ipoteza este adevărată. Implicația poate fi adevărată și când ambele propoziții sunt false. De aceea, folosirea unei reguli într-o demonstrație cere verificarea ipotezei acelei reguli. Fără acest pas, concluzia nu este justificată, chiar dacă regula citată este corectă în toate cazurile.

Cum deosebesc implicația matematică de o explicație despre cauze?

Implicația materială se evaluează numai din valorile de adevăr. O explicație cauzală afirmă suplimentar ceva despre mecanismul unei situații și are nevoie de dovezi potrivite acelui context. Faptul că două constatări sunt adevărate permite evaluarea implicației dintre ele, dar nu arată că prima constatare a produs evenimentul descris de a doua.

Când este suficient să dau un singur număr drept justificare?

Un singur număr este suficient pentru a respinge o afirmație despre toate numerele unui domeniu dacă verifică ipoteza și nu verifică concluzia. Acesta este un contraexemplu. În schimb, un caz în care regula funcționează nu demonstrează de obicei afirmația generală. Pentru aceasta ai nevoie de un argument care acoperă întregul domeniu.

Prin ce diferă această lecție M2 de lecția pentru M1?

Definiția implicației și tabelul ei sunt aceleași. Aici construim înțelegerea prin date finite, condiții exprimate în cuvinte, comparații și justificări algebrice scurte. Nu sunt necesare demonstrații suplimentare despre transformări mai elaborate ale implicațiilor. Parcurgerea se încheie cu verificarea sensului săgeții, a reciprocei și a contraexemplelor cerute în exercițiile acestei lecții.

În ce subiect de Bacalaureat M2 se folosește implicația?

Operația figurează în programa de examen, însă acest fapt nu îi rezervă o poziție fixă într-un subiect. În modelul oficial pentru 2026 nu apare separat un tabel al implicației de completat. Deprinderea se folosește atunci când justifici o concluzie din ipoteze, verifici condițiile unei relații sau observi că o transformare permite numai un sens.