Numărul e și exponențiala naturală (M2, științe ale naturii)

O coardă de chitară ciupită vibrează tot mai încet, un condensator se descarcă printr-un bec, un medicament părăsește sângele. În formulele care descriu aceste fenomene apare aceeași bază, un număr puțin mai mare decât $2,7$, notat cu litera $e$. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), îl obții dintr-un experiment numeric, îi citești funcția pe grafic și o folosești ca model, fără alte instrumente decât tabelul și desenul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei numește chiar „funcția exponențială (numărul irațional e)”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția exponențială la materia clasei a X-a, fără să numească separat numărul $e$; în modelul oficial publicat pentru 2026, exponențiala naturală apare la Subiectul al III-lea, în problema de analiză.

Lecția continuă funcția exponențială la M2, de unde iei proprietățile generale ale lui $a^x$, și creșterea exponențială la M2, unde ai lucrat cu dublări și înjumătățiri. Pentru regulile de calcul cu puteri de exponent întreg poți reciti înmulțirea și împărțirea puterilor din clasa a VIII-a, iar pentru aproximări, ordonarea numerelor reale și aproximările la M2.

Ce vei învăța

• Vei ști să obții numărul $e$ dintr-un tabel de valori ale expresiei ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ și să explici ce se stabilizează în tabel.
• Vei ști să scrii aproximări ale lui $e$ rotunjite corect și să deosebești rotunjirea de trunchiere.
• Vei ști să citești pe grafic proprietățile funcției $f(x)=e^x$: domeniul, mulțimea valorilor, monotonia, punctul de pe axa $Oy$.
• Vei ști să așezi graficul lui $e^x$ față de graficele lui $2^x$ și $3^x$, de o parte și de alta a axei $Oy$.
• Vei ști să încadrezi între două numere soluția unei ecuații $e^x=m$, citind graficul și confirmând cu calculatorul.
• Vei ști să interpretezi un model de forma $N_0{e}^{kt}$ din fizică sau biologie: valoarea inițială, semnul lui $k$, unitățile.

Hai să descoperim împreună

1. Ce număr apare când împărțim o creștere în pași tot mai mici?

Imaginează-ți o mărime care, într-o unitate de timp, crește cu $100\%$, adică se dublează. Dacă o actualizezi o singură dată, la sfârșitul intervalului, factorul este $2$. Dacă împarți intervalul în două jumătăți și aplici de fiecare dată jumătate din creștere, factorul devine ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2$. În general, cu $n$ actualizări egale factorul este ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Întrebarea a fost pusă prima dată pentru dobânzi, de Jacob Bernoulli, dar ea privește orice proces care se actualizează tot mai des.

Două lucruri se văd în tabel. Valorile cresc de la un rând la altul, deci actualizările mai dese dau un factor mai mare. În același timp, primele cifre se stabilizează: de la un anumit rând încolo începutul rămâne $2,7$, apoi $2,71$, apoi $2,718$. Oricât de mare ar fi $n$, factorul nu ajunge la $3$.

Numărul $e$ este numărul real de care se apropie oricât de mult valorile ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pe măsură ce $n$ crește; primele lui cifre sunt $e=2,718281828\dots$ Numărul $e$ este irațional: șirul cifrelor de după virgulă continuă la nesfârșit, fără vreo perioadă. Programa clasei a IX-a îl dă ca atare, iar faptul că este irațional îl primești fără demonstrație.

Figura A arată aceleași valori ca puncte: fiecare punct are abscisa $n$ și ordonata ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Punctele urcă și se strâng sub dreapta orizontală de ordonată $e$, fără să o atingă. Tabelul și desenul spun același lucru în două limbaje.

2. Cum scriem corect o aproximare a lui e?

Un număr irațional nu se poate scrie complet, așa că în calcule folosim o aproximare, cu semnul $\approx$. Regula de rotunjire se aplică pe cifra care urmează după ultima păstrată: dacă este cel puțin cinci, ultima cifră păstrată crește cu o unitate, altfel rămâne neschimbată. Trunchierea, adică tăierea cifrelor fără nicio corecție, dă o valoare mai mică decât rotunjirea ori de câte ori cifra tăiată este mare.

Ia ca obiect de lucru valoarea din tabel pentru $n=10$, adică $2,5937424601$. Rotunjită la o zecimală devine $2,6$, pentru că după cifra cinci urmează nouă. Rotunjită la două zecimale devine $2,59$, pentru că după nouă urmează trei. Trunchiată la o zecimală ar fi $2,5$, o valoare vizibil prea mică. Aceleași reguli le vei aplica numărului $e$ în exerciții.

În lecție scriem cu $\approx$ orice rezultat obținut din $e$ sau dintr-o putere a lui, iar cu $\dots$ începutul exact al unui număr cu zecimale care continuă. Cele două scrieri spun lucruri diferite: prima spune „aproape egal”, a doua spune „primele cifre sunt exact acestea”. Diferența contează, de pildă, când o valoare urmează să fie comparată cu un prag.

3. Ce este funcția exponențială naturală?

Numărul $e$ este strict pozitiv și diferit de $1$, deci poate fi baza unei funcții exponențiale, exact ca $2$ sau $3$ în lecția despre funcția exponențială. Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$, se numește funcția exponențială naturală. Pentru că $e>1$, ea moștenește tot ce ai citit pe graficele cu bază supraunitară: este strict crescătoare, ia numai valori strict pozitive, trece prin $(0;1)$ și prin $(1;e)$.

Câteva valori, obținute cu calculatorul și rotunjite la trei zecimale, fixează imaginea:

Spre stânga, valorile se micșorează spre zero, dar rămân pozitive, iar graficul se apropie de axa $Ox$ fără să o atingă. Este comportamentul pe care l-ai descris ca asimptotă orizontală în lecția M2 despre comportamentul asimptotic. Spre dreapta, valorile cresc tot mai repede: între $x=1$ și $x=2$ creșterea este de aproape cinci unități, adică mult mai mult decât între $x=0$ și $x=1$.

4. Între ce grafice cunoscute stă graficul lui e^x?

Toate cele trei grafice trec prin punctul $(0;1)$, pentru că orice bază pozitivă la puterea zero dă $1$. În dreapta axei $Oy$, baza mai mare dă valori mai mari. La abscisa $1$ citești chiar bazele: $2$, apoi $e\approx 2,718$, apoi $3$. Prin urmare, pentru $x>0$ graficul lui $e^x$ stă între celelalte două, mai aproape de $3^x$ decât de $2^x$.

În stânga axei $Oy$ ordinea se inversează. La abscisa $-1$ citești inversele bazelor: $\frac{1}{2}$, apoi $\frac{1}{e}\approx 0,368$, apoi $\frac{1}{3}$. Cea mai mare bază dă acum cea mai mică valoare, pentru că un exponent negativ înseamnă împărțire la o putere pozitivă. Graficul lui $e^x$ rămâne tot între celelalte două, dar $2^x$ este acum deasupra.

Figura B arată cele trei curbe în același reper. Poziția de mijloc a lui $e^x$ îți dă o verificare rapidă a oricărui rezultat de calculator: dacă ai obținut o valoare a lui $e^x$ care nu este între valorile lui $2^x$ și $3^x$ la aceeași abscisă, ai apăsat greșit.

5. Cum citim pe grafic soluția ecuației e^x = m?

Numărul soluțiilor unei ecuații $a^x=m$ l-ai citit deja în lecția despre funcția exponențială: o soluție pentru $m>0$, niciuna pentru $m\le 0$. Pentru baza $e$ apare o dificultate nouă: puterile ei nu sunt numere frumoase, așa că nici măcar soluțiile ecuațiilor simple nu se pot ghici. Ce poți face exact este să le încadrezi, fie cu valorile din tabel, fie cu marginile $2,7<e<3$, fără calculator.

Soluția se încadrează în pași. Pentru ecuația $e^x=4$, tabelul arată $e^1\approx 2,718<4<7,389\approx e^2$, deci soluția este între $1$ și $2$. Calculatorul rafinează: $e^{1,3}\approx 3,669$ este încă sub patru, iar $e^{1,4}\approx 4,055$ este deasupra, așa că soluția este între $1,3$ și $1,4$. Numărul exact are un nume propriu, logaritm, iar întrebarea „la ce exponent?” este tema lecției despre definiția logaritmului.

6. De ce preferă științele baza e?

Multe fenomene se schimbă continuu, cu o viteză proporțională cu mărimea însăși: cu cât mai multă substanță, cu atât se elimină mai multă în fiecare clipă. Pentru asemenea procese, formula se scrie cel mai simplu cu baza $e$: $N(t)=N_0{e}^{kt}$. Aici $N_0$ este valoarea la momentul $t=0$, pentru că $e^0=1$, iar constanta $k$ are unitatea inversă a timpului, de exemplu „pe oră” sau „pe secundă”.

Semnul lui $k$ spune tipul procesului. Pentru $k>0$ graficul urcă: o populație fără limite de hrană, o reacție în lanț la început. Pentru $k<0$ graficul coboară spre zero: o vibrație care se stinge, o substanță care se elimină.

7. Cum folosim calculatorul fără să ne păcălim?

Cea mai frecventă eroare apare la exponenții scriși ca produs. Pentru $10e^{-0,7\cdot 2}$ calculezi întâi exponentul, $-1,4$, și abia apoi puterea: $10e^{-1,4}\approx 2,466$. Dacă tastezi exponentul fără paranteze, multe calculatoare ridică $e$ doar la $-0,7$ și înmulțesc apoi rezultatul cu $2$, adică obțin $10\cdot e^{-0,7}\cdot 2\approx 9,93$, de patru ori mai mult. De aceea scrii exponentul întreg între paranteze sau îl calculezi separat.

Înainte să scrii răspunsul, verifici semnul: orice putere a lui $e$ este pozitivă, iar un exponent pozitiv dă o valoare mai mare decât $1$, unul negativ o valoare între zero și unu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două rânduri noi pentru tabel

Calculați exact ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n=6$ și $n=8$, dați valorile cu patru zecimale și estimați cât mai lipsește până la $e$.

Rezolvare. Pentru $n=6$ baza este $\frac{7}{6}$, deci ${\left(\frac{7}{6}\right)}^6=\frac{117649}{46656}\approx 2,5216$. Pentru $n=8$ baza este $\frac{9}{8}$, iar ${\left(\frac{9}{8}\right)}^8=\frac{43046721}{16777216}\approx 2,5658$. Cele două valori se așază între rândurile $n=5$ și $n=10$ ale tabelului, în ordinea crescătoare a lui $n$.

Diferența până la $e$ este încă mare: $e-2,5658\approx 0,1525$. Chiar cu opt actualizări, factorul are corectă numai prima cifră, doi. Tabelul arată că abia pentru $n$ de ordinul miilor apar trei zecimale corecte.

Exemplul 2 — Citește graficul exponențialei

Figura C arată graficul funcției $f(x)=e^x$ pe intervalul $[-2,5;2]$, pe un caroiaj din jumătate în jumătate de unitate. Citiți aproximativ $f(-1,5)$ și abscisa punctului de pe grafic care are ordonata $3$. Confirmați apoi cu calculatorul.

Rezolvare. Deasupra abscisei $-1,5$ graficul este sub prima linie orizontală a caroiajului, cam la jumătatea distanței dintre axă și ea, deci în jur de $0,2$. Calculatorul dă $e^{-1,5}\approx 0,223$, deci citirea este bună.

Pentru ordonata $3$, dreapta orizontală $y=3$ taie graficul între abscisele $1$ și $1,5$, mult mai aproape de $1$: citim aproximativ $1,1$. Verificarea: $e^{1,1}\approx 3,004$, foarte aproape de trei. O citire pe grafic are precizia caroiajului, așa că răspunsul corect este „aproximativ $1,1$”, nu o valoare exactă.

Exemplul 3 — Aceeași putere, trei baze

Ordonați fără calculator numerele $2^{0,8}$, $e^{0,8}$, $3^{0,8}$, apoi numerele $2^{-0,8}$, $e^{-0,8}$, $3^{-0,8}$. Confirmați ordinea cu valori rotunjite la trei zecimale.

Rezolvare. Exponentul $0,8$ este pozitiv, deci ordinea valorilor urmează ordinea bazelor: $2^{0,8}<e^{0,8}<3^{0,8}$. Calculatorul dă $2^{0,8}\approx 1,741$, $e^{0,8}\approx 2,226$ și $3^{0,8}\approx 2,408$.

Exponentul $-0,8$ este negativ, deci ordinea se inversează: $3^{-0,8}<e^{-0,8}<2^{-0,8}$. Valorile sunt $3^{-0,8}\approx 0,415$, $e^{-0,8}\approx 0,449$ și $2^{-0,8}\approx 0,574$. În ambele cazuri, puterea lui $e$ stă la mijloc.

Exemplul 4 — Soluția lui e^x = 9, la zecime

Încadrați soluția ecuației $e^x=9$ întâi între două numere întregi consecutive, apoi între două numere cu o zecimală.

Rezolvare. Dreapta $y=9$ are un singur punct comun cu graficul, deoarece $9>0$. Din $e^2\approx 7,389<9$ și $e^3\approx 20,086>9$ rezultă că soluția este între $2$ și $3$.

Rafinăm cu calculatorul: $e^{2,1}\approx 8,166$ este încă sub nouă, iar $e^{2,2}\approx 9,025$ este deja peste. Soluția este între $2,1$ și $2,2$, foarte aproape de $2,2$, pentru că $9,025$ depășește nouă cu foarte puțin.

Exemplul 5 — Vibrația unei corzi de chitară

După ciupire, amplitudinea vibrației unei corzi de chitară, în milimetri, este modelată prin $A(t)=4e^{-0,6t}$, unde $t\in [0;8]$ este timpul, în secunde (figura D). Care este amplitudinea inițială? Cât este după o secundă și jumătate? Între ce secunde întregi scade amplitudinea sub $0,5$ mm?

Rezolvare. La $t=0$ avem $A(0)=4e^0=4$, deci amplitudinea inițială este de $4$ mm. După o secundă și jumătate, $A(1,5)=4e^{-0,9}\approx 1,626$ mm: amplitudinea a scăzut la mai puțin de jumătate din cea inițială.

Figura arată curba coborând sub dreapta de ordonată $0,5$ între a treia și a patra secundă. Calculul confirmă: $A(3)=4e^{-1,8}\approx 0,661$ mm, iar $A(4)=4e^{-2,4}\approx 0,363$ mm. Constanta $k=-0,6$ pe secundă este negativă, cum cere un proces care se stinge, iar amplitudinea rămâne pozitivă pe tot intervalul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Arătați că $f(3)\cdot f(-2)=f(1)$. b) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$. c) Arătați că $f\left(\sqrt{3}\right)>f(1,7)$.

Rezolvare. a) Cu regula produsului de puteri cu aceeași bază, $f(3)\cdot f(-2)=e^3\cdot e^{-2}=e^1=f(1)$.

b) Punctul de pe axa $Oy$ are abscisa $0$, iar $f(0)=e^0=1$. Punctul de intersecție este $(0;1)$.

c) Avem $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci $\sqrt{3}>1,7$. Baza $e$ este supraunitară, deci funcția este strict crescătoare și păstrează ordinea: $f\left(\sqrt{3}\right)>f(1,7)$. Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte despre funcții, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Rotunjește la trei zecimale, dacă enunțul nu cere altfel, și scrie $\approx$ la orice rezultat aproximativ.

1. Folosește tabelul din lecție și aproximarea $e\approx 2,71828$. Calculează diferența dintre $e$ și valoarea din tabel pentru $n=10$, apoi pentru $n=100$. De câte ori s-a micșorat diferența când $n$ a crescut de zece ori? Estimează diferența pentru $n=1000$.

2. Calculatorul dă $e^{2,5}=12,182493\dots$ Rotunjește numărul la o zecimală, la două și la trei zecimale, apoi trunchiază-l la aceleași precizii. La ce precizie dau cele două procedee rezultate diferite?

3. Calculează cu calculatorul: $e^{0,4}$, $e^{-0,3}$ și $e^{1,6}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $e^{-2,5}$ este mai mic decât $0,1$.

5. Calculează cu calculatorul $e^{0,1}$, $e^{0,01}$ și $e^{-0,1}$ și compară fiecare valoare cu $1+x$, unde $x$ este exponentul. Fă apoi același lucru pentru $2^{0,1}$ și $3^{0,1}$. Ce observi?

6. Care dintre punctele $A(0,9;2,460)$, $B(-0,5;-0,607)$, $C(0;0)$ și $D(2,3;9,974)$ se află, cu aproximație de trei zecimale, pe graficul funcției $f(x)=e^x$?

7. Știind că $e^{0,35}\approx 1,419$, calculează fără tasta $e^x$ valorile $e^{0,7}$, $e^{1,05}$ și $e^{-0,35}$, apoi verifică-le cu calculatorul.

8. Are ecuația $e^x+5=m$ soluție pentru $m=4$? Dar pentru $m=5,5$? În al doilea caz, între ce numere întregi consecutive se află soluția?

9. Folosind doar faptul că $2,7<e<3$, arată că soluția ecuației $e^x=0,2$ se află între $-2$ și $-1$.

10. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge este $C(t)=24e^{-0,3t}$ miligrame pe litru, la $t$ ore după administrare, pentru $t\in [0;12]$. Calculează $C(0)$, $C(2)$ și $C(4)$. Arată că la fiecare două ore concentrația se înmulțește cu același număr și spune ce procent din concentrație se pierde în două ore.

11. Tensiunea la bornele unui condensator care se descarcă printr-un rezistor este $U(t)=9e^{-t/5}$ volți, la $t$ secunde, pentru $t\in [0;15]$ (figura E). Citește pe figură tensiunea la $t=5$ și intervalul de o secundă în care tensiunea coboară sub $1$ V. Confirmă prin calcul.

12. Pentru fiecare model de forma $N_0{e}^{kt}$, precizează valoarea inițială cu unitatea ei, spune dacă mărimea crește sau scade și calculează valoarea după o unitate de timp: a) viteza unei bărci cu motorul oprit, $v(t)=6e^{-0,4t}$ metri pe secundă, cu $t$ în secunde; b) cantitatea de pesticid din sol, $m(t)=120e^{-0,05t}$ miligrame pe kilogram, cu $t$ în zile; c) numărul de muște de fructe dintr-un borcan cu hrană, în primele zile, $N(t)=30e^{0,25t}$, cu $t$ în zile.

13. Figura F arată graficele funcțiilor $f(x)=e^x$ și $g(x)=x^2$ pe intervalul $[-2;2]$. Câte puncte comune au în această fereastră? Verifică, calculând valorile ambelor funcții în $-0,75$ și în $-0,7$, că abscisa unui punct comun se află între aceste numere.

14. Scrie funcția $g(x)=e^{-x}$ ca funcție exponențială de forma $a^x$, precizează baza și monotonia și calculează $g(1)$ și $g(-1)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2x-1}$. Arătați că punctul $A(1;e)$ aparține graficului funcției $f$ și că $f(0)<\frac{1}{2}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $e+e^{-1}>3$, folosind $2,7<e<3$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{x-3}$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a;1)$ aparține graficului funcției $f$.

18. (Provocare.) Găsește, cu calculatorul, cel mai mic număr natural $n$ pentru care ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n>2,7$.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $n=10$ diferența este $2,71828-2,5937=0,12458$, iar pentru $n=100$ este $2,71828-2,7048=0,01348$. Raportul lor este $\frac{0,12458}{0,01348}\approx 9,2$, deci diferența s-a micșorat de aproximativ nouă ori. Dacă tendința se păstrează, pentru $n=1000$ diferența este de ordinul a $0,0014$; calculatorul dă ${\left(1+\frac{1}{1000}\right)}^{1000}\approx 2,71692$, deci diferența este $0,00136$.

2. Rotunjirile sunt $12,2$, $12,18$ și $12,182$, iar trunchierile sunt $12,1$, $12,18$ și $12,182$. Procedeele dau rezultate diferite numai la o zecimală, unde prima cifră tăiată, opt, este cel puțin cinci. La două și la trei zecimale prima cifră tăiată este doi, respectiv patru, și cele două procedee coincid.

3. $e^{0,4}\approx 1,492$, $e^{-0,3}\approx 0,741$ și $e^{1,6}\approx 4,953$. Controlul semnului: exponentul negativ dă o valoare între zero și unu, iar cei pozitivi dau valori peste unu.

4. Adevărat. Calculatorul dă $e^{-2,5}\approx 0,082$, iar $0,082<0,1$. O putere cu exponent negativ nu este negativă, dar poate fi foarte mică.

5. Obținem $e^{0,1}\approx 1,1052$, $e^{0,01}\approx 1,0101$ și $e^{-0,1}\approx 0,9048$, foarte aproape de $1,1$, $1,01$ și $0,9$. În schimb, $2^{0,1}\approx 1,0718$ și $3^{0,1}\approx 1,1161$ se abat vizibil de la $1,1$. Pentru exponenți mici, puterile lui $e$ se apropie de $1+x$ mult mai bine decât ale celorlalte două baze; este una dintre proprietățile care fac baza $e$ comodă în științe.

6. Punctele $A$ și $D$ sunt pe grafic: $e^{0,9}\approx 2,460$ și $e^{2,3}\approx 9,974$. Punctul $B$ are ordonata negativă, iar exponențiala nu ia valori negative. Punctul $C$ nu este pe grafic, pentru că $e^0=1$, nu zero.

7. Dublarea exponentului ridică valoarea la pătrat: $e^{0,7}=e^{0,35}\cdot e^{0,35}$, deci $e^{0,7}\approx 1,419\cdot 1,419\approx 2,014$. Triplarea o ridică la cub: $e^{1,05}\approx 1,419^3\approx 2,857$. Exponentul opus dă inversul: $e^{-0,35}\approx \frac{1}{1,419}\approx 0,705$. Calculatorul dă $e^{0,7}\approx 2,014$, $e^{1,05}\approx 2,858$ și $e^{-0,35}\approx 0,705$; mica diferență de la a doua valoare vine din rotunjirea lui $1,419$.

8. Ecuația se scrie $e^x=m-5$. Pentru $m=4$ ar trebui $e^x=-1$, imposibil, deci nu există soluție. Pentru $m=5,5$ obții $e^x=0,5$, cu o singură soluție. Cum $e^{-1}\approx 0,368<0,5<1=e^0$, soluția este între $-1$ și $0$.

9. Din $e>2,7$ rezultă $e^2>7,29$, deci $e^{-2}<\frac{1}{7,29}<0,2$. Din $e<3$ rezultă $e^{-1}>\frac{1}{3}>0,2$. Valoarea $0,2$ este între $e^{-2}$ și $e^{-1}$, iar funcția este crescătoare, deci soluția este între $-2$ și $-1$.

10. $C(0)=24$ mg/L, $C(2)=24e^{-0,6}\approx 13,17$ mg/L și $C(4)=24e^{-1,2}\approx 7,23$ mg/L. La fiecare două ore exponentul scade cu $0,6$, deci concentrația se înmulțește cu $e^{-0,6}\approx 0,549$. În două ore se pierde aproximativ $45\%$ din concentrația de la începutul intervalului.

11. Pe figură, la $t=5$ tensiunea este puțin peste $3$ V; calculul dă $U(5)=9e^{-1}\approx 3,311$ V. Curba coboară sub dreapta de un volt între secundele $10$ și $11$: $U(10)=9e^{-2}\approx 1,218$ V, iar $U(11)=9e^{-2,2}\approx 0,997$ V.

12. a) $v(0)=6$ m/s; $k=-0,4<0$, deci viteza scade; $v(1)=6e^{-0,4}\approx 4,022$ m/s. b) $m(0)=120$ mg/kg; $k=-0,05<0$, deci cantitatea scade; $m(1)=120e^{-0,05}\approx 114,148$ mg/kg. c) $N(0)=30$ de muște; $k=0,25>0$, deci populația crește; $N(1)=30e^{0,25}\approx 38,521$, adică aproximativ $39$ de muște. În fiecare caz, valoarea după o unitate de timp este $N_0{e}^k$.

13. În fereastră se vede un singur punct comun, la stânga axei $Oy$; în dreapta ei curba exponențialei rămâne deasupra parabolei până la marginea ferestrei. În $x=-0,75$ avem $e^{-0,75}\approx 0,472$ și $(-0,75{)}^2=0,5625$, deci parabola este deasupra; în $x=-0,7$ avem $e^{-0,7}\approx 0,497$ și $(-0,7{)}^2=0,49$, deci exponențiala este deasupra. Ordinea se schimbă între cele două abscise, așa că punctul comun are abscisa între $-0,75$ și $-0,7$.

14. Avem $e^{-x}={\left(\frac{1}{e}\right)}^x$, deci baza este $\frac{1}{e}\approx 0,368$, cuprinsă între zero și unu, iar funcția este strict descrescătoare. Apoi $g(1)=\frac{1}{e}\approx 0,368$ și $g(-1)=e\approx 2,718$. Graficul lui $g$ este oglinda graficului lui $e^x$ față de axa $Oy$.

15. Avem $f(1)=e^{2-1}=e$, deci $A$ aparține graficului. Apoi $f(0)=e^{-1}=\frac{1}{e}$, iar din $e>2$ rezultă $\frac{1}{e}<\frac{1}{2}$.

16. Din $e>2,7$ și $e^{-1}=\frac{1}{e}>\frac{1}{3}$ obținem $e+e^{-1}>2,7+\frac{1}{3}>3$. Numeric, $e+e^{-1}\approx 3,086$.

17. Condiția este $f(a)=1$, adică $e^{a-3}=1=e^0$, deci exponentul $a-3$ este zero și $a=3$. Verificare: $f(3)=e^0=1$.

18. $n=74$. Pentru $n=73$ valoarea este ${\left(\frac{74}{73}\right)}^{73}\approx 2,69989<2,7$, iar pentru $n=74$ este ${\left(\frac{75}{74}\right)}^{74}\approx 2,70014>2,7$. Cum valorile cresc odată cu $n$, orice $n\ge 74$ depășește pragul.

De reținut

• Numărul $e$ este numărul de care se apropie valorile ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ când $n$ crește; este irațional și $e\approx 2,718$.
• Aproximările se rotunjesc, nu se trunchiază: la patru zecimale, $e\approx 2,7183$.
• Funcția $f(x)=e^x$ are domeniul $\mathbb{R}$ și mulțimea valorilor $(0;+\infty )$; graficul ei conține punctele $(0;1)$ și $(1;e)$, iar valorile cresc strict.
• Pentru $x>0$ graficul lui $e^x$ este între cele ale lui $2^x$ și $3^x$; pentru $x<0$ rămâne între ele, dar ordinea lor se inversează.
• În modelul $N_0{e}^{kt}$, $N_0$ este valoarea inițială, iar semnul lui $k$ spune dacă mărimea crește sau scade.

Greșeli frecvente

• Trunchiezi în loc să rotunjești. Ca aproximare a lui $e$ la patru zecimale, $2,7182$ ignoră cifra opt care urmează. Uită-te mereu la cifra de după ultima păstrată.
• Citești constanta $k$ ca procent pe unitatea de timp. Pentru $k=-0,2$ pe oră, mărimea nu pierde $20\%$ într-o oră, ci aproximativ $18\%$, pentru că $e^{-0,2}\approx 0,819$. Procentul se află calculând $e^k$.
• Înmulțești exponenții când înmulțești puteri. $e^2\cdot e^3=e^5$, nu $e^6$. La produsul a două puteri ale lui $e$ exponenții se adună.
• Confunzi $N_0$ cu valoarea după o unitate de timp. Coeficientul din fața lui $e^{kt}$ este valoarea la $t=0$. După o unitate de timp valoarea este $N_0{e}^k$.
• Aduni exponenții la o sumă de puteri. $e+e=2e\approx 5,44$, nu $e^2\approx 7,39$. Exponenții se adună numai când puterile se înmulțesc.

Aplică acasă

1. Pe calculatorul telefonului, calculează ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n=10$, $10^3$, $10^5$, $10^7$, $10^{10}$ și $10^{13}$. Notează rezultatele și observă ce se întâmplă la valorile uriașe ale lui $n$. Explică în două propoziții de ce un calculator poate greși când $\frac{1}{n}$ devine prea mic.
2. Într-o foaie de calcul, calculează ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ pentru $n=10$, $100$, $1000$ și $10000$ și compară rezultatele cu valoarea lui $e^2$ dată de tasta calculatorului. Repetă pentru ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ și $e^{-1}$. Scrie în două propoziții ce ai observat despre legătura dintre aceste expresii și puterile lui $e$.
3. Prinde o riglă de marginea mesei, ciupește capătul liber și filmează vibrația cu telefonul. Estimează din filmare după câte secunde amplitudinea scade la jumătate și după câte scade la un sfert. Verifică dacă cele două intervale sunt aproape egale, semnul unui model exponențial.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește numărul $e$ din date, nu din formule: elevul calculează câteva valori ale lui ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$, vede cum se stabilizează cifrele și acceptă apoi numărul ca dat. Nu se folosesc limite de șiruri, nici alte reprezentări ale lui $e$, iar iraționalitatea se enunță fără demonstrație. Funcția $e^x$ se studiază prin citirea graficului, cum cere nota unității de funcții, iar calculatorul confirmă citirile.

Întrebări bune de control: „De ce valoarea lui $e^{-0,8}$ este mai mare decât a lui $3^{-0,8}$?”; „Ce îți spune coeficientul din fața lui $e^{kt}$?”; „De ce scriem $e\approx 2,7183$, dar $e=2,71828\dots$?”. Semnul că elevul a înțeles: rotunjește corect, încadrează o soluție între două valori ale tabelului și explică semnul lui $k$ din descrierea fenomenului.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește la unitatea de funcții „Funcția exponențială (numărul irațional e)” și cere observarea proprietăților pe grafice tipărite sau trasate cu instrumente digitale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, iar programa probei reia același rând de conținut. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține funcția exponențială $f(x)=a^x$ la materia clasei a X-a, fără să numească separat numărul $e$. În modelul oficial publicat pentru 2026, exponențiala naturală apare la Subiectul al III-lea, în funcția $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$, cu cerințe de analiză matematică din clasele a XI-a și a XII-a; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii, limitate la valori, monotonie și mulțimea valorilor.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: numărul irațional e și funcția e la x. Lecția următoare a traseului este logaritmul și definiția lui, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre numărul e?

Aici numărul $e$ vine dintr-un tabel de valori și se folosește imediat în modele din fizică și biologie: coarda care vibrează, condensatorul, medicamentul. Graficul se citește, iar calculatorul confirmă. Varianta M1 prezintă și alte căi spre $e$ și discută mai mult despre iraționalitate; lecția de față le lasă deoparte, cum cere triajul programei de științe.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 îmi folosește exponențiala naturală?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția exponențială la materia clasei a X-a. În modelul oficial publicat pentru 2026, $e^x$ apare la Subiectul al III-lea, într-o funcție studiată cu instrumente de analiză din clasele mari. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”, sub numele „funcția exponențială (numărul irațional e)”.

Pot lucra cu 2,7 în loc de e?

Depinde de ce cere problema. Pentru o estimare sau pentru o încadrare, $2,7<e<3$ ajunge și dă raționamente sigure, ca în exercițiul cu $e+e^{-1}>3$. Pentru un rezultat numeric cerut cu trei zecimale, folosești tasta calculatorului, altfel eroarea lui $2,7$ se amplifică în puteri mari. Rotunjești doar la final.

Ce înseamnă constanta k din formula N₀e^(kt)?

Ea arată cât de repede se schimbă mărimea, raportat la mărimea însăși, și are unitatea inversă a timpului. Un $k$ pozitiv descrie creștere, unul negativ descrie stingerea sau eliminarea. Cu cât $|k|$ este mai mare, cu atât graficul urcă ori coboară mai abrupt. Valoarea lui $k$ se obține din măsurători.

Cum încadrez fără calculator soluția ecuației e^x = m?

Compari $m$ cu valorile lui $e$ la exponenți întregi, pe care le poți estima din $2,7<e<3$. Dacă $m$ se află între $e^k$ și $e^{k+1}$, soluția este între $k$ și $k+1$, pentru că funcția este crescătoare. Pentru o zecimală în plus ai nevoie de calculator sau de un grafic cu caroiaj fin.

Ce legătură are numărul e cu logaritmii din lecțiile următoare?

Ecuația $e^x=m$ are, pentru $m>0$, o singură soluție, dar în lecția de față o poți doar încadra. Exponentul exact care produce un număr dat se numește logaritm și are o notație proprie. Lecția următoare îl definește pentru orice bază potrivită, iar logaritmul cu baza $e$ primește mai târziu un nume special.