Comportamentul asimptotic citit pe grafic (M2, științe ale naturii)

O enzimă transformă substratul tot mai repede când îi dai mai mult substrat, dar viteza nu crește la nesfârșit: se așază lângă o valoare maximă. O lentilă formează imaginea unui obiect tot mai departe când obiectul se apropie de focar. Amândouă sunt tendințe, nu valori: încotro merg valorile unei funcții la capetele graficului sau lângă o valoare interzisă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), aceste tendințe se citesc pe grafice și în tabele de valori. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 comportamentul asimptotic citit pe grafic aparține domeniului „Algebră”, iar studiul algebric al asimptotelor, domeniului „Analiză matematică”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține asimptotele verticale și orizontale la clasa a XI-a, calculate cu limite. Lecția continuă câtul a două funcții.

Ce vei învăța

• Vei găsi pe un desen verticala lângă care o ramură urcă sau coboară fără oprire.
• Vei identifica nivelul orizontal către care tind valorile la capetele graficului.
• Vei construi tabele de valori care fac vizibilă o tendință, lângă o valoare interzisă sau la intrări mari.
• Vei spune de ce parte a unei asimptote se află graficul și încotro urcă ramurile.
• Vei verifica o concluzie citită într-o aplicație schimbând fereastra de vizualizare.
• Vei interpreta asimptotele în modele din chimie, biologie și fizică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce descrie o asimptotă: un punct sau o tendință?

Lectura obișnuită a unui grafic privește puncte: intersecții, valori, extreme. Comportamentul asimptotic privește altceva, tendințe. Punem două tipuri de întrebări: ce fac valorile când intrarea se apropie de o valoare interzisă și ce fac ele când intrarea devine foarte mare sau foarte mică.

Asimptota verticală a graficului unei funcții este o dreaptă $x=a$ pentru care valorile funcției devin, în valoare absolută, mai mari decât orice număr ales, pentru toate intrările din domeniu suficient de apropiate de $a$, de o parte sau de ambele părți ale lui. Asimptota orizontală este o dreaptă $y=L$ pentru care valorile funcției rămân oricât de aproape de $L$ dorim, pentru toate intrările suficient de mari sau pentru toate cele suficient de mici.

Ambele definiții descriu o apropiere continuă, nu o valoare atinsă într-un punct. În clasa a IX-a le folosim pentru a citi grafice și tabele; calculul lor exact, cu limite, aparține clasei a XI-a.

2. Cum arată o asimptotă verticală pe grafic?

Figura A arată graficul funcției $k(x)=\frac{x+1}{x-3}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$, cu două drepte punctate. Lângă verticala $x=3$, ramura din stânga coboară abrupt, iar cea din dreapta urcă abrupt; niciuna nu atinge verticala.

Tabelul confirmă desenul. Ne apropiem de trei din ambele părți:

La fiecare pas spre trei, valoarea absolută se înmulțește aproximativ cu zece. Numărătorul rămâne aproape de patru, iar numitorul devine tot mai mic: de aceea câtul crește în valoare absolută peste orice prag. Semnul numitorului decide direcția: negativ la stânga, pozitiv la dreapta.

3. Cum arată o asimptotă orizontală?

Pe același grafic, la capete, curba se turtește spre dreapta orizontală $y=1$. Tabelul pentru intrări mari arată aceeași tendință:

Valorile se apropie de unu din ambele direcții: diferența față de unu se micșorează de peste zece ori când intrarea crește de la zece la o sută și încă de zece ori până la o mie.

4. De ce parte a asimptotei se află graficul?

Pentru această funcție putem vedea direcția și printr-o rescriere: $k(x)=1+\frac{4}{x-3}$, pentru orice $x\ne 3$. Fracția adăugată este pozitivă când $x>3$ și negativă când $x<3$.

Deci la dreapta graficul stă deasupra dreptei $y=1$, iar la stânga dedesubt. Tabelul confirmă: $1,004$ este puțin peste unu, iar $0,996$ puțin sub. Rescrierea explică aici un singur grafic; în exerciții citim poziția pe desen sau din valori calculate.

Poziția față de asimptotă este o informație separată de ecuația ei. Două funcții pot avea aceeași asimptotă orizontală, dar una să se apropie de sus și alta de jos.

5. Ce ne spune ramura lângă verticală?

Lângă o asimptotă verticală, fiecare ramură are o direcție: urcă sau coboară. La $k$, ramura din stânga coboară, iar cea din dreapta urcă, pentru că numitorul își schimbă semnul, iar numărătorul rămâne pozitiv.

Direcția fiecărei ramuri se citește pe grafic sau se deduce din semnele numărătorului și numitorului de o parte și de alta a valorii interzise. Nu o ghicim după altă funcție.

Nu orice valoare interzisă dă o asimptotă verticală. Dacă numărătorul și numitorul au un zero comun, graficul are doar un punct lipsă, așa cum ai văzut în lecția despre câtul a două funcții.

6. Un punct al graficului chiar pe nivelul orizontal

Asimptota orizontală descrie ce se întâmplă departe, la capete, nu interzice nicio valoare la mijloc. Figura B arată $g(x)=\frac{x^2+3x}{x^2+3}$, care se așază spre $y=1$ la ambele capete, dar trece prin punctul $(1;1)$, pe asimptotă.

Verificăm: $g(1)=\frac{1+3}{1+3}=1$. La dreapta lui unu graficul este deasupra dreptei $y=1$, apoi coboară spre ea; la stânga este dedesubt. Departe, $g(100)=\frac{10300}{10003}\approx 1,030$ și $g(-100)=\frac{9700}{10003}\approx 0,970$.

O asimptotă verticală, în schimb, nu poate fi tăiată: intrarea ei este interzisă, deci graficul nu are niciun punct pe acea verticală.

7. Ce ascunde fereastra unei aplicații?

O aplicație de grafice arată doar o fereastră. Figura C are două panouri cu aceeași funcție, $m(x)=\frac{x}{20}+3$. În fereastra mică, de la zero la zece, dreapta pare aproape orizontală, iar un ochi grăbit ar spune că valorile „se așază” lângă trei virgulă cinci.

În fereastra mare, aceeași dreaptă urcă fără oprire: $m(100)=8$, $m(1000)=53$. Nivelul trei virgulă cinci era doar o impresie dată de fereastră.

Concluzia despre un capăt se verifică deci pe intrări tot mai mari, nu pe o singură fereastră. Mărim fereastra de câteva ori sau completăm un tabel cu intrările zece, o sută, o mie.

Situația inversă apare și ea: o curbă care pare să urce ca o dreaptă într-o fereastră mică se poate turti într-una mare. Numai comparația mai multor ferestre, sau un tabel cu intrări foarte depărtate, deosebește cele două cazuri.

8. Cum recunoaștem un nivel într-un tabel de măsurători?

În laborator nu avem întotdeauna o formulă, ci un tabel de valori măsurate. Un nivel de saturație se recunoaște după două semne: valorile continuă să crească sau să scadă în același sens, iar creșterile succesive devin tot mai mici. Dacă diferența față de un anumit număr se înjumătățește sau scade de zece ori de la o măsurătoare la alta, acel număr este un candidat bun pentru asimptota orizontală.

Un tabel spune însă numai ce s-a măsurat. Nivelul propus rămâne o ipoteză până când îl confirmă un model sau măsurători pe un interval mai lung. De aceea, în rapoartele de laborator scriem „valorile par să se apropie de…”, nu „valoarea maximă este…”, dacă nu am observat atingerea ei.

Aceeași prudență se aplică și verticalelor: dacă măsurătorile cresc brusc lângă o anumită intrare, poate exista o valoare interzisă a modelului, dar poate fi și o eroare de măsurare. Verificăm cu mai multe măsurători apropiate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Asimptote citite pe desen

Figura D arată graficul unei funcții $f$, fără formulă. Scrie ecuațiile asimptotelor, domeniul și poziția graficului față de asimptota orizontală.

Rezolvare. Curba are două ramuri separate de verticala punctată $x=1$, lângă care o ramură urcă și cealaltă coboară: asimptota verticală este $x=1$, iar domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. La capete, curba se turtește spre orizontala $y=2$, care este asimptota orizontală.

La stânga verticalei, graficul stă deasupra dreptei $y=2$ și trece prin $(0;3)$. La dreapta, graficul stă dedesubt, taie axa $Ox$ în $\left(\frac{3}{2};0\right)$ și trece prin $(3;1,5)$.

Funcția desenată este $f(x)=\frac{2x-3}{x-1}$. Controlăm două puncte citite: $f(0)=\frac{-3}{-1}=3$ și $f(3)=\frac{3}{2}$.

Exemplul 2 — Un tabel lângă valoarea interzisă

Pentru $r(x)=\frac{x}{x+3}$, completează tabelul de mai jos și descrie ramurile lângă minus trei.

Rezolvare. Calculăm, de exemplu, $r(-3,1)=\frac{-3,1}{-0,1}=31$ și $r(-2,99)=\frac{-2,99}{0,01}=-299$.

Când intrarea se apropie de minus trei dinspre stânga, valorile depășesc orice prag ales; când se apropie dinspre dreapta, ajung sub orice prag negativ. Graficul are asimptota verticală $x=-3$, cu ramura din stânga urcând și cea din dreapta coborând, invers față de funcția din figura A.

Exemplul 3 — Viteza unei reacții enzimatice

Viteza unei reacții catalizate de o enzimă, în micromoli pe minut, depinde de concentrația substratului $S$, în milimoli pe litru, după legea $v(S)=\frac{12S}{S+4}$, cu $S\ge 0$. Figura E arată graficul. Descrie comportamentul vitezei când substratul crește.

Rezolvare. Completăm un tabel:

Viteza crește, dar tot mai încet, și se apropie de $12$ µmol/min, fără să ajungă la această valoare: numărătorul $12S$ este mereu mai mic decât $12(S+4)$. Graficul are asimptota orizontală $v=12$ și stă sub ea.

Biologic, $12$ µmol/min este viteza maximă: toate moleculele de enzimă sunt ocupate, iar substratul suplimentar nu mai grăbește reacția. La $S=4$ mmol/L viteza este jumătate din maxim; biochimiștii folosesc această concentrație ca măsură a afinității enzimei pentru substrat. Pe grafic, curba urcă abrupt la început și se turtește apoi lângă orizontala punctată.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: verticala pusă la numărător

Pentru $f(x)=\frac{x-7}{x+4}$, un elev vede că numărătorul se anulează la șapte și scrie că dreapta $x=7$ ar fi asimptotă verticală a graficului. Corectează-l și descrie graficul lângă ambele intrări.

Rezolvare. La șapte funcția există și $f(7)=\frac{0}{11}=0$: graficul taie acolo axa $Ox$, în punctul $(7;0)$, nu se rupe. Asimptota verticală vine din numitor, care se anulează la minus patru.

Controlăm cu valori: $f(-4,1)=\frac{-11,1}{-0,1}=111$ și $f(-3,9)=\frac{-10,9}{0,1}=-109$. Lângă minus patru valorile cresc în valoare absolută peste orice prag, deci graficul are asimptota verticală $x=-4$, cu ramura din stânga urcând și cea din dreapta coborând.

Elevul a amestecat rolurile: numărătorul dă punctele de pe axa $Ox$, numitorul dă verticalele interzise. La capete, $f(1000)=\frac{993}{1004}\approx 0,989$, deci valorile se apropie de unu.

Exemplul 5 — Imaginea formată de o lentilă

O lentilă convergentă are distanța focală de $10$ cm. Pentru un obiect aflat la distanța $u>10$ cm de lentilă, imaginea reală se formează la distanța $v(u)=\frac{10u}{u-10}$, în centimetri. Figura F arată graficul. Descrie ce se întâmplă cu imaginea când obiectul se apropie de focar și când se depărtează mult.

Rezolvare. Tabelul valorilor:

Când obiectul se apropie de focar, imaginea fuge tot mai departe: graficul are asimptota verticală $u=10$. Când obiectul se depărtează, imaginea se apropie de planul focal, iar graficul are asimptota orizontală $v=10$, fiind mereu deasupra ei.

La $u=20$ cm obiectul și imaginea sunt la aceeași distanță de lentilă. Obiectul așezat exact în focar nu formează o imagine reală: razele ies paralele din lentilă. De aceea un proiector ține obiectul puțin mai departe de focar, iar ecranul foarte departe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$. a) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f$. b) Calculează $f(10)$, $f(100)$ și $f(1000)$ și precizează dreapta orizontală de care se apropie graficul. c) Calculează $f(1,9)$ și $f(2,1)$ și descrie graficul lângă dreapta $x=2$.

Rezolvare. a) Numitorul se anulează la doi, iar numărătorul valorează acolo șapte, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

b) $f(10)=\frac{31}{8}=3,875$, $f(100)=\frac{301}{98}\approx 3,071$ și $f(1000)=\frac{3001}{998}\approx 3,007$. Valorile se apropie de trei, deci graficul are asimptota orizontală $y=3$.

c) $f(1,9)=\frac{6,7}{-0,1}=-67$ și $f(2,1)=\frac{7,3}{0,1}=73$. Lângă doi valorile cresc în valoare absolută peste orice prag: asimptota verticală este $x=2$, cu ramura din stânga coborând și cea din dreapta urcând.

Să exersăm

Figura G arată graficul unei funcții-cât $h$ și se folosește la exercițiile 1–2.

1. Scrie, citind figura G, ecuațiile asimptotelor și domeniul funcției $h$.

2. De ce parte a asimptotei orizontale se află graficul lui $h$ la dreapta verticalei, respectiv la stânga ei? Citește aproximativ punctele în care graficul taie axele, apoi confirmă-le știind că $h(x)=\frac{-2x+1}{x+2}$.

3. Completează tabelul pentru $p(x)=\frac{x+3}{2x-16}$ în intrările $7,9$; $7,99$; $8,01$; $8,1$. Care este cel mai mare dintre numerele $8,1$; $8,01$; $8,001$ pentru care valoarea lui $p$ depășește pragul $1000$?

4. Valorile funcției $q(x)=\frac{4x+3}{2x-1}$ se apropie de doi la ambele capete. Calculează $q(1000)$ și $q(-1000)$, cu patru zecimale, și spune de ce parte a dreptei $y=2$ se află graficul la fiecare capăt.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Valorile funcției $r(x)=\frac{x^2-5x}{x^2+10}$ se așază spre unu la capete, iar graficul ei taie dreapta $y=1$ într-un punct cu abscisa pozitivă.

6. Graficul funcției $k$ din figura A are asimptotele $x=3$ și $y=1$. Scrie asimptotele graficelor funcțiilor $u(x)=k(x)+2$ și $w(x)=k(x-4)$, explicând cum se mută fiecare dreaptă, și verifică o valoare pentru fiecare funcție.

7. Pentru $s(x)=\frac{60x}{x+100}$, cu $x\ge 0$, calculează $s(200)$, $s(2000)$ și $s(20000)$ și precizează nivelul spre care se așază valorile. Arată apoi că $s(900)$ este exact $90\%$ din acest nivel și spune, folosind faptul că valorile cresc, de la ce intrare încolo ele depășesc acest procent.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f(x)=\frac{3x-2}{x+6}$. a) Determină numărul real $a$ pentru care $f(a)=2$. b) Calculează $f(94)$ și compară rezultatul cu $3$.

9. (Problemă aplicată.) Un rezistor de $6$ Ω este legat în paralel cu un rezistor de $x$ ohmi. Rezistența echivalentă este $R(x)=\frac{6x}{x+6}$, în ohmi, pentru $x>0$. Calculează $R(6)$, $R(30)$ și $R(114)$ și explică spre ce valoare se apropie rezistența când $x$ crește mult.

10. Pentru $h(x)=\frac{x+1}{x^2-2x-8}$, scrie ecuațiile asimptotelor verticale ale graficului, apoi calculează $h(100)$ și $h(1000)$ și spune spre ce număr tind valorile la ambele capete.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f(x)=\frac{2x+5}{x-1}$. Arată că $f(x)>2$ pentru orice $x>1$ și interpretează rezultatul pe grafic.

12. Figura H arată graficul funcției $h(x)=\frac{6}{x^2+3}$. Citește nivelul spre care se așază valorile la ambele capete și cea mai mare valoare și explică de ce graficul nu are asimptotă verticală.

13. Un lot de semințe de fasole pus în apă se îmbibă, iar masa lui, în grame, după $t$ ore este $m(t)=\frac{20t+20}{t+2}$, pentru $t\ge 0$. Calculează $m(0)$, $m(2)$, $m(6)$, $m(14)$ și $m(30)$. Poate lotul să ajungă la $21$ g?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f(x)=\frac{x-6}{x+2}$. Calculează $f(0)+f(6)$ și arată că graficul lui $f$ nu are niciun punct comun cu dreapta $y=1$.

15. Pentru $t(x)=\frac{x}{(x-1{)}^2}$, calculează valorile în $0,9$, $0,99$, $1,01$ și $1,1$. Încotro merg cele două ramuri lângă verticala $x=1$?

16. Un biciclist merge la dus cu $15$ km/h și se întoarce pe același drum cu $v$ km/h. Viteza lui medie pe tot drumul este $V(v)=\frac{30v}{v+15}$, în km/h, pentru $v>0$. Cu ce viteză trebuie să se întoarcă pentru o medie de $24$ km/h? Spre ce valoare se apropie media când viteza de întoarcere crește foarte mult?

17. Dintre funcțiile $p(x)=\frac{2x+7}{x-5}$, $q(x)=\frac{x+7}{2x-1}$ și $r(x)=\frac{4x+1}{x+3}$, alege, calculând valorile în $100$ și $1000$, pe cea al cărei grafic se așază spre nivelul doi, și scrie-i asimptota verticală.

18. Pentru $f(x)=\frac{2x^2+3}{x^2+1}$, arată că $2<f(x)\le 3$ pentru orice număr real $x$ și precizează asimptota orizontală și de ce parte a ei se află graficul.

Răspunsuri și explicații

1. Verticala punctată este $x=-2$, iar orizontala spre care se așază curba este $y=-2$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

2. La dreapta verticalei, graficul stă deasupra dreptei $y=-2$; la stânga, dedesubt. Pe desen, curba taie ambele axe puțin după origine, la aproximativ o jumătate de unitate. Formula confirmă: $-2x+1=0$ dă $x=\frac{1}{2}$, deci punctul $\left(\frac{1}{2};0\right)$, iar $h(0)=\frac{1}{2}$, deci punctul $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

3.

Ramura din stânga coboară, iar cea din dreapta urcă; graficul are asimptota verticală $x=8$. Cum $p(8,01)=550,5<1000$, iar $p(8,001)=\frac{11,001}{0,002}=5500,5>1000$, numărul căutat este $8,001$: pragul ales se depășește dacă ne apropiem suficient de opt.

4. $q(1000)=\frac{4003}{1999}\approx 2,0025$, puțin peste doi, deci la dreapta graficul stă deasupra dreptei $y=2$. $q(-1000)=\frac{-3997}{-2001}\approx 1,9975$, puțin sub doi, deci la stânga graficul stă dedesubt.

5. Fals. Numitorul este pozitiv, iar egalitatea $r(x)=1$ cere $x^2-5x=x^2+10$, deci $-5x=10$ și $x=-2$. Control: $r(-2)=\frac{4+10}{4+10}=1$. Graficul taie dreapta $y=1$, dar în punctul $(-2;1)$, cu abscisa negativă.

6. Graficul lui $u$ este graficul lui $k$ ridicat cu două unități: verticala rămâne $x=3$, iar orizontala urcă la $y=3$. Graficul lui $w$ este graficul lui $k$ mutat cu patru unități spre dreapta: verticala devine $x=7$, iar orizontala rămâne $y=1$. Verificare: $u(5)=k(5)+2=3+2=5$, iar $w(9)=k(5)=3$.

7. $s(200)=40$, $s(2000)\approx 57,14$ și $s(20000)\approx 59,70$: valorile se așază spre $60$, deci asimptota orizontală este $y=60$. Apoi $s(900)=\frac{54000}{1000}=54$, iar $90\%$ din $60$ înseamnă tot $54$. Cum valorile cresc, pentru orice $x>900$ avem $s(x)>54$.

8. a) Pentru $a\ne -6$, egalitatea $\frac{3a-2}{a+6}=2$ devine $3a-2=2a+12$, deci $a=14$; control: $f(14)=\frac{40}{20}=2$. b) $f(94)=\frac{280}{100}=2,8$, deci $f(94)<3$: departe spre dreapta, graficul este încă sub nivelul trei, spre care se îndreaptă valorile.

9. $R(6)=\frac{36}{12}=3$ Ω, $R(30)=\frac{180}{36}=5$ Ω și $R(114)=\frac{684}{120}=5,7$ Ω. Rezistența se apropie de $6$ Ω fără să o atingă, pentru că $6x<6(x+6)$. Un rezistor foarte mare legat în paralel lasă curentul să treacă aproape numai prin cel de $6$ Ω.

10. Numitorul se scrie $(x-4)(x+2)$ și se anulează la patru și la minus doi, unde numărătorul valorează cinci, respectiv minus unu. Graficul are deci două asimptote verticale, $x=4$ și $x=-2$. Apoi $h(100)=\frac{101}{9792}\approx 0,0103$ și $h(1000)=\frac{1001}{997992}\approx 0,0010$: valorile se așază spre zero, deci asimptota orizontală este axa $Ox$.

11. Pentru $x>1$ numitorul este pozitiv, deci $f(x)>2$ înseamnă $2x+5>2x-2$, adică $5>-2$, adevărat. La dreapta asimptotei verticale $x=1$, graficul stă tot timpul deasupra asimptotei orizontale $y=2$.

12. La ambele capete valorile se așază spre zero, deci asimptota orizontală este axa $Ox$. Cea mai mare valoare este $h(0)=2$. Numitorul $x^2+3$ este cel puțin trei, deci nu se anulează niciodată: nu există valori interzise și nici asimptotă verticală.

13. $m(0)=10$ g, $m(2)=15$ g, $m(6)=17,5$ g, $m(14)=18,75$ g și $m(30)=19,375$ g. Masa se apropie de $20$ g, fără să ajungă acolo, deoarece $20t+20<20t+40$. Deci lotul nu poate ajunge la $21$ g.

14. $f(0)=-3$ și $f(6)=0$, deci $f(0)+f(6)=-3$. Egalitatea $f(x)=1$ ar cere $x-6=x+2$; după reducerea lui $x$ rămân numerele $-6$ și $2$, iar $-6\ne 2$, deci egalitatea nu are loc pentru nicio intrare. Dreapta $y=1$ este asimptota orizontală a graficului, iar acesta nu o atinge.

15. $t(0,9)=90$, $t(0,99)=9900$, $t(1,01)=10100$ și $t(1,1)=110$. Ambele ramuri urcă lângă verticala $x=1$, pentru că numitorul este un pătrat, pozitiv de ambele părți, iar numărătorul este pozitiv lângă unu.

16. Egalitatea $\frac{30v}{v+15}=24$ cere $30v=24v+360$, deci $v=60$ km/h; control: $V(60)=\frac{1800}{75}=24$. Apoi $V(135)=27$ și $V(285)=28,5$ km/h: media se apropie de $30$ km/h, dublul vitezei de la dus, fără să o atingă, fiindcă drumul de dus durează oricum același timp.

17. $p(100)=\frac{207}{95}\approx 2,179$ și $p(1000)=\frac{2007}{995}\approx 2,017$: valorile se apropie de doi. $q(100)=\frac{107}{199}\approx 0,538$ și $q(1000)=\frac{1007}{1999}\approx 0,504$ se apropie de o jumătate, iar $r(100)=\frac{401}{103}\approx 3,893$ și $r(1000)=\frac{4001}{1003}\approx 3,989$ de patru. Funcția căutată este $p$, cu asimptota verticală $x=5$.

18. Numitorul este pozitiv, deci $f(x)>2$ înseamnă $2x^2+3>2x^2+2$, adevărat. Apoi $f(x)\le 3$ înseamnă $2x^2+3\le 3x^2+3$, adică $x^2\ge 0$, cu egalitate numai în zero, unde $f(0)=3$. Asimptota orizontală este $y=2$, iar graficul stă deasupra ei.

De reținut

• Asimptota verticală $x=a$ apare lângă o valoare interzisă în care valorile cresc sau scad peste orice prag; graficul nu o atinge.
• Asimptota orizontală $y=L$ descrie tendința valorilor la capete; graficul o poate tăia la mijloc.
• Tendința se citește dintr-un șir de valori calculate în intrări din ce în ce mai apropiate de valoarea interzisă sau din ce în ce mai mari.
• Poziția graficului față de asimptotă și direcția ramurilor sunt informații separate de ecuațiile asimptotelor.
• O singură fereastră a unei aplicații nu dovedește o asimptotă; mărește fereastra sau calculează valori departe.

Greșeli frecvente

• Scrierea asimptotei verticale ca $y=a$. O dreaptă verticală are toate punctele cu aceeași abscisă, deci ecuația ei este $x=a$. Ecuația $y=a$ descrie o dreaptă orizontală, cu totul alta.
• Cea mai mare valoare luată drept nivel. În figura B, graficul lui $g$ urcă până la $1,5$ în punctul $(3;1,5)$, apoi coboară spre $y=1$. Punctul cel mai înalt nu este asimptota; nivelul se citește departe, la capete.
• Concluzia trasă dintr-o singură fereastră. O dreaptă cu pantă mică pare orizontală pe un ecran îngust. Verifică intrări de zece, o sută și o mie de ori mai mari.
• Direcția ramurii dedusă doar din mărimea valorilor. O valoare de $-399$ este mare în valoare absolută, dar ramura coboară. Citește semnul valorilor, nu doar cât de mari sunt.
• Orice ramură care se turtește desenată spre axa $Ox$. Nivelul nu este mereu zero: graficul lui $k$ se așază spre $y=1$, iar viteza enzimei spre $12$ µmol/min. Calculează valori departe și citește numărul de care se apropie ele.

Aplică acasă

1. Densitatea care se apropie de a apei. Pune într-un pahar gradat $100$ mL de sirop și cântărește-l, apoi adaugă apă din $100$ în $100$ mL, cântărind după fiecare adăugare. Calculează de fiecare dată densitatea amestecului, masă împărțită la volum, și desenează punctele. Spre ce valoare se îndreaptă densitatea și de ce nu coboară sub ea? Pentru un sirop cu densitatea $1,3$ g/mL, compară cu $\frac{130+V}{100+V}$.
2. Imaginea care fuge. Cu o lanternă și o lupă, formează pe perete imaginea unui obiect și mută obiectul spre lupă. Notează cum crește distanța imaginii și unde nu mai obții o imagine clară. Leagă observația de asimptota verticală a modelului.
3. Ghicește nivelul. Un coleg alege în secret o funcție-cât de funcții afine și îți spune doar valorile ei în $10$ și în $100$. Propune nivelul spre care se așază graficul și partea de pe care se apropie, apoi cere-i valoarea în $1000$ ca verificare. Schimbați rolurile de trei ori și notați câte propuneri au fost corecte.

Pentru părinți și profesori

Lecția cere descrierea unor tendințe, nu calculul lor. Întrebați elevul: „ce se întâmplă cu valorile când intrarea se apropie de acest punct?” și „ce se întâmplă departe?”. Un răspuns bun conține un șir de valori și o propoziție despre tendință.

Cereți de fiecare dată și poziția graficului față de asimptotă. Dacă elevul folosește o aplicație, cereți-i să arate două ferestre diferite și să explice de ce concluzia lui nu depinde de fereastră.

Legați lecția de orele de științe: saturarea unei enzime, formarea imaginii la o lentilă, rezistența unor rezistoare în paralel. Elevul trebuie să poată spune ce înseamnă nivelul asimptotei în fiecare situație și pe ce domeniu are sens modelul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: nota unității de funcții cere evidențierea grafică a comportamentului asimptotic, iar competența IX.CS.5.6 numește „analizarea comportamentului unor funcții pentru valori foarte mari sau foarte mici ale variabilei sau a comportamentului asimptotic al unor funcții”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), comportamentul asimptotic citit pe grafic aparține domeniului „Algebră” (capitolul IX.6), iar studiul algebric și grafic al asimptotelor apare la „Analiză matematică” (capitolul XI.2). Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde asimptotele verticale, orizontale și oblice la clasa a XI-a, calculate cu limite; de aceea exercițiile marcate sunt de tip Bacalaureat M2, rezolvate aici prin valori și grafice. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul al III-lea o limită, cu instrumentele clasei a XI-a, și nu are o cerință despre asimptote.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: asimptotele unei funcții, cu rescrierea fracției folosește rescrierea ca metodă de lucru. Lecția următoare a traseului este funcția putere cu exponent întreg, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice. Citirea valorilor unei funcții pe grafic se poate relua din lecția de clasa a VIII-a despre graficul unei funcții.

Întrebări frecvente

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre comportamentul asimptotic?

Aici asimptotele se citesc pe grafice, în tabele de valori și în ferestre diferite ale unei aplicații, cu modele din chimie, biologie și fizică. Varianta M1 folosește sistematic rescrierea fracției ca metodă de calcul. Nu calculăm asimptote prin formule și nu folosim limite; ele vin în clasa a XI-a.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea asimptotele?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde asimptotele verticale, orizontale și oblice la clasa a XI-a, în capitolul de analiză, unde se calculează cu limite. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul al III-lea o limită, dar nicio cerință despre asimptote, iar un singur model nu arată ce va apărea într-o sesiune.

Cum aflu încotro merge o ramură lângă o asimptotă verticală?

Calculezi valoarea funcției într-o intrare foarte apropiată de valoarea interzisă, de fiecare parte, sau urmărești semnele numărătorului și numitorului acolo. O valoare pozitivă foarte mare înseamnă că ramura urcă, una negativă foarte mare în valoare absolută înseamnă că ramura coboară. Cele două ramuri pot merge în același sens sau în sensuri opuse.

Cum aleg intrările pentru un tabel care arată o tendință?

Lângă o valoare interzisă te apropii din ambele părți cu pași care se micșorează de zece ori: o zecime, o sutime, o miime. Pentru capete alegi intrări de zece, o sută și o mie, pozitive și negative. Scrie valorile cu destule zecimale, ca diferența față de nivel să rămână vizibilă.

Ce poate ascunde o fereastră prea îngustă a aplicației?

Pe un ecran îngust, o dreaptă cu pantă mică pare orizontală, iar o curbă care se turtește abia departe pare o dreaptă. Fereastra arată doar o bucată din grafic. Mărește-o de câteva ori sau calculează valori pentru intrări de zece, o sută și o mie de ori mai mari, apoi trage concluzia despre capete.

Cât de departe trebuie să merg ca să spun că valorile s-au așezat?

Depinde de precizia de care ai nevoie. Alegi o toleranță, de exemplu un procent din nivel, și cauți intrarea de la care valorile rămân în această toleranță. În Exemplul 3, viteza enzimei ajunge la $11,88$ µmol/min, adică la $99\%$ din maxim, abia la $S=396$ mmol/L. O măsurătoare mai grosieră se mulțumește cu o intrare mult mai mică.