În ce ordine descompun în factori?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Descompuneri combinate și produsul nul

Ordinea este fixă și te scutește de ghicit. Începi mereu cu factorul comun; apoi numeri termenii rămași în paranteză: doi termeni trimit la diferența de pătrate, trei la pătratul unei paranteze sau la perechea sumă și produs, patru la grupare. Reiei până când niciun factor nu se mai poate rupe. Astfel $2 x^{3} - 18 x$ devine $2 x (x^{2} - 9)$ și apoi $2 x (x - 3) (x + 3)$ , adică descompunerea dusă până la capăt.

Când o expresie are mai mulți termeni, nu ghicești metoda — o afli după o ordine fixă: întâi cauți factorul comun; apoi te uiți câți termeni au rămas în paranteză: 2 → diferență de pătrate $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ; 3 → pătrat perfect $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ sau metoda sumă și produs (cauți $m, n$ cu $m \cdot n = c$ și $m + n = b$ ); 4 → grupare. Repeți până când niciun factor nu se mai descompune.

De ce contează atât de mult? Pentru că descompunerea aduce ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ la forma produs = 0, iar regula produsului nul ( $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0$ sau $B = 0$ ) o rezolvă instant, fără formula discriminantului (materie de liceu).

Exemplu: $x^{2} - x - 12 = 0$ . Caut $m \cdot n = - 12$ și $m + n = - 1$ → perechea $(3, - 4)$ . Deci $(x + 3) (x - 4) = 0$ , de unde $x = - 3$ sau $x = 4$ .

De reținut

ordinea: factor comun → formulă → grupare
doi termeni → diferență de pătrate; trei → pătrat sau sumă și produs; patru → grupare
un produs egal cu zero cere un factor nul

Greșeala tipică

Descompunerea se oprește după primul pas, deși paranteza rămasă se mai poate rupe. Reia mereu procedeul pe fiecare factor obținut, până când niciunul nu mai are formulă sau factor comun.

Exerciții din această mini-lecție

Descompune în factori: $x^{2} + 2 x - 15$ .
- a) $(x + 5) (x - 3)$
- b) $(x - 5) (x + 3)$
- c) $(x + 15) (x - 1)$
- d) $(x - 15) (x + 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + 5) (x - 3)$

Caut $m \cdot n = - 15$ și $m + n = 2$ : perechea potrivită este $(5, - 3)$ , deci $x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)$ . Verificare: $(x + 5) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 5 x - 15 = x^{2} + 2 x - 15$ ✓.
Câte soluții reale are ecuația $(x - 4)^{2} = 0$ ?
- a) Niciuna
- b) O singură soluție
- c) Două soluții distincte
- d) Infinit de multe
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) O singură soluție

$(x - 4)^{2} = 0$ înseamnă $(x - 4) (x - 4) = 0$ , adică ambii factori sunt identici. Regula produsului nul dă un singur factor distinct de gradul I, deci o singură soluție: $x = 4$ .
Descompune în factori: $x^{2} - 3 x - 18$ .
- a) $(x + 3) (x - 6)$
- b) $(x + 2) (x - 9)$
- c) $(x + 6) (x - 3)$
- d) $(x + 18) (x - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + 3) (x - 6)$

Caut $m \cdot n = - 18$ și $m + n = - 3$ : perechea potrivită este $(3, - 6)$ , deci $x^{2} - 3 x - 18 = (x + 3) (x - 6)$ . Verificare: $(x + 3) (x - 6) = x^{2} - 6 x + 3 x - 18 = x^{2} - 3 x - 18$ ✓. Variantele (b) și (d) au produsul corect dar suma greșită, iar (c) are semnul greșit la termenul de mijloc.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că o expresie este descompusă până la capăt?

Înseamnă că fiecare factor rămas nu se mai poate rupe în alții. Dacă te oprești la $2 x (x^{2} - 9)$ , paranteza mai ascunde o diferență de pătrate, deci treaba nu este gata. Forma finală corectă este $2 x (x - 3) (x + 3)$ .

Cum aleg cele două numere la un trinom cu suma și produsul?

Listezi perechile de numere al căror produs dă termenul liber și verifici care pereche adună la coeficientul din mijloc. La $x^{2} - x - 12$ cauți produsul $- 12$ și suma $- 1$ , deci perechea $3$ și $- 4$ . Rezultă $(x + 3) (x - 4)$ .

Cum rezolv o ecuație de gradul al treilea prin descompuneri combinate?

Aduci totul într-un membru, scoți factorul comun și descompui mai departe ce rămâne. Din $x^{3} - 4 x = 0$ obții $x (x - 2) (x + 2) = 0$ , deci trei soluții: $0$ , $2$ și $- 2$ . Simplificarea prin $x$ ar șterge una dintre ele.

De ce este greșit să simplific x la a doua minus nouă supra x minus trei tăind literele?

Pentru că se simplifică doar factori, nu termeni dintr-o sumă. Corect descompui numărătorul: $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ , valabil pentru $x \neq = 3$ . Tăierea literelor una câte una dă un rezultat fals în majoritatea cazurilor.

În ce ordine încerc metodele de descompunere?

Întâi factorul comun, fiindcă scurtează tot ce urmează. Apoi te uiți după formulele de calcul prescurtat, care se recunosc din forma expresiei. Gruparea termenilor vine la rând când sunt patru sau mai mulți, iar trinomul cu suma și produsul se lasă la sfârșit.

Cum verific rapid o descompunere fără să refac toată înmulțirea?

Alegi o valoare simplă pentru literă și o pui și în expresia inițială, și în forma descompusă. Dacă la $x = 1$ ambele dau același număr, descompunerea este aproape sigur bună; dacă diferă, ai greșit undeva un semn.

Oamenii mai întreabă și: ordinea metodelor de descompunere · descompuneri combinate · cum descompun complet o expresie · ce metodă de descompunere aleg · descompunere în factori pas cu pas