Media aritmetică și media ponderată a unui set de date (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Cinci colegi măsoară, pe rând, cu același șubler, diametrul aceleiași monede și obțin cinci numere ușor diferite. Care dintre ele e „adevărat”? Niciunul în mod special: fiecare măsurătoare are o mică eroare, iar cel mai bun număr pe care îl poți raporta este media lor. Tabelul periodic folosește aceeași idee, cu o nuanță: masa atomică a unui element este o medie în care fiecare izotop cântărește după cât de răspândit este, adică o medie ponderată. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de statistică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește media printre mărimile caracteristice ale unui set de date. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține interpretarea datelor prin „medii”; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are, la Subiectul I, nicio cerință de statistică.

Media o cunoști din gimnaziu, iar în lecțiile despre gruparea pe clase și despre poligonul frecvențelor ai lucrat cu tabele pe clase. Acum le legăm: media unui set de măsurători, media dintr-un tabel, media ponderată și media pe clase.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi media aritmetică a unor măsurători repetate și să o raportezi cu unitatea și precizia potrivite.
Vei ști de ce suma abaterilor față de medie este întotdeauna zero și cum îți folosește la control.
Vei ști să calculezi media dintr-un tabel de frecvențe și să recunoști în ea o medie ponderată.
Vei ști să folosești media ponderată în științe: masa atomică relativă, temperatura unui amestec, viteza medie.
Vei ști să estimezi media unor date grupate pe clase, cu centrele claselor.
Vei ști cum se schimbă media când schimbi unitatea de măsură și când o singură valoare depărtată o trage după ea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este media aritmetică?

Cele cinci măsurători ale diametrului monedei sunt, în milimetri, $23, 2$ ; $23, 4$ ; $23, 1$ ; $23, 3$ ; $23, 5$ .

Media aritmetică a numerelor $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ este suma lor împărțită la numărul lor:

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} .$

Pentru monedă, suma este $116, 5$ mm, deci

$\overset{x}{ˉ} = \frac{116 , 5}{5} = 23, 3 mm .$

Media are aceeași unitate de măsură ca datele și se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare: dacă toate numerele sunt cel puțin $23, 1$ , suma lor e cel puțin $5 \cdot 23, 1$ , iar împărțirea la $5$ păstrează inegalitatea. În laborator, media măsurătorilor repetate este valoarea care se raportează, pentru că erorile întâmplătoare, unele în plus și altele în minus, se compensează parțial.

2. De ce este media „punctul de echilibru” al datelor?

Abaterea unei valori față de medie este diferența $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ . Pentru monedă, abaterile sunt $- 0, 1$ ; $0, 1$ ; $- 0, 2$ ; $0$ ; $0, 2$ , iar suma lor este

$- 0, 1 + 0, 1 - 0, 2 + 0 + 0, 2 = 0.$

Nu e o întâmplare. Pentru orice set,

$(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) + (x_{2} - \overset{x}{ˉ}) + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ}) = (x_{1} + \dots + x_{n}) - n \overset{x}{ˉ} = n \overset{x}{ˉ} - n \overset{x}{ˉ} = 0,$

fiindcă, din definiție, suma valorilor este $n \overset{x}{ˉ}$ . Imaginea fizică: dacă pui pe o riglă fără greutate câte o monedă în dreptul fiecărei valori, rigla stă în echilibru sprijinită exact în dreptul mediei. Abaterile negative și cele pozitive se anulează.

Cele cinci măsurători ale monedei, pe axă: abaterile față de media 23,3 mm se anulează, ca brațele unei balanțe în echilibru.

Proprietatea e un control ieftin: dacă suma abaterilor calculate de tine nu iese $0$ , media e greșită. Abaterile vor fi folosite și mai departe, la măsurarea împrăștierii datelor, în lecția despre dispersie și abaterile de la medie.

3. Media dintr-un tabel de frecvențe

Un grup de elevi a verificat o pipetă Pasteur: au numărat de câte picături este nevoie ca să umple un cilindru gradat până la $1$ mL și au repetat numărătoarea de $25$ de ori.

Picături $x_{i}$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$
Încercări $n_{i}$	$2$	$5$	$8$	$6$	$4$

A aduna $25$ de numere ar fi lung, dar valoarea $18$ apare de $2$ ori, deci contribuie la sumă cu $18 \cdot 2$ , valoarea $19$ cu $19 \cdot 5$ și așa mai departe:

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} n _{1} + x _{2} n _{2} + \dots + x _{k} n _{k}}{n _{1} + n _{2} + \dots + n _{k}} = \frac{36 + 95 + 160 + 126 + 88}{25} = \frac{505}{25} = 20, 2 pic \overset{a}{˘} turi .$

Numitorul este numărul total al datelor, $25$ , nu numărul coloanelor tabelului. Rezultatul nu e un număr întreg, deși la fiecare încercare s-a numărat un număr întreg de picături: media descrie setul, nu o încercare anume. Din ea se estimează și volumul unei picături, $\frac{1}{20 , 2} \approx 0, 05$ mL.

4. Ce este media ponderată?

În formula de mai sus, fiecare valoare e înmulțită cu un număr care spune „cât cântărește” ea. Generalizarea se numește medie ponderată. Media ponderată a valorilor $x_{1}, \dots, x_{k}$ cu ponderile $p_{1}, \dots, p_{k}$ , numere pozitive, este

$\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{p _{1} x _{1} + p _{2} x _{2} + \dots + p _{k} x _{k}}{p _{1} + p _{2} + \dots + p _{k}} .$

Formula din secțiunea precedentă e un caz particular, în care ponderile sunt frecvențele; iar media aritmetică obișnuită e cazul în care toate ponderile sunt egale cu $1$ .

Un exemplu din chimie. Borul din natură are doi izotopi stabili, cu numerele de masă $10$ și $11$ ; după tabelele Uniunii Internaționale de Chimie Pură și Aplicată (IUPAC), ei se găsesc, rotunjit, în proporție de $20%$ și $80%$ . Masa atomică relativă a borului este media numerelor de masă ponderată cu aceste proporții:

$\frac{20 \cdot 10 + 80 \cdot 11}{20 + 80} = \frac{200 + 880}{100} = 10, 8.$

Tabelul periodic dă $10, 81$ ; diferența vine din rotunjirea proporțiilor și din faptul că masa reală a unui izotop diferă puțin de numărul lui de masă. Observă că rezultatul e mult mai aproape de $11$ decât de $10$ , pentru că izotopul mai greu cântărește de patru ori mai mult în medie.

Aceeași formulă răspunde și la întrebarea „care e media a două grupuri puse laolaltă?”. Dacă un grup are $n_{1}$ date cu media $m_{1}$ , iar altul $n_{2}$ date cu media $m_{2}$ , suma tuturor datelor este $n_{1} m_{1} + n_{2} m_{2}$ , deci media întregului set este media lui $m_{1}$ și $m_{2}$ ponderată cu mărimile grupurilor. Media simplă a celor două medii e corectă doar când grupurile sunt la fel de mari; altfel, grupul mai numeros trage rezultatul spre media lui.

5. Media datelor grupate pe clase

Când datele sunt grupate pe clase, valorile exacte nu se mai cunosc. Înlocuim fiecare valoare cu centrul clasei ei și calculăm media ponderată a centrelor cu frecvențele. Timpul de uscare a unei vopsele, măsurat pe $20$ de plăci, a fost grupat astfel:

Timpul (min)	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$
Plăci	$3$	$8$	$6$	$3$

Centrele sunt $15$ , $25$ , $35$ și $45$ de minute, deci

$\overset{x}{ˉ} \approx \frac{15 \cdot 3 + 25 \cdot 8 + 35 \cdot 6 + 45 \cdot 3}{20} = \frac{590}{20} = 29, 5 min .$

Semnul $\approx$ e obligatoriu: rezultatul e o estimare, bună când valorile fiecărei clase sunt răspândite cam simetric în jurul centrului. Cu datele brute, media exactă poate ieși puțin diferită. Dacă, de exemplu, cele opt plăci din clasa $[20, 30)$ s-ar fi uscat toate în $21$ sau $22$ de minute, centrul $25$ ar supraestima timpul lor, iar media estimată ar ieși mai mare decât cea reală. Eroarea unei medii pe clase nu poate depăși însă jumătate din lățimea claselor, fiindcă nicio valoare nu se află la mai mult de o jumătate de clasă de centrul ei.

6. Ce se întâmplă cu media când schimbi unitatea de măsură?

Adunând aceeași constantă $a$ la fiecare dată, suma crește cu $na$ , așa că media urcă exact cu $a$ . Înmulțind fiecare dată cu $k$ , suma se înmulțește cu $k$ , deci și media:

$\frac{( x _{1} + a ) + \dots + ( x _{n} + a )}{n} = \overset{x}{ˉ} + a, \frac{k x _{1} + \dots + k x _{n}}{n} = k \overset{x}{ˉ} .$

Consecința practică: nu recalculezi media după o schimbare de unitate. O temperatură medie de $21, 4$ °C devine $21, 4 + 273, 15 = 294, 55$ K, iar o masă medie de $0, 35$ g devine $0, 35 \cdot 1000 = 350$ mg. Atenție: constanta se adaugă mediei o singură dată, nu de $n$ ori.

7. Când descrie media prost un set?

Adâncimea maximă a șase lacuri dintr-o zonă montană este, în metri: $4$ , $6$ , $5$ , $7$ , $6$ și $68$ . Media este

$\frac{4 + 6 + 5 + 7 + 6 + 68}{6} = \frac{96}{6} = 16 m,$

deși cinci dintre cele șase lacuri au cel mult $7$ m. Fără lacul adânc, media celorlalte cinci ar fi $\frac{28}{5} = 5, 6$ m. O singură valoare depărtată mută media mult, fiindcă media adună toate valorile. Înainte de orice concluzie, merită verificat dacă valoarea depărtată e reală (un lac glaciar adânc chiar poate exista în aceeași zonă) sau e o eroare de transcriere; în primul caz ea rămâne în set, în al doilea se corectează. Pentru astfel de seturi se raportează, alături de medie, un indicator pe care o valoare extremă nu-l mișcă; el este tema lecției despre mediana unui set de date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Măsurători repetate

Un elev lasă o bilă să coboare de opt ori pe același plan înclinat și cronometrează coborârea, în secunde: $1, 52$ ; $1, 48$ ; $1, 55$ ; $1, 50$ ; $1, 47$ ; $1, 53$ ; $1, 51$ ; $1, 52$ . a) Calculează media timpilor. b) Verifică media prin suma abaterilor. c) Câte măsurători sunt mai mari decât media?

Rezolvare. a) Suma timpilor este $12, 08$ s, deci

$\overset{x}{ˉ} = \frac{12 , 08}{8} = 1, 51 s .$

b) Abaterile sunt $0, 01$ ; $- 0, 03$ ; $0, 04$ ; $- 0, 01$ ; $- 0, 04$ ; $0, 02$ ; $0$ ; $0, 01$ . Pozitivele dau $0, 01 + 0, 04 + 0, 02 + 0, 01 = 0, 08$ , iar negativele $- 0, 03 - 0, 01 - 0, 04 = - 0, 08$ ; suma totală e $0$ , deci media e corectă.

c) Peste $1, 51$ s sunt $1, 52$ (de două ori), $1, 55$ și $1, 53$ , adică $4$ măsurători din $8$ . Media se raportează cu aceeași precizie ca măsurătorile, două zecimale, și cu unitatea: $1, 51$ s.

Exemplul 2 — Media dintr-un tabel

Într-o fermă, s-a notat numărul de purcei născuți la fiecare dintre $40$ de fătări:

Purcei $x_{i}$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Fătări $n_{i}$	$4$	$10$	$14$	$8$	$4$

Calculează numărul mediu de purcei la o fătare.

Rezolvare. Suma produselor valoare · frecvență este

$8 \cdot 4 + 9 \cdot 10 + 10 \cdot 14 + 11 \cdot 8 + 12 \cdot 4 = 32 + 90 + 140 + 88 + 48 = 398,$

iar numărul fătărilor este $4 + 10 + 14 + 8 + 4 = 40$ . Media este $\frac{398}{40} = 9, 95$ purcei la o fătare. Controlul de bun-simț: media se află între $8$ și $12$ și e aproape de valoarea cea mai frecventă, $10$ . Pentru un crescător, numărul mediu de purcei la o fătare este un indicator de productivitate: înmulțit cu numărul fătărilor planificate, el dă o estimare a numărului de purcei așteptați.

Exemplul 3 — Temperatura unui amestec

Într-un vas izolat termic se toarnă $2$ L de apă la $20$ °C și $3$ L de apă la $70$ °C. Care va fi temperatura apei după amestecare?

Rezolvare. Pentru aceeași substanță, fără pierderi de căldură și fără schimbări de stare, temperatura finală este media temperaturilor ponderată cu masele; la apă, masele sunt proporționale cu volumele, deci ponderăm cu litrii:

$t = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot 70}{2 + 3} = \frac{40 + 210}{5} = \frac{250}{5} = 50 °C .$

Rezultatul e mai aproape de $70$ decât de $20$ , pentru că apa caldă e mai multă. Media simplă, $45$ °C, ar ignora cantitățile. Modelul e valabil doar în condițiile spuse: dacă amesteci apă cu ulei sau dacă vasul pierde căldură, formula nu mai e exactă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: viteza medie

Un biciclist urcă o pantă cu viteza constantă de $12$ km/h și o coboară pe același drum cu $24$ km/h. Un elev spune: „Viteza medie pe tot drumul este $\frac{12 + 24}{2} = 18$ km/h.” Găsiți greșeala și calculați viteza medie.

Rezolvare. Viteza medie este distanța totală împărțită la timpul total. Dacă panta are lungimea $d$ , urcarea durează $\frac{d}{12}$ ore, iar coborârea $\frac{d}{24}$ ore, adică de două ori mai puțin. Timpul total este $\frac{d}{12} + \frac{d}{24} = \frac{3 d}{24} = \frac{d}{8}$ ore, iar distanța totală $2 d$ :

$v = \frac{2 d}{d /8} = 16 km/h .$

Greșeala elevului: a dat aceeași pondere celor două viteze, deși biciclistul a stat mult mai mult timp pe urcare. Viteza medie este media vitezelor ponderată cu timpii, nu cu distanțele: $\frac{12 \cdot 2 + 24 \cdot 1}{2 + 1} = 16$ , dacă urcarea durează două unități de timp și coborârea una.

Exemplul 5 — Media pe clase

Masa a $40$ de cartofi dintr-o recoltă a fost grupată pe clase:

Masa (g)	$[60, 80)$	$[80, 100)$	$[100, 120)$	$[120, 140)$	$[140, 160)$
Cartofi	$5$	$12$	$15$	$6$	$2$

Estimează masa medie a unui cartof.

Rezolvare. Centrele claselor sunt $70$ , $90$ , $110$ , $130$ și $150$ g. Media ponderată a centrelor cu frecvențele:

$\overset{x}{ˉ} \approx \frac{70 \cdot 5 + 90 \cdot 12 + 110 \cdot 15 + 130 \cdot 6 + 150 \cdot 2}{40} = \frac{350 + 1 080 + 1 650 + 780 + 300}{40} = \frac{4 160}{40} = 104 g .$

Masa totală a recoltei se poate estima ca $40 \cdot 104 = 4160$ g, adică aproximativ $4, 2$ kg: suma din numărător este chiar această estimare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Prețul unui produs în cinci magazine este de $11$ , $17$ , $x$ , $13$ și $18$ lei. Determinați $x$ , știind că media aritmetică a celor cinci prețuri este $15$ lei. b) Într-o săptămână, un magazin a vândut $30$ de bucăți din produs la prețul de $12$ lei și $20$ de bucăți la prețul de $15$ lei. Determinați prețul mediu de vânzare al unei bucăți.

Rezolvare. a) Suma celor cinci prețuri este $5 \cdot 15 = 75$ de lei, iar suma celor patru cunoscute este $11 + 17 + 13 + 18 = 59$ . Rezultă $x = 75 - 59 = 16$ lei.

b) Prețul mediu este media prețurilor ponderată cu numărul de bucăți vândute:

$\frac{30 \cdot 12 + 20 \cdot 15}{30 + 20} = \frac{360 + 300}{50} = \frac{660}{50} = 13, 2 lei .$

Media simplă a celor două prețuri, $13, 5$ lei, ar fi greșită, pentru că la $12$ lei s-au vândut mai multe bucăți. Contextul este unul financiar, ca în nota programei de examen pentru acest capitol, iar cerința e scurtă, cu calcul direct; modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, deci exemplul e un antrenament pe tema din programă.

Să exersăm

După fiecare medie, verifică dacă rezultatul se află între cea mai mică și cea mai mare valoare și dacă are unitatea de măsură a datelor.

1. Masele a șapte prune, în grame, sunt $32$ , $35$ , $29$ , $38$ , $31$ , $36$ , $30$ . Calculează masa medie.

2. Pe $25$ de tulpini de gladiolă s-au numărat florile deschise: $1$ floare — $2$ tulpini, $2$ flori — $6$ tulpini, $3$ flori — $8$ tulpini, $4$ flori — $6$ tulpini, $5$ flori — $3$ tulpini. Calculează numărul mediu de flori deschise pe o tulpină.

3. Magneziul din natură are trei izotopi stabili, cu numerele de masă $24$ , $25$ și $26$ , în proporțiile rotunjite $79%$ , $10%$ și $11%$ (tabelele IUPAC). Calculează masa atomică relativă a magneziului ca medie ponderată a numerelor de masă și compar-o cu valoarea $24, 305$ din tabelul periodic.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Media aritmetică a numerelor $4$ , $7$ , $9$ , $12$ și $18$ este mai mare decât $10$ .”

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real $x$ , știind că numerele $2 x$ , $6$ , $9$ și $13$ au media aritmetică $9$ .

6. Un compost se prepară din $3$ kg de frunze care conțin $40%$ apă și $2$ kg de iarbă care conține $80%$ apă. Ce procent de apă are amestecul?

7. Câți litri de apă la $80$ °C trebuie adăugați peste $3$ L de apă la $20$ °C, într-un vas izolat, ca temperatura finală să fie $50$ °C?

8. Timpul de zbor al unor avioane de hârtie, lansate de elevii unei clase, a fost grupat astfel: $[20, 30)$ s — $5$ avioane, $[30, 40)$ s — $10$ avioane, $[40, 50)$ s — $11$ avioane, $[50, 60)$ s — $4$ avioane. Estimează timpul mediu de zbor.

9. (Problemă aplicată.) O navă fluvială merge $3$ ore cu $60$ km/h, apoi $2$ ore cu $85$ km/h. a) Ce distanță parcurge? b) Care este viteza medie? c) De ce nu este egală cu $\frac{60 + 85}{2}$ ?

10. Temperatura medie a apei dintr-un acvariu, măsurată o săptămână, este $18, 6$ °C, iar lungimea medie a frunzelor unei plante de acvariu este $3, 2$ cm. Exprimă temperatura medie în kelvini și lungimea medie în milimetri, fără să recalculezi mediile.

11. Patru date au, față de media lor, abaterile $- 3$ , $1$ , $4$ și $d$ . Determină $d$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un magazin vinde $2$ kg de mere la $7$ lei/kg, $5$ kg la $8$ lei/kg și $3$ kg la $10$ lei/kg. Determinați prețul mediu al unui kilogram de mere vândut.

13. Într-un experiment, $15$ plante dintr-un lot au înălțimea medie de $32$ cm, iar $25$ de plante din alt lot au înălțimea medie de $24$ cm. Care este înălțimea medie a tuturor celor $40$ de plante?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Valorile $10$ , $20$ , $30$ , $40$ au frecvențele $2$ , $5$ , $k$ , $3$ , iar media setului este $26$ . Determinați numărul natural $k$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Media aritmetică a cinci numere naturale consecutive este $17$ . Determinați cel mai mic dintre ele.

16. Media a nouă măsurători a fost calculată $12, 4$ . Ulterior s-a descoperit că o valoare a fost trecută $18, 4$ în loc de $14, 8$ . Care este media corectă?

17. Media ponderată a numerelor $10$ și $20$ , cu ponderile $p$ și $3$ , este $16$ . Determină ponderea $p$ .

18. (Provocare.) Media a $n$ numere este $12$ . Dacă se adaugă numărul $30$ , media noului set devine $15$ . Determină $n$ .

Răspunsuri și explicații

1. Suma maselor este $231$ g, deci media este $\frac{231}{7} = 33$ g. Control: abaterile $- 1$ , $2$ , $- 4$ , $5$ , $- 2$ , $3$ , $- 3$ au suma $0$ .

2. Suma este $1 \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 = 77$ , iar tulpinile sunt $25$ . Media este $\frac{77}{25} = 3, 08$ flori pe tulpină.

3. $\frac{79 \cdot 24 + 10 \cdot 25 + 11 \cdot 26}{100} = \frac{1 896 + 250 + 286}{100} = \frac{2 432}{100} = 24, 32$ . Valoarea din tabel, $24, 305$ , diferă cu mai puțin de două sutimi, din cauza proporțiilor rotunjite și a maselor reale ale izotopilor, puțin diferite de numerele de masă.

4. Fals. Suma numerelor este $50$ , iar $\frac{50}{5} = 10$ : media este egală cu $10$ , nu mai mare.

5. Din $\frac{2 x + 6 + 9 + 13}{4} = 9$ rezultă $2 x + 28 = 36$ , deci $2 x = 8$ și $x = 4$ .

6. Apa din amestec este $0, 4 \cdot 3 + 0, 8 \cdot 2 = 1, 2 + 1, 6 = 2, 8$ kg din $5$ kg, deci $\frac{2 , 8}{5} = 0, 56 = 56%$ . E media procentelor ponderată cu masele, nu media lor simplă, $60%$ .

7. Cu $V$ litri de apă caldă, $\frac{3 \cdot 20 + 80 V}{3 + V} = 50$ , deci $60 + 80 V = 150 + 50 V$ și $30 V = 90$ , adică $V = 3$ L. Rezultatul are sens: $50$ °C e exact la mijloc între $20$ și $80$ , deci cantitățile trebuie să fie egale.

8. Centrele sunt $25$ , $35$ , $45$ , $55$ s, iar avioanele $30$ : $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{25 \cdot 5 + 35 \cdot 10 + 45 \cdot 11 + 55 \cdot 4}{30} = \frac{1 190}{30} \approx 39, 67$ s.

9. a) $3 \cdot 60 + 2 \cdot 85 = 180 + 170 = 350$ km. b) $v = \frac{350}{5} = 70$ km/h. c) Nava a mers mai mult timp cu $60$ km/h, deci această viteză are ponderea $3$ , iar $85$ km/h ponderea $2$ ; media simplă, $72, 5$ km/h, ar presupune durate egale.

10. Temperatura medie este $18, 6 + 273, 15 = 291, 75$ K, iar lungimea medie $3, 2 \cdot 10 = 32$ mm: la schimbarea unității, media suferă aceeași transformare ca fiecare dată.

11. Suma abaterilor față de medie este $0$ : $- 3 + 1 + 4 + d = 0$ , deci $d = - 2$ . Media însăși nu se poate afla din abateri: aceleași abateri le au și datele $7$ , $11$ , $14$ , $8$ (media $10$ ), și datele $17$ , $21$ , $24$ , $18$ (media $20$ ).

12. Prețul mediu este media prețurilor ponderată cu cantitățile: $\frac{2 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + 3 \cdot 10}{2 + 5 + 3} = \frac{14 + 40 + 30}{10} = \frac{84}{10} = 8, 4$ lei/kg.

13. Înălțimea totală este $15 \cdot 32 + 25 \cdot 24 = 480 + 600 = 1080$ cm, deci media este $\frac{1 080}{40} = 27$ cm, mai aproape de $24$ , fiindcă al doilea lot e mai numeros.

14. Suma valorilor este $10 \cdot 2 + 20 \cdot 5 + 30 k + 40 \cdot 3 = 240 + 30 k$ , iar numărul datelor este $10 + k$ . Din $240 + 30 k = 26 (10 + k)$ rezultă $4 k = 20$ , deci $k = 5$ .

15. Numerele sunt $a$ , $a + 1$ , $a + 2$ , $a + 3$ , $a + 4$ , cu suma $5 a + 10$ . Din $\frac{5 a + 10}{5} = 17$ rezultă $a + 2 = 17$ , deci cel mai mic număr este $a = 15$ .

16. Suma greșită este $9 \cdot 12, 4 = 111, 6$ . Suma corectă este $111, 6 - 18, 4 + 14, 8 = 108$ , deci media corectă este $\frac{108}{9} = 12$ .

17. Din $\frac{10 p + 60}{p + 3} = 16$ rezultă $10 p + 60 = 16 p + 48$ , deci $6 p = 12$ și $p = 2$ .

18. Suma celor $n$ numere este $12 n$ . După adăugare, $\frac{12 n + 30}{n + 1} = 15$ , deci $12 n + 30 = 15 n + 15$ , adică $3 n = 15$ și $n = 5$ .

De reținut

Media aritmetică este suma valorilor împărțită la numărul lor; are unitatea datelor, se află între minim și maxim, iar suma abaterilor față de ea este $0$ .
Media ponderată este $\frac{p _{1} x _{1} + \dots + p _{k} x _{k}}{p _{1} + \dots + p _{k}}$ ; media dintr-un tabel de frecvențe este media ponderată cu frecvențele.
În științe, ponderile au sens fizic: proporțiile izotopilor la masa atomică, masele la temperatura unui amestec, timpii la viteza medie.
La date grupate, media se estimează cu centrele claselor și se scrie cu $\approx$ .
Dacă aduni o constantă la toate datele, media crește cu acea constantă; dacă le înmulțești cu $k$ , media se înmulțește cu $k$ ; o singură valoare depărtată poate muta media mult.

Greșeli frecvente

Media vitezelor luată drept viteză medie. Biciclistul care urcă cu $12$ km/h și coboară cu $24$ km/h are viteza medie $16$ km/h, nu $18$ . Vitezele se ponderează cu timpii petrecuți la fiecare, iar la distanțe egale timpii nu sunt egali.
Ponderile atribuite greșit. La bor, înmulțirea lui $10$ cu $80%$ și a lui $11$ cu $20%$ dă $10, 2$ , o valoare apropiată de izotopul rar. Fiecare pondere merge cu valoarea ei; controlul e că media trebuie să fie mai aproape de valoarea cu ponderea mai mare.
Constanta adăugată de $n$ ori. La trecerea din grade Celsius în kelvini, media crește cu $273, 15$ , o singură dată. Cine adună $n \cdot 273, 15$ confundă suma cu media.
Media pe clase calculată cu capătul stâng. La timpul de uscare a vopselei, folosirea capetelor $10$ , $20$ , $30$ , $40$ în loc de centre dă $24, 5$ minute în loc de $29, 5$ , cu o jumătate de clasă mai puțin. Reprezentantul clasei este centrul ei.
Rotunjirea făcută prea devreme. Dacă rotunjești fiecare produs sau fiecare frecvență relativă înainte să aduni, erorile se adună și ele. Calculează cu valorile exacte și rotunjește doar rezultatul final, la precizia măsurătorilor.

Aplică acasă

Amestecul din bucătărie. Măsoară cu un termometru de bucătărie temperatura a două cantități de apă, una rece și una caldă, măsurate cu o cană gradată. Prezice temperatura amestecului cu media ponderată, amestecă, măsoară și explică diferența (căldura cedată vasului și aerului).
Masa unui bob de orez. Un bob de orez e prea ușor pentru un cântar de bucătărie. Numără $200$ de boabe, cântărește-le împreună și calculează masa medie a unui bob. Repetă cu alte $200$ și compară cele două medii.
Viteza ta medie spre școală. Cronometrează o porțiune pe care o parcurgi pe jos și una cu mijlocul de transport, estimează distanțele pe o hartă online și calculează viteza medie pe tot drumul. Compară rezultatul cu media simplă a celor două viteze.

Pentru părinți și profesori

Media e cunoscută din gimnaziu; lecția îi adaugă trei lucruri cerute de programă și de profilul de științe: media ca valoare raportată pentru măsurători repetate (cu controlul prin suma abaterilor), media ponderată cu ponderi care au sens fizic (izotopi, amestecuri, viteze) și media estimată pe clase. Legătura cu clasa a VII-a este directă: media aritmetică ponderată de la gimnaziu avea aceeași formulă, aplicată notelor și prețurilor.

La profilul științe ale naturii, media e primul pas al oricărei raportări de laborator: se măsoară de mai multe ori, se raportează media cu unitatea și cu o precizie potrivită instrumentului, iar împrăștierea valorilor se discută separat, în lecțiile despre abaterea standard și dispersie. De aceea exemplele pornesc de la măsurători repetate și abia apoi trec la tabele.

Întrebări utile la clasă: „Ce cântărește fiecare valoare?”; „Rezultatul e între minim și maxim și mai aproape de valoarea cu pondere mare?”; „Suma abaterilor iese zero?”. Semn că elevul a înțeles: recunoaște singur că viteza medie și temperatura unui amestec cer ponderi. Pasul următor este mediana unui set de date, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: media aritmetică și ponderată, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” trece media printre mărimile caracteristice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, iar nota capitolului cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar. De aceea exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” au date pur numerice sau prețuri. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, așa că aceste exerciții sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între media ponderată de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formulele sunt aceleași. Lecția de la științe ale naturii le aplică pe măsurători și pe ponderi cu sens fizic: masa atomică a unui element, temperatura unui amestec, viteza medie pe un drum. În plus, insistă pe raportarea mediei în laborator, cu unitate și precizie, și pe controlul prin suma abaterilor.

La ce subiect apare media la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține interpretarea datelor prin medii, dispersie și abateri de la medie, iar modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. La proba MAT_P2 din 2030, media e trecută în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, dar un model de subiect nu a fost încă publicat.

Cum se calculează masa atomică relativă a unui element? Ca medie ponderată a maselor izotopilor, cu ponderile egale cu proporțiile în care aceștia se găsesc în natură. Pentru calcule de clasă, masele se aproximează prin numerele de masă. De aceea masele atomice din tabelul periodic nu sunt numere întregi, ci numere cu zecimale.

De ce viteza medie nu este media vitezelor? Pentru că viteza medie înseamnă distanța totală împărțită la timpul total. Fiecare viteză contribuie cu timpul petrecut la ea, deci vitezele se ponderează cu timpii. Media simplă a vitezelor e corectă doar când mobilul a mers la fel de mult timp cu fiecare viteză, nu la fel de mult drum.

Ce unitate de măsură are media? Aceeași ca datele: media unor mase în grame e tot în grame, media unor temperaturi în grade Celsius e tot în grade Celsius. Dacă schimbi unitatea, transformi direct media, cu aceeași regulă ca pentru o singură valoare, fără să o recalculezi din date.

Cu câte zecimale scriu media unor măsurători? Cu aceeași precizie ca măsurătorile, cel mult o zecimală în plus. Dacă un șubler măsoară la zecimea de milimetru, media $23, 3$ mm e bine scrisă, dar $23, 3148$ mm ar sugera o precizie pe care instrumentul nu o are. Rotunjești doar rezultatul final, nu calculele intermediare.