Compararea a două seturi de date (M2, științe ale naturii)

Aproape orice experiment de laborator se termină cu o comparație: reacția la cald față de reacția la rece, senzorul nou față de cel vechi. Numai că nu compari două numere, ci două șiruri de măsurători, fiecare cu variația lui. Lecția de față, din programa clasei a X-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum pui față în față două seturi de date astfel încât concluzia să nu depindă de o singură valoare norocoasă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa cere compararea seturilor de date pe baza mărimilor caracteristice și cu ajutorul abaterilor standard. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema prin mediile, dispersia și abaterile de la medie.

Uneltele le ai: media aritmetică, mediana, cuartilele, diagrama boxplot și abaterea standard. Aici le folosești împreună.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă să compari două seturi de date: nivel și împrăștiere, pentru aceeași caracteristică, în aceeași unitate.
• Vei deosebi exactitatea unei serii de măsurători de precizia ei.
• Vei citi două diagrame boxplot pe aceeași axă.
• Vei alege perechea de indicatori după întrebarea la care răspunzi.
• Vei judeca o diferență de medii prin intervalele $[\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma ]$.
• Vei scrie concluzia cu numere, unități și limita datelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să compari două seturi de date?

A compara două seturi de date înseamnă a pune față în față, pentru aceeași caracteristică măsurată în aceeași unitate, un indicator de nivel (media sau mediana) și un indicator de împrăștiere (amplitudinea, abaterea intercuartilică sau abaterea standard), apoi a traduce diferențele în termenii întrebării de la care ai pornit.

Indicatorii se folosesc în perechi: media cu abaterea standard, pentru că amândouă folosesc toate valorile; mediana cu abaterea intercuartilică $Q_3-Q_1$, pentru că amândouă sunt construite din poziții.

2. De ce nu ajunge un singur indicator: exactitate și precizie

Doi senzori cu ultrasunete sunt așezați, pe rând, la o distanță etalon de exact $50,0$ cm de un perete. Fiecare măsoară de cinci ori, în centimetri:

$$A:48,4;49,1;50,2;50,6;51,7$$

$$B:51,6;51,9;51,9;52,0;52,1$$

Pentru $A$: suma este $250$, deci ${\bar{x}}_A=50$ cm; abaterile sunt $-1,6;-0,9;0,2;0,6;1,7$, cu suma pătratelor $6,66$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{\frac{6,66}{5}}=\sqrt{1,332}\approx 1,15$ cm.

Pentru $B$: suma este $259,5$, deci ${\bar{x}}_B=51,9$ cm; abaterile sunt $-0,3;0;0;0,1;0,2$, cu suma pătratelor $0,14$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{\frac{0,14}{5}}=\sqrt{0,028}\approx 0,17$ cm.

Senzorul $A$ are media exact pe valoarea etalon, dar citirile lui se împrăștie cu peste un centimetru: seria este exactă, dar imprecisă. Senzorul $B$ dă valori strânse, dar toate prea mari: seria este precisă, dar deplasată. O deplasare constantă se corectează: scazi $1,9$ cm din fiecare citire a lui $B$ și obții un senzor exact și precis. Împrăștierea lui $A$ nu dispare prin nicio scădere. Media singură l-ar fi declarat pe $A$ perfect, abaterea standard singură pe $B$.

3. Cum citești două diagrame boxplot pe aceeași axă?

Un elev a măsurat câte $11$ conuri de pin negru de pe un versant însorit și de pe unul umbrit. Lungimile, în milimetri, sunt

$$\text{ıˆnsorit: }59,61,62,62,63,64,65,65,66,67,69$$

Cu regula din lecția despre cuartile, rezumatul celor cinci numere pentru versantul însorit este $59$; $62$; $64$; $66$; $69$.

$$\text{umbrit: }56,58,59,59,60,61,61,62,62,63,66$$

Pentru versantul umbrit, rezumatul este $56$; $59$; $61$; $62$; $66$. Le desenăm una sub alta, pe aceeași axă.

Nivelul. Mediana conurilor de la soare, $64$ mm, stă cu $3$ mm peste cea a conurilor de la umbră, $61$ mm.

Împrăștierea. Cutiile au $66-62=4$ mm și $62-59=3$ mm. Amplitudinile sunt chiar egale, $10$ mm fiecare.

Poziția reciprocă. Mediana de sus cade la dreapta cutiei de jos, iar mediana de jos la stânga cutiei de sus; cutiile abia se ating, în $62$. Aici se folosește un reper orientativ, nu o regulă: când mediana fiecărui set iese din cutia celuilalt, diferența de nivel e mare față de împrăștierea jumătăților din mijloc, chiar dacă mustățile se suprapun; când ambele mediane cad în cutia celuilalt, diferența e mică față de împrăștiere. Reperul nu e o teoremă, iar cu $11$ conuri pe versant concluzia rămâne prudentă. Axa trebuie să fie comună pentru că desenul transmite totul prin lungimi și poziții.

4. Media sau mediana? Depinde de întrebare

Doi elevi au copiat de pe site-ul rețelei naționale de monitorizare concentrația medie zilnică de dioxid de azot, în micrograme pe metru cub ($\mu$g/m³), în două cartiere ale unui oraș, unul în nord și unul în sud, șapte zile la rând. În ultima zi, în cartierul din nord a ars vegetație uscată.

$$\text{Nord: }22,25,27,28,31,34,146$$

$$\text{Sud: }30,33,35,36,38,40,43$$

Mediile, $\frac{313}{7}\approx 44,71$ și $\frac{255}{7}\approx 36,43$, spun că nordul e mai poluat; medianele, $28$ și $36$, spun contrariul. Valoarea $146$ este o valoare depărtată, în sensul din lecția despre diagrama boxplot. Amândouă răspunsurile sunt corecte, pentru întrebări diferite.

„Cum e aerul într-o zi obișnuită?” cere mediana și abaterea intercuartilică: șase zile din șapte, aerul din nord a fost mai curat decât mediana sudului.

„Cât dioxid de azot a respirat, în total, cine a stat toată săptămâna în cartierul din nord?” cere media, pentru că într-o doză totală contează fiecare zi. Tot de aceea valoarea-limită anuală de $40$ $\mu$g/m³ din Directiva europeană 2008/50/CE se aplică mediei anuale, nu medianei.

Abaterile standard, $\approx 41,51$ la nord și $\approx 4,03$ la sud, arată aceeași zi: $\sigma$ al nordului e de zece ori mai mare, deși abaterile intercuartilice, $9$ și $7$, sunt apropiate.

5. Când e mare o diferență dintre două medii?

Într-un tub cu ulei de floarea-soarelui, o bilă de oțel coboară între două repere. Timpii, în secunde, cu uleiul la $8$ °C și cu uleiul la $40$ °C, sunt

$$R:5,7;6,1;6,4;6,5;6,8$$

$$C:3,0;3,1;3,5;3,6;3,8$$

Pentru $R$: ${\bar{x}}_R=\frac{31,5}{5}=6,3$ s, abaterile $-0,6;-0,2;0,1;0,2;0,5$, suma pătratelor $0,7$, deci ${\sigma }_R=\sqrt{0,14}\approx 0,37$ s. Pentru $C$: ${\bar{x}}_C=\frac{17}{5}=3,4$ s, abaterile $-0,4;-0,3;0,1;0,2;0,4$, suma pătratelor $0,46$, deci ${\sigma }_C=\sqrt{0,092}\approx 0,30$ s.

Diferența mediilor, $2,9$ s, se judecă față de abaterea standard, care spune cât diferă două măsurători făcute în aceleași condiții. Aici diferența este de cel puțin șapte ori mai mare decât fiecare dintre cele două abateri standard. Intervalele $[\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma ]$, aproximativ $[5,93;6,67]$ și $[3,10;3,70]$, nu au niciun punct comun.

Când intervalele se suprapun mult, diferența mediilor e de ordinul variației obișnuite, iar cu puține măsurători spui doar că experimentul nu a arătat o diferență clară. Când sunt departe, ca aici, diferența nu vine din variația întâmplătoare. Intersecția a două intervale o știi din lecția despre mulțimi și intervale. Fizica o explică: uleiul cald e mai puțin vâscos și frânează mai puțin bila.

6. Cum compari împrăștierea unor seturi de niveluri foarte diferite?

O crescătorie a cântărit, în grame, cinci iepuri la naștere și cinci iepuri adulți:

$$N:35,39,41,44,46$$

$$M:1750,1950,2050,2200,2300$$

Pentru $N$: ${\bar{x}}_N=41$ g, suma pătratelor abaterilor $74$, deci ${\sigma }_N=\sqrt{14,8}\approx 3,85$ g. Pentru $M$: ${\bar{x}}_M=2050$ g, suma pătratelor abaterilor $185000$, deci ${\sigma }_M=\sqrt{37000}\approx 192,35$ g.

Abaterea standard a adulților e de cincizeci de ori mai mare, dar $4$ g contează mult la un pui de $41$ g și aproape deloc la un iepure de două kilograme. De aceea, în laboratoare se obișnuiește, ca observație practică, împărțirea abaterii standard la medie: aici ambele grupe dau aproximativ $0,094$, adică o împrăștiere de circa $9,4\%$ din medie. Raportul nu e o mărime din programă, nu apare în exercițiile lecției și are sens numai pentru mărimi pozitive cu un zero natural, ca masa sau lungimea.

7. Cum scrii concluzia unei comparații?

Concluzia răspunde la întrebarea experimentului și conține nivelul, împrăștierea, judecata diferenței și limita datelor. Pentru bilă: „În uleiul la $40$ °C, bila coboară în medie în $3,4$ s, față de $6,3$ s la $8$ °C; împrăștierile sunt mici ($\approx 0,30$ s și $\approx 0,37$ s), iar intervalele nu se ating, deci diferența nu vine din variația măsurătorilor. Rezultatul privește acest ulei, acest tub și cinci coborâri la fiecare temperatură.” La grupuri de mărimi diferite compari indicatori raportați la numărul de date, ca frecvențele relative, nu totaluri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Comparație pe medie, mediană și abatere standard

Înălțimile, în metri, a câte cinci plopi de aceeași vârstă, de pe malul unui râu și de pe un teren uscat din apropiere, sunt

$$M:22,3;22,6;22,7;23,5;23,9$$

$$U:19,8;20,4;21,2;21,6;22,0$$

Compară seturile.

Rezolvare. Pentru $M$: ${\bar{x}}_M=\frac{115}{5}=23$ m, mediana este $22,7$ m; abaterile $-0,7;-0,4;-0,3;0,5;0,9$ dau suma pătratelor $1,8$, deci ${\sigma }_M=\sqrt{0,36}=0,6$ m. Pentru $U$: ${\bar{x}}_U=\frac{105}{5}=21$ m, mediana este $21,2$ m; abaterile $-1,2;-0,6;0,2;0,6;1$ dau suma pătratelor $3,2$, deci ${\sigma }_U=\sqrt{0,64}=0,8$ m.

Ambii indicatori de nivel dau plopii de pe mal mai înalți cu aproximativ $2$ m, iar aceștia sunt și mai uniformi. Intervalele $[22,4;23,6]$ și $[20,2;21,8]$ nu se ating. Concluzia privește acești zece arbori; pentru o regulă ar trebui măsurați mai mulți, pe mai multe maluri.

Exemplul 2 — Două diagrame boxplot date

Pe un nuc s-au măsurat câte $24$ de frunze din partea însorită și din partea umbrită a coroanei. Rezumatele, în milimetri, sunt: la soare $52$; $58$; $63$; $67$; $76$, iar la umbră $60$; $69$; $75$; $82$; $95$.

a) Cu cât diferă medianele? b) Care set e mai împrăștiat? c) Se suprapun cutiile? d) Aproximativ câte frunze de la umbră depășesc cea mai lungă frunză de la soare?

Rezolvare. a) Mediana frunzelor de la umbră, $75$ mm, o depășește cu $12$ mm pe cea de la soare, $63$ mm.

b) Cutiile au $82-69=13$ mm și $67-58=9$ mm, amplitudinile $35$ mm și $24$ mm: frunzele de la umbră sunt mai împrăștiate.

c) Nu: cutia de sus se termină la $67$, cea de jos începe la $69$.

d) Cea mai lungă frunză de la soare, $76$ mm, cade între mediana ($75$) și a treia cuartilă ($82$) a frunzelor de la umbră. Peste $82$ mm sunt aproximativ un sfert din $24$, adică $6$ frunze; peste $75$ mm aproximativ jumătate, adică $12$. Răspunsul: aproximativ între $6$ și $12$ frunze. Frunzele de umbră sunt mai mari ca să prindă mai multă lumină.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Din două livezi s-au cântărit câte $40$ de caise. Rezumatele, în grame, sunt: livada A — $48$; $56$; $60$; $64$; $72$; livada B — $57$; $59$; $60$; $61$; $63$. Un elev a desenat diagrama livezii A pe o axă de la $40$ la $80$ g și pe a livezii B pe o axă de la $55$ la $65$ g, ambele axe lungi de $10$ cm. Cutiile au ieșit la fel de late, și elevul a scris: „caisele din cele două livezi sunt la fel de uniforme”. Unde a greșit?

Rezolvare. Pe prima axă un centimetru înseamnă $4$ g, pe a doua $1$ g, deci cutiile de câte $2$ cm reprezintă abateri intercuartilice diferite: $64-56=8$ g și $61-59=2$ g. Jumătatea din mijloc a caiselor din livada A e de patru ori mai răsfirată, iar amplitudinile, $24$ g și $6$ g, confirmă. Medianele sunt egale, $60$ g. Corect: ambele diagrame pe aceeași axă, de exemplu de la $45$ la $75$ g.

Exemplul 4 — Se suprapun intervalele?

Un elev a crescut șase plante de fasole sub lumină albastră și șase sub lumină roșie. După trei săptămâni, înălțimile, în centimetri, au fost

$$A:16;18;19,5;21;22;23,5$$

$$R:17;20;22;22;23;25$$

Arată datele că lumina roșie face plantele mai înalte?

Rezolvare. Pentru $A$: ${\bar{x}}_A=\frac{120}{6}=20$ cm; abaterile $-4;-2;-0,5;1;2;3,5$ dau suma pătratelor $37,5$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{6,25}=2,5$ cm. Pentru $R$: ${\bar{x}}_R=\frac{129}{6}=21,5$ cm; abaterile $-4,5;-1,5;0,5;0,5;1,5;3,5$ dau tot suma pătratelor $37,5$, deci ${\sigma }_R=2,5$ cm.

Diferența mediilor, $1,5$ cm, e mai mică decât abaterea standard a fiecărui grup, iar intervalele $[17,5;22,5]$ și $[19;24]$ au în comun porțiunea $[19;22,5]$. Elevul poate scrie că plantele de sub lumina roșie au ieșit în medie cu $1,5$ cm mai înalte, dar că, la șase plante pe grup, diferența e mai mică decât variația dintre plante crescute la fel: datele nu arată un efect clar.

Exemplul 5 — Când reperul medianelor nu decide

Un grădinar a măsurat diametrul florilor, în milimetri, la câte $24$ de plante de gălbenele crescute cu două doze de îngrășământ. Rezumatele sunt: doza mică — $42$; $45$; $48$; $51$; $56$; doza mare — $44$; $47$; $52$; $56$; $61$. Ce spune reperul medianelor și ce concluzie se poate scrie?

Rezolvare. Cutia dozei mici merge de la $45$ la $51$ mm, cea a dozei mari de la $47$ la $56$ mm. Mediana dozei mari, $52$ mm, iese din cutia dozei mici, care se termină la $51$; mediana dozei mici, $48$ mm, cade însă în cutia dozei mari. Reperul dă un răspuns pe jumătate, deci nu decide singur.

Se citesc atunci numerele: medianele diferă cu $4$ mm, mai puțin decât lățimea fiecărei cutii ($6$ mm și $9$ mm), iar cutiile se suprapun între $47$ și $51$ mm. Concluzia prudentă: la doza mare florile au ieșit, în mediană, cu $4$ mm mai mari, fără o separare netă a celor două grupuri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Masele, în grame, a câte cinci mere din două livezi sunt

$$A:151,157,159,165,168$$

$$B:159,163,171,177,180$$

a) Calculează media fiecărui set de date. b) Determină abaterile standard ale celor două seturi. c) Stabilește care dintre seturi este mai omogen.

Rezolvare. a) ${\bar{x}}_A=\frac{800}{5}=160$ g și ${\bar{x}}_B=\frac{850}{5}=170$ g.

b) Pentru $A$: abaterile $-9,-3,-1,5,8$ au suma $0$, iar suma pătratelor este $81+9+1+25+64=180$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6$ g. Pentru $B$: abaterile $-11,-7,1,7,10$ dau suma pătratelor $121+49+1+49+100=320$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{\frac{320}{5}}=\sqrt{64}=8$ g.

c) Setul $A$ este mai omogen, pentru că $6<8$.

Să exersăm

Verifică întâi dacă seturile sunt în aceeași unitate. Pentru fiecare set scrie un indicator de nivel și unul de împrăștiere din aceeași pereche. Dacă enunțul nu spune altfel, abaterea standard se calculează cu împărțire la $n$.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Masele, în grame, ale hamsterilor din două cuști sunt $A:51,55,63,64,67$ și $B:49,56,58,58,62,65$. a) Calculează mediile. b) Calculează abaterile standard. c) Scrie intervalele $[\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma ]$ și spune ce arată ele despre diferența de $2$ g dintre medii.

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Lungimea aripii a fost măsurată la câte $30$ de vrăbii. Rezumatele, în milimetri: oraș — $72$; $75$; $77$; $79$; $84$; sat — $73$; $78$; $80$; $83$; $86$. Compară medianele și abaterile intercuartilice și spune dacă mediana fiecărui set cade în cutia celuilalt.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă intervalele $[{\bar{x}}_A-{\sigma }_A,{\bar{x}}_A+{\sigma }_A]$ și $[{\bar{x}}_B-{\sigma }_B,{\bar{x}}_B+{\sigma }_B]$ nu au niciun punct comun și ${\bar{x}}_A<{\bar{x}}_B$, atunci orice valoare a lui $A$ este mai mică decât orice valoare a lui $B$.”

4. O seră a consumat, în șapte zile, $180,190,195,200,205,210,360$ de litri de apă pe zi; ultima zi a fost de caniculă. a) Calculează media și mediana consumului zilnic. b) Sera comandă apă pentru $30$ de zile înmulțind cu $30$ una dintre cele două valori. Cât comandă în fiecare variantă? c) Dacă în următoarele $30$ de zile ar fi $4$ zile de caniculă cu câte $360$ L, iar celelalte ar consuma câte $200$ L, cu câți litri ar greși fiecare comandă?

5. Un elev a cronometrat de câte trei ori căderea unui ghem de lână și a unui ghem de sfoară, lăsate de pe același raft: $0,52;0,54;0,56$ s și $0,58;0,60;0,62$ s. a) Calculează mediile și abaterile standard. b) De câte ori este mai mare diferența mediilor decât fiecare abatere standard? c) Ce limită are o concluzie trasă din aceste date?

6. O cană cu apă se răcește de la $80$ °C la $50$ °C în $21,5\pm 1,2$ min cu capac și în $14,8\pm 0,9$ min fără capac (medie $\pm$ abatere standard, câte zece încercări). Se suprapun intervalele? Ce concluzie tragi?

7. Frunzele de salvie au media $6,4$ cm și abaterea standard $0,6$ cm, iar cele de rozmarin media $2,5$ cm și abaterea standard $5$ mm. Un elev spune că rozmarinul variază mai mult, „pentru că $5>0,6$”. Compară corect abaterile standard.

8. (Problemă aplicată.) Inspectorii de metrologie verifică cântarul electronic al unui magazin cu două mase etalon: pentru etalonul de $100$ g el arată $102$ g, iar pentru cel de $200$ g arată $204$ g. a) Este abaterea cântarului o deplasare constantă? b) Cum corectezi o citire de $153$ g?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul lunar al unui abonament la internet, în lei, la câte șase furnizori din două orașe este $A:32,36,38,44,45,45$ și $B:34,37,44,44,47,52$. a) Calculează prețurile medii. b) Calculează abaterile standard. c) Scrie concluzia comparației: nivelul, împrăștierea, judecata diferenței și limita datelor.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră seturile $A:6,8,10,11,a$ și $B:5,8,11,11,15$, cu $a$ număr real. a) Determină $a$ astfel încât seturile să aibă aceeași medie. b) Compară abaterile standard.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Lungimile, în centimetri, a câte zece morcovi din două parcele sunt $A:14,16,17,18,19,20,21,22,23,26$ și $B:12,15,17,19,20,22,23,25,27,30$. Determină mediana, cuartilele și abaterea intercuartilică pentru fiecare set.

12. Diametrele, în milimetri, ale unor ramuri de salcie de pe malul unui lac sunt $A:12,13,13,18,19$, iar ale unor ramuri din parc $B:10,13,17,17,18$. a) Arată că $A$ este mai omogen. b) La $A$ se adaugă o ramură de $27$ mm. Care set este acum mai omogen?

13. Două grupe au măsurat accelerația gravitațională cronometrând căderea liberă a unei bile: $9,79\pm 0,02$ m/s² și $9,82\pm 0,09$ m/s². Valoarea de referință este $9,81$ m/s². Care grupă a lucrat mai precis? A cui medie e mai aproape de referință? Conține fiecare interval valoarea de referință?

14. Pentru câte $40$ de plante de soia din două parcele, rezumatele înălțimilor, în centimetri, sunt: $A$ — $12$; $15$; $18$; $22$; $30$; $B$ — $16$; $19$; $21$; $24$; $27$. Care afirmații sunt sigur adevărate? (i) Mediana lui $B$ e mai mare. (ii) $B$ are abaterea intercuartilică mai mare. (iii) Cel puțin jumătate dintre plantele din $A$ au sub $19$ cm. (iv) Mai mult de un sfert dintre plantele din $B$ au peste $25$ cm.

15. Seturile $A$ și $B$ au câte $12$ valori distincte, iar a treia cuartilă a lui $A$ e mai mică decât prima cuartilă a lui $B$. Arată că fiecare dintre cele mai mari $9$ valori ale lui $B$ depășește fiecare dintre cele mai mici $9$ valori ale lui $A$.

16. Două fierbătoare au adus de câte zece ori la fierbere un litru de apă, în $4,1\pm 0,1$ min, respectiv $3,6\pm 0,5$ min. Care concluzii rezultă? (i) În medie, al doilea e mai rapid. (ii) Al doilea e mai rapid la fiecare folosire. (iii) Timpul primului e mai previzibil.

17. Un laborator școlar acceptă o serie de măsurători doar dacă abaterea standard nu depășește $0,2$ µF. Capacitatea unui condensator, în microfarazi, a fost măsurată în două serii: $U:12,3;12,5;12,5;12,6;12,6$ și $V:11,8;12,4;12,6;12,9;13,3$. Care serie se acceptă?

18. (Provocare.) Se consideră seturile $A:3,5,10$ și $B:6,8,x$, cu $x$ număr natural. Determină toate valorile lui $x$ pentru care seturile au aceeași abatere standard și explică rezultatul.

Răspunsuri și explicații

1. a) ${\bar{x}}_A=\frac{300}{5}=60$ g și ${\bar{x}}_B=\frac{348}{6}=58$ g. b) Pentru $A$: abaterile $-9,-5,3,4,7$ dau suma pătratelor $180$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{36}=6$ g. Pentru $B$: abaterile $-9,-2,0,0,4,7$ dau suma pătratelor $150$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{25}=5$ g. c) Intervalele $[54;66]$ și $[53;63]$ au în comun porțiunea $[54;63]$, deci diferența de $2$ g e mult mai mică decât variația din fiecare cușcă. Numărul diferit de hamsteri nu încurcă: fiecare indicator se calculează pe setul lui.

2. Medianele sunt $77$ mm și $80$ mm, abaterile intercuartilice $79-75=4$ mm și $83-78=5$ mm. Mediana orașului e sub cutia satului, care începe la $78$, iar mediana satului e peste cutia orașului, care se termină la $79$. Reperul orientativ indică o diferență clară de nivel.

3. Fals. Pentru $A:10,14,14,14,18$: ${\bar{x}}_A=14$, ${\sigma }_A=\sqrt{6,4}\approx 2,53$, intervalul aproximativ $[11,47;16,53]$. Pentru $B:15,21,21,21,27$: ${\bar{x}}_B=21$, ${\sigma }_B=\sqrt{14,4}\approx 3,79$, intervalul aproximativ $[17,21;24,79]$. Intervalele nu se ating, dar $18$ din $A$ depășește $15$ din $B$.

4. a) Suma este $1540$ L, deci media este $\frac{1540}{7}=220$ L; mediana este a patra valoare, $200$ L. b) După medie: $30\cdot 220=6600$ L; după mediană: $30\cdot 200=6000$ L. c) Consumul ar fi $4\cdot 360+26\cdot 200=1440+5200=6640$ L. Comanda după medie ar fi cu $40$ L sub consum, cea după mediană cu $640$ L sub consum: pentru un total, ziua de caniculă trebuie să intre în calcul.

5. a) Mediile sunt $0,54$ s și $0,60$ s. În ambele seturi abaterile sunt $-0,02;0;0,02$, cu suma pătratelor $0,0008$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{0,0008}{3}}\approx 0,016$ s la amândouă. b) Diferența mediilor, $0,06$ s, este de aproximativ $\frac{0,06}{0,016}\approx 3,7$ ori mai mare decât fiecare abatere standard. c) Sunt doar trei căderi pe ghem, iar un cronometru pornit și oprit cu mâna are erori întâmplătoare de câteva sutimi de secundă, de ordinul diferenței de $0,06$ s; abaterile standard atât de mici, calculate din numai trei valori, pot fi un noroc. Concluzia rămâne o ipoteză de verificat cu mai multe căderi sau cu un senzor.

6. Intervalele sunt $[20,3;22,7]$ și $[13,9;15,7]$ și nu se suprapun; diferența mediilor, $6,7$ min, depășește de peste cinci ori fiecare abatere standard. Capacul încetinește clar răcirea, pentru că oprește mare parte din evaporare.

7. $0,6$ cm $=6$ mm $>5$ mm: frunzele de salvie au abaterea standard mai mare. Elevul a comparat numere scrise în unități diferite; înainte de orice comparație, ambele valori se aduc la aceeași unitate.

8. a) Nu. La $100$ g cântarul adaugă $2$ g, la $200$ g adaugă $4$ g: abaterea crește odată cu masa, deci e o eroare proporțională. Cântarul arată de $\frac{102}{100}=\frac{204}{200}=1,02$ ori masa reală, adică cu $2\%$ mai mult. b) Citirea se împarte la $1,02$: $\frac{153}{1,02}=150$ g. Scăderea aceleiași valori, care corectează o deplasare constantă, aici nu ajunge.

9. a) ${\bar{x}}_A=\frac{240}{6}=40$ lei și ${\bar{x}}_B=\frac{258}{6}=43$ lei. b) Pentru $A$: suma pătratelor abaterilor este $64+16+4+16+25+25=150$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{25}=5$ lei. Pentru $B$: $81+36+1+1+16+81=216$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{36}=6$ lei. c) „În orașul $B$ abonamentul costă în medie cu $3$ lei mai mult, cu prețuri puțin mai împrăștiate ($6$ față de $5$ lei); intervalele $[35;45]$ și $[37;49]$ se suprapun mult, deci diferența e mai mică decât variația dintre furnizori. Rezultatul privește doar cei șase furnizori din fiecare oraș.”

10. a) ${\bar{x}}_B=\frac{50}{5}=10$, deci suma lui $A$ trebuie să fie $50$: $35+a=50$, deci $a=15$. b) Setul $6,8,10,11,15$ are abaterile $-4,-2,0,1,5$ și suma pătratelor $46$, deci abaterea standard a acestui set este $\sigma =\sqrt{9,2}\approx 3,03$. Pentru $B$: abaterile $-5,-2,1,1,5$, suma pătratelor $56$, ${\sigma }_B=\sqrt{11,2}\approx 3,35$. Primul set e mai omogen.

11. Pentru $A$: mediana $\frac{19+20}{2}=19,5$ cm, $Q_1=17$, $Q_3=22$, abaterea intercuartilică $5$ cm. Pentru $B$: mediana $\frac{20+22}{2}=21$ cm, $Q_1=17$, $Q_3=25$, abaterea intercuartilică $8$ cm. Jumătatea din mijloc a lui $B$ e mai răsfirată și puțin mai sus.

12. a) Ambele au media $15$ mm. Pentru $A$: abaterile $-3,-2,-2,3,4$, suma pătratelor $42$, ${\sigma }_A=\sqrt{8,4}\approx 2,90$ mm. Pentru $B$: abaterile $-5,-2,2,2,3$, suma pătratelor $46$, ${\sigma }_B=\sqrt{9,2}\approx 3,03$ mm. b) Setul $12,13,13,18,19,27$ are media $\frac{102}{6}=17$ mm și abaterile $-5,-4,-4,1,2,10$, cu suma pătratelor $162$, deci $\sigma =\sqrt{27}\approx 5,20$ mm. Acum $B$ e mai omogen: o singură ramură a schimbat verdictul.

13. Prima grupă e mai precisă ($0,02<0,09$). Media celei de-a doua e mai aproape de referință: $9,82-9,81=0,01$, față de $9,81-9,79=0,02$. Intervalele $[9,77;9,81]$ și $[9,73;9,91]$ conțin amândouă valoarea $9,81$, primul chiar la capăt.

14. (i) Sigur: $21>18$. (ii) Falsă: $22-15=7$ și $24-19=5$. (iii) Sigur: cel puțin jumătate au cel mult $18$ cm. (iv) Nu rezultă: peste $Q_3=24$ cm e aproximativ un sfert, deci peste $25$ cm cel mult atât.

15. Ordonând $a_1<\dots <a_{12}$, a treia cuartilă a lui $A$ este media dintre $a_9$ și $a_{10}$, deci $a_9<Q_3(A)$; la fel, $Q_1(B)$ este media dintre $b_3$ și $b_4$, deci $Q_1(B)<b_4$. Pentru $i\le 9$ și $j\ge 4$: $a_i\le a_9<Q_3(A)<Q_1(B)<b_4\le b_j$.

16. (i) Rezultă: $3,6<4,1$. (ii) Nu rezultă: intervalul celui de-al doilea, $[3,1;4,1]$, atinge media primului. (iii) Rezultă: abaterea standard a primului e de cinci ori mai mică. Rezultă deci (i) și (iii).

17. Pentru $U$: media $12,5$ µF, suma pătratelor abaterilor $0,06$, ${\sigma }_U=\sqrt{0,012}\approx 0,11$ µF, sub pragul de $0,2$ µF: seria se acceptă. Pentru $V$: media $12,6$ µF, suma pătratelor $1,26$, ${\sigma }_V=\sqrt{0,252}\approx 0,50$ µF, peste prag: seria se repetă.

18. $A$ are media $6$, abaterile $-3,-1,4$ și suma pătratelor $26$. Cu media lui $B$ egală cu $m=\frac{14+x}{3}$, condiția $(6-m{)}^2+(8-m{)}^2+(x-m{)}^2=26$ devine, după înmulțirea cu $3$ și simplificarea cu $2$, $x^2-14x+13=0$. Deci $x=1$ sau $x=13$. Setul $6,8,13$ este $A$ mutat cu $3$ unități, iar mutarea nu schimbă abaterile (lecția despre dispersia și abaterile de la medie); setul $1,6,8$ are abaterile $-4,1,3$, ale lui $A$ cu semnul schimbat.

De reținut

• A compara două seturi înseamnă a pune față în față, în aceeași unitate, un indicator de nivel și unul de împrăștiere din aceeași pereche: media cu abaterea standard sau mediana cu abaterea intercuartilică.
• O serie poate fi exactă (media aproape de valoarea adevărată) fără să fie precisă (abatere standard mică); o deplasare constantă se corectează, împrăștierea nu.
• Două diagrame boxplot se compară numai pe aceeași axă; mediana fiecărui set ieșită din cutia celuilalt e un reper orientativ al unei diferențe clare de nivel, nu o regulă.
• O diferență de medii se judecă față de abaterile standard, prin intervalele $[\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma ]$: când ele se suprapun mult, diferența e de ordinul variației obișnuite.
• Perechea se alege după întrebare (mediana pentru ziua obișnuită, media pentru totaluri), iar concluzia are unități și limita datelor.

Greșeli frecvente

• Diagrame pe axe diferite. Cu scări diferite, cutii egale pe hârtie ascund împrăștieri diferite. Folosește o singură axă pentru ambele seturi.
• Diferența de medii declarată efect fără reper. „Media a crescut cu $1,5$ cm, deci lumina roșie ajută” ignoră că plantele din același grup diferă cu $2,5$ cm. Compară diferența cu abaterile standard.
• Exactitate confundată cu precizie. Un instrument cu abatere standard mică poate greși sistematic toate citirile; verifică media față de o valoare de referință.
• Reperul medianelor luat drept dovadă. Faptul că mediana fiecărui set iese din cutia celuilalt e un semn orientativ; la seturi mici poate apărea și din întâmplare, iar concluzia se scrie tot cu volumul și cu limita datelor.
• Indicatori din perechi diferite. Mediana unui set lângă media celuilalt nu spune nimic despre diferența dintre ele; calculează aceeași pereche pentru amândouă.

Aplică acasă

1. Mingea de ping-pong. Las-o să cadă de zece ori de la $1$ m pe gresie și de zece ori pe covor, filmând lângă o riglă. Notează înălțimea primei sărituri, desenează cele două diagrame boxplot pe aceeași axă și scrie concluzia.
2. Cronometrul și filmarea. Lasă o cheie să cadă de opt ori de la aceeași înălțime. Măsoară timpul cu cronometrul pornit cu degetul și apoi din filmare, cadru cu cadru. Care metodă e mai precisă și care întârzie sistematic?
3. Două camere, un termometru. Timp de șapte seri, la aceeași oră, citește cu același termometru temperatura din două camere ale casei. Calculează pentru fiecare cameră media și abaterea standard, scrie intervalele medie plus-minus abatere standard și spune dacă diferența dintre camere e mai mare decât variația de la o seară la alta.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă indicatorii calculați separat într-un instrument de judecată: alegerea perechii de indicatori după întrebare, citirea a două diagrame pe aceeași axă și judecarea unei diferențe de medii față de abaterea standard. Distincția exactitate–precizie e cea din laboratoarele de fizică și chimie. Întrebări utile: „Diferența e mare față de ce?”; „Ai pus ambele diagrame pe aceeași axă?”. Legătura cu clasa a IX-a este intersecția intervalelor, din lecția despre mulțimi și intervale. Lecția următoare deschide sondajele și etapele lor, iar recapitularea e în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: compararea a două seturi de date, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” cere „compararea a două seturi de date pe baza mărimilor caracteristice” și „compararea unor seturi de date utilizând abaterile standard”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa din 2014 (OMEN 4430/2014), care cere „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”. De aceea exercițiile cu medii și abateri standard sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, iar cele cu mediane, cuartile sau diagrame boxplot poartă mențiunea „MAT_P2 2030”. Nota capitolului „Matematici financiare” din programa din 2014 cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiul 9 are context financiar (abonamentele la internet), exercițiul 10 e pe date numerice, iar exercițiul 1 și Exemplul 6 au contexte de laborator și de teren. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are la Subiectul I nicio cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferă la compararea a două seturi de date între M2 și mate-info (M1)? Indicatorii și calculele sunt aceleași. Lecția de la științe ale naturii lucrează pe serii de măsurători din laborator și de pe teren, deosebește exactitatea de precizie, judecă o diferență de medii prin intervalele medie plus-minus abatere standard și scrie concluzia cu limita datelor. Alegerea indicatorului pornește de la întrebarea experimentului.

La ce subiect apare compararea a două seturi de date la bacalaureatul M2? Programa din 2014 cere mediile, dispersia și abaterile de la medie, deci o comparare prin medie și abatere standard ține de programa de examen. Subiectul la care ar apărea nu se poate spune: modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa numește explicit compararea seturilor de date, dar un model nu a fost încă publicat.

Ce înseamnă exactitate și precizie la o serie de măsurători? Exactitatea spune cât de aproape e media seriei de valoarea adevărată. Precizia spune cât de strânse sunt măsurătorile între ele, adică cât de mică e abaterea standard. Un cântar poate da de zece ori aceeași valoare greșită: e precis, dar nu exact. Exactitatea se verifică doar cu o valoare de referință, de exemplu o masă etalon.

Dacă intervalele medie plus-minus abatere standard se suprapun, seturile sunt la fel? Nu. Suprapunerea spune doar că diferența dintre medii e de ordinul variației din interiorul fiecărui set, deci datele nu arată o diferență clară. Diferența poate exista, dar să fie prea mică pentru numărul de măsurători făcute; cu mai multe măsurători sau cu o metodă mai precisă, ea poate deveni limpede.

Ce desen aleg pentru o comparație: diagramele boxplot sau medie plus-minus abatere standard? Diagramele boxplot, când seturile sunt asimetrice sau au valori depărtate: ele arată mediana, jumătatea din mijloc și cozile. Barele medie plus-minus abatere standard se potrivesc seturilor fără valori depărtate, măsurate de multe ori în aceleași condiții. În articole apar amândouă; important e ca desenul ales să corespundă perechii de indicatori din concluzie.

De ce trebuie ca cele două diagrame boxplot să fie pe aceeași axă? Pentru că diagrama transmite informația prin lungimi și poziții. Pe axe cu scări diferite, o cutie de $2$ g poate arăta la fel de lată ca una de $8$ g, iar două mediane egale pot părea deplasate. Pe o axă comună vezi imediat care set e mai sus, care e mai împrăștiat și dacă cutiile se suprapun.