Cum se schimbă dispersia când transform datele?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Dispersia (varianța)

Dacă aduni același număr la toate datele, dispersia rămâne aceeași, fiindcă media se mută și ea, iar abaterile nu se schimbă. Dacă le înmulțești cu $k$ , dispersia se înmulțește cu $k^{2}$ . Exemplu: temperaturile $18$ , $20$ , $22$ °C au media $20$ și dispersia $\frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}$ . În grade Fahrenheit, $F = 1, 8 C + 32$ , dispersia devine $1, 8^{2} \cdot \frac{8}{3} = 8, 64$ .

Programa de examen M2 trece la statistică mediile, dispersia și abaterile față de medie, cerând interpretarea datelor prin parametri de poziție; dispersia nu este, așadar, material facultativ.

Definiția. Dispersia, numită și varianță, mediază pătratele abaterilor față de medie: $σ^{2} = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ . Ea nu scade niciodată sub zero și se măsoară în pătratul unității datelor, în vreme ce rădăcina ei, $σ$ , readuce rezultatul la unitatea lor. Abaterile se adună întotdeauna la $0$ — de aceea sunt ridicate la pătrat înainte de mediere, iar totalul coloanei de abateri rămâne cel mai bun control al calculului.

Formula scurtă este $σ^{2} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ : media pătratelor fără pătratul mediei. Când datele vin grupate, fiecare valoare și pătratul ei intră cu ponderea dată de frecvența lor, iar la numitor stă numărul total de date, nu câte valori distincte apar în tabel.

Transformările. Mutarea tuturor datelor cu același număr lasă dispersia neatinsă, așa că la valori mari poți scădea din toate un număr rotund; înmulțirea lor cu $k$ o înmulțește pe ea cu $k^{2}$ . Capcana dintâi: pătratul mediei se scade din media pătratelor, nu invers — un rezultat negativ este cu neputință aici și te oprește pe loc.

De reținut

$σ^{2}$ este media pătratelor abaterilor față de medie
adunarea unei constante nu schimbă dispersia
înmulțirea datelor cu $k$ înmulțește dispersia cu $k^{2}$

Greșeala tipică

Se crede că, dacă înmulțești datele cu $3$ , dispersia se triplează; ea se înmulțește cu $3^{2} = 9$ , pentru că fiecare abatere se triplează înainte de a fi ridicată la pătrat.

Exerciții din această mini-lecție

Care este dispersia setului de date $4$ , $7$ , $10$ , $13$ , $16$ ?
- a) $10$
- b) $18$
- c) $90$
- d) $4, 24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $18$

Media este $10$ , abaterile sunt $- 6, - 3, 0, 3, 6$ , iar suma pătratelor lor este $90$ , deci $σ^{2} = \frac{90}{5} = 18$ . Varianta c) se oprește la suma pătratelor, fără să împartă la $n$ , iar d) este abaterea standard $18$ .
Cât este suma abaterilor de la medie ale unui set de date?
- a) $0$ , oricare ar fi datele
- b) egală cu media setului
- c) egală cu dispersia
- d) depinde de date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$ , oricare ar fi datele

Suma abaterilor este $(x_{1} + \dots + x_{n}) - n \overset{x}{ˉ}$ , iar prin definiția mediei $x_{1} + \dots + x_{n} = n \overset{x}{ˉ}$ , deci totalul e $0$ pentru orice set. Tocmai de aceea media abaterilor nu deosebește două seturi și se trece la pătrate.
Un set de date are media $8$ , iar media pătratelor valorilor este $80$ . Cât este dispersia?
- a) $16$
- b) $- 16$
- c) $72$
- d) $144$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $16$

Formula rapidă dă $σ^{2} = 80 - 8^{2} = 80 - 64 = 16$ . Varianta b) inversează termenii ( $\overset{x}{ˉ}^{2} -$ media pătratelor) și obține un număr negativ, imposibil pentru o dispersie.

Întrebări conexe

Cum calculez dispersia unor date cu valori mari?

Scazi din toate un număr rotund, fiindcă translația nu schimbă dispersia. Pachetele de $1003$ , $1005$ , $1009$ și $1011$ g devin $3$ , $5$ , $9$ , $11$ , cu media $7$ și abaterile $- 4$ , $- 2$ , $2$ , $4$ . Dispersia este $\frac{16 + 4 + 4 + 16}{4} = 10$ g².

Când este dispersia unui set de date egală cu zero?

Numai când toate valorile sunt egale. Dispersia este o medie de pătrate, care nu sunt negative, deci ea este zero doar dacă fiecare abatere este zero, adică fiecare valoare coincide cu media. Setul $6$ , $6$ , $6$ are dispersia $0$ .

Ce este dispersia de eșantion, cu împărțire la $n - 1$ ?

Este varianta notată $s^{2}$ , folosită când datele sunt un eșantion și se estimează împrăștierea populației. Pentru $3$ , $5$ , $9$ , $11$ , suma pătratelor abaterilor este $40$ : dispersia cu $n$ este $10$ , iar dispersia de eșantion este $\frac{40}{3} \approx 13, 33$ . Formula trebuie numită explicit când o folosești.

Cum aflu media pătratelor din medie și dispersie?

Din formula rapidă, media pătratelor este $σ^{2} + \overset{x}{ˉ}^{2}$ . Dacă un set are media $6$ și dispersia $4$ , media pătratelor valorilor este $4 + 36 = 40$ ; pentru $10$ date, suma pătratelor lor este $400$ .

Ce se întâmplă cu dispersia dacă adaug o valoare egală cu media?

Dispersia scade: suma pătratelor abaterilor rămâne aceeași, dar se împarte la mai multe date. La $3$ , $5$ , $9$ , $11$ dispersia este $\frac{40}{4} = 10$ ; adăugând $7$ , media rămâne $7$ , iar dispersia devine $\frac{40}{5} = 8$ .

Ce unitate de măsură are dispersia unor mase în grame?

Are pătratul unității datelor, adică g², pentru că provine din abateri ridicate la pătrat. De aceea nu se compară direct cu media: o dispersie de $9$ g² corespunde unei abateri standard de $3$ g, care are aceeași unitate ca datele.

Oamenii mai întreabă și: dispersia după o translație a datelor · dispersia datelor înmulțite cu un număr · proprietățile dispersiei · ce se întâmplă cu dispersia dacă adun o constantă · dispersia când schimb unitatea de măsură