Abaterea standard: formulă și interpretare (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La laboratorul de fizică lași un con de hârtie, făcut dintr-o foaie rulată, să cadă de pe un dulap până pe podea și cronometrezi de șase ori aceeași cădere. Nu obții de șase ori același timp: mâna pornește cronometrul puțin mai devreme sau mai târziu, conul se leagănă puțin altfel în aer. Un fizician nu scrie în raport o singură cifră, ci „ $2, 4 \pm 0, 3$ secunde” — media, însoțită de un număr care spune cât de mult se împrăștie măsurătorile în jurul ei. Numărul acela este abaterea standard, iar lecția de față, din programa clasei a X-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum se calculează și cum se citește. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa cere formula abaterii standard și interpretarea ei. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema prin „dispersia” și „abaterile de la medie”, din care abaterea standard se obține printr-un radical.

În lecția despre diagrama boxplot ai măsurat împrăștierea cu lungimi de pe axă, iar în cea despre cuartile și amplitudine cu diferențe între două valori. Ambele ignoră aproape toate datele. Abaterea standard le folosește pe toate, și de aceea e mărimea pe care o întâlnești în orice raport de laborator.

Ce vei învăța

Vei ști ce este diferența dintre o valoare și media setului (abaterea valorii) și ce este abaterea standard $σ$ a unui set de date.
Vei calcula $σ$ pas cu pas, cu tabelul abaterilor și cu controlul sumei lor.
Vei citi rezultatul: unitatea de măsură, cazul $σ = 0$ , scrierea „medie $\pm$ abatere standard” și câte date cad în intervalul $[\overset{x}{ˉ} - σ, \overset{x}{ˉ} + σ]$ .
Vei vedea de ce o singură valoare depărtată poate schimba mult abaterea standard.
Vei ști ce spune abaterea standard calculată pe un eșantion și cum verifici ce numitor a folosit o foaie de calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este abaterea standard?

Pentru o valoare $x_{i}$ a unui set cu media $\overset{x}{ˉ}$ , diferența $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ se numește abaterea valorii față de medie: pozitivă pentru valorile de deasupra mediei, negativă pentru cele de dedesubt. Abaterea standard a unui set de date este numărul $σ$ definit, pentru $n$ valori numerice $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ cu media $\overset{x}{ˉ}$ , prin

$σ = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n} .$

Cu vorbe: ridici la pătrat fiecare abatere, faci media acestor pătrate și extragi rădăcina pătrată. Litera $σ$ se citește „sigma”. Numele spune ce face: e o abatere „tipică”, un singur număr care ține locul tuturor abaterilor, la fel cum media ține locul tuturor valorilor. În lecțiile acestui traseu abaterea standard se calculează cu formula de mai sus, cu împărțire la $n$ , fie că datele sunt un întreg, fie că sunt doar o parte din el (subsecțiunea 6).

2. De ce ridicăm abaterile la pătrat?

Cei șase timpi ai conului, în secunde, sunt $2, 0; 2, 2; 2, 2; 2, 5; 2, 6; 2, 9$ . Suma lor este $14, 4$ , deci media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{14 , 4}{6} = 2, 4$ secunde, iar abaterile sunt $- 0, 4; - 0, 2; - 0, 2; 0, 1; 0, 2; 0, 5$ .

Adună-le: rezultatul e $0$ . Nu e o coincidență — pentru orice set, abaterile negative le compensează exact pe cele pozitive; demonstrația, de un rând, o găsești în lecția despre dispersia și abaterile de la medie. De aici două lucruri. Media simplă a abaterilor este mereu $0$ , deci nu măsoară nimic. În schimb, suma lor îți dă un control gratuit: dacă totalul coloanei de abateri nu e $0$ , ai greșit media sau o scădere.

Ridicarea la pătrat face toate abaterile nenegative și le păstrează mărimea: o abatere de $0, 5$ secunde contează de $25$ de ori mai mult decât una de $0, 1$ . Radicalul de la final readuce rezultatul în unitatea datelor — secunde, nu „secunde la pătrat”.

3. Cum se calculează pas cu pas?

Ordinea e mereu aceeași: media, abaterile, controlul sumei, pătratele, suma pătratelor, împărțirea la $n$ , radicalul. Pentru timpii conului:

$x_{i}$ (s)	$2, 0$	$2, 2$	$2, 2$	$2, 5$	$2, 6$	$2, 9$	total
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 0, 4$	$- 0, 2$	$- 0, 2$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 5$	$0$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$0, 16$	$0, 04$	$0, 04$	$0, 01$	$0, 04$	$0, 25$	$0, 54$

Împarți suma pătratelor la $n = 6$ și extragi radicalul: $σ = \frac{0 , 54}{6} = 0, 09 = 0, 3$ secunde. Rezultatul de laborator se scrie $2, 4 \pm 0, 3$ s: media, apoi abaterea standard, cu aceeași unitate și cu aceeași ultimă zecimală ca măsurătorile.

Cei șase timpi ai conului pe axă: media 2,4 s și banda de la 2,1 la 2,7 s, adică media plus-minus abaterea standard de 0,3 s.

4. Ce spune numărul obținut?

Unitatea. Abaterea standard se exprimă în unitatea datelor. „ $σ = 0, 3$ ” fără unitate nu e un rezultat.

Semnul. Fiind rădăcina unei medii de pătrate, $σ \geq 0$ . Egalitatea $σ = 0$ are loc numai când toate pătratele sunt nule, adică numai când toate valorile sunt egale cu media — un set fără nicio variație.

Mărimea. Un $σ$ mic față de medie înseamnă măsurători strânse; unul mare, măsurători răsfirate. La con, $0, 3$ secunde e de același ordin cu întârzierea unei mâini care apasă cronometrul, deci o bună parte din împrăștiere vine din pornirea și oprirea manuală; restul vine din legănarea conului în aer. Un senzor cu fotocelulă ar arăta cât din $σ$ ține de mână. Un reper concret este intervalul $[\overset{x}{ˉ} - σ, \overset{x}{ˉ} + σ]$ : la con, $[2, 1; 2, 7]$ secunde. În el cad patru dintre cele șase măsurători ( $2, 2$ ; $2, 2$ ; $2, 5$ ; $2, 6$ ). Numărul acesta nu e fixat de nicio regulă; la seturi mici poate varia mult, dar îți arată cât de „largă” e porțiunea tipică de lângă medie.

Limita de sus. Abaterea standard nu poate depăși cea mai mare abatere în modul: fiecare pătrat din sumă e cel mult pătratul celei mai mari abateri, deci și media lor. La con, cea mai mare abatere este $0, 5$ , iar $0, 3 < 0, 5$ . Controlul acesta prinde multe greșeli de calcul.

5. De ce contează atât de mult o valoare depărtată?

Punctele izolate din diagrama boxplot sunt valori depărtate; aici vezi cât cântărește o astfel de valoare în abaterea standard. Să presupunem că, la copierea în caiet, ultimul timp a fost scris $9, 2$ în loc de $2, 9$ . Setul devine $2, 0; 2, 2; 2, 2; 2, 5; 2, 6; 9, 2$ , cu media $\overset{x}{ˉ} = \frac{20 , 7}{6} = 3, 45$ secunde. Abaterea valorii greșite este $9, 2 - 3, 45 = 5, 75$ , iar pătratul ei, $33, 0625$ , reprezintă singur mai mult de patru cincimi din suma pătratelor, care este $39, 915$ . Abaterea standard sare de la $0, 3$ la $\frac{39 , 915}{6} \approx 2, 58$ secunde.

Ridicarea la pătrat, care face utilă abaterea standard, o face și vulnerabilă: o abatere de zece ori mai mare contează de o sută de ori mai mult. În laborator, un $σ$ neașteptat de mare e primul semn că trebuie recitite datele. Valoarea suspectă nu se șterge însă după preferință: se caută cauza (o cifră copiată greșit, un aparat pornit prea târziu), iar dacă nu există una, măsurătoarea rămâne în set și se spune în raport că împrăștierea e mare. Mărimile construite din poziții, ca abaterea intercuartilică din lecția despre cuartile, abia simt o astfel de valoare.

6. Ce se schimbă când datele sunt un eșantion?

Uneori măsori doar o parte dintr-un întreg — câteva plante dintr-o seră, câteva probe dintr-un lac — și vrei să spui ceva despre întreg. Cei șase timpi ai conului pot fi priviți chiar așa: sunt șase încercări dintr-un șir, în principiu nesfârșit, de căderi posibile. Setul tău este atunci un eșantion. Abaterea standard se calculează tot cu împărțire la $n$ : ea descrie împrăștierea valorilor pe care le ai și doar aproximează împrăștierea întregului. Că abaterea standard a unui eșantion poate diferi de cea a populației se vede cel mai bine luând mai multe eșantioane din același întreg — asta faci în lecția despre eșantionare.

O observație pentru lucrul cu aplicațiile: în statistica de eșantion se folosește și o variantă cu numitorul $n - 1$ , notată $s$ , puțin mai mare decât $σ$ pe aceleași valori; la timpii conului ar da $\frac{0 , 54}{5} \approx 0, 33$ secunde. În foile de calcul (Excel, Google Sheets, LibreOffice), funcția STDEV.P împarte la $n$ și dă $σ$ , iar STDEV.S împarte la $n - 1$ ; în GeoGebra, comanda SD dă $σ$ , iar SampleSD varianta cu $n - 1$ . Înainte de a copia un rezultat, verifică ce numitor a folosit programul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet

Lungimile, în milimetri, a $8$ ace de tisă culese de pe aceeași ramură sunt $12, 13, 16, 17, 19, 21, 22, 24$ . Calculează abaterea standard.

Rezolvare. Suma este $144$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{144}{8} = 18$ mm.

$x_{i}$	$12$	$13$	$16$	$17$	$19$	$21$	$22$	$24$	total
$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$- 6$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$1$	$3$	$4$	$6$	$0$
$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$	$36$	$25$	$4$	$1$	$1$	$9$	$16$	$36$	$128$

Controlul sumei abaterilor dă $0$ . Suma pătratelor este $128$ , deci $σ = \frac{128}{8} = 16 = 4$ mm. Rezultatul se scrie $18 \pm 4$ mm. Verificarea de mărime: cea mai mare abatere este $6$ , iar $4 < 6$ . Pentru un biolog, cifra spune că acele de pe aceeași ramură nu sunt deloc identice: o diferență de câțiva milimetri față de lungimea medie e obișnuită.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Cinci colegi și-au numărat respirațiile într-un minut, în repaus: $12, 14, 15, 17, 22$ . Un elev a calculat media $16$ , abaterile $- 4, - 2, - 1, 1, 6$ , apoi a scris pătratele $- 16, - 4, - 1, 1, 36$ , cu suma $16$ , și a obținut $σ = \frac{16}{5} \approx 1, 79$ respirații pe minut. Unde a greșit și cât este rezultatul corect?

Rezolvare. Media și abaterile sunt corecte: suma setului este $80$ , iar suma abaterilor este $0$ . Greșeala e la pătrate: pătratul unui număr negativ este pozitiv, deci $(- 4)^{2} = 16$ , $(- 2)^{2} = 4$ , $(- 1)^{2} = 1$ . Pătratele corecte sunt $16, 4, 1, 1, 36$ , cu suma $58$ , deci

$σ = \frac{58}{5} = 11, 6 \approx 3, 41 respira ț ii pe minut .$

Semnalul de alarmă exista: un „pătrat” negativ nu poate apărea, iar abaterea $6$ singură dă deja $\frac{36}{5} \approx 2, 68$ , mai mult decât $1, 79$ .

Exemplul 3 — Decizia unui laborator

Un laborator de control verifică un lot de tuburi de pastă de dinți cu masa nominală de $250$ g. Șase tuburi cântărite au, în grame, $246, 247, 250, 251, 252, 254$ . Lotul se acceptă dacă media e între $248$ și $252$ g și abaterea standard nu depășește $3$ g. Se acceptă lotul?

Rezolvare. Suma este $1500$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{1 500}{6} = 250$ g, în intervalul cerut. Abaterile sunt $- 4, - 3, 0, 1, 2, 4$ (suma $0$ ), iar suma pătratelor lor este $16 + 9 + 0 + 1 + 4 + 16 = 46$ . Atunci

$σ = \frac{46}{6} \approx 2, 77 g .$

Cum $2, 77 < 3$ , lotul se acceptă. Observă că ambele condiții contează: un lot cu media exactă, dar cu tuburi de $240$ și $260$ g, ar fi respins pentru abaterea standard.

Exemplul 4 — Ce a calculat programul?

Pentru setul $18, 21, 22, 25, 29$ , o foaie de calcul a afișat abaterea standard $4, 18$ . A fost folosită funcția STDEV.P sau STDEV.S?

Rezolvare. Media este $\frac{115}{5} = 23$ , abaterile $- 5, - 2, - 1, 2, 6$ , iar suma pătratelor $25 + 4 + 1 + 4 + 36 = 70$ . Cu împărțire la $n = 5$ : $σ = 14 \approx 3, 74$ . Cu împărțire la $n - 1 = 4$ : $s = 17, 5 \approx 4, 18$ . Valoarea afișată este $s$ , deci funcția folosită a fost STDEV.S. După convenția lecțiilor noastre, care împart la $n$ , rezultatul de raportat este $3, 74$ ; diferența de aproape jumătate de unitate nu e o eroare de rotunjire, ci de formulă.

Exemplul 5 — Estimare înainte de calcul

Timpii, în secunde, în care șase colegi și-au ținut respirația au fost $38, 41, 42, 42, 43, 46$ . Fără să faci tot calculul, alege valoarea plauzibilă a abaterii standard dintre $0, 4$ , $2, 4$ și $6, 4$ secunde. Verifică apoi prin calcul.

Rezolvare. Media este $\frac{252}{6} = 42$ , iar abaterile sunt $- 4, - 1, 0, 0, 1, 4$ . Cea mai mare abatere în modul este $4$ , deci $σ \leq 4$ : valoarea $6, 4$ cade. Pe de altă parte, două dintre pătrate sunt $16$ fiecare, deci suma pătratelor e cel puțin $32$ și $σ \geq \frac{32}{6} \approx 2, 31$ : valoarea $0, 4$ cade. Rămâne $2, 4$ . Calculul complet: suma pătratelor este $16 + 1 + 0 + 0 + 1 + 16 = 34$ , deci $σ = \frac{34}{6} \approx 2, 38$ secunde, care se rotunjește la $2, 4$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Un ornitolog a numărat, în șase nopți, câte strigăte ale unei bufnițe se aud într-un sfert de oră: $15, 18, 20, 20, 23, 24$ .

a) Calculează media numărului de strigăte.

b) Calculează abaterea standard a setului.

c) În a șaptea noapte s-au numărat $27$ de strigăte. Calculează noua medie și arată că abaterea standard a crescut.

Rezolvare. a) Suma este $120$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{120}{6} = 20$ de strigăte.

b) Abaterile sunt $- 5, - 2, 0, 0, 3, 4$ (suma $0$ ), iar suma pătratelor lor este $25 + 4 + 0 + 0 + 9 + 16 = 54$ . Deci $σ = \frac{54}{6} = 9 = 3$ strigăte.

c) Noul set $15, 18, 20, 20, 23, 24, 27$ are suma $147$ , deci media $\frac{147}{7} = 21$ de strigăte. Abaterile față de $21$ sunt $- 6, - 3, - 1, - 1, 2, 3, 6$ , iar suma pătratelor lor este $36 + 9 + 1 + 1 + 4 + 9 + 36 = 96$ . Noua abatere standard este $\frac{96}{7} \approx 3, 70 > 3$ strigăte, deci a crescut: valoarea adăugată stă departe de vechea medie.

Să exersăm

Scrie întâi media, apoi coloana abaterilor și controlează-i suma; abia apoi ridică la pătrat. Împarte la numărul de valori și scrie mereu unitatea.

1. Calculează abaterea standard a setului $28, 31, 33, 33, 33, 34$ .

2. Grosimea stratului de frunze moarte, măsurată în șase puncte ale unei păduri, a fost, în centimetri, $3, 4; 3, 6; 3, 7; 4, 2; 4, 2; 4, 9$ . Calculează media și abaterea standard și scrie rezultatul sub forma „medie $\pm$ abatere standard”.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Abaterea standard a setului $6, 6, 6, 6, 6, 12$ este mai mare decât $2$ .”

4. Timpii, în minute, în care s-a încheiat fermentația în patru eprubete sunt $16, 19, 21, 24$ . Calculează abaterea standard. O a cincea eprubetă termină în exact $20$ de minute. Calculează noua abatere standard și explică de ce a scăzut.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unei cafele la cele $20$ de automate dintr-o universitate este dat în tabel. a) Calculează prețul mediu. b) Calculează abaterea standard a prețurilor.

Prețul (lei)	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Număr de automate	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

6. Pentru $10$ măsurători, abaterea standard este $σ = 3$ . Cât este suma pătratelor abaterilor față de medie? Un alt set, de $40$ de măsurători, are aceeași sumă a pătratelor abaterilor. Cât este abaterea lui standard?

7. Lungimile, în centimetri, ale rădăcinii principale la $8$ plante de porumb sunt $22, 24, 26, 30, 33, 35, 35, 35$ . Calculează $\overset{x}{ˉ}$ și $σ$ . Cu câte abateri standard se abate de la medie rădăcina cea mai scurtă? Dar cea mai lungă?

8. (Problemă aplicată.) Diametrele, în milimetri, a șase boabe de mazăre dintr-o păstaie au fost $7, 5; 7, 6; 7, 8; 8, 1; 8, 5; 8, 5$ . Scrie rezultatul sub forma „medie $\pm$ abatere standard” și precizează ce boabe cad în afara benzii $[\overset{x}{ˉ} - σ, \overset{x}{ˉ} + σ]$ .

9. Setul $5, 9, 16, x$ are patru valori, cu $x$ număr natural. Pentru ce valoare a lui $x$ abaterea standard este cea mai mică? Calcul-o.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră datele statistice $7, 11, 11, 15, 16$ . a) Calculează media. b) Calculează abaterea standard.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că abaterea standard a setului de date $14, 17, 21, 23, 25$ este egală cu $4$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un elev și-a notat cât a cheltuit pe gustări în cinci zile de școală: $4, 8, 12, 12, 14$ lei. a) Calculează cheltuiala medie. b) Calculează abaterea standard. c) Scrie rezultatul sub forma „medie $\pm$ abatere standard”, cu o zecimală.

13. Înălțimile, în centimetri, a șapte ghiocei din aceeași tufă au fost $6, 2; 6, 3; 6, 4; 6, 5; 6, 5; 6, 7; 6, 9$ . Calculează media și abaterea standard, rotunjită la două zecimale.

14. Un set are $2 k$ valori: $k$ dintre ele sunt egale cu $m - d$ , iar celelalte $k$ cu $m + d$ , unde $d > 0$ . Arată că media este $m$ și abaterea standard este $d$ .

15. Înălțimile, în centimetri, a cinci răsaduri de roșii sunt $10, 13, 14, 16, 22$ . Calculează media și abaterea standard. Se adaugă două răsaduri, de $11$ cm și de $19$ cm. Arată că abaterea standard nu se schimbă și explică de ce.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Lotul A are valorile $5$ și $9$ , iar lotul B valorile $21$ și $25$ . Calculează abaterea standard a fiecărui lot și abaterea standard a celor patru valori luate împreună.

17. Timpul de cădere al unei bile lăsate să cadă de la $20$ m, măsurat de cinci ori cu un senzor, a fost, în secunde, $2, 01; 2, 03; 2, 04; 2, 04; 2, 08$ . Calculează abaterea standard și scrie-o cu trei zecimale.

18. (Provocare.) Găsește toate seturile de $4$ numere naturale cu media $5$ și abaterea standard $3$ .

Răspunsuri și explicații

1. Suma este $192$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 32$ . Abaterile sunt $- 4, - 1, 1, 1, 1, 2$ (suma $0$ ), pătratele $16, 1, 1, 1, 1, 4$ , cu suma $24$ . Atunci $σ = \frac{24}{6} = 4 = 2$ .

2. Cu suma $24$ , media este $\overset{x}{ˉ} = 4$ cm. Față de ea, valorile se abat cu $- 0, 6; - 0, 4; - 0, 3; 0, 2; 0, 2; 0, 9$ ; pătratele adunate dau $0, 36 + 0, 16 + 0, 09 + 0, 04 + 0, 04 + 0, 81 = 1, 5$ . Deci $σ = \frac{1 , 5}{6} = 0, 25 = 0, 5$ cm, iar rezultatul se scrie $4, 0 \pm 0, 5$ cm. Pentru un ecolog care estimează cantitatea de materie organică, cifra contează: în unele puncte stratul e sensibil mai subțire decât media.

3. Adevărat. Media este $\frac{42}{6} = 7$ ; cinci abateri sunt $- 1$ și una este $5$ , deci suma pătratelor este $5 + 25 = 30$ și $σ = \frac{30}{6} = 5 \approx 2, 24 > 2$ . O singură valoare diferită ajunge ca împrăștierea să treacă de $2$ , deși cinci valori sunt identice.

4. Media este $\frac{80}{4} = 20$ de minute, abaterile $- 4, - 1, 1, 4$ , iar suma pătratelor lor este $16 + 1 + 1 + 16 = 34$ , deci $σ = \frac{34}{4} = 8, 5 \approx 2, 92$ minute. A cincea eprubetă are exact media, deci media rămâne $20$ , iar abaterea ei este $0$ : suma pătratelor rămâne $34$ , dar se împarte acum la $5$ . Noua abatere standard este $\frac{34}{5} = 6, 8 \approx 2, 61$ minute. O valoare egală cu media adaugă o dată fără nicio abatere, deci micșorează abaterea „tipică”.

5. a) Suma prețurilor este $2 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + 2 \cdot 9 = 140$ de lei, deci prețul mediu este $\frac{140}{20} = 7$ lei. b) Abaterile prețurilor sunt $- 2, - 1, 0, 1, 2$ , iar fiecare pătrat se ia de atâtea ori câte automate au prețul respectiv: $2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 26$ . Deci $σ = \frac{26}{20} = 1, 3 \approx 1, 14$ lei. Împărțirea se face la cele $20$ de automate, nu la cele $5$ prețuri distincte, ca în lecția despre dispersia și abaterile de la medie.

6. Din $σ^{2} = \frac{S}{n}$ , suma pătratelor abaterilor este $S = n \cdot σ^{2} = 10 \cdot 9 = 90$ . Pentru al doilea set, $σ = \frac{90}{40} = 2, 25 = 1, 5$ : aceeași sumă a pătratelor, împărțită la de patru ori mai multe valori, dă o abatere standard de două ori mai mică.

7. Suma este $240$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 30$ cm. Abaterile sunt $- 8, - 6, - 4, 0, 3, 5, 5, 5$ , cu suma pătratelor $64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + 25 + 25 = 200$ , deci $σ = \frac{200}{8} = 25 = 5$ cm. Rădăcina de $22$ cm stă cu $8$ cm sub medie, adică $\frac{8}{5} = 1, 6$ abateri standard; cele de $35$ cm stau cu $5$ cm peste medie, adică exact o abatere standard. Distanța măsurată în abateri standard spune cât de neobișnuită e o valoare în setul ei.

8. Suma este $48$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 8$ mm. Cu abaterile $- 0, 5; - 0, 4; - 0, 2; 0, 1; 0, 5; 0, 5$ , suma pătratelor devine $0, 25 + 0, 16 + 0, 04 + 0, 01 + 0, 25 + 0, 25 = 0, 96$ . Deci $σ = \frac{0 , 96}{6} = 0, 16 = 0, 4$ mm, iar rezultatul este $8, 0 \pm 0, 4$ mm. Banda este $[7, 6; 8, 4]$ mm; în afara ei cad boabele de $7, 5$ , $8, 5$ și $8, 5$ mm, adică $3$ boabe.

9. Suma pătratelor abaterilor e cea mai mică atunci când a patra valoare stă chiar în mijlocul celorlalte, adică este egală cu media lor, $\frac{5 + 9 + 16}{3} = 10$ . Pentru $x = 10$ , media setului este $10$ , abaterile $- 5, - 1, 6, 0$ , suma pătratelor $25 + 1 + 36 + 0 = 62$ , iar $σ = \frac{62}{4} = 15, 5 \approx 3, 94$ . Pentru $x = 9$ sau $x = 11$ , abaterea standard iese deja mai mare.

10. a) Suma este $60$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 12$ . b) Abaterile sunt $- 5, - 1, - 1, 3, 4$ , suma pătratelor $25 + 1 + 1 + 9 + 16 = 52$ , iar $σ = \frac{52}{5} = 10, 4 \approx 3, 22$ .

11. Suma este $100$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 20$ . Abaterile sunt $- 6, - 3, 1, 3, 5$ (suma $0$ ), iar suma pătratelor lor este $36 + 9 + 1 + 9 + 25 = 80$ . Deci $σ = \frac{80}{5} = 16 = 4$ .

12. a) Media este $\frac{50}{5} = 10$ lei. b) Abaterile sunt $- 6, - 2, 2, 2, 4$ , cu suma pătratelor $36 + 4 + 4 + 4 + 16 = 64$ , deci $σ = \frac{64}{5} = 12, 8 \approx 3, 58$ lei. c) $10, 0 \pm 3, 6$ lei: în cele mai multe zile, cheltuiala s-a abătut de la medie cu câțiva lei.

13. Cu suma $45, 5$ , media este $\overset{x}{ˉ} = 6, 5$ cm, iar abaterile, $- 0, 3; - 0, 2; - 0, 1; 0; 0; 0, 2; 0, 4$ , au pătratele cu suma $0, 09 + 0, 04 + 0, 01 + 0 + 0 + 0, 04 + 0, 16 = 0, 34$ . Deci $σ = \frac{0 , 34}{7} \approx 0, 22$ . Ghioceii au înălțimi foarte apropiate: abaterea tipică de la medie este de circa doi milimetri.

14. Suma valorilor este $k (m - d) + k (m + d) = 2 k m$ , deci media este $m$ . Fiecare abatere este $- d$ sau $d$ , deci fiecare pătrat este $d^{2}$ , suma pătratelor este $2 k \cdot d^{2}$ , iar $σ = \frac{2 k d ^{2}}{2 k} = d$ .

15. Suma este $75$ , deci media este $15$ cm; abaterile $- 5, - 2, - 1, 1, 7$ au suma pătratelor $25 + 4 + 1 + 1 + 49 = 80$ , deci $σ = \frac{80}{5} = 16 = 4$ cm. Răsadurile noi au împreună $30$ cm, deci media celor șapte rămâne $\frac{105}{7} = 15$ cm; abaterile lor sunt $- 4$ și $4$ , cu pătratele $16$ și $16$ . Suma pătratelor devine $80 + 32 = 112$ , iar $σ = \frac{112}{7} = 16 = 4$ cm. Fiecare valoare nouă stă exact la o abatere standard de medie, deci pătratul abaterii ei este chiar $σ^{2}$ , iar media pătratelor nu se schimbă.

16. Lotul A: media $7$ , abaterile $- 2$ și $2$ , deci $σ_{A} = \frac{8}{2} = 2$ . Lotul B: media $23$ , la fel $σ_{B} = 2$ . Împreună: media $\frac{60}{4} = 15$ , abaterile $- 10, - 6, 6, 10$ , suma pătratelor $100 + 36 + 36 + 100 = 272$ , deci $σ = \frac{272}{4} = 68 \approx 8, 25$ — mult mai mult decât $2$ , pentru că la reunire contează și distanța dintre cele două medii.

17. Suma este $10, 2$ , deci $\overset{x}{ˉ} = 2, 04$ s. Abaterile sunt $- 0, 03; - 0, 01; 0; 0; 0, 04$ , iar suma pătratelor $0, 0009 + 0, 0001 + 0 + 0 + 0, 0016 = 0, 0026$ . Deci $σ = \frac{0 , 0026}{5} = 0, 00052 \approx 0, 023$ s. Măsurătorile au două zecimale, deci a treia zecimală a abaterii standard e ultima care mai are sens.

18. Suma valorilor trebuie să fie $20$ , iar suma pătratelor abaterilor $4 \cdot 9 = 36$ . Căutăm patru abateri întregi, fiecare cel puțin $- 5$ (valorile sunt naturale), cu suma $0$ și suma pătratelor $36$ . Singurele posibilități sunt ${- 3, - 3, 3, 3}$ , ${- 5, 1, 1, 3}$ și ${- 3, - 1, - 1, 5}$ , care dau seturile $2, 2, 8, 8$ ; $0, 6, 6, 8$ și $2, 4, 4, 10$ . Pentru primul: $σ = \frac{9 + 9 + 9 + 9}{4} = 3$ .

De reținut

Abaterea standard este $σ = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ : rădăcina mediei pătratelor abaterilor față de medie, exprimată în unitatea datelor.
Calculul are ordinea fixă: media, abaterile, controlul sumei abaterilor, care e $0$ , pătratele, suma lor, împărțirea la $n$ , radicalul.
$σ \geq 0$ , iar $σ = 0$ numai când toate valorile sunt egale; $σ$ nu depășește niciodată cea mai mare abatere în modul.
Rezultatul unei măsurători repetate se scrie „ $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ ”, cu aceeași unitate; o singură valoare depărtată poate mări mult abaterea standard.
Pe un eșantion, abaterea standard calculată cu împărțire la $n$ descrie valorile măsurate și doar aproximează împrăștierea întregului; o foaie de calcul poate împărți și la $n - 1$ , de aceea verifici numitorul folosit.

Greșeli frecvente

Pătratul unei abateri negative scris negativ. $(- 4)^{2}$ este $16$ , nu $- 16$ . Un „pătrat” negativ în tabel e semn sigur de greșeală, iar suma pătratelor iese atunci prea mică.
Radicalul extras din fiecare pătrat, înainte de medie. Dacă iei rădăcina fiecărui pătrat și apoi faci media, obții media distanțelor până la medie, un alt număr, nu abaterea standard. Radicalul se aplică o singură dată, la final.
Amplitudinea luată drept abatere standard. Diferența dintre maxim și minim descrie capetele; abaterea standard nu depășește niciodată jumătate din amplitudine și depinde de toate valorile.
Abateri calculate față de valoarea nominală. Într-un control de calitate, elevul scade $250$ g (valoarea de pe etichetă) în loc de media măsurată. Formula cere media setului; valoarea nominală intră abia la comparația finală.
Abaterea standard citită ca valoare a datelor. „ $σ = 4$ mm” nu înseamnă că acele au în jur de $4$ mm, ci că se abat, în medie, cu câțiva milimetri de lungimea lor medie.

Aplică acasă

Zece secunde fără ceas. Pornește cronometrul telefonului fără să te uiți la el și oprește-l când crezi că au trecut exact zece secunde. Repetă de zece ori, apoi calculează media și abaterea standard a timpilor și scrie rezultatul „ $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ ”.
Cântarul din bucătărie. Cântărește de opt ori același pachet, ridicându-l de fiecare dată de pe cântar. Calculează abaterea standard a citirilor: ea măsoară cât de fidel e cântarul, nu cât de greu e pachetul.
Pașii pe aceeași distanță. Numără de zece ori câți pași faci pe holul casei, de la un capăt la altul. Calculează media și abaterea standard, apoi repetă cu ochii închiși și compară cele două abateri standard.

Pentru părinți și profesori

Abaterea standard este primul indicator de împrăștiere care folosește toate datele. Lecția fixează algoritmul (tabelul abaterilor și controlul sumei lor), interpretarea rezultatului în unitatea datelor și scrierea „medie $\pm$ abatere standard”, obișnuită în laboratoarele de fizică, chimie și biologie. Varianta cu $n - 1$ din foile de calcul apare doar ca observație; comparația dintre eșantion și populație se lucrează pe larg la eșantionare.

O activitate care merge bine în laborator: fiecare grupă cronometrează de zece ori același fenomen (căderea unui con de hârtie, golirea unei seringi), apoi grupele își scriu rezultatele „medie $\pm$ abatere standard” pe tablă. Discuția despre de ce abaterile standard diferă între grupe duce singură la ideea de precizie a metodei.

Întrebări utile la clasă: „Ce control faci după coloana abaterilor?”; „În ce unitate e rezultatul?”; „Poate $σ$ să fie mai mare decât cea mai mare abatere?”. Semnul că elevul a înțeles: scrie unitatea fără să i se ceară și recunoaște un rezultat imposibil. Legătura cu clasa a IX-a este modulul, cu care se măsoară cât de departe stă o valoare de medie, din lecția despre modulul unui număr real. Pasul următor este compararea a două seturi de date, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: abaterea standard, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” cere „abatere standard: formulă, interpretare (abaterea standard a unui eșantion poate diferi de cea a populației)”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”. Abaterea standard este rădăcina pătrată a dispersiei, de aceea exercițiile cu $σ$ sunt marcate „tip Bacalaureat M2”. Nici programa nouă, nici cea din 2014 nu numesc varianta cu împărțire la $n - 1$ ; lecția o pomenește doar ca funcție a foilor de calcul, fără exerciții. Nota capitolului „Matematici financiare” din programa din 2014 cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiile 5 și 12 au context financiar (prețul unei cafele la automate, cheltuielile pe gustări), exercițiile 10, 11 și 16 sunt pe date numerice, iar Exemplul 6 are un context de teren. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are la Subiectul I nicio cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferă la abaterea standard între M2 și mate-info (M1)? Formula lui $σ$ și algoritmul sunt aceleași. Lecția de la științe ale naturii lucrează pe măsurători de laborator și de teren, insistă pe scrierea „medie plus-minus abatere standard” și pe controlul de mărime al rezultatului. Lecția M1 predă și formula cu $n - 1$ pentru eșantioane; la M2 abaterea standard se calculează cu împărțire la $n$ , iar dispersia are o lecție de supliment separată.

La ce subiect apare abaterea standard la bacalaureatul M2? Programa de examen din 2014 cere media, dispersia și abaterile de la medie, iar abaterea standard e radicalul dispersiei. Subiectul la care ar apărea nu se poate spune: modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, programa numește explicit abaterea standard, dar un model nu a fost încă publicat.

De ce se scrie rezultatul unei măsurători ca medie plus-minus abatere standard? Pentru că o singură cifră ar ascunde cât de sigur e rezultatul. Scrierea „ $2, 4 \pm 0, 3$ s” spune că valoarea centrală e $2, 4$ secunde, iar măsurătorile se abat de la ea cu aproximativ trei zecimi. Un cititor vede imediat dacă două rezultate, obținute în laboratoare diferite, se deosebesc cu adevărat sau doar prin zgomotul măsurării.

Poate abaterea standard să fie mai mare decât media? Da. Abaterea standard măsoară împrăștierea în jurul mediei, nu mărimea valorilor. La temperaturi de iarnă în jurul lui zero grade, media poate fi $1$ grad, iar abaterea standard $4$ grade. Singura limită sigură este că abaterea standard nu depășește cea mai mare distanță dintre o valoare și medie.

Câte zecimale scriu la abaterea standard? Cât are și măsurarea, cel mult una în plus. Dacă timpii au o zecimală, abaterea standard se dă cu una sau două zecimale; mai multe cifre sugerează o precizie pe care datele nu o au. Media din raport se scrie cu aceeași ultimă zecimală, ca cele două numere din „ $\overset{x}{ˉ} \pm σ$ ” să se potrivească.

Ce înseamnă o abatere standard mare într-un experiment? Poate însemna două lucruri diferite: fie metoda de măsurare e imprecisă, fie mărimea măsurată chiar variază de la un caz la altul, cum variază înălțimea plantelor dintr-o seră. Pentru a le deosebi, repeți măsurarea pe același obiect: dacă și atunci abaterea standard rămâne mare, problema e la instrument.