Se cunosc $$TA^2=10$$ și $$TB^2=17$$. Ce comparație este corectă?

Nu se pot compara fără zecimale.

Când este distanța dintre două puncte egală cu zero?

Când coincid ambele componente corespondente.

Când numai ordonatele coincid.

Când punctele sunt în același cadran.

Cum aflu un punct aflat la o distanță dată?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Distanța dintre două puncte în plan

Scrii ecuația distanței cu coordonata necunoscută și o rezolvi. Pentru $A (1, 2)$ și $P (x, 5)$ cu $A P = 5$ : $(x - 1)^{2} + 3^{2} = 25$ , deci $(x - 1)^{2} = 16$ , iar $x = 5$ sau $x = - 3$ . Sunt două puncte, $(5, 5)$ și $(- 3, 5)$ . Dacă s-ar cere $A P = 3$ , ar rămâne doar $x = 1$ , iar pentru $A P = 2$ nu ar exista niciun punct, fiindcă separarea verticală, $3$ , depășește distanța cerută.

Pentru două poziții date într-un reper ortonormat, lungimea segmentului se calculează prin teorema lui Pitagora. Diferențele coordonatelor dau cele două separări perpendiculare, iar distanța este rădăcina nenegativă a sumei pătratelor lor. Formula rămâne valabilă pentru segmente paralele cu axele și pentru puncte coincidente.

Distanța este zero exact când ambele componente corespondente coincid. Schimbarea ordinii capetelor inversează semnele diferențelor, dar păstrează pătratele. O lungime nu devine negativă dacă parcurgi segmentul în sens invers.

Pentru comparații poți utiliza direct pătratele distanțelor. Această simplificare este justificată de nenegativitatea lungimilor și evită aproximarea radicalilor. Precizează lista candidaților atunci când alegi punctul cel mai apropiat: un minim într-o listă nu este o afirmație despre toate punctele planului.

O distanță dată împreună cu o coordonată poate conduce la două poziții, la una singură sau la niciuna. Controlează semnele și restricțiile enunțului după rezolvare. În aplicații, adu componentele la aceeași unitate și distinge segmentul direct de drumul parcurs prin opriri intermediare. Capetele nu determină singure lungimea unui traseu arbitrar.

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , într-un reper ortonormat
o distanță dată și o coordonată pot da două puncte, unul sau niciunul
pentru comparații se folosesc pătratele distanțelor

Greșeala tipică

Se păstrează o singură soluție, de exemplu $x = 5$ , și se pierde $x = - 3$ ; ecuația $(x - 1)^{2} = 16$ are două rădăcini, iar ambele puncte sunt la distanța cerută.

Exerciții din această mini-lecție

În reper ortonormat, $A (- 1, 4)$ și $B (3, - 6)$ . Cât este $A B$ ?
- a) $14$
- b) $221$
- c) $116$
- d) $229$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $229$

Diferențele sunt patru și minus zece. Suma pătratelor este 116, iar rădăcina nenegativă este $229$ .
Se cunosc $T A^{2} = 10$ și $T B^{2} = 17$ . Ce comparație este corectă?
- a) $T A < T B$
- b) $T A > T B$
- c) $T A = T B$
- d) Nu se pot compara fără zecimale.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $T A < T B$

Distanțele sunt nenegative, astfel încât ordinea pătratelor păstrează ordinea lungimilor.
Când este distanța dintre două puncte egală cu zero?
- a) Când numai abscisele coincid.
- b) Când numai ordonatele coincid.
- c) Când coincid ambele componente corespondente.
- d) Când punctele sunt în același cadran.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Când coincid ambele componente corespondente.

Suma celor două pătrate este zero numai dacă fiecare diferență este zero.

Întrebări conexe

Ce punct de pe axa $O x$ este egal depărtat de $A (1, 3)$ și $B (5, 1)$ ?

Punctul are forma $P (x, 0)$ . Egalezi pătratele distanțelor: $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1$ . După reducere rămâne $8 x = 16$ , deci $x = 2$ și $P (2, 0)$ . Verificare: $P A^{2} = 1 + 9 = 10$ și $P B^{2} = 9 + 1 = 10$ , deci cele două distanțe sunt egale, ambele $10$ .

Cum arăt că triunghiul cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 2)$ , $C (1, 3)$ este isoscel?

Calculezi pătratele laturilor: $A B^{2} = 16 + 4 = 20$ , $A C^{2} = 1 + 9 = 10$ , $B C^{2} = 9 + 1 = 10$ . Cum $A C = B C = 10$ , triunghiul este isoscel, cu baza $A B$ . Se verifică în plus că $10 + 10 = 20$ , deci unghiul din $C$ este drept.

De ce formula distanței cere un reper ortonormat?

Formula vine din teorema lui Pitagora, care cere axe perpendiculare și aceeași unitate pe ambele. Pe un grafic cu timpul în secunde și temperatura în grade, „distanța” dintre două puncte nu are sens, pentru că ar aduna pătrate de mărimi diferite.

Cum calculez distanța dintre două localități date prin coordonate pe hartă?

Dacă localitățile au coordonatele $(12, 5)$ și $(- 4, - 7)$ , în kilometri, diferențele sunt $16$ și $12$ km. Distanța în linie dreaptă este $256 + 144 = 400 = 20$ km. Drumul real poate fi mai lung decât această valoare.

Cum verific cu distanțe că patrulaterul $A (0, 0)$ , $B (3, 4)$ , $C (8, 4)$ , $D (5, 0)$ este romb?

Calculezi cele patru laturi: $A B = 9 + 16 = 5$ , $B C = 5$ , $C D = 9 + 16 = 5$ și $D A = 5$ . Toate laturile sunt egale, deci patrulaterul este romb. Diagonalele au lungimi diferite, $80$ și $20$ , deci nu este pătrat.

Oamenii mai întreabă și: punct la distanță dată de alt punct · coordonata necunoscută când știu distanța · ecuația distanței cu necunoscută · câte puncte sunt la o distanță dată