Ecuația cercului: centru, rază, formă generală (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O picătură de cerneală lăsată pe hârtie de filtru se lățește într-o pată rotundă. Sirena din curtea școlii se aude, aproximativ la fel de tare, pe un disc în jurul ei. O colonie de bacterii pornită dintr-un punct al unui mediu de cultură ocupă tot un disc. În toate aceste situații mulțimea punctelor atinse are aceeași descriere: sunt exact punctele aflate la o distanță dată de un punct fix. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum se traduce descrierea asta într-o ecuație cu $x$ și $y$ , astfel încât întrebarea „a ajuns pata până la reperul acela?" să devină un calcul de câteva secunde. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 ecuația cercului nu apare — programa acelui examen cere din geometria analitică plană doar reperul, vectorii, distanța dintre două puncte și ecuațiile dreptei —, iar la proba MAT_P2 din 2030 ea intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a.

Ai deja tot ce îți trebuie ca să construiești singur ecuația. Din lecția despre distanța dintre două puncte în plan știi să calculezi lungimea unui segment din coordonatele capetelor, iar de la cercul — definiție și elemente, la clasa a 6-a știi că un cerc este locul punctelor egal depărtate de centru. Lecția de față nu face decât să pună cele două lucruri unul lângă altul.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii ecuația unui cerc de îndată ce îi cunoști centrul și raza, în forma $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
Vei ști să treci în ambele sensuri între forma de mai sus și forma generală $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ .
Vei ști să citești centrul și raza dintr-o ecuație generală, fie completând pătratele, fie cu formula scurtă.
Vei ști să recunoști când o ecuație de acest tip descrie un cerc adevărat, când se reduce la un punct și când nu are nicio soluție.
Vei ști să hotărăști dacă un punct se află pe cerc, în interiorul sau în exteriorul lui, printr-o singură comparație.
Vei ști să determini cercul din condiții: centru și un punct al lui, capetele unui diametru, centrul pe o axă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este ecuația unui cerc?

Cercul de centru $C (a, b)$ și rază $r > 0$ este mulțimea punctelor $M (x, y)$ din plan pentru care distanța $M C$ este egală cu $r$ ; condiția aceasta, scrisă în coordonate, se numește ecuația cercului.

Hai să o scriem. Distanța dintre $M (x, y)$ și $C (a, b)$ este $M C = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ . Condiția $M C = r$ devine

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r .$

Amândoi membrii sunt numere pozitive, așa că ridicarea la pătrat nu schimbă mulțimea soluțiilor și scapă de radical:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .$

Aceasta este forma canonică. Un punct se află pe cerc exact atunci când coordonatele lui, puse în stânga, dau numărul $r^{2}$ . Pentru centrul $C (- 2, 5)$ și raza $3$ obținem $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ : atenție, în paranteză se scade abscisa centrului, iar scăderea lui $- 2$ înseamnă adunarea lui $2$ .

Merită să te oprești o clipă asupra pasului cu ridicarea la pătrat, pentru că el este singurul loc unde s-ar putea pierde ceva. În general, din $u = v$ rezultă $u^{2} = v^{2}$ , dar invers nu: din $u^{2} = v^{2}$ mai rezultă și $u = - v$ . Aici însă $M C$ este o lungime, deci un număr pozitiv, iar raza este tot pozitivă, așa că egalitatea pătratelor nu poate veni decât din egalitatea numerelor. Prin urmare cele două ecuații au exact aceleași soluții, iar forma fără radical le spune pe toate.

2. Cum arată ecuația când centrul este originea?

Este cazul cel mai simplu și apare des în aplicații, pentru că originea reperului se alege, de obicei, chiar în sursa fenomenului: în picătura de cerneală, în sirenă, în punctul din care a pornit colonia. Cu $a = 0$ și $b = 0$ rămâne

$x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

Cercul de rază $6$ cu centrul în origine are ecuația $x^{2} + y^{2} = 36$ . Punctul $(0, - 6)$ îi aparține, pentru că $0 + 36 = 36$ . Îi aparține și punctul $(11, 5)$ , fiindcă $11 + 25 = 36$ — semn că un cerc are și puncte cu coordonate iraționale, chiar dacă la exerciții alegem, pentru comoditate, puncte cu coordonate întregi.

Reține și reciproca, fiindcă se folosește des ca verificare rapidă: o ecuație de cerc în care nu apare niciun termen de gradul întâi are neapărat centrul în origine. Într-adevăr, termenii în $x$ și în $y$ provin exclusiv din desfacerea pătratelor, iar ei dispar tocmai când $a = 0$ și $b = 0$ . Așa că, dacă alegi originea reperului chiar în sursa fenomenului pe care îl studiezi, ecuația se scurtează cu jumătate — motiv bun să te gândești unde așezi reperul înainte de a începe calculele, nu după.

3. Cum afli dacă un punct e pe cerc, în interior sau în exterior?

Aceeași expresie care dă ecuația răspunde și la întrebarea asta, fără niciun calcul în plus. Pentru cercul de centru $C (a, b)$ și rază $r$ , numărul $E (x, y) = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ este chiar pătratul distanței de la punct la centru. Prin urmare:

dacă $E (x, y) = r^{2}$ , punctul este pe cerc;
dacă $E (x, y) < r^{2}$ , punctul este în interiorul discului;
dacă $E (x, y) > r^{2}$ , punctul este în exteriorul cercului.

Comparăm pătratele distanțelor, nu distanțele: așa nu mai apare niciun radical. Să luăm cercul $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ și trei puncte. Pentru $A (1, 5)$ avem $9 + 0 = 9$ , deci $A$ este pe cerc. Pentru $B (- 2, 7)$ avem $0 + 4 = 4 < 9$ , deci $B$ este în interior. Pentru $D (2, 8)$ avem $16 + 9 = 25 > 9$ , deci $D$ este în exterior. Într-o problemă cu sirena, primul răspuns înseamnă „chiar la marginea zonei în care se aude", al doilea „se aude", al treilea „nu se aude".

4. De ce mai avem nevoie de o a doua formă?

Pentru că, în practică, ecuația nu ne este dată frumos aranjată. Dacă desfacem pătratele din $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ , obținem $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 10 y + 25 - 9 = 0$ , adică

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0.$

Observă ce s-a păstrat: coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ sunt amândoi $1$ , nu apare niciun termen cu $x y$ , iar restul este o combinație de $x$ , $y$ și un număr. Aceasta este forma generală

$x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0,$

cu $m$ , $n$ și $p$ numere reale. Cele trei litere sunt tot ce trebuie memorat despre un cerc: trei numere, trei condiții pentru a-l determina.

Cele două trăsături observate mai sus nu sunt întâmplătoare, iar înțelegerea lor te scutește de calcule inutile. Coeficienții pătratelor ies egali pentru că $x$ și $y$ intră în definiție în același fel — distanța nu privilegiază nicio direcție. Termenul cu $x y$ lipsește din același motiv: el ar apărea doar dacă în locul unei sume de două pătrate am avea un produs, adică o figură turtită sau răsucită față de axe. De aceea, când vezi o ecuație cu $2 x^{2} + 3 y^{2}$ sau cu un $x y$ în ea, poți spune „nu e cerc" înainte de a scrie primul rând de calcul.

5. Cum revii de la forma generală la centru și rază?

Prin formarea pătratelor, adică drumul invers al desfacerii. Iei separat cei doi termeni care conțin $x$ și îi rescrii ca pătrat al unui binom, plătind imediat, printr-o scădere, numărul pe care l-ai adăugat ca să închizi pătratul; apoi repeți pentru $y$ . Pe ecuația $x^{2} + y^{2} - 14 x + 2 y + 25 = 0$ :

$x^{2} - 14 x = (x - 7)^{2} - 49, y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1.$

Înlocuind, $(x - 7)^{2} - 49 + (y + 1)^{2} - 1 + 25 = 0$ , deci $(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ : un cerc de centru $C (7, - 1)$ și rază $5$ .

Repetând raționamentul cu litere, obții o formulă scurtă pe care o poți folosi ca verificare: din $x^{2} + m x = (x + \frac{m}{2})^{2} - \frac{m ^{2}}{4}$ și analogul în $y$ rezultă

$(x + \frac{m}{2})^{2} + (y + \frac{n}{2})^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4} .$

Așadar centrul este $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2})$ , iar $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ . Control pe exemplul de mai sus: $m = - 14$ , $n = 2$ , $p = 25$ dau centrul $(7, - 1)$ și $r^{2} = \frac{196 + 4 - 100}{4} = 25$ . Formula e comodă, dar formarea pătratelor rămâne metoda sigură: ea nu are ce să încurce, pentru că nu cere memorat nimic.

6. Ce figură descrie, de fapt, o ecuație de forma aceasta?

Trebuie îndeplinite trei lucruri, în ordinea aceasta. Întâi, coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ trebuie să fie egali și termenul în $x y$ să lipsească; altfel figura nu este cerc. Apoi, dacă acel coeficient comun nu este $1$ , se împarte toată ecuația prin el — formulele de mai sus sunt scrise pentru coeficientul $1$ . În fine, se cere ca numărul $m^{2} + n^{2} - 4 p$ să fie strict pozitiv, fiindcă el este $4 r^{2}$ .

Trei exemple, care acoperă cele trei deznodăminte posibile.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 4 y - 6 = 0$ . Împărțim prin $2$ și obținem $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 3 = 0$ , deci $m = - 6$ , $n = 2$ , $p = - 3$ ; centrul este $(3, - 1)$ și $r^{2} = \frac{36 + 4 + 12}{4} = 13$ , adică un cerc de rază $13$ .
$x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 10 = 0$ . Aici $\frac{36 + 4 - 40}{4} = 0$ : „cercul" s-a strâns într-un singur punct, $(- 3, 1)$ . Se vede și direct, pentru că ecuația se scrie $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 0$ , iar o sumă de două pătrate este nulă doar când amândouă sunt nule.
$x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 30 = 0$ . Acum $\frac{100 + 16 - 120}{4} = - 1 < 0$ , iar $(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = - 1$ nu poate fi îndeplinită de niciun punct: mulțimea soluțiilor este vidă.

7. Cum determini un cerc din condiții?

Un cerc înseamnă trei numere — fie $a$ , $b$ și $r$ , fie $m$ , $n$ și $p$ —, deci sunt necesare trei informații independente. Iată cele două situații care apar cel mai des.

Centrul și un punct al cercului. Raza este chiar distanța de la centru la punct. Pentru centrul $C (2, - 3)$ și punctul $A (6, 0)$ de pe cerc, $r^{2} = (6 - 2)^{2} + (0 + 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci ecuația este $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .

Capetele unui diametru. Centrul este mijlocul segmentului, iar raza este jumătate din lungimea lui. Pentru $A (1, 1)$ și $B (5, 7)$ , coordonatele mijlocului unui segment dau centrul $C (3, 4)$ ; din $A B^{2} = 16 + 36 = 52$ rezultă $r^{2} = \frac{52}{4} = 13$ , deci $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 13$ . Verificare: $A$ dă $(1 - 3)^{2} + (1 - 4)^{2} = 4 + 9 = 13$ , iar $B$ dă $4 + 9 = 13$ .

Când una dintre condiții este de forma „centrul se află pe axa $O y$ ", ea înseamnă pur și simplu că abscisa centrului este $0$ , deci reduce numărul de necunoscute cu unu. Mai general, „centrul se află pe dreapta $d$ " înseamnă că perechea $(a, b)$ verifică ecuația lui $d$ — o singură egalitate în plus, exact cât îți trebuie ca să înlocuiești o necunoscută. Odată scrisă ecuația, o verifici punând în ea toate punctele din enunț; este singurul control care nu te lasă niciodată. Cu cercul scris, urmează întrebarea firească a lecției următoare: cum se așază o dreaptă față de el — vezi poziția dreptei față de cerc.

O ultimă observație, folositoare la problemele în care se dau două puncte de pe cerc: toate cercurile care trec prin $A$ și prin $B$ au centrul pe mediatoarea segmentului $A B$ , pentru că centrul trebuie să fie egal depărtat de cele două puncte. Condiția pe care o scrii atunci, $C A^{2} = C B^{2}$ , este exact traducerea analitică a acestui fapt, iar după reducerea pătratelor lui $a$ și $b$ din ambii membri rămâne o ecuație de gradul întâi — adică tocmai mediatoarea, scrisă în coordonate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din centru și rază, în amândouă formele

Scrieți ecuația cercului de centru $C (- 5, 2)$ și rază $4$ , în formă canonică și în formă generală.

Rezolvare. Forma canonică se scrie direct: $(x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ . Desfacem pătratele: $x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} - 4 y + 4 - 16 = 0$ , adică $x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 13 = 0$ . Control cu formula: $m = 10$ , $n = - 4$ , $p = 13$ dau centrul $(- \frac{10}{2}, \frac{4}{2}) = (- 5, 2)$ și $r^{2} = \frac{100 + 16 - 52}{4} = 16$ .

Exemplul 2 — Centrul și raza prin formarea pătratelor

Determinați centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y - 32 = 0$ .

Rezolvare. Grupăm și completăm: $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ și $y^{2} - 8 y = (y - 4)^{2} - 16$ . Ecuația devine $(x + 1)^{2} - 1 + (y - 4)^{2} - 16 - 32 = 0$ , adică $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 49$ . Centrul este $C (- 1, 4)$ , iar raza $r = 7$ . Control cu formula: $\frac{4 + 64 + 128}{4} = 49$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a rezolvat astfel: „Ecuația $4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x + 24 y + 52 = 0$ este ecuația unui cerc; identific $m = - 16$ , $n = 24$ , $p = 52$ , deci centrul lui este punctul de coordonate $8$ și $- 12$ , iar raza $239$ ." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Greșeala este chiar la primul pas. Formulele centrului și ale razei sunt scrise pentru coeficientul $1$ la ambele pătrate, iar aici coeficientul comun este $4$ , așa că trebuie împărțită întâi toată ecuația prin $4$ :

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 = 0.$

Abia acum $m = - 4$ , $n = 6$ , $p = 13$ , iar $m^{2} + n^{2} - 4 p = 16 + 36 - 52 = 0$ . Nu avem, deci, un cerc, ci un singur punct, $(2, - 3)$ — ceea ce se vede și din scrierea echivalentă $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 0$ .

Observă cât de convingător arată răspunsul greșit: coordonate întregi și o rază cu aspect obișnuit. Nimic din forma lui nu dă de bănuit; doar controlul l-ar fi dat de gol, pentru că punctele cercului „găsit" nu verifică ecuația din enunț.

Exemplul 4 — Cercul cu diametrul dat

Determinați ecuația cercului care are ca diametru segmentul cu capetele $A (- 2, 3)$ și $B (6, 9)$ , apoi scrieți-o sub formă generală.

Rezolvare. Centrul este mijlocul lui $A B$ : $C (\frac{- 2 + 6}{2}, \frac{3 + 9}{2}) = C (2, 6)$ . Lungimea: $A B^{2} = (6 + 2)^{2} + (9 - 3)^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $A B = 10$ și $r = 5$ . Ecuația este $(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25$ , adică $x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 y + 15 = 0$ . Verificare: $A$ dă $(- 2 - 2)^{2} + (3 - 6)^{2} = 16 + 9 = 25$ , iar $B$ dă $16 + 9 = 25$ .

Exemplul 5 — O colonie care se întinde

Pe un mediu de cultură, o colonie de bacterii pornită din punctul $C (4, 3)$ a ajuns, după douăzeci de ore, un disc de rază $5$ mm (coordonatele sunt în milimetri). Scrieți ecuația conturului coloniei și stabiliți cum se află față de ea reperele $P (8, 6)$ , $Q (6, 5)$ și $R (10, 4)$ , trasate cu creionul pe fundul plăcii înainte de însămânțare.

Rezolvare. Conturul este cercul $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ . Calculăm expresia $E (x, y) = (x - 4)^{2} + (y - 3)^{2}$ în fiecare punct și o comparăm cu $25$ :

punct	$E (x, y)$	comparație cu $r^{2} = 25$	concluzie
$P (8, 6)$	$16 + 9 = 25$	egal	chiar pe contur
$Q (6, 5)$	$4 + 4 = 8$	mai mic	acoperit de colonie
$R (10, 4)$	$36 + 1 = 37$	mai mare	încă neatins

Reperul din $Q$ a fost deja acoperit, cel din $P$ este atins chiar acum, iar până la cel din $R$ mai e de așteptat: distanța de la $R$ la contur, măsurată pe raza care trece prin el, este $37 - 5 \approx 1, 08$ mm.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 11 = 0$ . Arătați că raza cercului este egală cu $6$ .

Rezolvare. Avem $m = - 6$ , $n = 8$ , $p = - 11$ , deci $r^{2} = \frac{36 + 64 + 44}{4} = \frac{144}{4} = 36$ și, cum raza este un număr pozitiv, $r = 6$ . (Prin formarea pătratelor: $(x - 3)^{2} - 9 + (y + 4)^{2} - 16 - 11 = 0$ , adică $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 36$ , cu centrul $C (3, - 4)$ .)

Cerința urmează forma scurtă din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde cerințele de geometrie analitică plană sunt întrebări de câte cinci puncte, cu răspuns numeric. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă nici model, nici o structură publicată pe subiecte, așa că exercițiul nu revendică un anumit subiect.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, hotărăște în ce formă ți-e dată ecuația. Dacă vezi pătrate, centrul și raza se citesc direct — cu grijă la semne. Dacă vezi $x^{2} + y^{2}$ desfăcut, verifică mai întâi coeficienții pătratelor, apoi formează pătratele. La final, pune în ecuație un punct despre care știi răspunsul.

1. Scrie ecuația cercului de centru $C (3, - 5)$ și rază $2$ .

2. Scrie sub formă generală ecuația cercului de centru $C (- 4, 1)$ și rază $6$ .

3. Determină centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} - 12 x + 2 y + 21 = 0$ .

4. Determină centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} + 10 x + 6 y - 2 = 0$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $x^{2} + y^{2} + m x + n y - 7 = 0$ reprezintă un cerc, oricare ar fi numerele reale $m$ și $n$ ."

6. Stabilește ce mulțime de puncte descrie ecuația $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = 0$ .

7. Stabilește ce mulțime de puncte descrie ecuația $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 20 = 0$ .

8. Determină centrul și raza cercului $3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x + 12 y - 15 = 0$ .

9. Stabilește cum se află față de cercul $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 17$ punctele $A (0, 3)$ , $B (- 1, - 2)$ și $D (5, 1)$ .

10. Scrie ecuația cercului cu centrul $C (- 4, 6)$ care trece prin punctul $A (2, - 2)$ .

11. Determină ecuația cercului care are ca diametru segmentul cu capetele $A (- 4, 1)$ și $B (2, 9)$ , apoi arată că punctul $D (- 4, 9)$ aparține acestui cerc.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ . Determină coordonatele centrului cercului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină numerele reale $t$ pentru care punctul $M (t, 2)$ aparține cercului de ecuație $x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 11 = 0$ .

14. (Problemă aplicată.) O piatră cade în apă în punctul $C (- 2, 1)$ , iar frontul undei circulare pe care o produce are, după trei secunde, raza de $6$ m (coordonatele sunt în metri). Scrie ecuația frontului în acel moment și stabilește dacă o frunză aflată în $P (2, 4)$ a fost deja depășită de undă.

15. Determină ecuația cercului cu centrul pe axa $O y$ care trece prin punctele $A (6, 1)$ și $B (2, - 3)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 17 = 0$ . Arată că raza cercului este egală cu $3$ și stabilește dacă originea reperului se află în interiorul sau în exteriorul cercului.

17. Determină valorile reale ale lui $p$ pentru care ecuația $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + p = 0$ reprezintă un cerc.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ știind că cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} + a x + b y - 8 = 0$ trece prin punctele $A (2, 2)$ și $B (- 4, 0)$ , apoi arată că segmentul $A B$ este un diametru al acestui cerc.

Răspunsuri și explicații

1. $(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 4$ . Semnele din paranteze sunt opuse semnelor coordonatelor centrului.

2. $(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ ; desfăcând, $x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} - 2 y + 1 - 36 = 0$ , adică $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y - 19 = 0$ . Control: $\frac{64 + 4 + 76}{4} = 36$ .

3. $m = - 12$ , $n = 2$ , $p = 21$ ; centrul este $C (6, - 1)$ și $r^{2} = \frac{144 + 4 - 84}{4} = 16$ , deci $r = 4$ .

4. $m = 10$ , $n = 6$ , $p = - 2$ ; centrul este $C (- 5, - 3)$ și $r^{2} = \frac{100 + 36 + 8}{4} = 36$ , deci $r = 6$ .

5. Adevărat. Termenul liber este $p = - 7$ , deci $m^{2} + n^{2} - 4 p = m^{2} + n^{2} + 28$ ; o sumă de pătrate nu poate fi negativă, așa că expresia este cel puțin $28$ , adică strict pozitivă pentru orice $m$ și $n$ . Un termen liber negativ garantează, așadar, un cerc adevărat — și încă unul care conține originea în interior. Reciproca nu ține: pentru $m = - 2$ , $n = 0$ și $p = 1$ ecuația devine $(x - 1)^{2} + y^{2} = 0$ , adică un singur punct, deși $p$ este pozitiv.

6. $m^{2} + n^{2} - 4 p = 4 + 64 - 68 = 0$ , deci mulțimea are un singur punct: $(1, - 4)$ . Într-adevăr, ecuația se scrie $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 0$ .

7. $m^{2} + n^{2} - 4 p = 16 + 36 - 80 = - 28 < 0$ , deci mulțimea este vidă: $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = - 7$ nu se poate întâmpla.

8. Împărțim prin $3$ : $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 5 = 0$ . Centrul este $C (1, - 2)$ și $r^{2} = \frac{4 + 16 + 20}{4} = 10$ , deci $r = 10$ .

9. $E (x, y) = (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2}$ se compară cu $17$ . Pentru $A$ : $1 + 16 = 17$ , deci $A$ este pe cerc. Pentru $B$ : $4 + 1 = 5 < 17$ , deci $B$ este în interior. Pentru $D$ : $16 + 4 = 20 > 17$ , deci $D$ este în exterior.

10. $r^{2} = (2 + 4)^{2} + (- 2 - 6)^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 100$ , adică un cerc de rază $10$ .

11. Centrul este mijlocul: $C (- 1, 5)$ . Din $A B^{2} = 36 + 64 = 100$ rezultă $r = 5$ , deci $(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ . Verificare cu $A$ : $(- 4 + 1)^{2} + (1 - 5)^{2} = 9 + 16 = 25$ . Pentru $D (- 4, 9)$ : $(- 4 + 1)^{2} + (9 - 5)^{2} = 9 + 16 = 25$ , deci $D$ este pe cerc. (Este și de așteptat: $D$ vede diametrul $A B$ sub un unghi drept.)

12. Centrul este $(- \frac{- 4}{2}, - \frac{6}{2}) = (2, - 3)$ . (Raza, dacă e cerută: $r^{2} = \frac{16 + 36 + 12}{4} = 16$ , deci $r = 4$ .)

13. Punem $x = t$ și $y = 2$ : $t^{2} + 4 - 8 t - 8 + 11 = 0$ , adică $t^{2} - 8 t + 7 = 0$ , cu soluțiile $t = 1$ și $t = 7$ . Verificare: cercul are centrul $(4, 2)$ și raza $3$ , iar punctele $(1, 2)$ și $(7, 2)$ sunt capetele diametrului orizontal.

14. Frontul este cercul $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ . Pentru $P (2, 4)$ obținem $16 + 9 = 25 < 36$ , deci punctul este în interiorul discului: unda a trecut deja peste frunză. Distanța de la piatră la frunză este $5$ m, iar frontul a ajuns la $6$ m.

15. Centrul are forma $C (0, b)$ . Din $C A^{2} = C B^{2}$ rezultă $36 + (b - 1)^{2} = 4 + (b + 3)^{2}$ , adică $37 - 2 b = 13 + 6 b$ , deci $b = 3$ . Atunci $r^{2} = 36 + 4 = 40$ și ecuația este $x^{2} + (y - 3)^{2} = 40$ . Control cu $B$ : $4 + 36 = 40$ .

16. $m = 2$ , $n = - 10$ , $p = 17$ , deci $r^{2} = \frac{4 + 100 - 68}{4} = \frac{36}{4} = 9$ și $r = 3$ . Centrul este $C (- 1, 5)$ . Pentru origine: $(0 + 1)^{2} + (0 - 5)^{2} = 26 > 9$ , deci $O$ este în exteriorul cercului. (Se vede și direct din forma generală: $p = 17 > 0$ înseamnă că originea nu anulează membrul stâng.)

17. Condiția este $m^{2} + n^{2} - 4 p > 0$ , adică $36 + 16 - 4 p > 0$ , deci $52 > 4 p$ și $p < 13$ . Pentru $p = 13$ rămâne punctul $(3, - 2)$ , iar pentru $p > 13$ mulțimea este vidă.

18. Punctul $A$ dă $4 + 4 + 2 a + 2 b - 8 = 0$ , adică $a + b = 0$ ; punctul $B$ dă $16 + 0 - 4 a + 0 - 8 = 0$ , adică $a = 2$ , de unde $b = - 2$ . Cercul este $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 8 = 0$ , cu centrul $(- 1, 1)$ și $r^{2} = \frac{4 + 4 + 32}{4} = 10$ . Mijlocul lui $A B$ este $(\frac{2 - 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}) = (- 1, 1)$ , adică exact centrul; cum $A$ și $B$ sunt pe cerc și centrul este mijlocul segmentului, $A B$ este diametru. Control: $A B^{2} = 36 + 4 = 40 = (2 r)^{2}$ .

De reținut

Ecuația unui cerc nu este o formulă de memorat, ci condiția $M C = r$ scrisă în coordonate și ridicată la pătrat: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , unde $C (a, b)$ este centrul.
În forma generală $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ centrul este $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2})$ , iar $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ ; formarea pătratelor duce la același rezultat și nu cere nimic memorat.
Trei filtre, în ordine, decid dacă ai în față un cerc: pătratele să poarte același coeficient, termenul $x y$ să lipsească, iar expresia $m^{2} + n^{2} - 4 p$ , calculată după împărțirea la acel coeficient, să fie strict pozitivă; când ea se anulează rămâne doar centrul, iar când e negativă nu rămâne niciun punct real.
Expresia $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ este pătratul distanței de la punct la centru, deci aceeași expresie spune și dacă punctul e pe cerc, în interior sau în exterior — comparând cu $r^{2}$ , nu cu $r$ .
Un cerc are trei numere de determinat, deci cere trei informații independente: centru și rază, centru și un punct al lui, capetele unui diametru sau o condiție care fixează o coordonată a centrului.

Greșeli frecvente

Cercul confundat cu discul pe care îl mărginește. Într-o problemă aplicată se scrie „zona în care se aude sirena este cercul $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 49$ ". Corect: cercul este doar conturul, adică punctele cu $E (x, y) = r^{2}$ ; zona propriu-zisă este discul, adică $E (x, y) \leq r^{2}$ . Ecuația descrie marginea zonei, iar apartenența la zonă se scrie cu inegalitate, nu cu egalitate.
Raza confundată cu numărul din dreapta. Pentru $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ se răspunde „raza este $16$ ". Corect: în membrul drept stă $r^{2}$ , deci raza este $4$ . Când numărul nu este pătrat perfect, raza rămâne un radical: din $r^{2} = 13$ rezultă $r = 13$ , nu se rotunjește.
Pătratul format fără compensare. Se scrie $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2}$ și se merge mai departe. Corect: $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ , deci $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$ ; numărul adăugat trebuie scăzut imediat, altfel raza iese mai mare decât este.
Un punct „aproape pe cerc" declarat pe cerc. Într-o problemă cu măsurători se obține $E (x, y) = 24, 8$ și $r^{2} = 25$ și se răspunde „punctul e pe contur". Corect: calculul cu numerele din enunț este exact, iar $24, 8 < 25$ înseamnă interior. Aproximările se pun în discuție la final, când compari cu precizia măsurătorii, nu în timpul calculului.
Cercul „determinat" din prea puține condiții. Se dau două puncte prin care trece cercul și se caută ecuația. Corect: două condiții lasă o infinitate de cercuri (toate centrele de pe mediatoarea segmentului); mai trebuie o a treia informație — raza, un al treilea punct sau o precizare despre centru.

Aplică acasă

Pata de cerneală și termenul liber. Așază o hârtie de filtru pe o foaie caroiată, marchează centrul cu un punct și lasă acolo o picătură de cerneală. Din treizeci în treizeci de secunde măsoară raza petei și scrie ecuația cercului corespunzător, în formă generală, păstrând același centru. Trece într-un tabel timpul, raza și valoarea lui $p$ : vei vedea că $m$ și $n$ rămân neschimbate, iar $p$ scade — pentru că $p = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .
Cinci ecuații, trei deznodăminte. Scrie cinci ecuații generale cu numere alese de tine, fără să calculezi nimic dinainte, și hotărăște pentru fiecare dacă descrie un cerc, un singur punct sau mulțimea vidă. Verifică-ți fiecare răspuns refăcând drumul invers, prin desfacerea pătratelor. Numără câte dintre cele cinci au ieșit cercuri adevărate și compară cu colegii.
Cursorul care strânge cercul. Într-un instrument digital (GeoGebra, Desmos) scrie ecuația $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ cu trei cursoare pentru $m$ , $n$ și $p$ . Fixează $m$ și $n$ și mărește încet $p$ : urmărește ce se întâmplă cu figura în clipa în care $m^{2} + n^{2} - 4 p$ ajunge la zero și imediat după. Descrie în două fraze ce ai văzut pe ecran.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică două lucruri diferite, care se confundă ușor: dacă elevul știe să calculeze și dacă știe ce calculează. Partea de calcul — desfacerea și formarea pătratelor — este rutină, iar greșelile ei se văd imediat la control. Partea a doua este mai subtilă: aceeași expresie $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ joacă trei roluri, fiind pe rând ecuația cercului, pătratul unei distanțe și criteriul de interior-exterior. La profilul științe ale naturii al treilea rol este cel mai folositor, pentru că el traduce întrebări reale — „este planta udată?", „a ajuns unda la senzor?" — într-o singură comparație de numere.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă ecuația era dată desfăcut, coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ au fost comparați înainte de orice; dacă erau diferiți de $1$ , s-a împărțit; la formarea pătratelor, numărul adăugat a fost și scăzut; centrul are semnele opuse celor din paranteze; răspunsul final spune raza, nu pătratul ei, cu unitatea de măsură atunci când problema are unități. Întrebări de control: „Ce reprezintă, geometric, numărul din membrul drept?"; „Cum arăți că o ecuație dată nu poate fi ecuația unui cerc, fără să faci niciun calcul lung?"; „Câte informații îți trebuie ca să determini un cerc și de ce exact atâtea?". Semn că elevul a înțeles: verifică singur ecuația găsită punând în ea punctele din enunț.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde ecuația cercului nu apare: programa acelui examen (OMEN 4430/2014) cere din geometria analitică plană doar reperul cartezian, coordonatele vectorilor, distanța dintre două puncte, ecuațiile dreptei și condițiile de paralelism și de perpendicularitate. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Prin ce diferă ecuația cercului la M2 față de mate-info (M1)? Prin clasă și prin vecinătate. La științe ale naturii cercul se învață în clasa a IX-a, singur, dedus din formula distanței dintre două puncte, și atât. La matematică-informatică el apare abia în clasa a XII-a, într-un capitol de conice, alături de elipsă și hiperbolă, cu tangenta prin dedublare. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, la clasa a 12-a merge, așadar, mult mai departe.

La ce subiect apare ecuația cercului la bacalaureatul M2? În sesiunile 2027–2029 nu apare deloc: programa de examen din 2014 nu conține cercul în geometria analitică. Din 2030, la proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de geometrie analitică al clasei a IX-a. Structura probei nu a fost încă publicată, deci nimeni nu poate spune la ce subiect apare; cerințele exersate aici sunt scurte, de tipul „arătați că raza cercului este egală cu…".

Cum aflu dacă un punct este pe cerc, în interior sau în exterior? Calculezi $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ pentru punctul tău și compari rezultatul cu $r^{2}$ . Egal înseamnă pe cerc, mai mic înseamnă în interiorul discului, mai mare înseamnă în exterior. Nu e nevoie de radicali: compari pătratele distanțelor, nu distanțele, și eviți astfel orice rotunjire.

De unde vine formula $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ? Din definiția cercului. Un punct $M (x, y)$ este pe cercul de centru $C (a, b)$ și rază $r$ exact când $M C = r$ . Scrii distanța cu formula învățată la geometria analitică, $M C = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ , apoi ridici la pătrat amândoi membrii, care sunt pozitivi, și scapi de radical.

Ce fac dacă ecuația începe cu $3 x^{2} + 3 y^{2}$ ? Împarți toată ecuația prin $3$ și abia apoi identifici $m$ , $n$ și $p$ . Formulele centrului și ale razei sunt scrise pentru coeficientul $1$ la ambele pătrate, iar dacă sari peste împărțire, centrul iese de trei ori mai depărtat de origine decât este. Dacă cei doi coeficienți nu sunt egali, figura nu este cerc.

Cum scriu ecuația cercului dacă știu capetele unui diametru? Centrul este mijlocul segmentului, deci are coordonatele date de semisumele coordonatelor capetelor. Raza este jumătate din lungimea diametrului, pe care o afli cu formula distanței dintre două puncte. Poți lucra direct cu pătratele: dacă $A B^{2} = d$ , atunci $r^{2} = \frac{d}{4}$ , fără să scoți vreodată radicalul.

Cum verific, în două rânduri, că am scris corect ecuația unui cerc? Pune în ecuație un punct despre care știi sigur răspunsul. Dacă enunțul dădea un punct de pe cerc, coordonatele lui trebuie să anuleze forma generală. Dacă dădea centrul, pune-l în forma canonică: trebuie să obții $0$ în membrul stâng. Al doilea control este calculul lui $m^{2} + n^{2} - 4 p$ , care trebuie să dea exact $4 r^{2}$ .