Unde se află punctul $$M(5,\,1)$$ față de cercul $$(x-1)^2+(y-1)^2=9$$?

nu se poate decide fără desen

Cum scriu ecuația unui cerc cu centru și rază?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuația cercului

Pui coordonatele centrului $C (a, b)$ și raza $r$ în $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ . Pentru centrul $C (- 2, 5)$ și raza $3$ obții $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ ; semnele din paranteze sunt opuse coordonatelor. Desfăcând pătratele, aceeași ecuație devine $x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0$ . Probă: punctul $(1, 5)$ se află la distanța $3$ de centru și dă $9 + 0 = 9$ , deci este pe cerc.

În spatele ecuației unui cerc stă o singură condiție, $M C = r$ , scrisă cu coordonate și ridicată la pătrat; de acolo iese $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , unde $C (a, b)$ marchează centrul. Nu ai deci nicio formulă de memorat.

Numărul din membrul drept este $r^{2}$ , nu raza. Ecuația $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ are $r = 4$ ; când acolo nu stă un pătrat perfect, raza rămâne radical, ca $r = 13$ , și nu se rotunjește.

Forma generală arată astfel: $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ , cu $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2})$ și $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ . Formarea pătratelor duce la aceleași numere, cu o singură grijă — compensarea: $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$ , nu $(x - 4)^{2}$ .

Trei filtre, luate în ordine, spun dacă ai chiar un cerc: coeficient egal la cele două pătrate, niciun termen cu $x y$ , iar $m^{2} + n^{2} - 4 p$ strict pozitiv. Valoarea zero lasă numai centrul, iar una negativă nu lasă niciun punct real.

Cum $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ măsoară pătratul distanței până la centru, tot ea așază un punct pe contur, înăuntru sau în afară — comparația se poartă cu $r^{2}$ , nu cu $r$ . Conturul singur se cheamă cerc; suprafața pe care o mărginește este discul, scris cu inegalitatea $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$ .

Trei necunoscute cer trei informații independente: centrul și raza, centrul și un punct, capetele unui diametru ori o condiție asupra unei coordonate a centrului. Cu două puncte nu reușești niciodată — prin ele trec o infinitate de cercuri, cu centrele așezate pe mediatoarea segmentului.

De reținut

cercul cu centrul $C (a, b)$ și raza $r$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
centrul în origine: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
discul, adică cercul împreună cu interiorul, se scrie cu $\leq r^{2}$

Greșeala tipică

Se scrie cercul cu centrul $C (- 2, 5)$ ca $(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$ , păstrând semnele coordonatelor; în paranteze apar semnele opuse, $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt centrul și raza cercului $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ ?
- a) $C (3, - 1)$ și $r = 4$
- b) $C (- 3, 1)$ și $r = 16$
- c) $C (3, - 1)$ și $r = 16$
- d) $C (- 3, 1)$ și $r = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $C (3, - 1)$ și $r = 4$

Forma standard este $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , deci $a = 3$ , iar $y + 1 = y - (- 1)$ dă $b = - 1$ . În membrul drept stă $r^{2} = 16$ , de unde $r = 4$ .
Care este centrul cercului $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ ?
- a) $C (- 3, 2)$
- b) $C (3, - 2)$
- c) $C (6, - 4)$
- d) $C (- 6, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $C (3, - 2)$

Cu $m = - 6$ și $n = 4$ , centrul este $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2}) = C (3, - 2)$ . Același rezultat iese formând pătratele: $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ , de unde se citește și $r = 5$ .
Unde se află punctul $M (5, 1)$ față de cercul $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ?
- a) pe cerc
- b) în interiorul cercului
- c) în exteriorul cercului
- d) nu se poate decide fără desen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) în exteriorul cercului

Înlocuiești în membrul stâng: $(5 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2} = 16$ . Cum $16 > 9 = r^{2}$ , punctul este în exterior. Compararea se face cu $r^{2}$ , nu cu $r$ — altfel ai compara o arie cu o lungime.

Întrebări conexe

Care este ecuația unui cerc cu centrul în origine?

Cu $a = b = 0$ , ecuația devine $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Pentru raza $5$ obții $x^{2} + y^{2} = 25$ , iar punctul $(3, 4)$ se află pe acest cerc, pentru că $9 + 16 = 25$ . Punctele de pe axe sunt $(\pm 5, 0)$ și $(0, \pm 5)$ .

Cum scriu ecuația cercului cu centrul $C (3, - 4)$ care trece prin origine?

Raza este distanța de la centru la origine: $9 + 16 = 5$ . Ecuația este $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$ , iar desfăcută devine $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ . Lipsa termenului liber din forma desfăcută arată că originea verifică ecuația, deci calculul razei a fost corect. Același semn apare la orice cerc care trece prin origine.

Cum descriu cu o inegalitate zona acoperită de o antenă?

Zona este un disc: o antenă în $(2, 1)$ , cu raza de acțiune de $6$ km, acoperă punctele cu $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 36$ . Punctul $(6, 5)$ dă $16 + 16 = 32 \leq 36$ , deci are semnal. Ecuația cu egal descrie doar marginea zonei.

Ce ecuație are cercul cu centrul $C (4, 3)$ tangent la axa $O x$ ?

Cercul atinge axa $O x$ exact când raza este distanța de la centru la axă, adică ordonata centrului în valoare absolută: $r = 3$ . Ecuația este $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ , iar punctul de contact cu axa este $(4, 0)$ .

Ce cerc are centrul pe axa $O x$ și trece prin $A (0, 4)$ și $B (6, 2)$ ?

Centrul are forma $C (a, 0)$ și este la aceeași distanță de $A$ și de $B$ : $a^{2} + 16 = (a - 6)^{2} + 4$ . Rezultă $12 a = 24$ , deci $a = 2$ , iar $r^{2} = C A^{2} = 4 + 16 = 20$ . Ecuația este $(x - 2)^{2} + y^{2} = 20$ ; verificare cu $B$ : $16 + 4 = 20$ .

Oamenii mai întreabă și: cum se scrie ecuația unui cerc · ecuația cercului cu centrul și raza date · ecuația cercului când știu centrul · formula ecuației cercului