Dreapta din punct și pantă (M2, științe ale naturii)

Într-un experiment modelat liniar, cunoaștem o valoare măsurată și schimbarea produsă pentru fiecare unitate a variabilei urmărite. Aceste două informații permit reconstruirea întregii reguli pe intervalul modelului. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), ecuația dreptei din punct și pantă organizează calculul. Tema este în programa Bacalaureatului M2 2027–2029 și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” al probei MAT_P2 din 2030.

Panta ca raport descrie schimbarea, dar nu precizează singură poziția dreptei. Punctul cunoscut completează informația. Vom construi o ecuație, vom recunoaște scrieri echivalente și vom verifica ambele condiții ale problemei. Nu presupunem că observația dată este făcută la începutul procesului sau că ordonata ei este automat valoarea de la origine.

Ce vei învăța

• Vei deduce ecuația din relația dintre variațiile coordonatelor.
• Vei păstra punctul de referință în mulțimea soluțiilor, inclusiv după eliminarea fracției.
• Vei trece între forma punct-pantă, forma explicită și o formă generală echivalentă.
• Vei verifica separat trecerea prin punct și panta cerută.
• Vei deosebi o informație despre pantă de o informație despre o direcție verticală.
• Vei construi și interpreta modele liniare pe domenii declarate, cu unități potrivite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce informație adaugă punctul cunoscut?

O pantă fixează felul în care se schimbă ordonata când modificăm abscisa. Nu fixează însă valoarea ordonatei la o anumită abscisă. Putem deplasa o dreaptă în sus, păstrând toate diferențele dintre ordonatele punctelor ei. Panta rămâne aceeași, dar punctele dreptei se schimbă.

Când este dat și un punct $A(x_0,y_0)$, avem un reper de pornire. Pentru orice altă abscisă $x$, diferența față de abscisa cunoscută este $x-x_0$. La panta $m$, variația ordonatei trebuie să fie $m(x-x_0)$. Adăugăm această variație la ordonata de referință.

Ecuația dreptei din punct și pantă este $y-y_0=m(x-x_0)$. Punctul dat este $A(x_0,y_0)$, iar panta reală este $m$. Relația descrie unica dreaptă neverticală care îndeplinește simultan cele două condiții. Coordonatele punctului și panta sunt constantele date; $x$ și $y$ sunt coordonatele unui punct variabil al dreptei.

Această separare a rolurilor este esențială. Nu înlocuim peste tot litera $x$ cu abscisa cunoscută când vrem ecuația: am obține numai verificarea unui punct. Păstrăm variabilele, deoarece răspunsul trebuie să descrie toate punctele dreptei, nu doar datele folosite la construire.

2. Cum ajungem de la raport la o ecuație fără excluderi?

Pentru un punct $M(x,y)$ al dreptei, diferit de $A$, abscisa diferă de $x_0$, fiindcă dreapta este neverticală. Putem scrie $(y-y_0)/(x-x_0)=m$. Înmulțirea cu numitorul nenul produce $y-y_0=m(x-x_0)$.

Forma fără fracție este verificată și când $M=A$: ambele diferențe sunt zero. Așadar, ecuația finală cuprinde punctul de referință, chiar dacă în calculul raportului am folosit un alt punct. Nu îi adăugăm restricția $x\ne x_0$, deoarece am elimina un punct care trebuie să aparțină dreptei.

Reciproc, pentru orice abscisă reală $x$, relația determină o singură ordonată, $y=y_0+m(x-x_0)$. La abscisa de referință obținem exact $y_0$. Pentru două abscise distincte, diferența ordonatelor este $m$ înmulțit cu diferența absciselor, deci raportul lor este panta cerută.

Acest control arată de ce ecuația descrie obiectul complet. Nu este doar o egalitate adevărată într-un punct. Ea impune aceeași regulă tuturor perechilor de coordonate care o satisfac. Condiția de apartenență și condiția de pantă sunt amândouă incluse.

Nu reveni la forma cu împărțire pentru a verifica punctul de pornire. Acolo ar apărea un numitor nul, deși punctul aparține perfect dreptei. Folosește relația fără fracție sau o formă echivalentă obținută prin operații permise pentru toate coordonatele.

3. Cum construim un desen din punct și variație?

Să folosim $A(-2,1)$ și $m=2/3$. Ecuația este $y-1=(2/3)(x+2)$. Pentru a construi încă un punct, alegem o creștere a abscisei cu trei și o creștere a ordonatei cu doi. Obținem $B(1,3)$.

Trecerea de la primul punct la al doilea este o alegere comodă, nu o restricție a dreptei la coordonate întregi. Putem alege orice variație a abscisei și calcula variația corespunzătoare a ordonatei. Cu o variație negativă mergem în sens opus pe aceeași dreaptă.

După trasarea celor două puncte, prelungim linia în ambele sensuri dacă cerința privește întreaga dreaptă. Dacă situația descrie un segment de funcționare al unui model, păstrăm separat domeniul permis. Ecuația geometrică și porțiunea folosită în aplicație sunt informații complementare.

Desenul controlează sensul general: o pantă pozitivă trebuie să urce spre dreapta. Nu înlocuiește însă verificarea exactă a punctului și a raportului. O linie desenată aproximativ poate părea corectă, chiar dacă termenul liber a fost calculat greșit.

4. Cum aflăm termenul liber fără să îl ghicim?

Desfacem paranteza și izolăm ordonata: $y=y_0+mx-m{x}_0$. Rezultă forma explicită

$$y=mx+b,b=y_0-m{x}_0.$$

Am folosit litera $b$ pentru termenul liber. Litera aleasă nu schimbă rolul lui: este ordonata pentru abscisa zero. În general, $b$ nu este ordonata punctului cunoscut. Cele două coincid numai dacă produsul $m{x}_0$ este zero.

Datele au două funcții diferite. Panta devine coeficientul abscisei, iar punctul stabilește termenul liber. Dacă alegi alt termen liber fără să schimbi panta, ai o dreaptă cu aceeași direcție, dar care nu mai trece în general prin punctul impus.

Forma punct-pantă rămâne un răspuns matematic complet. Nu trebuie desfăcută dacă enunțul nu cere o anumită formă și dacă ea arată clar datele. Forma explicită este utilă pentru calculul rapid al ordonatelor. Alegem scrierea potrivită scopului, păstrând aceeași mulțime de puncte.

O verificare independentă poate porni direct de la forma explicită: înlocuim $x=x_0$ și controlăm dacă $m{x}_0+b=y_0$. Apoi verificăm coeficientul lui $x$. Numai prima verificare nu este suficientă: printr-un punct trec și alte drepte, cu pante diferite.

5. Când două ecuații descriu aceeași dreaptă?

Mutând toți termenii într-un membru, obținem o ecuație de forma $ax+by+c=0$, în care coeficienții lui $x$ și $y$ nu sunt simultan zero. În forma generală, literele $a,b,c$ notează coeficienți; ele nu trebuie confundate cu numele punctelor sau cu termenul liber folosit într-o altă scriere.

Înmulțirea întregii ecuații cu o constantă nenulă păstrează exact soluțiile. De aceea, două ecuații cu toți coeficienții proporționali prin același factor nenul pot descrie aceeași dreaptă. Unicitatea dreptei nu impune unicitatea felului în care scriem ecuația.

Este esențial să multiplicăm și termenul constant. Schimbarea doar a coeficienților variabilelor poate deplasa dreapta. De asemenea, înmulțirea cu zero ar produce o egalitate verificată de orice punct al planului, pierzând informația inițială. Factorul nenul este o condiție, nu un detaliu de prezentare.

Coeficienții întregi sunt uneori mai comozi, dar nu sunt obligatorii pentru corectitudinea unei ecuații de dreaptă. O ecuație cu fracții exacte poate fi complet corectă. Dacă enunțul cere coeficienți întregi, înmulțim cu un numitor comun; altfel alegem forma cea mai clară și nu transformăm o preferință de scriere într-o condiție matematică.

Pentru verificarea pantei dintr-o formă generală neverticală, izolăm $y$. Coeficientul lui $x$ în forma explicită trebuie să fie cel dat. Nu atribuim panta unei litere doar fiindcă în altă formulă acea literă a notat-o.

Pentru aceeași dreaptă, o schimbare de literă a variabilei nu reprezintă o schimbare de coordonate. Dacă într-o aplicație abscisa se numește timp, trebuie să păstrăm sensul ei în toate calculele. În schimb, schimbarea unității timpului este o transformare a valorilor numerice și cere actualizarea coeficienților. De exemplu, o rată exprimată pe minut trebuie convertită înainte de a folosi secundele drept abscise. Ecuațiile pot descrie același fenomen în unități diferite, dar nu se compară ca expresii în aceeași variabilă până când unitățile nu au fost armonizate.

Un al doilea punct construit prin pantă oferă un control suplimentar ușor de desenat. Alege o variație simplă a abscisei, calculează variația ordonatei și verifică noua pereche în ecuația simplificată. Dacă ea nu aparține, transformarea algebrică a schimbat una dintre informațiile inițiale. Punctul nou nu este o ipoteză suplimentară; este o consecință pe care rezultatul trebuie să o respecte.

6. Ce se întâmplă la panta zero și la direcția verticală?

Panta zero este un număr real admis. Formula devine $y-y_0=0$, deci $y=y_0$. Abscisa poate varia liber, iar ordonata rămâne fixă. Punctul dat și panta zero determină o orizontală, fără nicio excepție a formulei.

O verticală nu are pantă reală. Dacă enunțul cere verticala prin $A$, informația este despre direcția verticală, nu despre o valoare a lui $m$. Ecuația ei este $x=x_0$, deoarece toate punctele păstrează abscisa lui $A$.

Această distincție delimitează corect metoda. Printr-un punct și cu o pantă reală dată există o singură dreaptă, întotdeauna neverticală. Printr-un punct și cu direcția verticală dată există tot o singură dreaptă, descrisă însă fără formula punct-pantă.

Absența unei pante nu împiedică testarea apartenenței. Pentru o verticală, verifici abscisa. Pentru o orizontală, verifici ordonata. Ecuația rămâne o condiție asupra perechii de coordonate, chiar dacă una dintre variabile nu apare explicit în ea.

Clasificarea sistematică a pozițiilor va fi tratată în lecția M2 despre orizontale, verticale și oblice. Aici folosim cazurile numai pentru a ști când formula construită se aplică și cum completăm răspunsul dacă enunțul schimbă tipul de informație.

7. Cum folosim ecuația după ce am construit-o?

Dacă vrem ordonata unui punct de abscisă cunoscută, înlocuim abscisa în forma explicită. Dacă vrem să verificăm un punct complet, comparăm ordonata produsă de formulă cu ordonata dată. O singură neconcordanță arată că punctul nu aparține dreptei.

Pentru o abscisă necunoscută, impunem ordonata cerută și rezolvăm ecuația. Dacă panta este nenulă, rezultă o singură abscisă. Dacă panta este zero, ordonata cerută coincide cu valoarea constantă sau diferă de ea: sunt posibile toate abscisele ori niciuna. Nu împărțim prin pantă înainte să știm că este nenulă.

O condiție suplimentară poate determina un parametru al punctului sau al ecuației. Înlocuirea se face în relația finală, păstrând datele inițiale fixe. După rezolvare, controlăm că parametrul respectă toate restricțiile din enunț și că rezultatul nu schimbă panta impusă.

La calcule repetate, este util să păstrăm forma cu punctul de referință. Diferența $x-x_0$ poate fi mică și ușor de calculat chiar dacă abscisele sunt mari. Nu există obligația de a reconstrui mai întâi valoarea de la zero când întrebarea se referă la o modificare în jurul observației cunoscute.

8. Cum deosebim dreapta completă de modelul unui experiment?

Într-o aplicație, definim întâi variabilele și unitățile. O observație de forma „la minutul patru masa este...” furnizează un punct cu abscisa patru. O rată constantă furnizează panta, cu unitatea masă pe timp. Ecuația leagă cele două informații pe intervalul pentru care modelul este acceptat.

Punctul de referință nu trebuie să fie prima observație și nici momentul zero. Formula folosește diferența față de momentul cunoscut. Putem calcula înainte sau înapoi în cadrul intervalului declarat, fără să schimbăm semnul ratei; sensul deplasării este purtat de diferența momentelor.

Valoarea algebrică la zero poate să nu aibă sens experimental dacă zero este în afara domeniului. Ea este atunci doar o valoare a dreptei prelungite, nu o măsurătoare făcută la început. Această precizare previne concluzii despre un proces care nu a fost modelat acolo.

Controlăm și semnul mărimii. O temperatură poate fi negativă, dar o masă nu. Domeniul finit poate evita valori fizic imposibile. Nu modificăm o rată pentru a ascunde o contradicție; verificăm ipotezele și precizăm unde folosim regula.

Două informații exacte într-un model declarat produc o ecuație exactă în acel model. Datele experimentale aproximative cer o interpretare aproximativă. În exercițiile următoare, convențiile sunt precizate, astfel încât partea algebrică să poată fi verificată separat de descrierea fenomenului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Construire și control prin două condiții

Scrie ecuația dreptei prin $C(-8,3)$ cu panta $-3/4$ și calculează ordonata ei la abscisa patru.

Rezolvare. Forma de pornire este $y-3=(-3/4)(x+8)$. După desfacere, $y=-3x/4-3$, echivalent cu $3x+4y+12=0$.

Panta este $-3/4$, iar pentru abscisa minus opt obținem ordonata trei. La $x=4$, ordonata este $y=-6$. Controlul folosește atât direcția, cât și punctul; una dintre informații nu o înlocuiește pe cealaltă.

Exemplul 2 — Ordonata cunoscută nu este termenul liber

Dreapta trece prin $D(5,-4)$ și are panta doi. Un elev propune $y=2x-4$. Identifică eroarea și reconstruiește ecuația.

Rezolvare. La abscisa cinci, formula propusă produce șase, nu minus patru. Elevul a folosit ordonata punctului drept termen liber, fără să țină cont de abscisa lui.

Ecuația corectă este $y+4=2(x-5)$, adică $y=2x-14$. Acum $2\cdot 5-14=-4$. Coeficientul abscisei era corect în propunerea inițială; eroarea privea poziția dreptei.

Exemplul 3 — Trei scrieri ale aceluiași obiect

Pentru punctul $E(6,-1)$ și panta $2/5$, compară ecuațiile $y+1=(2/5)(x-6)$, $2x-5y-17=0$ și $-4x+10y+34=0$.

Rezolvare. Prima relație, înmulțită cu cinci și rearanjată, dă a doua. A treia se obține înmulțind a doua cu minus doi, factor nenul.

Toate descriu aceeași dreaptă. Substituția punctului dă $12+5-17=0$, iar forma explicită este $y=2x/5-17/5$. Nu există trei soluții geometrice ale problemei; există trei scrieri echivalente ale aceleiași soluții.

Exemplul 4 — O ordonată cerută pe o orizontală

Dreapta prin $F(-11,7)$ are panta zero. Care puncte ale ei au ordonata șapte? Există pe ea un punct cu ordonata opt?

Rezolvare. Ecuația este $y=7$. Orice punct $(x,7)$, cu $x$ real, verifică relația. Abscisa nu este obligată să fie minus unsprezece.

Niciun punct cu ordonata opt nu satisface ecuația. Acest caz arată de ce o ordonată dată nu determină întotdeauna o singură abscisă: la pantă zero putem avea toate abscisele sau niciuna.

Exemplul 5 — Un ritm biologic pe un interval declarat

Într-un experiment de biologie, un pește de acvariu face în medie $N=26$ mișcări ale operculelor pe minut când apa are $T=8$ grade Celsius. Pe intervalul $4\le T\le 12$, observațiile arată că ritmul crește cu $1,5$ mișcări pe minut pentru fiecare grad. Scrie regula și află ritmul la zece grade.

Rezolvare. Folosim observația ca punct de referință: $N-26=1,5(T-8)$. Rezultă $N=1,5T+14$, pentru intervalul declarat. La zece grade, $N=29$ mișcări pe minut.

Valoarea paisprezece de la temperatura zero este a prelungirii algebrice. Zero nu este în intervalul observațiilor, deci nu o prezentăm ca ritm măsurat al peștelui. Modelul este o ipoteză a exercițiului, nu o lege universală despre respirația peștilor.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Dreapta $d$ trece prin $G(4,-5)$ și are panta $-5/2$. Scrie o ecuație generală și află $t$ pentru care $H(-2,t)$ aparține ei.

Rezolvare. $y+5=(-5/2)(x-4)$ conduce la $y=-5x/2+5$, respectiv $5x+2y-10=0$.

Pentru $x=-2$ rezultă $t=10$. Verificăm punctul inițial: $20-10-10=0$. Ecuația are panta cerută și produce coordonata necunoscută prin substituție.

Să exersăm

Scrie forma care păstrează vizibile datele, apoi simplifică dacă este util. În răspunsul final, verifică punctul și panta. La o aplicație, adaugă domeniul și unitățile, astfel încât ecuația să răspundă exact situației descrise.

1. Scrie ecuația dreptei prin $A(3,-5)$, cu panta patru.

2. Scrie ecuația dreptei prin $B(-4,7)$, cu panta $-3/2$.

3. Pentru $C(7,2)$ și $m=3/7$, scrie forma punct-pantă și o formă generală cu coeficienți întregi.

4. Dreapta prin $D(9,-6)$ are panta zero. Scrie ecuația și un alt punct al ei.

5. Scrie ecuația verticalei prin $E(8,-3)$. Ce informație înlocuiește aici valoarea unei pante?

6. O dreaptă trece prin $F(4,9)$ și are panta $1/4$. Un elev scrie $y=x/4+9$. Corectează termenul liber.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Relațiile $y-6=3(x+2)$ și $6x-2y+24=0$ descriu aceeași dreaptă.

8. Pentru dreapta prin $G(-3,2)$ cu panta $-2/3$, află ordonata de la abscisa $9$.

9. Pentru dreapta prin $H(6,1)$ cu panta $5/2$, află abscisa punctului cu ordonata minus nouă.

10. Dreapta prin $K(2,11)$ are panta $-2$. Câte puncte ale ei au ordonata unsprezece? Dar orizontala prin $K$?

11. (Problemă aplicată.) Într-o mină, la adâncimea de $200$ m, temperatura rocii este $16$ °C. În model, ea crește cu $3$ °C la fiecare $100$ m de adâncime (gradientul geotermic), numai pentru $100\le h\le 1000$, cu $h$ în metri. Scrie temperatura în funcție de adâncime și află valoarea la $600$ m.

12. Lungimea $y$, în centimetri, a unei ramuri noi de viță-de-vie a fost urmărită din ziua $x=10$ până în ziua $x=20$, iar pe acest interval creșterea e descrisă de un model liniar. În ziua $12$ ramura are $31$ cm și crește cu $2$ cm pe zi. Scrie formula și află în ce zi ramura ajunge la $45$ cm. Este valoarea calculată la $x=0$ validată de acest model?

13. O dreaptă are panta $-4$ și trece prin $(5,0)$. Verifică separat dacă punctele $(4,4)$ și $(6,3)$ îi aparțin.

14. Forma $y-4=(5/3)(x+6)$ este transformată prin împărțire la $x+6$. Ce punct al dreptei este exclus din noua scriere cu fracție?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află $b$ astfel încât $y=3x/2+b$ să treacă prin $L(-6,5)$. Scrie și o ecuație generală.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dreapta prin $M(10,-2)$ are panta $-1/5$. Află $t$ pentru care $(0,t)$ îi aparține.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Scrie ecuația dreptei prin $N(-7,4)$, cu panta $4/7$, și verifică punctul $(7,12)$.

18. (Provocare.) Două ecuații propuse pentru punctul $P(1,-2)$ și panta trei sunt $y=3x-5$ și $y=-x-1$. Ambele trec prin punct. Sunt ambele soluții ale problemei? Precizează controlul care le deosebește.

Răspunsuri și explicații

1. $y+5=4(x-3)$, deci $y=4x-17$. La abscisa trei se obține minus cinci, iar coeficientul abscisei este panta cerută.

2. $y-7=(-3/2)(x+4)$, deci $y=-3x/2+1$. Punctul dat verifică relația, deoarece la abscisa minus patru rezultă șapte.

3. $y-2=(3/7)(x-7)$, echivalent cu $3x-7y-7=0$. Înmulțirea cu șapte se aplică întregii egalități, păstrând toate punctele ei.

4. Ecuația este $y=-6$; de exemplu, $(0,-6)$ este alt punct. Abscisa poate varia, deși ordonata este fixată.

5. Ecuația este $x=8$. Datele precizează direcția verticală; nu există un număr real care să joace aici rolul pantei.

6. Termenul liber este $9-(1/4)\cdot 4=8$. Ecuația corectă este $y=x/4+8$. Valoarea nouă la abscisa patru trebuie să fie $9$.

7. Adevărat. Prima ecuație devine $y=3x+12$, iar a doua, împărțită prin minus doi, conduce la aceeași formă. Factorul folosit este nenul.

8. $y-2=(-2/3)(x+3)$, deci $y=-2x/3$. La abscisa $9$ obținem $y=-6$. Diferența absciselor față de punctul cunoscut este doisprezece.

9. $-9-1=(5/2)(x-6)$ dă $x-6=-4$, deci $x=2$. Panta este nenulă, astfel încât această ordonată determină o singură abscisă.

10. Ecuația este $y=-2x+15$. Condiția $-2x+15=11$ dă $x=2$, deci un singur punct, chiar $K$. Orizontala prin $K$, $y=11$, are infinit de multe puncte cu această ordonată: panta nenulă fixează abscisa, panta zero o lasă liberă.

11. Panta este $3/100=0,03$ °C/m, iar $T-16=0,03(h-200)$, deci $T=0,03h+10$, în grade Celsius, pentru $100\le h\le 1000$. La $600$ m, temperatura este $28$ °C. Valoarea $10$ °C de la $h=0$ aparține prelungirii: suprafața nu face parte din domeniul declarat.

12. $y-31=2(x-12)$ dă $y=2x+7$, în centimetri, pe intervalul declarat. Din $2x+7=45$ rezultă $x=19$, zi aflată în interval, deci răspunsul e susținut de model. Valoarea de $7$ cm de la $x=0$ este a prelungirii dreptei: ziua zero nu a fost observată, deci modelul nu o validează.

13. Ecuația este $y=-4x+20$. Primul punct aparține, fiindcă produce ordonata patru. La abscisa șase obținem minus patru, diferit de trei, deci al doilea nu aparține.

14. Este exclus punctul $(-6,4)$, care verifică ecuația inițială. Împărțirea printr-o expresie nulă la acel punct cere o restricție și pierde soluția respectivă.

15. $5=-9+b$ dă $b=14$. Ecuațiile sunt $y=3x/2+14$ și $3x-2y+28=0$, cu aceeași pantă și același punct impus.

16. $y+2=(-1/5)(x-10)$ dă $y=-x/5$. La abscisa zero rezultă $t=0$. Termenul liber nul a fost dedus din ambele date.

17. $y-4=(4/7)(x+7)$ dă $y=4x/7+8$. Pentru $x=7$, obținem doisprezece, deci punctul cerut aparține dreptei.

18. Numai prima este soluție: are panta trei. A doua trece prin același punct, dar are panta minus unu. Apartenența punctului nu verifică singură toate condițiile problemei.

De reținut

• Punctul fixează o valoare de referință, iar panta fixează schimbarea. Cele două informații determină o dreaptă neverticală unică.
• Forma fără fracție include și punctul cunoscut. Nu păstra o restricție care provenea numai din calculul intermediar al raportului.
• Termenul liber se calculează din punct și pantă; ordonata observației nu este automat valoarea de la zero.
• Ecuațiile obținute prin transformări echivalente descriu același obiect. Multiplicarea unei ecuații folosește un factor nenul și toți termenii.
• Un model aplicat se scrie împreună cu domeniul și unitățile. O prelungire algebrică nu devine automat o predicție validată.

Greșeli frecvente

• Ordonata observației copiată drept termen liber. Verifică la ce abscisă a fost observată; valoarea de la zero se reconstruiește.
• Păstrarea restricției care exclude punctul de referință. Relația fără fracție îl include și trebuie verificată și acolo.
• Ecuații cu aspect diferit numărate drept drepte diferite. Caută transformarea întregii egalități printr-un factor nenul.
• Termenul constant omis la multiplicarea ecuației. Un factor nenul se aplică tuturor termenilor; multiplicarea numai a coeficienților variabilelor poate schimba dreapta.
• Valoarea din afara intervalului de valabilitate prezentată ca măsurătoare. Separă domeniul experimentului de prelungirea geometrică a dreptei.

Aplică acasă

1. Scrie mai multe ecuații care se obțin una din alta prin multiplicare cu factori nenuli. Ascunde o ecuație greșită, în care numai termenul constant a fost schimbat. Folosește un punct pentru a o identifica.
2. Pregătește două fișe cu aceeași pantă și puncte diferite. Construiește dreptele, apoi explică ce informație a rămas comună și ce informație a schimbat poziția fiecăreia.
3. Inventează un model liniar dintr-o observație de științe, valabil pe un interval care nu conține zero. Cere unui coleg o valoare din interval și una din afara lui. Separați posibilitatea calculului algebric de concluzia justificată despre fenomen.

Pentru părinți și profesori

Controlul important are două părți: ecuația trece prin punct și are panta cerută. Întrebarea „Ce verifică această substituție?” ajută elevul să nu considere un singur calcul drept probă a tuturor condițiilor. Dacă apar dificultăți de transformare, se poate relua rezolvarea ecuațiilor cu numere raționale.

Programa și examenul. Ecuația din punct și pantă este conținut explicit al unității IX.5 din programa Științe, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată din clasa a IX-a a anului 2026–2027. La MAT_P2 din 2030 intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”. Programa M_șt-nat pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 include ecuația dreptei determinate de un punct și o direcție. Modelul oficial 2026 ilustrează geometria analitică la Subiectul I; exemplele acestei pagini sunt proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: dreapta din punct și pantă rămâne o resursă separată. În traseul M2, ecuația dreptei prin două puncte va folosi metoda de aici după reconstruirea pantei din date.

Întrebări frecvente

De ce ordonata punctului cunoscut nu este mereu termenul liber?

Termenul liber este valoarea ordonatei pentru abscisa zero. Punctul dat poate avea altă abscisă, deci trebuie să folosim panta pentru revenirea la zero. Scrierea din punct și variație păstrează acest sens. Copierea directă a ordonatei drept termen liber poate conserva panta, dar deplasează dreapta față de punctul impus.

Punctul de referință se pierde când elimin fracția pantei?

Nu, relația fără fracție este verificată și de punctul cunoscut, deoarece ambele diferențe devin zero. Restricția numitorului aparținea calculului intermediar al raportului dintre două puncte distincte. Nu o păstrezi în ecuația finală, altfel ai descrie dreapta cu un punct eliminat, deși cerința solicită întreaga dreaptă.

Pot obține ecuații diferite pentru o dreaptă unică?

Da, ca scriere. Mutarea termenilor sau înmulțirea întregii egalități cu un factor nenul păstrează aceleași puncte. Unicitatea privește obiectul geometric. Pentru a compara răspunsurile, transformă ecuațiile la o formă comună și verifică toți coeficienții, inclusiv termenul constant; aspectul vizual diferit nu dovedește o soluție diferită.

Pot calcula înapoi față de momentul observației?

Da, în interiorul domeniului pentru care modelul este valabil. Diferența momentelor devine negativă și formula gestionează sensul schimbării. Nu modifica separat semnul ratei. Dacă momentul cerut este în afara intervalului validat, valoarea obținută aparține prelungirii algebrice și nu este automat o predicție justificată despre experiment.

Cum este adaptată lecția M2 față de varianta M1?

Păstrează formula comună și oferă explicațiile necesare aici, cu exemple despre controlul celor două condiții, ecuații echivalente și intervale de valabilitate ale modelelor. Sunt tratate explicit informațiile insuficiente și valorile nevalidate ale unui model. Nu trebuie să parcurgi materialul M1 pentru a selecta ce se cere în traseul Științe.

Ce scriu la o cerință de Subiectul I, Bacalaureatul M2?

Identifică punctul și panta, scrie ecuația, apoi efectuează transformarea cerută și un control al datelor. Explică de ce rezultatul păstrează ambele condiții, chiar dacă îl scrii într-o formă echivalentă. Exersează în testul M2 de geometrie analitică, unde metoda se leagă de celelalte noțiuni ale unității.