Dreapta prin două puncte (M2, științe ale naturii)

Două repere de poziție pot fixa o direcție și o amplasare fără să ni se ofere separat panta. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), construim ecuația dreptei prin două puncte și controlăm ce permit datele. Tema se regăsește în programa Bacalaureatului M2 2027–2029 și în „Geometrie. Trigonometrie”, domeniul probei MAT_P2 din 2030 care include geometria analitică a clasei a IX-a.

Vom folosi ecuația din punct și pantă, după calcularea raportului dintre variațiile coordonatelor. Cazurile cu abscise egale se citesc direct, iar datele coincidente se recunosc înainte de împărțire. În aplicații vom separa dreapta completă de segmentul dintre observații și de intervalul în care un model este declarat valabil.

Ce vei învăța

• Vei verifica dacă datele reprezintă două puncte distincte și dacă permit calcularea pantei.
• Vei construi ecuația folosind un punct și variația dintre cele două observații.
• Vei folosi o relație fără numitori, care acoperă și pozițiile orizontală sau verticală.
• Vei distinge unicitatea dreptei de existența mai multor scrieri echivalente ale ecuației.
• Vei verifica apartenența la dreaptă fără să o confunzi cu apartenența la segment.
• Vei formula corect o regulă liniară din două date, cu ipoteza și domeniul ei.

Hai să descoperim împreună

1. Ce trebuie verificat înaintea formulelor?

Dreapta determinată de două puncte distincte este unica dreaptă care le conține pe amândouă. Condiția de distinctivitate înseamnă că cel puțin una dintre coordonate diferă. Nu este necesar să difere ambele coordonate și nu este suficient ca punctele să fie notate cu litere diferite.

Dacă $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ coincid, datele descriu un singur punct. Prin el trec mai multe drepte, astfel încât problema nu are o soluție geometrică unică. Nu alegem o direcție pentru a completa tacit informația lipsă.

Dacă punctele sunt distincte, comparăm abscisele. Când ele sunt diferite, calculăm panta. Când ele coincid, ordonatele trebuie să fie diferite, iar dreapta este verticală. Acest control elimină orice încercare de împărțire la zero.

O schemă scurtă a deciziei este: întâi verifici dacă ai două puncte, apoi alegi metoda potrivită poziției lor. Calculul numeric vine după aceste verificări. Ele sunt parte a rezolvării, nu o observație opțională adăugată după ce formula a produs un rezultat fără sens.

Unicitatea se referă la dreaptă, adică la mulțimea punctelor ei. Nu înseamnă că există un singur șir de simboluri care o descrie. Aceeași ecuație poate fi rearanjată sau înmulțită cu un factor nenul, păstrând exact același obiect geometric.

2. Cum construim ecuația când abscisele diferă?

Calculăm întâi $m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)$. Folosim aceeași ordine a punctelor în cele două scăderi. Apoi alegem unul dintre punctele cunoscute și scriem $y-y_A=m(x-x_A)$.

Pentru $A(-4,-3)$ și $B(2,5)$, variațiile sunt șase pe orizontală și opt pe verticală. Panta este $4/3$. Ecuația construită din primul punct este $y+3=(4/3)(x+4)$, echivalent cu $4x-3y+7=0$.

Verificăm ambele date în forma generală. Primul punct produce $-16+9+7=0$, iar al doilea produce $8-15+7=0$. Panta formei explicite este $4/3$, concordantă cu raportul calculat din coordonate.

Nu trebuie să alegi întotdeauna primul punct pentru formula finală. Un punct cu o coordonată zero sau cu numere mai mici poate simplifica operațiile. Alegerea schimbă traseul calculelor, nu dreapta obținută. La sfârșit, ambele puncte trebuie să satisfacă aceeași relație.

Păstrează suficiente etape ca să se vadă originea coeficienților. Un rezultat corect, dar fără legătura cu datele, nu arată dacă ai construit dreapta cerută sau ai ghicit o ecuație. Diferențele și punctul folosit fac argumentul verificabil.

3. Cum scriem o relație care nu împarte prin diferențe?

Pornind de la formula anterioară și eliminând numitorul, obținem

$$(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0.$$

Această relație folosește numai diferențe, înmulțiri și o scădere. Pentru două puncte distincte, ea este o ecuație a dreptei lor inclusiv când una dintre diferențele de coordonate este zero. Nu este necesară memorarea unei proporții cu doi numitori care ar cere două restricții separate.

De ce funcționează și în cazurile speciale? Dacă abscisele coincid, prima diferență este zero, iar a doua este nenulă. Rămâne o constantă nenulă înmulțită cu $x-x_A$, deci $x=x_A$. Dacă ordonatele coincid, diferența absciselor este nenulă și rezultă $y=y_A$.

În cazul general, după desfacere obținem o ecuație liniară în $x$ și $y$. Coeficienții celor două variabile nu pot fi simultan zero, deoarece aceasta ar însemna că ambele diferențe inițiale sunt nule. Tocmai condiția punctelor distincte garantează că relația descrie o dreaptă.

Dacă am introduce două puncte coincidente în aceeași expresie, ar rămâne identitatea $0=0$, verificată de orice punct al planului. Acesta este un semnal că datele nu au fixat direcția. Nu interpretăm identitatea drept o ecuație utilă a unei drepte unice.

Metoda fără numitori este un control alternativ. Pentru un calcul scurt, poți prefera panta și un punct. Pentru un caz cu coordonate egale, citirea directă este și mai simplă. Alegerea metodei nu schimbă obligația de a verifica ipotezele.

4. Cum tratăm coordonatele care se repetă?

Două puncte distincte cu aceeași ordonată se află pe o orizontală. Ecuația fixează acea ordonată, iar abscisa poate fi orice număr real. Panta există și este zero. Nu trebuie ca ordonata comună să fie pozitivă.

Două puncte distincte cu aceeași abscisă se află pe o verticală. Ecuația fixează abscisa comună, iar ordonata este liberă. Dreapta nu are pantă reală, dar este determinată fără ambiguitate de date.

Când una dintre coordonate este zero, punctul se află pe o axă, însă metoda nu se schimbă. Nu este necesar ca ambele puncte să fie pe axe și nici ca dreapta să treacă prin origine. Un zero poate doar să simplifice substituția.

Ordinea punctelor nu schimbă dreapta. În relația fără numitori, schimbarea ambelor puncte conduce la o expresie echivalentă, eventual cu semn opus. În metoda cu pantă, ambele diferențe își schimbă semnul, iar raportul rămâne același. Răspunsurile se compară după simplificare.

Evită să deduci poziția din aspectul unei schițe făcute repede. Două abscise apropiate nu sunt abscise egale. O dreaptă foarte înclinată rămâne neverticală dacă diferența absciselor este nenulă. Datele exacte au prioritate față de impresia vizuală.

5. Cum verificăm o ecuație propusă?

Întâi controlăm că ecuația reprezintă într-adevăr o dreaptă. Într-o formă generală $ax+by+c=0$, coeficienții $a$ și $b$ nu trebuie să fie simultan nuli. O egalitate fără variabile poate fi o contradicție sau o identitate; niciuna nu descrie o dreaptă unică.

Apoi înlocuim coordonatele fiecărui punct. Dacă ambele satisfac o ecuație de dreaptă și punctele sunt distincte, unicitatea geometrică arată că aceasta este dreapta căutată. Verificarea presupune deci atât datele distincte, cât și natura ecuației.

Două rezultate cu coeficienți diferiți pot fi echivalente. Dacă unul se obține din celălalt prin multiplicarea tuturor coeficienților cu aceeași constantă nenulă, soluțiile coincid. Nu este obligatoriu ca autorii a două rezolvări să aleagă aceeași orientare a scăderilor sau același semn final.

Pe de altă parte, trecerea prin ambele puncte nu justifică folosirea oricărei expresii ca ecuație de dreaptă. Condiția trebuie să fie cea potrivită obiectului cerut. În această lecție lucrăm cu ecuații liniare și verificăm coeficienții lor, fără a introduce alte familii de curbe.

Un control al semnului pantei poate descoperi rapid o eroare. Dacă ordonata scade între două abscise crescătoare, forma explicită trebuie să aibă coeficient negativ. Acest control calitativ completează substituțiile, dar nu le înlocuiește: multe drepte pot coborî fără să treacă prin punctele problemei.

6. Dreapta și segmentul dintre puncte sunt același lucru?

Nu. Dreapta prin două puncte se prelungește fără capete în ambele sensuri. Segmentul dintre ele conține numai punctele dintre capete, inclusiv capetele dacă nu se precizează contrariul. Ecuația dreptei nu exprimă singură această limitare.

Când abscisele capetelor sunt diferite, segmentul poate fi descris prin ecuația dreptei împreună cu condiția ca abscisa să fie între abscisele capetelor. Pe o dreaptă neverticală, fiecare abscisă fixează o singură ordonată, astfel încât restricția selectează exact porțiunea dorită.

Pentru un segment vertical, abscisa este deja fixă, deci intervalul trebuie pus asupra ordonatei. Alegerea coordonatei care variază contează. Dacă ai impune numai abscisa comună, ai păstra întreaga verticală, fără să limitezi înălțimea punctelor.

Această distincție apare în trasee și în modele din științe. Două repere pot marca limitele unei șine sau capetele unui interval de măsurare. Un punct poate verifica ecuația dreptei suport și totuși să se afle dincolo de porțiunea permisă. Apartenența la dreaptă este doar primul control.

La răspuns, spune ce obiect ai construit. Dacă enunțul cere dreapta, nu o restrânge arbitrar la intervalul dintre puncte. Dacă cere o porțiune de model, nu o extinde fără justificare. Aceleași calcule de ecuație pot fi urmate de domenii diferite, după cerință.

7. Ce model putem construi din două observații?

Două observații cu abscise diferite determină o regulă afină candidată. Pentru a o folosi drept model al unui fenomen, trebuie să se precizeze că variația este liniară pe intervalul ales sau că se adoptă această aproximare. Punctele nu dovedesc singure comportamentul dintre ele.

Definim variabilele înainte de calcul. Dacă abscisa este forța în newtoni și ordonata este lungimea în centimetri, panta se exprimă în centimetri pe newton. Nu inversăm rolurile axelor în mijlocul rezolvării; am reconstrui o altă relație și alte unități.

O valoare calculată între cele două observații este o valoare a modelului în interiorul intervalului. O valoare din afară cere o justificare suplimentară a extinderii. Faptul că formula produce un număr nu arată că aparatul sau fenomenul se comportă la fel acolo.

Dacă observațiile au aceeași abscisă și ordonate diferite, ele determină o verticală în plan, dar nu o regulă care să atribuie acelei abscise o singură ordonată. Într-un tabel de măsurători cu o singură valoare pentru fiecare intrare, datele ar fi incompatibile cu acest tip de model. Geometria și interpretarea tabelului trebuie citite împreună.

Într-un tabel cu valori aproximative, o mică abatere de la o linie poate proveni din rotunjire sau măsurare. Lecția lucrează cu date exacte ori cu o regulă liniară declarată. Pentru date experimentale reale, stabilirea unei toleranțe ar fi o condiție suplimentară, care trebuie oferită înainte de verdictul de compatibilitate.

O a treia observație, dacă este disponibilă, oferă un control al modelului construit din primele două. Introducem coordonatele ei în ecuație. Egalitatea confirmă compatibilitatea acelei observații, iar o nepotrivire arată că cele trei date exacte nu urmează aceeași dreaptă. Chiar și compatibilitatea tuturor datelor disponibile rămâne un control al observațiilor, fără a demonstra o lege nelimitată a fenomenului.

8. Cum redactăm o rezolvare care păstrează sensul datelor?

Începe prin a numi punctele și a verifica dacă sunt distincte. Alege metoda după coordonate, apoi scrie o ecuație completă. Dacă folosești panta, arată diferențele din care ai obținut-o. Dacă recunoști o verticală sau o orizontală, precizează coordonata comună.

După simplificare, verifică ambele puncte în forma pe care o dai ca răspuns. Dacă problema cere o ordonată suplimentară, abia acum introduci noua abscisă. Dacă cere un segment ori un model finit, adaugi domeniul și controlezi că punctul calculat aparține porțiunii admise.

Nu transforma absența unei formule preferate într-o imposibilitate a problemei. O verticală are ecuație chiar dacă metoda cu pantă nu se aplică. În schimb, două puncte coincidente nu determină o dreaptă unică, indiferent câte formule încerci. Alegerea metodei trebuie să răspundă informației disponibile.

Pentru o problemă aplicată, încheie cu o propoziție care include mărimea, valoarea și unitatea. Precizează dacă rezultatul descrie modelul declarat sau este o observație măsurată. Această ultimă diferență arată ce ai demonstrat prin algebră și ce era ipoteză a situației.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O dreaptă cu pantă fracționară

Determină ecuația dreptei prin $C(-5,-4)$ și $D(7,2)$.

Rezolvare. Punctele au abscise diferite. Panta este $m=(2+4)/(7+5)=6/12=1/2$. Formula din primul punct dă $y+4=(1/2)(x+5)$, deci $y=x/2-3/2$.

O formă generală este $x-2y-3=0$. Verificările sunt $-5+8-3=0$ și $7-4-3=0$. Ambele puncte satisfac o ecuație de dreaptă, ceea ce confirmă obiectul cerut.

Exemplul 2 — Diferențe cu semne opuse

Scrie ecuația dreptei prin $P(-3,8)$ și $Q(5,-4)$ și află ordonata de la abscisa unu.

Rezolvare. Panta este $m=(-4-8)/(5+3)=-12/8=-3/2$. Rezultă $y-8=(-3/2)(x+3)$, adică $3x+2y-7=0$.

La abscisa unu, $3+2y-7=0$ dă $y=2$. Controlul pe date produce $-9+16-7=0$ și $15-8-7=0$. Semnul negativ al pantei corespunde coborârii de la primul punct la al doilea.

Exemplul 3 — Poziții impuse printr-un parametru

Punctele $A(2t-1,3)$ și $B(5,t+1)$ depind de numărul real $t$. Pentru ce valoare a lui $t$ determină ele o verticală? Dar o orizontală? Pot coincide?

Rezolvare. Verticala cere abscise egale: $2t-1=5$, deci $t=3$. Atunci $A(5,3)$ și $B(5,4)$ sunt distincte, iar dreapta este $x=5$. Orizontala cere ordonate egale: $t+1=3$, deci $t=2$; obținem $A(3,3)$, $B(5,3)$ și dreapta $y=3$.

Coincidența ar cere ambele egalități deodată, adică $t=3$ și $t=2$, ceea ce este imposibil. Prin urmare, pentru orice $t$ punctele determină o dreaptă unică; pentru celelalte valori ale lui $t$ ea este oblică, cu panta $(t-2)/(6-2t)$.

Exemplul 4 — Pe dreaptă, dar dincolo de segment

O șină ideală are capetele $G(-2,-4)$ și $H(4,8)$. Determină dreapta suport și verifică dacă punctul $R(5,10)$ se află pe șină.

Rezolvare. Panta este $12/6=2$, iar dreapta are ecuația $y=2x$. Punctul $R$ o verifică, fiindcă $10=2\cdot 5$.

Șina este însă segmentul cu abscisele între minus doi și patru. Abscisa cinci este în afara lui, deci $R$ se află pe prelungire, nu pe șină. Ecuația și domeniul răspund împreună întrebării practice.

Exemplul 5 — Alungirea unui arc din două măsurători

Un model liniar asociază forței de $1$ N lungimea $8$ cm a unui arc și forței de $7$ N lungimea $11$ cm. Modelul este valabil pentru $1\le F\le 7$. Află lungimea calculată pentru $4$ N.

Rezolvare. Panta este $(11-8)/(7-1)=1/2$ cm/N. Ecuația $L-8=(1/2)(F-1)$ devine $L=F/2+15/2$, în centimetri.

La forța de patru newtoni, lungimea modelată este $L=19/2=9,5$ cm. Valoarea se află între observațiile folosite. Nu deducem din aceste date comportamentul la forțe din afara intervalului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru $U(-8,1)$ și $V(4,-5)$, scrie o ecuație generală a dreptei și află $t$ astfel încât $(2,t)$ să îi aparțină.

Rezolvare. $m=(-5-1)/(4+8)=-1/2$. Ecuația $y-1=(-1/2)(x+8)$ conduce la $x+2y+6=0$.

La abscisa doi rezultă $2+2t+6=0$, deci $t=-4$. Ambele date inițiale verifică ecuația: $-8+2+6=0$ și $4-10+6=0$. Exemplul exersează metoda pe date proprii, fără preluarea unui enunț oficial.

Să exersăm

Verifică distinctivitatea punctelor înainte să alegi formula. Pentru o ecuație propusă, controlează natura ei și ambele date. În problemele cu porțiuni de traseu, răspunsul trebuie să includă și domeniul, nu numai dreapta suport.

1. Determină ecuația dreptei prin $A(-7,-4)$ și $B(3,3)$.

2. Determină ecuația dreptei prin $C(-4,10)$ și $D(2,-8)$.

3. Scrie ecuația dreptei prin $E(1,-8)$ și $F(9,-8)$.

4. Scrie ecuația dreptei prin $G(-9,-2)$ și $H(-9,6)$.

5. Pentru $P(4,7)$ și $Q(-2,s)$, află $s$ astfel încât dreapta $PQ$ să treacă prin originea reperului.

6. Pentru $M(1/2,2)$ și $N(5/2,7)$, scrie o ecuație generală cu coeficienți întregi.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dreapta prin $(-9,1)$ și $(3,4)$ trece prin originea reperului.

8. Dreapta prin $R(-2,7)$ și $S(4,1)$ are ecuația propusă $y=-x+5$. Verifică ambele puncte și află ordonata la abscisa $9$.

9. Segmentul cu capetele $T(-3,1)$ și $W(5,5)$ are dreapta suport $y=x/2+5/2$. Punctul $(7,6)$ aparține dreptei? Dar segmentului?

10. Descrie prin ecuație și interval segmentul vertical cu capetele $K(6,-5)$ și $L(6,2)$.

11. (Problemă aplicată.) Un fir de cupru are rezistența electrică $20$ Ω la $20$ °C și $24$ Ω la $70$ °C. Modelul liniar este acceptat pe $[0,100]$ °C. Scrie rezistența în funcție de temperatură și află valoarea ei la $45$ °C.

12. Un tabel care ar trebui să dea o singură valoare fiecărei intrări conține $(3,11)$ și $(3,14)$. Ce dreaptă geometrică determină punctele? Poate fi ea regula cerută de tabel?

13. Doi colegi folosesc punctele $A(-6,9)$ și $B(3,3)$ în ordine inversă. Unul obține $2x+3y-15=0$, celălalt $-2x-3y+15=0$. Au găsit drepte diferite?

14. Un segment are capetele $A(-9,-8)$ și $B(9,4)$. Scrie ecuația dreptei suport și află câte puncte cu ambele coordonate întregi se află pe segment, strict între capete.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Scrie ecuația dreptei prin $C(-5,6)$ și $D(7,-2)$, în formă generală.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $E(2,-7)$ și $F(8,5)$, află ordonata punctului dreptei de abscisă minus unu.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Scrie ecuația dreptei prin $G(-10,4)$ și $H(2,1)$ și verifică punctul $(6,0)$.

18. (Provocare.) Punctele sunt $A(a,2a)$ și $B(a+3,2a+6)$, cu $a$ real. Pentru ce valori ale lui $a$ dreapta $AB$ trece prin punctul $(0,5)$?

Răspunsuri și explicații

1. Panta este $7/10$. Ecuația este $y=7x/10+9/10$, echivalent cu $7x-10y+9=0$. Ambele puncte satisfac această relație.

2. Panta este $-18/6=-3$, iar ecuația este $y=-3x-2$, respectiv $3x+y+2=0$. La abscisele date se refac ordonatele zece și minus opt.

3. Ecuația este $y=-8$. Punctele sunt distincte, cu aceeași ordonată; dreapta este orizontală, iar abscisa poate varia liber.

4. Ecuația este $x=-9$. Punctele au aceeași abscisă și ordonate diferite. Verticala este determinată chiar dacă nu are pantă reală.

5. Dreapta prin origine și $P$ este $y=7x/4$. Punctul $Q$ trebuie să o verifice: $s=7\cdot (-2)/4=-7/2$. Pentru această valoare, $P$, $Q$ și originea se află pe dreapta $7x-4y=0$.

6. Panta este $5/2$. Din $y-2=(5/2)(x-1/2)$ obținem $y=5x/2+3/4$, deci $10x-4y+3=0$. Controlul păstrează fracțiile exacte.

7. Fals. Panta este $3/12=1/4$, iar ecuația este $y=x/4+13/4$. La abscisa zero ordonata este $13/4$, nu zero, deci originea nu aparține dreptei.

8. Pentru abscisa minus doi se obține șapte, iar pentru patru se obține unu, deci ecuația este corectă. La abscisa $9$, ordonata este minus patru.

9. Punctul aparține dreptei, fiindcă $7/2+5/2=6$. Nu aparține segmentului, deoarece abscisa șapte nu este în intervalul $[-3,5]$.

10. Condițiile sunt $x=6$ și $-5\le y\le 2$. Ecuația singură ar descrie întreaga verticală; intervalul limitează ordonata între capetele segmentului.

11. Panta este $4/50=0,08$ Ω/°C, iar regula este $R=20+0,08(T-20)$, adică $R=0,08T+18,4$, pentru $0\le T\le 100$. La $45$ °C, rezistența modelată este $22$ Ω, între cele două observații.

12. Punctele distincte determină verticala $x=3$. Ea nu poate atribui intrării trei o singură indicație: datele cer simultan două valori diferite, deci sunt incompatibile cu regula descrisă.

13. Nu. Ecuațiile se obțin una din alta prin înmulțire cu minus unu. Substituțiile dau $-12+27-15=0$ și $6+9-15=0$, confirmând aceeași dreaptă.

14. Panta este $12/18=2/3$, iar dreapta suport este $y=2x/3-2$, adică $2x-3y-6=0$. Ordonata este întreagă exact când abscisa este multiplu de trei. Strict între $-9$ și $9$ sunt abscisele $-6$, $-3$, $0$, $3$ și $6$, deci cinci puncte: $(-6,-6)$, $(-3,-4)$, $(0,-2)$, $(3,0)$, $(6,2)$.

15. $m=-8/12=-2/3$, iar $y-6=(-2/3)(x+5)$. Rezultă $2x+3y-8=0$. Datele verifică relația: $-10+18-8=0$ și $14-6-8=0$.

16. Panta este doi, iar ecuația este $y=2x-11$. Pentru abscisa minus unu, ordonata este minus treisprezece. Verificarea pe abscisa opt produce cinci.

17. $m=-3/12=-1/4$, iar ecuația este $x+4y-6=0$. Punctul $(6,0)$ o verifică. Nu este necesar un nou calcul al pantei pentru această substituție.

18. Pentru nicio valoare. Punctele sunt distincte, iar panta este $6/3=2$ pentru orice $a$. Ecuația scrisă din $A$ este $y-2a=2(x-a)$, adică $y=2x$: toate perechile determină aceeași dreaptă, prin origine. La abscisa zero ordonata ei este zero, nu cinci.

De reținut

• Două puncte distincte determină o singură dreaptă, dar aceasta admite mai multe ecuații echivalente.
• Abscisele diferite permit calcularea pantei; apoi un punct fixează poziția dreptei.
• Relația fără numitori poate fi folosită pentru orice două puncte distincte, inclusiv pentru verticale și orizontale.
• Un segment cere și restricția dintre capete. Verificarea ecuației dreptei suport nu verifică singură porțiunea permisă.
• Un model din două observații folosește o ipoteză despre fenomen și un domeniu declarat. Două ieșiri diferite pentru aceeași intrare nu pot fi descrise de o regulă cu valoare unică.

Greșeli frecvente

• Ecuația verificată numai în punctul din care a fost scrisă. O pantă greșită lasă primul punct corect; controlează și al doilea punct în forma finală.
• Ordinea punctelor schimbată doar la numărător. Scade în același sens la ambele coordonate; altfel panta iese cu semnul opus.
• Punctul de pe prelungire acceptat pe segment. Controlează intervalul dintre capete după verificarea ecuației.
• Identitatea fără variabile interpretată drept dreaptă. Verifică dacă cel puțin un coeficient al coordonatelor este nenul.
• Două măsurători considerate dovadă a legii fenomenului. Precizează că adoptarea unei reguli liniare este o ipoteză pe un interval.

Aplică acasă

1. Pe o hartă cu caroiaj, alege două repere și notează coordonatele lor. Află ecuația dreptei prin cele două repere, apoi determină punctele în care ea întâlnește o linie orizontală și una verticală a caroiajului. Verifică punctele pe hartă.
2. Desenează un segment și prelungirea lui. Marchează două puncte suplimentare pe dreapta suport, unul în interiorul segmentului și unul în afară. Scrie separat ecuația și restricția care decide diferența.
3. Notează temperatura afișată de o aplicație meteo la două ore ale aceleiași zile și scrie dreapta prin cele două observații. Calculează valoarea pentru o oră intermediară, compar-o cu cea afișată atunci și explică în scris ce arată diferența despre ipoteza liniară, nu despre geometrie.

Pentru părinți și profesori

Lecția urmărește alegerea metodei după date, nu folosirea unei singure formule în toate situațiile. Cereți elevului să explice de ce o verticală are ecuație, deși nu are pantă, și de ce ecuația finală se verifică în ambele puncte, nu doar în cel folosit la scriere. Diferența dintre dreaptă și segment este un control conceptual important.

Programa și examenul. Ecuația prin două puncte este în unitatea IX.5 din programa Științe, OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. MAT_P2 din 2030 o include în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”. Programa Bacalaureatului M2 M_șt-nat pentru 2027–2029 precizează ecuația dreptei determinate de două puncte distincte. Modelul oficial 2026 oferă un reper de geometrie analitică la Subiectul I, fără a fixa forma tuturor cerințelor viitoare.

Pentru sprijin algebric există ecuațiile cu numere raționale din gimnaziu. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: dreapta prin două puncte este separată. În continuare, intersecțiile dreptei cu axele la M2 vor folosi ecuația construită; verificarea sistematică a coliniarității este rezervată lecției ei.

Întrebări frecvente

Pot folosi relația fără numitori în orice problemă cu două puncte?

Da, dacă punctele sunt distincte. Relația nu împarte prin diferențe, deci acoperă și verticalele, și orizontalele, fără cazuri separate. Pentru puncte cu abscise diferite, metoda cu pantă dă aceeași dreaptă, adesea cu mai puține calcule. Alege metoda după date, dar verifică la final ambele puncte în ecuația obținută, indiferent de drumul ales.

Cum aleg punctul din care scriu ecuația, ca să am calcule mai simple?

Alege punctul cu coordonate mai mici sau cu un zero, fiindcă diferențele $x-x_0$ și $y-y_0$ devin mai scurte. Dreapta obținută este aceeași din oricare punct, pentru că panta este comună. Dacă un punct se află pe axa verticală, ordonata lui este chiar termenul liber. Controlul final se face însă cu ambele puncte.

Cum verific dacă punctul calculat este între cele două capete?

Mai întâi verifici ecuația dreptei. Pentru un segment nevertical, abscisa trebuie să fie între abscisele capetelor; pentru unul vertical, verifici intervalul ordonatelor. Capetele se includ dacă enunțul cere segmentul închis. Ecuația singură acceptă și punctele de pe prelungire, de aceea controlul domeniului este distinct.

De ce un tabel cu aceeași intrare și două ieșiri cere atenție?

Geometric, cele două puncte distincte determină o verticală. Dar un model care atribuie fiecărei intrări o singură valoare nu poate accepta simultan cele două ieșiri diferite. Verifică ce obiect cere problema: dreaptă în plan sau regulă cu o singură valoare pentru fiecare intrare. Aceste cerințe nu sunt echivalente.

Ce este diferit în varianta M2 față de lecția M1?

Metoda de bază este comună, dar aici sunt dezvoltate pozițiile impuse prin parametri, ecuațiile fără împărțiri, diferența dintre dreaptă și segment și limitele unui model construit din observații. Exemplele sunt proprii și nu presupun formule cu determinanți. Parcursul Științe oferă integral definițiile și controalele necesare, fără selectarea materiei din pagina M1.

Cum redactez pentru Subiectul I la Bacalaureatul M2?

Arată că datele permit metoda, calculează panta când există și scrie ecuația. Verifică punctele în forma finală și răspunde cerinței suplimentare, dacă există. Explică rolul coordonatelor și al domeniului, când acesta restrânge obiectul cerut. Poți exersa în testul M2 despre reper, distanțe și dreaptă.