Ecuații diferențiale de ordinul I (M2, științe ale naturii)

Un condensator legat la o baterie nu se încarcă dintr-odată: la început tensiunea urcă repede, apoi din ce în ce mai încet, și se oprește undeva, la o valoare pe care n-o mai depășește. O cultură de bacterii dintr-un bioreactor se poartă la fel de caracteristic, dar invers: dacă din ea se extrage necontenit aceeași cantitate, populația fie crește fără oprire, fie se stinge — și tot ce hotărăște între cele două este o singură comparație. Amândouă fenomenele ascultă de aceeași ecuație, cu aceeași soluție, iar lecția de față, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), o scrie o dată pentru toate. La bacalaureatul M2 tema nu se dă în sesiunile 2027–2029, ci abia de la proba MAT_P2 din 2030.

Ca și celelalte lecții ale unității, tema privește o singură generație. Ecuațiile diferențiale sunt aduse de programa aprobată prin OMEC 6930/2025 și ajung efectiv la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Pentru promoția care va da proba MAT_P2 din 2030, capitolul stă în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști ecuațiile de forma $y^{\prime }=ay+b$, oricum ar fi așezați termenii în enunț.
• Vei ști să afli valoarea de echilibru și să spui ce înseamnă ea pentru mărimea din model.
• Vei ști să scrii soluția generală $y=y_e+c{e}^{ax}$ și să determini constanta din condiția inițială.
• Vei ști să citești din semnul lui $a$ dacă mărimea se apropie de echilibru sau se depărtează de el.
• Vei ști să traduci un enunț din fizică sau din biologie în coeficienții $a$ și $b$ ai ecuației.
• Vei ști să verifici dacă rezultatul obținut este posibil fizic și pe ce interval are sens.

Hai să descoperim împreună

1. Ce ecuație rezolvăm aici?

Ecuație diferențială de ordinul I cu coeficienți constanți se numește o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$, în care $a$ și $b$ sunt numere reale fixate, iar $a\ne 0$. Deosebirea față de ecuațiile din lecțiile precedente stă în membrul drept: el depinde numai de funcția necunoscută, nu și de variabilă, iar dependența este de gradul întâi.

Forma nu vine întotdeauna gata scrisă. Ecuațiile $y^{\prime }=6-2y$, $y^{\prime }=-3(y-8)$ și $y^{\prime }+4y=20$ sunt toate de acest tip: prima are $a=-2$ și $b=6$, a doua se desface în $y^{\prime }=-3y+24$, iar a treia se mută într-un singur pas la $y^{\prime }=-4y+20$. Primul gest al rezolvării este, prin urmare, să aduci ecuația la forma $y^{\prime }=ay+b$ și să citești cele două numere.

Ai mai întâlnit un asemenea model. În Ecuații cu variabile separabile ai rezolvat legea răcirii, $T^{\prime }=-k(T-T_m)$, pornind direct de la fizică: era exact o ecuație de tipul de față, doar că scrisă cu literele mărimilor, nu cu $a$ și $b$. Nu o mai rezolvăm o dată; îi dăm acum numele și formula generală din care ea se obține ca un caz particular.

Când $b=0$ rămâne tiparul $y^{\prime }=ay$, rezolvat tot acolo. Lecția aceasta se ocupă, așadar, de ce aduce nou termenul liber — și, după cum vei vedea, el aduce ceva foarte concret.

2. Există o soluție care nu se mai schimbă?

Întrebarea merită pusă înaintea oricărui calcul: poate o mărime care ascultă de ecuația noastră să rămână constantă? O funcție constantă are derivata nulă, deci condiția este $0=ay+b$, adică $y=-\frac{b}{a}$. Cum $a\ne 0$, numărul acesta există și este unic.

Valoarea de echilibru a ecuației $y^{\prime }=ay+b$ este numărul $y_e=-\frac{b}{a}$; funcția constantă $y(x)=y_e$ este soluție a ecuației, și este singura soluție constantă.

Numele vine din științe: dacă mărimea pornește chiar de la $y_e$, cele două efecte care o trag în sensuri opuse — creșterea proporțională și termenul constant — se anulează reciproc, iar sistemul stă pe loc. Într-un circuit, echilibrul este tensiunea sursei; la o cultură din care se extrage continuu, este pragul sub care populația nu se mai poate reface.

Reține și forma în care ecuația arată cel mai limpede: scoțând $a$ factor, $y^{\prime }=a\left(y+\frac{b}{a}\right)$, adică $y^{\prime }=a\left(y-y_e\right)$. Viteza de variație este proporțională nu cu mărimea însăși, ci cu abaterea ei de la echilibru.

3. Cum arată toate soluțiile?

Ultima scriere de mai sus spune ce avem de făcut. Notăm cu $z$ abaterea de la echilibru, $z=y-y_e$. Cum $y_e$ este un număr, $z^{\prime }=y^{\prime }$, iar ecuația devine $z^{\prime }=az$ — chiar tiparul rezolvat prin separarea variabilelor în lecția precedentă, unde ai și văzut de ce membrul stâng al unei ecuații separate este o derivată.

De acolo știm că $z=c{e}^{ax}$, cu $c$ număr real. Revenind la $y$, obținem soluția generală

$$y(x)=y_e+c{e}^{ax},y_e=-\frac{b}{a}.$$

Nu e o metodă nouă: e metoda din lecția precedentă, aplicată o singură dată, cu litere, pe o ecuație scrisă în general. De aici înainte rezultatul se folosește ca formulă, iar rezolvarea unui exercițiu are trei rânduri: citești $a$ și $b$, scrii $y_e$ și soluția generală, afli $c$ din condiția inițială — pasul acesta din urmă fiind cel exersat la Primitiva care trece printr-un punct dat.

Observă cum se calculează constanta. Dacă se cunoaște $y(x_0)=y_0$, atunci $y_0=y_e+c{e}^{a{x}_0}$, deci $c=\left(y_0-y_e\right)e^{-a{x}_0}$. Când condiția este dată în $x_0=0$, cum se întâmplă în majoritatea modelelor, rămâne pur și simplu $c=y_0-y_e$: constanta este abaterea inițială de la echilibru, nu valoarea inițială.

4. Un exemplu dus până la capăt

Fie ecuația $y^{\prime }=3y-12$, cu condiția $y(0)=10$.

Citim coeficienții: $a=3$ și $b=-12$, deci $y_e=-\frac{-12}{3}=4$. Soluția generală este $y(x)=4+c{e}^{3x}$. Din condiția inițială, $10=4+c$, deci $c=6$ și

$$y(x)=4+6e^{3x}.$$

Proba, ca la orice ecuație diferențială: derivăm, $y^{\prime }(x)=18e^{3x}$; calculăm separat membrul drept, $3\left(4+6e^{3x}\right)-12=12+18e^{3x}-12=18e^{3x}$. Cei doi membri coincid pentru orice $x$ real, iar $y(0)=4+6=10$.

Merită privit rezultatul: mărimea pornește deasupra echilibrului, iar $a>0$, deci abaterea $6e^{3x}$ crește nemărginit. Echilibrul nu atrage aici — dimpotrivă, respinge.

5. Ce hotărăște semnul lui $a$?

Toată comportarea soluției stă în factorul $c{e}^{ax}$, fiindcă $y_e$ nu se schimbă.

Dacă $a<0$, exponențiala scade spre zero, deci $y(x)$ se apropie de $y_e$ oricare ar fi valoarea de pornire. Graficul are dreapta orizontală $y=y_e$ drept asimptotă — noțiunea de la Asimptote —, iar în modelele din științe spunem că sistemul **tinde către starea de echilibru**. Dacă $a>0$, exponențiala crește, abaterea se mărește, iar mărimea se îndepărtează de $y_e$ tot mai repede.

Al doilea lucru care se citește de aici: diferența $y(x)-y_e=c{e}^{ax}$ nu-și schimbă niciodată semnul, fiindcă exponențiala este strict pozitivă. O soluție care pornește deasupra echilibrului rămâne deasupra lui, iar una care pornește dedesubt rămâne dedesubt. Prin urmare o soluție nu atinge valoarea de echilibru, afară de cazul în care a pornit chiar de la ea, și atunci este constantă.

6. Cum citești $a$ și $b$ dintr-un enunț?

În problemele aplicate ecuația nu este dată, ci descrisă în cuvinte, iar traducerea are un tipar. Propoziția „mărimea crește cu o viteză proporțională cu ea însăși" dă termenul $ay$, în care $a$ este constanta de proporționalitate. Propoziția „iar din ea se scoate o cantitate constantă în fiecare unitate de timp" dă termenul liber, cu semnul minus: $y^{\prime }=ay-q$, unde $q>0$ este cantitatea extrasă.

Când mărimea, dimpotrivă, primește un aport constant și se pierde proporțional cu cât are, cele două semne se schimbă între ele. Reține gestul, nu formula: fiecare propoziție a enunțului dă un termen, iar semnul lui se decide după cum termenul respectiv face mărimea să crească sau să scadă. Abia după ce ecuația e scrisă începe calculul; până atunci nu ai ce rezolva.

7. Ce intră aici, ce rămâne pentru lecția următoare

Programa profilului cere, la ordinul întâi, două lucruri: ecuațiile cu variabile separabile, făcute în lecția precedentă, și ecuațiile cu coeficienți constanți, adică tocmai tipul $y^{\prime }=ay+b$ din lecția de față. Ecuațiile în care membrul drept conține și variabila independentă, pe lângă funcție, nu fac parte din ce se cere la științe ale naturii.

Mai departe, în Ecuații diferențiale de ordinul al doilea, se trece la ecuațiile care leagă funcția de derivata ei a doua. Acolo metoda este cu totul alta — o ecuație algebrică atașată —, iar modelul care le cere este oscilația.

Despre examen, cinstit: la Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale. Ea intră în probă de la MAT_P2, din 2030. Cerințele marcate mai jos sunt construite de noi, în formatul probei, nu preluate dintr-un model publicat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rezolvarea completă, cu probă

Rezolvă ecuația $y^{\prime }=-2y+10$ cu condiția $y(0)=1$.

Rezolvare. Avem $a=-2$, $b=10$, deci $y_e=-\frac{10}{-2}=5$ și soluția generală este $y(x)=5+c{e}^{-2x}$. Din $y(0)=5+c=1$ obținem $c=-4$, prin urmare

$$y(x)=5-4e^{-2x}.$$

Proba: $y^{\prime }(x)=8e^{-2x}$, iar $-2\left(5-4e^{-2x}\right)+10=-10+8e^{-2x}+10=8e^{-2x}$; în plus $y(0)=1$. Cum $a<0$, funcția crește și se apropie de $5$ fără să atingă valoarea aceasta.

Exemplul 2 — O cultură de bacterii din care se extrage continuu

Într-un bioreactor, o cultură se înmulțește cu o viteză proporțională cu numărul de celule, constanta fiind $0,5$ pe oră, iar un dispozitiv extrage pentru analiză $200$ de mii de celule pe mililitru în fiecare oră. La pornire, proba are $600$ de mii de celule pe mililitru. Determină $N(t)$ și momentul în care cultura ajunge la $800$ de mii de celule pe mililitru.

Rezolvare. Enunțul dă $N^{\prime }(t)=0,5N(t)-200$, unde $N$ se măsoară în mii de celule pe mililitru, iar $t$ în ore. Echilibrul este $N_e=-\frac{-200}{0,5}=400$. Soluția generală fiind $N(t)=400+c{e}^{0,5t}$, din $N(0)=600$ rezultă $c=200$, deci

$$N(t)=400+200e^{0,5t}.$$

Pentru $N=800$ avem $200e^{0,5t}=400$, adică $e^{0,5t}=2$ și $0,5t=\ln 2$, de unde $t=2\ln 2\approx 1,39$ ore. Proba inițială a pornit deasupra pragului de $400$, iar $a>0$, deci populația crește; modelul rămâne valabil cât timp mediul de cultură susține înmulțirea, adică pe primele câteva ore, nu oricât.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Pentru ecuația $y^{\prime }=-5y+30$ cu condiția $y(0)=10$, un elev scrie: „soluția generală este $y=c{e}^{-5x}+30$, iar din condiție $c=10-30=-20$". Unde greșește și care este răspunsul corect?

Rezolvare. A pus în locul valorii de echilibru chiar termenul liber. Echilibrul nu este $b$, ci $-\frac{b}{a}=-\frac{30}{-5}=6$. Că funcția lui nu e soluție se vede imediat: pentru $y=4e^{-5x}+30$ derivata dă $-20e^{-5x}$, iar membrul drept, $-5\left(4e^{-5x}+30\right)+30=-20e^{-5x}-120$, și cei doi nu coincid. Iar dacă am încerca să salvăm doar constanta, condiția inițială ar da $4e^0+30=34\ne 10$. Corect: $y(x)=6+4e^{-5x}$, fiindcă $c=10-6=4$. Proba: $y^{\prime }(x)=-20e^{-5x}$, iar $-5\left(6+4e^{-5x}\right)+30=-20e^{-5x}$.

Exemplul 4 — Încărcarea unui condensator

Un condensator de $20$ de microfarazi se încarcă printr-un rezistor de $200$ de kiloohmi de la o sursă de $12$ volți. Tensiunea pe condensator verifică $u^{\prime }(t)=-0,25u(t)+3$, cu $u$ în volți și $t$ în secunde. Determină $u(t)$ dacă la momentul $0$ condensatorul era descărcat și află după cât timp tensiunea ajunge la jumătate din cea a sursei.

Rezolvare. Avem $a=-0,25$ și $b=3$, deci $u_e=-\frac{3}{-0,25}=12$ volți — exact tensiunea sursei, cum era de așteptat. Din $u(0)=0$ obținem $c=0-12=-12$ și

$$u(t)=12-12e^{-t/4}.$$

Tensiunea ajunge la $6$ volți când $12e^{-t/4}=6$, adică $e^{-t/4}=\frac{1}{2}$ și $\frac{t}{4}=\ln 2$, deci $t=4\ln 2\approx 2,77$ secunde. Numărul $4$ de la numitor este produsul $RC$, măsurat tot în secunde. Rezultatul e corect fizic: $u(t)<12$ pentru orice $t$, iar tensiunea crește spre valoarea sursei fără să o depășească.

Exemplul 5 — Când se caută coeficienții, nu soluția

Despre o mărime se știe că verifică o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$, că valoarea ei de echilibru este $20$, că $y(0)=50$ și că $y(1)=35$. Determină $a$, $b$ și expresia lui $y$.

Rezolvare. Din $y_e=20$ și din soluția generală, $y(t)=20+c{e}^{at}$. Condiția $y(0)=50$ dă $c=30$. Condiția $y(1)=35$ dă $20+30e^a=35$, adică $e^a=\frac{1}{2}$ și $a=-\ln 2$. Cum $y_e=-\frac{b}{a}$, avem $b=-a{y}_e=20\ln 2$. Scriind exponențiala în baza $2$, obținem $y(t)=20+30\cdot 2^{-t}$, de unde, de pildă, $y(3)=20+3,75=23,75$. Mărimea scade spre $20$, ceea ce se potrivește cu $a<0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră ecuația diferențială $y^{\prime }=2y-6$, cu necunoscuta $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

a) Arată că funcția constantă $y(x)=3$ este soluție a ecuației.

b) Determină soluția generală a ecuației.

c) Determină soluția pentru care $y(0)=5$ și arată că ea nu ia niciodată valoarea $3$.

Rezolvare. a) Derivata unei funcții constante este nulă, iar membrul drept dă $2\cdot 3-6=0$; cei doi membri coincid.

b) Din $a=2$ și $b=-6$ rezultă $y_e=3$, deci soluția generală este $y(x)=3+c{e}^{2x}$, cu $c$ număr real.

c) Din $y(0)=3+c=5$ obținem $c=2$, deci $y(x)=3+2e^{2x}$. Diferența $y(x)-3=2e^{2x}$ este strict pozitivă pentru orice $x$ real, deci egalitatea $y(x)=3$ nu are loc nicăieri. Proba: $y^{\prime }(x)=4e^{2x}$, iar $2\left(3+2e^{2x}\right)-6=4e^{2x}$.

Să exersăm

1. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=y-7$ cu condiția $y(0)=10$.

2. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=-y+8$ cu condiția $y(0)=2$.

3. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=4y-8$ cu condiția $y(0)=3$.

4. Determină valoarea de echilibru a fiecăreia dintre ecuațiile $y^{\prime }=2y-9$, $y^{\prime }=-0,8y+2$ și $y^{\prime }=3y+21$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $y_1$ și $y_2$ sunt soluții ale ecuației $y^{\prime }=ay+b$, atunci funcția $z=y_1-y_2$ este soluție a ecuației $z^{\prime }=az$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă ecuația $y^{\prime }=27-3y$ cu condiția $y(0)=4$.

7. (Găsește greșeala.) Pentru ecuația $y^{\prime }=5y-15$ cu condiția $y(0)=2$, un elev scrie: „soluția este $y(x)=2e^{5x}-15x$, fiindcă exponențiala vine din termenul $5y$, iar $-15x$ se obține integrând termenul liber". Condiția inițială se verifică. Arată, prin derivare, că funcția lui nu este totuși soluție și scrie răspunsul corect.

8. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=2y-20$ știind că $y(1)=13$.

9. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=-0,5y+12,5$ cu condiția $y(0)=5$ și precizează spre ce valoare tinde soluția.

10. (Problemă aplicată.) Aceeași cultură din exemplul al doilea este acum tratată cu un antibiotic care distruge $500$ de mii de celule pe mililitru în fiecare oră, înmulțirea având constanta $0,2$ pe oră. Dacă la începutul tratamentului proba are $2000$ de mii de celule pe mililitru, determină $N(t)$ și momentul în care cultura se stinge.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă ecuația $y^{\prime }=-4y+2$ cu condiția $y(0)=1$.

12. Pentru care dintre ecuațiile $y^{\prime }=0,3y-6$ și $y^{\prime }=-0,3y+6$ soluțiile se apropie de valoarea de echilibru? Motivează.

13. Rezolvă ecuația $y^{\prime }=3y-33$ cu condiția $y(0)=11$ și explică forma răspunsului.

14. O mărime verifică o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$. Ea pornește de la $90$, se apropie de $30$, iar după $5$ minute a ajuns la $66$. Determină expresia lui $y$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră ecuația $y^{\prime }=-2y+2$. a) Determină soluția pentru care $y(0)=5$. b) Determină valorile lui $x$ pentru care această soluție coboară sub $1,01$.

16. Care dintre ecuațiile $y^{\prime }=3y-5$, $y^{\prime }=xy+1$, $y^{\prime }=7-y$ și $y^{\prime }=y^2-4$ sunt de forma $y^{\prime }=ay+b$? Motivează pentru fiecare.

17. Scrie o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$ a cărei valoare de echilibru este $40$ și ale cărei soluții se apropie de echilibru.

18. (Provocare.) Despre o mărime care verifică o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$ se știe că $y(0)=100$, $y(2)=88$ și $y(4)=79$. Determină valoarea de echilibru.

Răspunsuri și explicații

1. $y_e=7$, soluția generală $7+c{e}^x$, iar din $y(0)=7+c=10$ rezultă $c=3$, deci $y(x)=7+3e^x$. Proba: derivata dă $3e^x$, iar $\left(7+3e^x\right)-7=3e^x$.

2. $y_e=8$ și $c=2-8=-6$, deci $y(x)=8-6e^{-x}$. Cum $a<0$, funcția crește spre $8$.

3. $y_e=2$ și $c=3-2=1$, deci $y(x)=2+e^{4x}$. Aici $a>0$, deci abaterea față de $2$ crește nemărginit.

4. $4,5$, respectiv $2,5$, respectiv $-7$. Semnul se ia din formula $y_e=-\frac{b}{a}$: la ultima ecuație termenul liber e pozitiv și coeficientul e pozitiv, deci echilibrul iese negativ.

5. Adevărat. Scădem cele două egalități: $y_1^{\prime }-y_2^{\prime }=\left(a{y}_1+b\right)-\left(a{y}_2+b\right)=a\left(y_1-y_2\right)$, adică $z^{\prime }=az$. Termenul liber se anulează prin scădere, oricare ar fi el — motiv pentru care două soluții ale aceleiași ecuații diferă întotdeauna printr-o soluție a tiparului $z^{\prime }=az$, adică prin $c{e}^{ax}$.

6. Scriem întâi ecuația în forma cerută: $y^{\prime }=-3y+27$, deci $a=-3$, $b=27$ și $y_e=9$. Din $y(0)=9+c=4$ rezultă $c=-5$, deci $y(x)=9-5e^{-3x}$.

7. Condiția inițială iese într-adevăr, $y(0)=2$, dar ecuația nu: derivata funcției scrise de el este $10e^{5x}-15$, în timp ce membrul drept dă $5\left(2e^{5x}-15x\right)-15=10e^{5x}-75x-15$. Cei doi membri diferă prin $75x$, deci coincid numai în $x=0$; proba condiției inițiale singură nu decide nimic. Termenul liber nu se integrează separat, ci mută echilibrul: $y_e=-\frac{-15}{5}=3$ și $c=2-3=-1$, deci $y(x)=3-e^{5x}$. Proba: $y^{\prime }(x)=-5e^{5x}$, iar $5\left(3-e^{5x}\right)-15=-5e^{5x}$.

8. $y_e=10$ și $y(t)=10+c{e}^{2t}$. Din $y(1)=10+c{e}^2=13$ obținem $c=3e^{-2}$, deci $y(t)=10+3e^{2t-2}$. Verificare rapidă: pentru $t=1$ exponentul este zero, iar funcția dă $13$.

9. $y_e=25$ și $c=5-25=-20$, deci $y(x)=25-20e^{-0,5x}$. Cum $a<0$, soluția crește și tinde către $25$, dreapta $y=25$ fiind asimptotă orizontală.

10. Ecuația este $N^{\prime }(t)=0,2N(t)-500$, cu $N$ în mii de celule pe mililitru și $t$ în ore. Echilibrul este $N_e=2500$, iar $c=2000-2500=-500$, deci $N(t)=2500-500e^{0,2t}$. Populația pornește sub prag, iar $a>0$, deci abaterea negativă se mărește și cultura scade. Ea ajunge la zero când $500e^{0,2t}=2500$, adică $e^{0,2t}=5$ și $t=5\ln 5\approx 8,05$ ore. Modelul are sens doar până în acel moment: după el formula ar da un număr negativ de celule, care nu înseamnă nimic.

11. $y_e=0,5$ și $c=1-0,5=0,5$, deci $y(x)=0,5+0,5e^{-4x}$. Funcția scade spre $0,5$.

12. A doua. Comportarea se citește numai din semnul lui $a$: la $y^{\prime }=-0,3y+6$ avem $a=-0,3<0$, deci $c{e}^{-0,3x}$ tinde la zero și soluțiile se apropie de echilibru. La prima, $a=0,3>0$, deci se depărtează. Observă că valoarea de echilibru este $20$ la amândouă — ea nu spune nimic despre apropiere.

13. $y_e=11$, iar din $y(0)=11+c=11$ rezultă $c=0$. Soluția este funcția constantă $y(x)=11$: mărimea a pornit chiar din echilibru și rămâne acolo. Este singurul caz în care o soluție ia valoarea de echilibru.

14. „Se apropie de $30$" dă $y_e=30$, iar $y(0)=90$ dă $c=60$, deci $y(t)=30+60e^{at}$. Din $y(5)=66$ obținem $60e^{5a}=36$, adică $e^{5a}=0,6$ și $a=\frac{\ln 0,6}{5}\approx -0,102$. Prin urmare $y(t)=30+60\cdot 0,6^{t/5}$: la fiecare cinci minute abaterea față de $30$ rămâne $60\%$ din cea dinainte, iar exponentul nu se mai scrie cu o putere a lui doi.

15. a) $y_e=1$ și $c=5-1=4$, deci $y(x)=1+4e^{-2x}$. b) Cerem $1+4e^{-2x}<1,01$, adică $4e^{-2x}<0,01$ și $e^{2x}>400$, de unde $2x>\ln 400$ și $x>\frac{\ln 400}{2}=\ln 20\approx 3,00$. Verificare: în $x=3$ abaterea este $4e^{-6}\approx 0,0099$, adică sub pragul cerut.

16. Prima și a treia. La $y^{\prime }=3y-5$ avem $a=3$ și $b=-5$; la $y^{\prime }=7-y$, după rescriere, $a=-1$ și $b=7$. La $y^{\prime }=xy+1$ coeficientul lui $y$ nu este constant, ci depinde de variabilă; la $y^{\prime }=y^2-4$ funcția apare la puterea a doua, deci dependența nu mai este de gradul întâi.

17. Orice ecuație cu $-\frac{b}{a}=40$ și $a<0$ este bună, de pildă $y^{\prime }=-0,1y+4$. Verificare: $y_e=-\frac{4}{-0,1}=40$, iar $a<0$ asigură apropierea. Dacă ai fi luat $a>0$, echilibrul ar fi rămas $40$, dar soluțiile s-ar fi depărtat de el.

18. Soluția are forma $y(t)=y_e+c{e}^{at}$. Scăzând valorile două câte două scăpăm de $y_e$:

$$\{\begin{array}{l}c\left(e^{2a}-1\right)=-12\\ c{e}^{2a}\left(e^{2a}-1\right)=-9\end{array}$$

Împărțind a doua egalitate la prima obținem $e^{2a}=\frac{3}{4}$, deci $a=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{4}\approx -0,144$. Înlocuind în prima, $c\left(\frac{3}{4}-1\right)=-12$, deci $c=48$, iar din $y(0)=y_e+c=100$ rezultă $y_e=52$. Verificare: $y(2)=52+48\cdot \frac{3}{4}=88$ și $y(4)=52+48\cdot \frac{9}{16}=79$.

De reținut

• Ecuația $y^{\prime }=ay+b$, cu $a\ne 0$, are valoarea de echilibru $y_e=-\frac{b}{a}$, iar funcția constantă $y=y_e$ este singura ei soluție constantă.
• Soluția generală este $y(x)=y_e+c{e}^{ax}$: echilibrul plus o abatere care se schimbă exponențial.
• Constanta $c$ este abaterea de la echilibru, nu valoarea inițială: din $y(0)=y_0$ rezultă $c=y_0-y_e$.
• Semnul lui $a$ hotărăște totul: pentru $a<0$ soluțiile se apropie de $y_e$, pentru $a>0$ se depărtează de el.
• Diferența $y-y_e$ nu-și schimbă semnul, deci o soluție nu atinge echilibrul dacă n-a pornit din el.

Greșeli frecvente

• Iei termenul liber drept valoare de echilibru. Scrierea $y=b+c{e}^{ax}$ este greșită: echilibrul este $-\frac{b}{a}$, iar proba prin substituție îl dă pe față imediat.
• Uiți semnul minus din formula echilibrului. La $y^{\prime }=0,4y+8$ echilibrul este $-20$, nu $20$. Cine nu ține minte semnul rezolvă de fiecare dată ecuația $ay+b=0$ și nu greșește niciodată.
• Iei constanta egală cu valoarea inițială. Din $y(0)=y_0$ rezultă $c=y_0-y_e$; a scrie $c=y_0$ înseamnă a rezolva de fapt ecuația cu $b=0$.
• Crezi că mărimea atinge echilibrul. Ea se apropie oricât de mult, dar nu-l atinge; singura soluție care ia valoarea $y_e$ este cea care a pornit din ea.
• Citești semnul lui $a$ după cum crește sau scade mărimea. Cele două nu se determină unul pe altul: la o cultură tratată cu antibiotic, $a$ este pozitiv, iar populația scade, fiindcă a pornit sub prag. Semnul lui $a$ se citește din enunț, de lângă mărimea însăși.

Aplică acasă

1. Ceașca și dopul. Umple o sticlă de plastic cu apă și fă în capac o gaură mică; ține sticla cu gura în jos deasupra unui vas și măsoară, din minut în minut, înălțimea apei rămase. Notează valorile, calculează diferențele față de zero și verifică dacă raportul dintre două diferențe vecine se păstrează. Scrie apoi ce ecuație de tipul învățat crezi că descrie fenomenul și care este valoarea lui de echilibru.

2. Echilibrul unui cont. Închipuie-ți o sumă care crește cu $2\%$ pe lună, dar din care se scot lunar $300$ de lei. Scrie ecuația corespunzătoare, află valoarea de echilibru și spune ce se întâmplă dacă suma inițială este cu $100$ de lei mai mare, respectiv mai mică decât ea. Verifică-ți răspunsul calculând primele trei valori, lună cu lună.

3. Trei semne, trei povești. Scrie ecuațiile $y^{\prime }=2y-10$, $y^{\prime }=-2y+10$ și $y^{\prime }=-2y-10$ și rezolvă-le pe toate trei cu aceeași condiție, $y(0)=8$. Desenează, chiar și aproximativ, cele trei grafice pe aceeași foaie și formulează, într-o frază, ce hotărăște forma fiecăruia.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul aduce ecuația la forma $y^{\prime }=ay+b$ înainte de a calcula ceva; dacă află valoarea de echilibru cu semnul corect; dacă determină constanta din abaterea inițială, nu din valoarea inițială; și dacă spune, la final, ce se întâmplă cu mărimea pe termen lung.

Dificultatea nu este calculul, ci faptul că răspunsul are două părți cu roluri diferite: un număr fix, care descrie starea către care sistemul se îndreaptă sau de care fuge, și un termen exponențial, care descrie abaterea. Elevii care nu fac această distincție amestecă termenul liber cu echilibrul și nu mai pot interpreta rezultatul, chiar dacă l-au calculat corect.

A doua sursă de pierderi este legătura dintre semnul lui $a$ și comportarea modelului. Merită cerut, la fiecare problemă aplicată, un comentariu de o frază: care e echilibrul, de ce parte a lui pornește mărimea și încotro se îndreaptă. Exercițiul cu antibioticul e făcut tocmai ca să arate că o mărime poate scădea deși coeficientul ei este pozitiv.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Cât este echilibrul și de ce?"; „Care e constanta și de unde a ieșit?"; „Ce se întâmplă după mult timp?"; „Pe ce interval mai are sens modelul?". Semne că a înțeles: scrie echilibrul înainte de soluția generală și verifică singur rezultatul prin derivare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Ecuații diferențiale: … ecuații diferențiale de grad cel mult 2, cu coeficienți constanți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține ecuațiile diferențiale — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este valoarea de echilibru a unei ecuații diferențiale?

Este numărul $y_e=-\frac{b}{a}$, singura valoare pentru care mărimea poate rămâne constantă: înlocuind funcția constantă $y=y_e$ în $y^{\prime }=ay+b$, ambii membri dau zero. În modele, ea este starea către care sistemul tinde, când $a$ este negativ, sau pragul de care fuge, când $a$ este pozitiv.

Cum obțin soluția ecuației $y^{\prime }=ay+b$?

Afli echilibrul, scrii $y(x)=y_e+c{e}^{ax}$ și determini constanta din condiția inițială. Formula se obține notând $z=y-y_e$: atunci $z^{\prime }=az$, adică ecuația rezolvată prin separarea variabilelor în lecția precedentă. Nu este, prin urmare, o metodă nouă, ci aceeași metodă aplicată o singură dată, cu litere, iar rezultatul ei se folosește apoi ca formulă gata dedusă.

De ce constanta nu este chiar valoarea inițială?

Pentru că soluția are doi termeni, iar condiția inițială îi privește pe amândoi: din $y(0)=y_e+c$ rezultă $c=y_0-y_e$. Constanta măsoară deci cât de departe de echilibru a pornit mărimea. Când condiția este dată într-un alt punct, se scrie $y_0=y_e+c{e}^{a{x}_0}$ și se scoate $c$ de acolo.

Cum știu dacă mărimea crește sau scade?

Din semnul produsului $ac$, nu din semnul unuia singur. Derivata este $y^{\prime }=ac{e}^{ax}$, iar exponențiala e pozitivă: mărimea crește când $a$ și $c$ au același semn și scade când au semne contrare. De aceea o cultură cu coeficient pozitiv poate totuși să scadă, dacă pornește sub echilibru.

Se studiază ecuațiile de tipul $y^{\prime }=ay+b$ și la mate-info (M1)?

Nu. Ecuațiile diferențiale lipsesc cu totul din programa de matematică-informatică a clasei a XII-a, al cărei capitol de analiză se oprește la primitive, integrala definită și aplicațiile ei. Nu există, prin urmare, o lecție-pereche la M1 spre care să trimitem pentru comparație; tema este specifică profilului științe ale naturii.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La sesiunile 2027, 2028 și 2029 nu apare deloc, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține ecuațiile diferențiale. Tema intră în probă de la MAT_P2, din 2030, în domeniul „Analiză matematică". Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Ce legătură are tipul acesta cu legea răcirii?

Legea răcirii, $T^{\prime }=-k(T-T_m)$, este chiar o ecuație de forma $y^{\prime }=ay+b$, cu $a=-k$ și $b=k{T}_m$, iar temperatura mediului este tocmai valoarea ei de echilibru. Ai rezolvat-o prin separare în lecția precedentă; formula de aici o cuprinde ca pe un caz particular.

Ce fac dacă în membrul drept apare și variabila?

Ecuația nu mai este de tipul studiat aici: coeficientul lui $y$ trebuie să fie un număr, nu o expresie în $x$. Programa profilului științe ale naturii cere numai ecuațiile cu variabile separabile și pe cele cu coeficienți constanți, așa că o asemenea ecuație nu ți se poate cere la clasă sau în probă.