Ce ecuație descrie încărcarea unui condensator?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuații de ordinul I

Într-un circuit cu rezistorul $R$ , condensatorul $C$ și sursa $E$ , sarcina verifică $R C q^{'} + q = C E$ , adică $q^{'} = - \frac{q}{R C} + \frac{E}{R}$ , o ecuație de tipul $y^{'} = a y + b$ . Echilibrul este $q_{e} = C E$ , iar pornind de la zero, $q (t) = C E (1 - e^{- t / (R C)})$ . Exemplu: $R = 10$ kΩ, $C = 100$ μF, deci $R C = 1$ s, și $E = 9$ V: sarcina finală este $900$ μC, iar după $1$ s se ajunge la aproximativ $569$ μC, cam $63%$ din ea.

Forma $y^{'} = a y + b$ , cu $a$ și $b$ numere fixate și $a$ nenul, se recunoaște după faptul că în dreapta apare doar necunoscuta, la puterea întâi. Scrierile $y^{'} = 6 - 2 y$ , $y^{'} = - 3 (y - 8)$ și $y^{'} + 4 y = 20$ ascund același tip, așa că rezolvarea începe prin aducerea la forma canonică și prin citirea celor două numere.

Numărul $y_{e} = - \frac{b}{a}$ poartă numele de valoare de echilibru: pentru el, și numai pentru el, mărimea rămâne neschimbată; cu termenul liber nu se confundă. Scoțând $a$ factor, ecuația devine $y^{'} = a (y - y_{e})$ — viteza de variație urmărește abaterea față de echilibru, nu mărimea însăși.

Familia soluțiilor este $y (x) = y_{e} + c e^{a x}$ , iar constanta măsoară tocmai abaterea de pornire, $c = y_{0} - y_{e}$ . Comportarea o hotărăște semnul lui $a$ : negativ, soluțiile se strâng în jurul lui $y_{e}$ , care devine asimptotă orizontală; pozitiv, ele fug de el. Cum $y - y_{e}$ nu-și schimbă semnul, echilibrul este atins numai de soluția pornită chiar din el.

La modelele descrise în cuvinte, ecuația se construiește termen cu termen, iar semnul fiecărui termen se citește după efectul lui asupra mărimii. O populație poate să scadă deși constanta ei de înmulțire este pozitivă, atunci când pornește sub prag. Conținutul este cerut abia de proba MAT_P2 a anului 2030.

De reținut

$y^{'} = a y + b$ are echilibrul $y_{e} = - \frac{b}{a}$ și soluția $y = y_{e} + c e^{a x}$
$c = y_{0} - y_{e}$ este abaterea de pornire
condensator: $q (t) = C E (1 - e^{- t / (R C)})$

Greșeala tipică

La încărcarea condensatorului se scrie $q = C E \cdot e^{- t / (R C)}$ , uitând echilibrul; formula ar da sarcina maximă la început, iar corect este $q = C E (1 - e^{- t / (R C)})$ , care pornește de la zero.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea de echilibru a ecuației $y^{'} = - 6 y + 48$ este:
- a) $8$
- b) $- 8$
- c) $48$
- d) $- 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Funcția constantă are derivata nulă, deci condiția este $- 6 y + 48 = 0$ , de unde $y = 8$ ; aceeași valoare iese din formulă, $y_{e} = - \frac{b}{a} = - \frac{48}{- 6} = 8$ . Varianta c) ia drept echilibru chiar termenul liber, iar b) pierde semnul din formulă. Proba: funcția constantă $y = 8$ dă în membrul drept $- 48 + 48 = 0$ , adică exact derivata ei.
Soluția ecuației $y^{'} = - y + 9$ care verifică $y (0) = 4$ este:
- a) $y (x) = 9 + 5 e^{- x}$
- b) $y (x) = 4 - 9 e^{- x}$
- c) $y (x) = 9 - 5 e^{- x}$
- d) $y (x) = 9 - 5 e^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y (x) = 9 - 5 e^{- x}$

Avem $a = - 1$ și $b = 9$ , deci $y_{e} = 9$ , iar soluția generală este $y (x) = 9 + c e^{- x}$ . Constanta este abaterea inițială: $c = 4 - 9 = - 5$ . Proba: $y^{'} (x) = 5 e^{- x}$ , iar $- (9 - 5 e^{- x}) + 9 = 5 e^{- x}$ ; în plus $y (0) = 4$ . Varianta a) dă $y (0) = 14$ , b) dă $y (0) = - 5$ , iar d) are exponentul cu semn schimbat și nu verifică ecuația.
Soluția generală a ecuației $y^{'} = 5 y - 65$ se scrie $y (x) = y_{e} + c e^{5 x}$ . Dacă $y (0) = 2$ , atunci constanta $c$ este egală cu:
- a) $2$
- b) $- 11$
- c) $11$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 11$

Valoarea de echilibru este $y_{e} = - \frac{- 65}{5} = 13$ , iar constanta este abaterea inițială de la echilibru: $c = y_{0} - y_{e} = 2 - 13 = - 11$ . Varianta a) ia constanta egală cu valoarea inițială, ceea ce ar fi corect numai dacă termenul liber ar fi nul; c) pierde semnul, iar d) confundă constanta cu echilibrul.

Întrebări conexe

Cum aduc $y^{'} + 3 y = 12$ la forma $y^{'} = a y + b$ ?

Treci termenul $3 y$ în dreapta: $y^{'} = - 3 y + 12$ , deci $a = - 3$ și $b = 12$ . Echilibrul este $y_{e} = - \frac{12}{- 3} = 4$ , iar soluția generală este $y = 4 + c e^{- 3 x}$ , cu $c$ real. Orice soluție se apropie de $4$ când $x$ crește, fiindcă $a$ este negativ.

Cum verific soluția $y = 4 + 3 e^{- 3 x}$ a ecuației $y^{'} = - 3 y + 12$ ?

Derivezi: $y^{'} = - 9 e^{- 3 x}$ . Apoi calculezi separat partea dreaptă a ecuației: $- 3 (4 + 3 e^{- 3 x}) + 12 = - 12 - 9 e^{- 3 x} + 12 = - 9 e^{- 3 x}$ . Rezultatele sunt egale pentru orice $x$ , deci funcția este soluție; ea pornește din $y (0) = 7$ , cu abaterea $3$ față de echilibrul $4$ .

În cât timp se înjumătățește abaterea de la echilibru?

Abaterea este $c e^{a t}$ , cu $a < 0$ , și se înjumătățește când $e^{a t} = \frac{1}{2}$ , adică după $t = \frac{l n 2}{∣ a ∣}$ . Pentru $a = - 0, 2$ pe minut, aceasta durează $\frac{l n 2}{0 , 2} \approx 3, 47$ minute, oricare ar fi valoarea de pornire.

Cum modelez o populație de pești cu pescuit constant?

Dacă populația crește cu $10%$ pe an și se pescuiesc $50$ de tone anual, $P^{'} = 0, 1 P - 50$ . Echilibrul este $500$ de tone: peste el populația crește, sub el scade până la dispariție, fiindcă $a = 0, 1$ este pozitiv.

Ce nivel atinge un medicament administrat prin perfuzie?

Dacă intră $20$ mg pe oră și organismul elimină $50%$ pe oră din cantitatea existentă, $y^{'} = - 0, 5 y + 20$ . Echilibrul este $\frac{20}{0 , 5} = 40$ mg, iar cantitatea din sânge se apropie de această valoare fără să o depășească.

Oamenii mai întreabă și: ecuația de încărcare a condensatorului · circuit RC ecuație diferențială · sarcina condensatorului în timp · încărcarea condensatorului exponențială