Coliniaritatea a trei puncte (M2, științe ale naturii)

Pe un plan al unui experiment, trei poziții par așezate pe aceeași dreaptă. Desenul poate sugera alinierea, dar coordonatele exacte permit verificarea ei. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), folosim ecuația dreptei pentru a decide apartenența celui de-al treilea punct. Metoda susține geometria analitică din programa Bacalaureatului M2 2027–2029 și din domeniul „Geometrie. Trigonometrie” pentru MAT_P2 din 2030, urmat de generația care intră în liceu în 2026.

Ai studiat ecuația dreptei prin două puncte la M2 și pozițiile orizontală, verticală și oblică la M2. Acum le folosești pentru a justifica o proprietate geometrică. Dacă citirea perechilor de coordonate încă cere atenție, revino la sistemul de axe și coordonatele din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici coliniaritatea prin existența unei drepte comune.
• Vei ști să alegi două puncte distincte, să determini dreapta lor și să verifici alte puncte.
• Vei ști să tratezi verticalele fără împărțire la zero și să folosești un control prin produse.
• Vei ști să afli o coordonată necunoscută, verificând toate condițiile enunțului.
• Vei ști să deosebești alinierea de apartenența la un segment, de echidistanță și de potrivirea aproximativă a unui desen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce afirmăm când spunem că punctele sunt coliniare?

Coliniaritatea înseamnă că toate pozițiile considerate sunt cuprinse într-o dreaptă comună. Pentru trei puncte distincte, întrebarea este dacă al treilea se află pe dreapta determinată de primele două. Prin două puncte distincte trece exact o dreaptă; această proprietate face posibilă metoda de verificare.

Cuvântul „comună” cere ca aceeași dreaptă să conțină toate pozițiile verificate. Dreapta are și alte puncte, infinit de multe. Cele trei puncte din enunț sunt pozițiile care ne interesează, iar ordinea în care sunt numite nu schimbă proprietatea. Unicitatea dreptei intervine când avem cel puțin două poziții distincte.

Coliniaritatea nu afirmă că punctele sunt la distanțe egale. Nu afirmă nici că un punct numit ultimul se află între celelalte două. Acestea sunt condiții suplimentare, care se verifică separat atunci când apar în întrebare. Mai întâi stabilim dreapta comună; apoi putem analiza pozițiile pe ea.

Dacă două nume desemnează aceeași poziție, trebuie să observăm coincidența. Toate pozițiile pot încă aparține unei drepte, dar perechea de puncte coincidente nu determină singură o dreaptă unică. În problemele care cer trei puncte distincte, o valoare a parametrului ce produce o coincidență trebuie exclusă.

2. De ce este suficient să verificăm o ecuație?

Alege două puncte distincte, notează dreapta lor și stabilește ecuația prin metoda deja cunoscută. Un al treilea punct se află pe acea dreaptă exact când coordonatele sale satisfac ecuația. Înlocuirea ambelor coordonate traduce apartenența geometrică într-o egalitate numerică.

Pentru o explorare separată, luăm $A(0;-2)$ și $B(3;-1)$. Dreapta lor are ecuația $y=x/3-2$. Pentru punctul $C(6;0)$, membrul din dreapta devine $6/3-2=0$, egal cu ordonata lui. Cele trei puncte sunt aliniate, iar concluzia rezultă din coordonate, nu din precizia desenului.

După determinarea ecuației, verifică și punctele folosite la construcția ei. Acest control nu este o nouă metodă, ci o protecție împotriva unui semn greșit sau a unei transcrieri. O dreaptă calculată incorect ar putea conține întâmplător al treilea punct, fără să rezolve problema inițială.

Într-o fișă cu date, păstrează împreună coordonatele aceleiași poziții. Nu combina abscisa unui rând cu ordonata altuia pentru a obține o egalitate convenabilă: ai construi un punct care nu a fost dat. Poți organiza verificarea în coloane separate pentru numele punctului, coordonatele sale și rezultatul înlocuirii. Dacă primești ecuația ca propunere, în loc să o deduci, testezi toate cele trei puncte. Faptul că unul satisface propunerea nu spune dacă ecuația reprezintă dreapta potrivită întregii configurații.

Pentru necoliniaritate, ajunge să arăți că al treilea punct nu satisface ecuația corectă a dreptei prin celelalte două. Dacă toate trei sunt distincte, ele pot fi vârfurile unui triunghi. Nu trebuie să calculezi lungimile laturilor sau aria pentru a decide simpla existență a acestui triunghi.

3. Cum tratăm verticala și orizontala?

Dacă primele două puncte distincte au aceeași abscisă, dreapta lor este verticală. Ecuația are forma $x=a$, iar al treilea punct aparține ei exact când abscisa sa este tot $a$. Ordonata poate fi alta; ea descrie locul de pe verticală.

Condiția „distincte” este importantă. Două înregistrări ale aceleiași poziții au aceeași abscisă, dar nu stabilesc prin ele însele o verticală unică. În acel caz alegi, dacă există, un alt punct distinct și formulezi concluzia ținând cont de datele reale.

Pentru două puncte distincte cu aceeași ordonată, dreapta este orizontală, de forma $y=b$. Verifici ordonata celui de-al treilea. Aceste două situații nu cer transformarea forțată a tuturor ecuațiilor în forma cu pantă. O verticală nu are pantă reală.

Desenul te ajută să alegi metoda, dar argumentul rămâne numeric. Dacă două puncte distincte sunt pe o verticală și al treilea are altă abscisă, acesta nu poate aparține acelei drepte. Nu concluzionăm din simplul fapt că trei etichete par „aproape una deasupra alteia”.

4. Ce control putem face fără fracții?

Când abscisele necesare sunt diferite, putem compara pantele dreptelor $AB$ și $AC$. Ambele drepte trec prin $A$; aceeași pantă le face să coincidă. Dar înaintea împărțirii verificăm numitorii. Pentru verticală revenim la ecuația ei, în loc să atribuim un număr unei pante inexistente.

O formă de control care evită împărțirea este:

$$(x_B-x_A)(y_C-y_A)=(x_C-x_A)(y_B-y_A).$$

Pentru puncte distincte și pante definite, ea rezultă prin înmulțire în cruce. Verificăm separat cazul vertical: dacă $x_A=x_B$ și $A\ne B$, atunci $y_B-y_A\ne 0$, iar egalitatea impune $x_C=x_A$. Așadar aceeași relație recunoaște corect și dreapta verticală.

Această egalitate nu cere determinanți și nu introduce o nouă notație din clasele următoare. Este o relație între două produse de diferențe. Ea poate confirma rezultatul găsit cu ecuația dreptei. Pentru un punct cu o coordonată necunoscută, alegem forma care păstrează calculul cel mai clar.

Dacă punctele nu sunt toate distincte, relația poate deveni o identitate. Aceasta este compatibilă cu existența unei drepte comune, dar nu dovedește distincția punctelor. Prin urmare, când enunțul cere simultan aliniere și poziții distincte, nu este suficient să verifici doar egalitatea produselor.

5. Cum determinăm coordonata care asigură alinierea?

Pornește de la două puncte complet cunoscute și distincte. Ele fixează o dreaptă. Punctul cu o coordonată necunoscută trebuie să aparțină acelei drepte, deci coordonatele sale sunt introduse în ecuație. Obții o ecuație în necunoscuta problemei.

După rezolvare, reconstruiește punctul în întregime. Verifică apartenența, distincția cerută și orice restricție suplimentară. De exemplu, dacă punctul trebuie să se afle pe un segment, apartenența la dreapta care îl conține nu garantează automat apartenența la segment.

Nu presupunem dinainte că există exact o valoare potrivită. Unele condiții pot fi incompatibile, iar în alte probleme o coordonată poate rămâne liberă. Tipul răspunsului rezultă din ecuația obținută și din condițiile enunțului. Un rezultat exclus de restricția de distincție nu devine acceptabil numai fiindcă verifică o egalitate.

De pildă, dacă dreapta fixată este verticală, condiția de apartenență privește numai abscisa. O ordonată necunoscută poate rămâne liberă, cu excepția valorilor care ar suprapune punctul peste unul dintre cele fixe atunci când se cere distincție. Dacă însă abscisa cunoscută diferă de cea a verticalei, nicio alegere a ordonatei nu poate repara apartenența. Aceste situații se decid înaintea calculelor lungi și arată de ce întrebarea despre existența unei soluții nu trebuie omisă.

La M2 folosim aici exemple elementare, în care ecuația coordonatei se rezolvă direct. Scopul nu este extinderea spre familii complicate de parametri, ci legătura dintre condiția geometrică și calcul. Propoziția finală trebuie să spună pentru ce valoare sunt îndeplinite toate cerințele.

6. Ce nu putem deduce numai dintr-o aliniere?

Dacă $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, nu rezultă automat că $C$ aparține segmentului $AB$. El poate fi pe prelungirea segmentului. Pentru o dreaptă neverticală, după verificarea alinierii poți compara abscisa lui cu abscisele capetelor; pentru verticală compari ordonatele.

Condiția de interval include capetele când cerința spune „pe segment”. Dacă se cere interiorul segmentului, comparațiile devin stricte, deoarece punctul nu poate coincide cu un capăt. Alegerea coordonatei care variază este esențială: pe o verticală, toate abscisele sunt egale și nu pot distinge pozițiile dintre capete. Ordonata face atunci această separare. Verificarea de interval se folosește după apartenența la dreaptă; singură, ea ar accepta și puncte laterale cu aceeași abscisă.

Dacă două grupuri de puncte sunt fiecare aliniate și au un singur punct comun, grupurile nu trebuie să aparțină aceleiași drepte. Prin punctul comun pot trece drepte diferite. În schimb, două puncte comune distincte fixează aceeași dreaptă, prin proprietatea de unicitate.

Pentru mai mult de trei puncte, o strategie sigură este să fixezi dreapta prin două poziții distincte și să verifici pe rând toate celelalte. Alinierea primelor trei nu oferă informație automată despre un al patrulea punct. Un singur punct care nu satisface ecuația respinge alinierea întregului grup.

Nici distanțele egale față de un punct nu impun alinierea. Puncte diferite pot fi la aceeași distanță de un centru fără să fie pe aceeași dreaptă. Folosește condiția cerută, nu o proprietate care pare apropiată în limbaj, dar descrie altă configurație.

7. Cum distingem verificarea exactă de o măsurătoare?

În lecție, coordonatele sunt exacte dacă nu spunem altfel. O egalitate verificată cu aceste date demonstrează coliniaritatea configurației matematice. O diferență nenulă, chiar mică, arată necoliniaritatea pentru datele respective. Nu o înlocuim cu zero fiindcă desenul pare drept.

Într-un experiment, coordonatele pot avea o precizie limitată. Atunci discuția despre „aproape aliniat” cere o toleranță și o metodă de măsurare. Nu inventăm aceste condiții în timp ce rezolvăm un exercițiu exact. Putem doar preciza că datele rotunjite nu dovedesc singure alinierea fizică perfectă.

O schimbare comună a originii, cu axele și unitățile păstrate, nu modifică alinierea. Diferențele de coordonate dintre puncte rămân neschimbate. La fel, deplasarea tuturor punctelor prin aceleași adaosuri păstrează egalitatea produselor. Aceasta oferă un control util pentru fișe care descriu aceeași configurație în locuri diferite.

Alinierea se păstrează și dacă toate abscisele sunt înmulțite cu același factor pozitiv, iar toate ordonatele cu un alt factor pozitiv. În criteriul prin produse, ambii membri primesc același produs al celor doi factori. Atenție: acest fapt privește numai coliniaritatea. O modificare diferită a scărilor pe axe poate schimba aspectul unghiurilor și lungimilor din desen. Nu transferăm automat concluzia despre aliniere la orice proprietate geometrică a configurației.

La redactare, separă calculul de concluzie: ecuația dreptei, înlocuirea coordonatelor, verificarea restricțiilor și răspunsul geometric. Astfel, cititorul poate identifica precis de ce afirmația este adevărată și la ce date se referă. Un desen bine etichetat completează argumentul fără să îl înlocuiască.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Verificarea punctului indicat pe plan

Pe plan sunt marcate $A(-4;1)$, $B(0;3)$ și $C(6;6)$. Verifică dacă sunt coliniare folosind ecuația dreptei prin primele două.

Rezolvare. Panta dreptei $AB$ este $(3-1)/(0-(-4))=1/2$. Din punctul aflat pe axa ordonatelor citim termenul liber, deci ecuația este $y=x/2+3$. Pentru $C$, obținem $6/2+3=6$, egal cu ordonata dată. Punctele sunt coliniare.

Putem controla și coordonatele lui $A$: $-4/2+3=1$. Dreapta folosită conține deci efectiv primele două puncte, iar înlocuirea lui $C$ completează demonstrația. Distanțele dintre poziții nu trebuie să fie egale pentru această concluzie.

Exemplul 2. Diagnosticarea unei comparații imposibile

Pentru $A(-2;0)$, $B(-2;5)$ și $C(1;5)$, un elev încearcă să compare pantele $AB$ și $AC$. Ce problemă are metoda și care este concluzia corectă?

Rezolvare. Punctele $A$ și $B$ sunt distincte și au aceeași abscisă, deci dreapta lor este $x=-2$. Ea este verticală și nu are pantă reală. Nu calculăm un raport cu numitor zero.

Punctul $C$ are abscisa unu și nu satisface ecuația verticalei. Cele trei puncte nu sunt coliniare. Metoda potrivită a fost verificarea ecuației dreptei, iar ordonatele egale ale lui $B$ și $C$ nu schimbă concluzia despre întregul grup.

Exemplul 3. Parametrul apare în ambele coordonate

Se dau $A(1;2)$, $B(4;-1)$ și $C(t;2t+1)$. Determină parametrul pentru care punctele sunt coliniare.

Rezolvare. Panta lui $AB$ este $(-1-2)/(4-1)=-1$, deci dreapta este $y=-x+3$. Coordonatele lui $C$ trebuie să satisfacă această ecuație: $2t+1=-t+3$. Obținem $3t=2$, așadar $t=2/3$.

Punctul rezultat este $C(2/3;7/3)$ și este distinct de celelalte două. Controlăm relația $-2/3+3=7/3$, deci el aparține dreptei. Nu am folosit parametrul pentru a defini o dreaptă înainte să alegem cele două puncte fixe.

Exemplul 4. Un singur punct comun nu unește două alinieri

Considerăm $A(-3;0)$, $B(2;0)$, $C(0;0)$, $D(0;-2)$ și $E(0;5)$. Grupul $A,B,C$ este coliniar, la fel grupul $C,D,E$. Rezultă că toate punctele sunt pe aceeași dreaptă?

Rezolvare. Primul grup se află pe $y=0$, iar al doilea pe $x=0$. Dreptele au numai originea în comun și sunt diferite. Punctul $E$ nu satisface ecuația $y=0$, deci nu aparține dreptei prin $A$ și $B$.

Prin urmare, întregul grup nu este coliniar. Pentru a identifica două drepte prin puncte comune, avem nevoie de două poziții comune distincte. Un singur punct permite mai multe direcții, așa cum arată chiar axele reperului.

Exemplul 5. Deplasarea comună păstrează alinierea

Punctele $A(-5;2)$, $B(-1;5)$ și $C(11;14)$ sunt deplasate fiecare cu trei unități în sensul pozitiv al abscisei și patru în sensul pozitiv al ordonatei. Verifică alinierea înainte și după deplasare.

Rezolvare. Inițial, cele două produse sunt $(-1-(-5))(14-2)=48$ și $(11-(-5))(5-2)=48$. Punctele sunt coliniare. Noile poziții sunt $A^{\prime }(-2;6)$, $B^{\prime }(2;9)$ și $C^{\prime }(14;18)$.

Diferențele nu se modifică: $2-(-2)=4$, $14-(-2)=16$, $9-6=3$ și $18-6=12$. Produsele rămân $4\cdot 12=48$ și $16\cdot 3=48$. Alinierea se păstrează deoarece am aplicat aceleași adaosuri tuturor pozițiilor.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Determină numărul real $t$ pentru care punctele $A(-3;7)$, $B(2;-8)$ și $C(5;t)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Panta dreptei prin punctele fixe este $(-8-7)/(2-(-3))=-3$. Ecuația prin $A$ se scrie $y-7=-3(x+3)$, deci $y=-3x-2$. La abscisa cinci, ordonata cerută este $-3\cdot 5-2=-17$. Prin urmare, $t=-17$.

Punctul $C(5;-17)$ este distinct de punctele fixe și satisface ecuația. Rezolvarea folosește apartenența la dreaptă, în format scurt de antrenament. Este o cerință proprie pe conținutul de geometrie analitică din programă, fără a atribui exemplului o poziție obligatorie în examen.

Să exersăm

Coordonatele sunt exacte. Când apare un parametru, păstrează toate condițiile de distincție și poziție din enunț. Încheie verificările cu o concluzie geometrică explicită.

1. Verifică alinierea punctelor $A(-7;-3)$, $B(2;3)$ și $C(5;5)$.

2. Sunt coliniare $A(0;2)$, $B(3;8)$ și $C(6;15)$? Justifică prin ecuația dreptei.

3. Precizează dacă $A(7;-3)$, $B(7;2)$ și $C(7;10)$ sunt coliniare și numește dreapta.

4. Verifică punctele $A(-5;-4)$, $B(1;-4)$ și $C(6;-4)$, alegând o metodă potrivită poziției lor.

5. Pentru $A(2;-1)$, $B(2;4)$ și $C(3;4)$, decide coliniaritatea fără să folosești pante inexistente.

6. (Problemă aplicată.) Trei stâlpi ai unui gard sunt fixați în $A(1;8)$, $B(3;2)$ și $C(4;-1)$, cu coordonatele în metri. Verifică dacă toți stâlpii se află pe dreapta $3x+y=11$ și dedu dacă gardul este drept între ei.

7. Determină $t$ astfel încât $A(-2;3)$, $B(3;2)$ și $C(8;t)$ să fie coliniare.

8. Află $t$ pentru alinierea punctelor $A(-3;1)$, $B(1;9)$ și $C(t;15)$.

9. Punctele sunt $A(1;-4)$, $B(3;2)$ și $C(t;t+2)$. Determină valoarea parametrului care asigură coliniaritatea.

10. Punctele $A(-2;1)$, $B(0;5)$ și $C(2;9)$ sunt aliniate. Verifică afirmația, apoi decide dacă punctul $C$ aparține segmentului $AB$.

11. Se dau $A(0;1)$, $B(4;3)$, $C(8;5)$ și $D(4;6)$. Sunt toate patru coliniare? Verificarea primelor trei este suficientă?

12. Punctele $A(-6;2)$, $B(2;6)$ și $C(8;9)$ sunt deplasate prin adăugarea lui $10$ la abscisă și a lui $-1$ la ordonată. Scrie noile poziții și verifică păstrarea alinierii.

13. Pentru ce valori ale lui $u$ sunt coliniare punctele $A(3;1)$, $B(u;u-2)$ și $C(7;3)$? Sunt ele atunci trei puncte distincte?

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Punctele $A(-4;-1)$, $B(0;2)$ și $C(4;5,01)$ sunt coliniare.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află $t$ astfel încât $A(-1;5)$, $B(2;-1)$ și $C(5;t)$ să fie coliniare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină abscisa necunoscută în $A(0;-3)$, $B(4;5)$ și $C(t;9)$, pentru alinierea punctelor.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $A(0;-8)$, $B(2;-2)$ și $C(5;7)$ sunt coliniare, precizând dreapta comună.

18. Există o valoare reală $t$ pentru care $A(t;2)$, $B(4;2)$ și $C(4;7)$ să fie simultan distincte două câte două și coliniare? Verifică și restricția, nu numai egalitatea de aliniere.

Răspunsuri și explicații

1. Punctele sunt coliniare, pe dreapta $y=2x/3+5/3$. Verificările dau $2\cdot (-7)/3+5/3=-3$, $2\cdot 2/3+5/3=3$ și $2\cdot 5/3+5/3=5$.

2. Punctele nu sunt coliniare. Dreapta prin primele două este $y=2x+2$, iar la abscisa lui $C$ obținem $2\cdot 6+2=14$, diferit de ordonata dată.

3. Punctele sunt coliniare pe verticala $x=7$. Toate abscisele satisfac aceeași ecuație, iar pozițiile sunt distincte.

4. Punctele sunt coliniare pe orizontala $y=-4$. Ordonata comună verifică direct ecuația; nu este necesară o comparație suplimentară a pantelor.

5. Punctele nu sunt coliniare. Dreapta $AB$ este $x=2$, iar abscisa lui $C$ nu satisface această condiție.

6. Stâlpii sunt coliniari, deci gardul poate fi drept. Înlocuirile dau $3\cdot 1+8=11$, $3\cdot 3+2=11$ și $3\cdot 4-1=11$. Toate aparțin dreptei indicate.

7. Valoarea este $1$. Dreapta fixă are ecuația $y=-x/5+13/5$, iar pentru abscisa cerută avem $-8/5+13/5=1$.

8. Valoarea este $4$. Ecuația prin punctele fixe este $y=2x+7$, iar condiția $15=2t+7$ determină abscisa.

9. Parametrul este $4,5$. Dreapta este $y=3x-7$, deci $t+2=3t-7$. Punctul rezultat, $C(4,5;6,5)$, este distinct de celelalte.

10. Alinierea se verifică pe $y=2x+5$, dar $C$ nu aparține segmentului $AB$. Abscisa sa este în afara intervalului dintre abscisele capetelor; el se află pe prelungire.

11. Nu sunt toate coliniare. Primele trei satisfac $y=x/2+1$, însă la abscisa lui $D$ formula dă $4/2+1=3$, diferit de ordonata lui.

12. Noile puncte sunt $A^{\prime }(4;1)$, $B^{\prime }(12;5)$ și $C^{\prime }(18;8)$. Pantele dintre pozițiile distincte rămân egale cu o jumătate; diferențele coordonatelor s-au păstrat, deci și alinierea.

13. Dreapta $AC$ are panta $2/4=1/2$ și ecuația $y=x/2-1/2$. Punctul $B$ o verifică dacă $u-2=u/2-1/2$, adică $u=3$. Atunci $B(3;1)$ coincide cu $A$: alinierea apare numai când două dintre puncte se suprapun, deci nu există trei puncte distincte coliniare de această formă.

14. Fals. Punctele nu sunt coliniare pentru datele exacte. Dreapta $AB$ este $y=3x/4+2$; la abscisa lui $C$ ea cere $3\cdot 4/4+2=5$, diferit de valoarea dată.

15. Valoarea este $-7$. Dreapta prin punctele fixe este $y=-2x+3$, iar $-2\cdot 5+3=-7$.

16. Valoarea este $6$. Dreapta este $y=2x-3$, iar condiția $9=2t-3$ conduce la abscisa cerută.

17. Punctele sunt coliniare pe $y=3x-8$. Verificăm $3\cdot 0-8=-8$, $3\cdot 2-8=-2$ și $3\cdot 5-8=7$.

18. Nu există o asemenea valoare. Dreapta $BC$ este verticala $x=4$, deci alinierea ar impune $t=4$. Atunci $A$ coincide cu $B$, încălcând distincția cerută.

De reținut

• Două puncte distincte stabilesc dreapta pe care verificăm celelalte poziții.
• Ecuația dreptei decide apartenența prin înlocuirea coordonatelor punctului.
• Cazul vertical se tratează prin abscisa constantă, fără pantă reală.
• Coliniaritatea, distincția și apartenența la segment sunt condiții diferite.
• Un rezultat exact trebuie justificat cu date exacte; apropierea vizuală nu este o demonstrație.

Greșeli frecvente

• Ceri distanțe egale pentru a accepta alinierea. Punctele de pe o dreaptă pot fi amplasate la intervale diferite.
• Consideri că orice punct aliniat cu capetele este pe segment. El poate fi pe prelungire; verifică poziția între capete.
• Unești două alinieri doar pentru că au un punct comun. Direcțiile pot fi diferite; două puncte comune distincte ar fixa aceeași dreaptă.
• Înlocuiești o abatere numerică mică prin zero. Pentru date exacte, diferența nenulă respinge egalitatea; aproximările cer alte ipoteze.
• Verifici trei puncte și declari aliniat un grup mai mare. Fiecare poziție suplimentară trebuie să satisfacă ecuația aceleiași drepte.

Aplică acasă

1. Desenează două drepte diferite printr-un punct comun și marchează câte două poziții suplimentare pe fiecare. Construiește un contraexemplu pentru afirmația că două grupuri aliniate cu un punct comun formează un singur grup coliniar.
2. Scrie coordonatele a trei puncte coliniare, apoi înmulțește toate abscisele cu $2$ și toate ordonatele cu $3$. Verifică prin egalitatea produselor că noile puncte sunt tot coliniare și explică de ce dreapta nouă are altă înclinare pe hârtie.
3. Pregătește un grup de patru puncte în care primele trei sunt aliniate, iar ultimul nu. Dă unui coleg numai concluzia unui verificator grăbit și cere-i să identifice punctul pe care acesta a omis să îl testeze.

Pentru părinți și profesori

Metoda centrală este apartenența la dreapta determinată de două puncte distincte. Controlul prin produse rămâne o reformulare elementară, fără determinanți. Cereți elevului să precizeze condițiile suplimentare ale problemei și să arate de ce o egalitate de aliniere poate fi insuficientă dacă se cer puncte distincte ori apartenența la un segment.

Programa și examenul. Programa nouă, OMEC 6930/2025, anexa 28, cere explicit verificarea coliniarității folosind ecuația unei drepte, în clasa a IX-a de științe ale naturii, din 2026–2027. La Bacalaureatul 2030, MAT_P2, geometria analitică aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, geometria analitică este inclusă în programa anterioară; exemplele marcate sunt antrenamente proprii. Modelul oficial M_șt-nat 2026 are la Subiectul I o cerință despre mijlocul segmentului, nu exemplul de coliniaritate din această pagină.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: coliniaritatea a trei puncte oferă altă organizare a aplicațiilor. Aici accentul cade pe domeniul concluziei, grupuri de puncte și controlul condițiilor exacte. Poți continua cu intersecția a două drepte la M2, unde o poziție trebuie să satisfacă simultan două ecuații.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de versiunea M1 de coliniaritate?

Păstrăm metoda prin ecuația dreptei și adăugăm controale explicite asupra concluziei: puncte distincte, apartenență la segment, grupuri mai mari și date aproximative. Exemplele sunt construite separat pentru acest parcurs. Nu ai nevoie de lecția M1 pentru calcule; materialul M2 conține toate condițiile și explicațiile necesare exercițiilor de aici.

Cum redactez justificarea la Subiectul I, Bacalaureatul M2?

Precizează dreapta determinată de două puncte distincte, verifică al treilea punct și formulează concluzia cerută. Geometria analitică este în programa M_șt-nat 2027–2029 și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” pentru MAT_P2 din 2030. Exercițiul propriu din lecție antrenează o rezolvare scurtă, fără să indice o cerință obligatorie în variantele viitoare.

Alinierea unui grup se păstrează dacă deplasez toate punctele la fel?

Da, când fiecărei abscise îi adaugi aceeași valoare și fiecărei ordonate aceeași altă valoare. Diferențele dintre coordonatele punctelor rămân neschimbate, deci condiția de coliniaritate se păstrează. Aceasta descrie o deplasare comună a configurației. Dacă modifici numai un punct, concluzia nu mai este garantată și trebuie verificată din nou.

De ce un punct comun nu este suficient pentru a uni două alinieri?

Prin același punct pot trece drepte cu direcții diferite. Fiecare grup poate aparține propriei drepte, fără ca toate punctele să fie coliniare împreună. Două puncte comune distincte ar determina însă o dreaptă unică. Diferența dintre un singur punct comun și două poziții distincte explică exact limita raționamentului.

Ce concluzie pot trage din coordonate rotunjite care par aliniate?

Poți verifica alinierea configurației descrise de numerele rotunjite. Pentru pozițiile măsurate inițial, concluzia depinde de precizia observațiilor și de eventualele toleranțe. O egalitate obținută după rotunjire nu dovedește automat alinierea fizică exactă. În exercițiile lecției, datele sunt considerate exacte dacă enunțul nu anunță o aproximare.

Este suficient să verific primele trei puncte dintr-o listă?

Numai dacă întrebarea privește acele trei puncte. Pentru întreaga listă, fixează dreapta prin două poziții distincte și verifică fiecare punct rămas. O singură poziție din afara dreptei respinge coliniaritatea grupului. Această metodă arată clar ce ai demonstrat și previne extinderea concluziei la date pe care nu le-ai testat.