Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $$E = \dfrac{4}{x} - \dfrac{8}{x^2} : \dfrac{2}{x}$$, pentru $$x \ne 0$$.

expresia nu are sens pentru niciun $$x$$

Care este ordinea corectă de efectuare a operațiilor într-o expresie cu fracții algebrice?

parantezele, puterile, înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile

adunările/scăderile, apoi înmulțirile/împărțirile

strict de la stânga la dreapta, indiferent de operație

întâi simplificările, indiferent de restul expresiei

Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $$E = \dfrac{5}{x} + \dfrac{10}{x^2} \cdot \dfrac{x}{2}$$, pentru $$x \ne 0$$.

expresia nu are sens pentru niciun $$x$$

Ce ordine au operațiile cu fracții algebrice?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ordinea operațiilor cu fracții algebrice

Aceeași ordine ca la numere: mai întâi ce este în paranteze, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile luate de la stânga spre dreapta, iar la sfârșit adunările și scăderile. Înainte de toate scrii condițiile de existență, apoi descompui în factori tot ce se poate. La $\frac{5}{x} - \frac{10}{x ^{2}} : \frac{2}{x}$ faci întâi împărțirea, care dă $\frac{5}{x}$ , iar scăderea rămasă dă zero, pentru orice $x$ nenul.

La fracțiile algebrice folosești exact aceeași ordine ca la numere: 1) parantezele, 2) puterile, 3) înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), 4) adunările și scăderile (de la stânga la dreapta). O paranteză poate schimba complet rezultatul, așa că citește întotdeauna toată expresia înainte să calculezi.

Algoritmul de lucru: (1) scrii condițiile de existență pe expresia inițială — fiecare numitor cu litere $\neq = 0$ , iar la împărțire și împărțitorul nenul; (2) descompui în factori tot ce se poate; (3) efectuezi operațiile în ordinea corectă, transformând orice împărțire în înmulțire cu inversa; (4) simplifici forma finală.

Exemplu minimal: $E = \frac{5}{x} - \frac{10}{x ^{2}} : \frac{2}{x}$ . Întâi împărțirea: $\frac{10}{x ^{2}} : \frac{2}{x} = \frac{5}{x}$ . Apoi scăderea: $E = \frac{5}{x} - \frac{5}{x} = 0$ , pentru orice $x \neq = 0$ . Multe astfel de expresii se simplifică la o constantă — asta nu schimbă domeniul stabilit la început.

De reținut

paranteze → puteri → înmulțiri și împărțiri → adunări și scăderi
condițiile de existență se scriu înaintea calculului
împărțirile și înmulțirile se fac de la stânga spre dreapta

Greșeala tipică

Se schimbă ordinea la două împărțiri succesive, calculând-o mai întâi pe a doua. Operațiile de același rang se efectuează strict în ordinea scrisă, altfel rezultatul iese diferit.

Exerciții din această mini-lecție

Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $E = \frac{4}{x} - \frac{8}{x ^{2}} : \frac{2}{x}$ , pentru $x \neq = 0$ .
- a) $E = 0$
- b) $E = \frac{8}{x}$
- c) $E = \frac{4}{x}$
- d) expresia nu are sens pentru niciun $x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $E = 0$

Întâi împărțirea: $\frac{8}{x ^{2}} : \frac{2}{x} = \frac{8}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{2} = \frac{4}{x}$ . Apoi scăderea: $E = \frac{4}{x} - \frac{4}{x} = 0$ .
Care este ordinea corectă de efectuare a operațiilor într-o expresie cu fracții algebrice?
- a) adunările/scăderile, apoi înmulțirile/împărțirile
- b) parantezele, puterile, înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile
- c) strict de la stânga la dreapta, indiferent de operație
- d) întâi simplificările, indiferent de restul expresiei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) parantezele, puterile, înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile

Regula este aceeași ca la numere: paranteze → puteri (și radicali) → înmulțiri/împărțiri (stânga-dreapta) → adunări/scăderi (stânga-dreapta).
Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $E = \frac{5}{x} + \frac{10}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{2}$ , pentru $x \neq = 0$ .
- a) $E = \frac{10}{x}$
- b) $E = 0$
- c) $E = \frac{5}{x}$
- d) expresia nu are sens pentru niciun $x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $E = \frac{10}{x}$

Întâi înmulțirea: $\frac{10}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{2} = \frac{10 x}{2 x ^{2}} = \frac{5}{x}$ . Apoi adunarea: $E = \frac{5}{x} + \frac{5}{x} = \frac{10}{x}$ .

Întrebări conexe

Ce rezolv întâi, paranteza sau împărțirea?

Paranteza, întotdeauna. Abia după ce interiorul ei devine o singură fracție treci la împărțire. Sărind peste această regulă, rezultatul iese aproape mereu altul, fiindcă împărțirea s-ar aplica doar primului termen din paranteză.

Cum transform o împărțire în înmulțire în mijlocul unui calcul?

Răstorni fracția de după semnul de împărțire și schimbi semnul în înmulțire. Din $\frac{a}{3} : \frac{b}{6}$ obții $\frac{a}{3} \cdot \frac{6}{b}$ , adică $\frac{2 a}{b}$ . Transformarea se face pe loc, nu la sfârșit.

De ce descompun în factori înainte să încep calculul?

Pentru că simplificările apar doar între factori, iar o expresie nedescompusă îi ascunde. Descompunând numitorii vezi imediat care este numitorul comun și ce se taie. Calculul rămâne astfel cu numere mici până la final.

Ce fac dacă în expresie apare și o putere a unei fracții?

O rezolvi imediat după paranteze, ridicând separat partea de sus și pe cea de jos. Din $(\frac{2 x}{3})^{2}$ obții $\frac{4 x ^{2}}{9}$ . Abia apoi intri în înmulțiri și împărțiri.

Ce fac la două împărțiri una după alta?

Le efectuezi în ordinea scrisă, de la stânga spre dreapta, fără să sari peste vreuna. Împărțirile nu se pot regrupa: dacă o iei întâi pe a doua, rezultatul iese altul, deși numerele rămân aceleași. Când chiar se cere altă grupare, enunțul o arată prin paranteze.

Cum aduc două fracții la același numitor în mijlocul unui calcul?

Descompui ambii numitori, iei fiecare factor distinct la puterea cea mai mare și amplifici fiecare fracție cu ce îi lipsește. Pentru numitorii $x$ și $x^{2}$ alegi $x^{2}$ și amplifici prima fracție cu $x$ .

Oamenii mai întreabă și: ordinea operațiilor la fracții algebrice · cum calculez o expresie cu fracții algebrice · aducerea la o formă mai simplă · operații cu fracții cu litere · ce operație fac prima