Progresia aritmetică și rația (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un aparat are o comandă care schimbă reglajul cu aceeași cantitate la fiecare apăsare. Pentru a descrie valorile afișate, ai nevoie de valoarea de pornire și de modificarea repetată. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această regulă introduce progresia aritmetică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține progresiile aritmetice și geometrice. Începi prin identificarea diferenței constante, înainte să calculezi termeni îndepărtați sau totaluri.

Ai întâlnit deja termenul și rangul unui șir la M2. Acum vom deosebi valoarea unui termen de schimbarea care duce la următorul. Nu orice listă ordonată este progresie și nu orice creștere are pas constant. Întrebarea utilă este ce se întâmplă între două poziții consecutive, păstrând aceeași ordine a scăderii.

Ce vei învăța

Vei explica definiția progresiei aritmetice prin aceeași diferență între termeni consecutivi.
Vei calcula rația cu semnul corect și vei accepta atât rații negative, cât și rația zero.
Vei continua o progresie în ambele sensuri, când regula este cunoscută.
Vei verifica o listă finită completă și vei distinge această verificare de o afirmație despre un șir infinit.
Vei folosi formula unui șir pentru a demonstra că diferența rămâne constantă la orice rang admis.
Vei interpreta rația împreună cu mărimea măsurată și cu etapa pe care o numără indicele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce comparăm între două poziții vecine?

Considerăm patru reglaje succesive, exprimate în aceeași unitate. Tabelul cuprinde toate valorile acestui program scurt, în ordinea în care sunt utilizate.

Poziție	Valoare	Schimbarea față de poziția anterioară
$1$	$- 1, 2$	Nu există o poziție anterioară în tabel.
$2$	$- 0, 8$	$+ 0, 4$
$3$	$- 0, 4$	$+ 0, 4$
$4$	$0$	$+ 0, 4$

Valorile sunt diferite, dar modificarea este aceeași. Semnul plus arată că fiecare valoare este mai mare decât precedenta. Faptul că primele valori sunt negative nu schimbă sensul evoluției: apropierea de zero dinspre numere negative poate fi o creștere.

Diferența consecutivă este valoarea nouă minus valoarea veche. La a doua poziție obținem $- 0, 8 - (- 1, 2) = 0, 4$ . Parantezele păstrează semnul termenului scăzut. Dacă inversezi ordinea, descrii întoarcerea către poziția anterioară, nu modificarea înainte.

Sunt patru valori și trei treceri între ele. Acest detaliu va deveni important la formula termenului general. Deocamdată el explică de ce, într-o listă cu patru termeni, există trei diferențe consecutive de verificat. Nici prima valoare, nici ultima nu se compară cu un termen care nu a fost dat.

2. Care este definiția progresiei aritmetice?

Un șir de numere reale $(a_{n})_{n \geq 1}$ este o progresie aritmetică dacă există un număr real $r$ astfel încât

$a_{n + 1} - a_{n} = r pentru fiecare n \geq 1.$

Numărul constant $r$ se numește rația progresiei aritmetice. Aceeași definiție se scrie $a_{n + 1} = a_{n} + r$ : termenul următor se obține adăugând rația la termenul curent. Prescurtarea PA desemnează în continuare o progresie aritmetică.

Cuvintele „pentru fiecare” fac parte din definiție. Nu este suficient ca diferența să fie constantă numai la început sau numai la câteva poziții convenabile. Dacă găsești două diferențe consecutive inegale, regula a fost încălcată și șirul nu este PA.

Pentru o listă finită $a_{1}, \dots, a_{N}$ , cu $N \geq 2$ , cerem aceeași relație pentru $n = 1, \dots, N - 1$ . Nu cerem un termen după ultimul. Vom spune că numerele date formează o progresie aritmetică finită, în ordinea scrisă. Ordinea este esențială: rearanjarea numerelor poate schimba diferențele.

Un singur termen nu permite determinarea rației, deoarece nu avem nicio trecere. Doi termeni fixați stabilesc diferența dintre ei; totuși, dintr-o asemenea pereche nu rezultă ce vor face termenii unui șir mai lung, dacă aceștia nu au fost precizați. Enunțul trebuie să ofere fie regula, fie întregul obiect verificat.

3. Ce ne spune semnul rației?

Rația este un număr real; nu există cerința să fie natural, întreg sau pozitiv. O modificare cu un sfert de unitate este la fel de potrivită ca una cu două unități. Nu transformăm fracțiile în aproximații atunci când le putem păstra exact.

Dacă $r > 0$ , fiecare termen îl depășește pe cel anterior, deci PA este strict crescătoare. Dacă $r < 0$ , fiecare termen este mai mic, deci PA este strict descrescătoare. Dacă $r = 0$ , fiecare termen este egal cu precedentul, iar progresia este constantă. Zero este o rație permisă, nu un motiv de respingere a definiției.

Semnul rației și semnul termenilor răspund la întrebări diferite. Primul descrie schimbarea, iar al doilea descrie poziția unei valori față de zero. O progresie poate avea termeni pozitivi și rație negativă. Poate avea termeni negativi și rație pozitivă. La un anumit rang, termenii pot trece prin zero fără ca rația să se schimbe.

O valoare nulă nu blochează calculul diferenței. De aceea, în această lecție nu împărțim termenul următor la cel precedent. Operația potrivită este scăderea, care funcționează și când unul dintre termeni este zero. Împărțirea ar răspunde altei întrebări și ar putea introduce un numitor nul inutil.

4. Cum continuăm regula înainte și înapoi?

Când enunțul spune că avem o PA și cunoaștem un termen împreună cu rația, adăugăm $r$ pentru următorul termen. Pentru termenul anterior, din $a_{n + 1} = a_{n} + r$ obținem $a_{n} = a_{n + 1} - r$ . Dacă rația este negativă, întoarcerea înseamnă scăderea unui număr negativ, deci adunarea opusului său.

De pildă, pentru rația $- 2$ , înainte scazi două unități, iar înapoi adaugi două. Nu schimbi definiția rației când mergi înapoi: se schimbă operația folosită pentru reconstruirea valorii necunoscute. După completare, citește din nou lista în ordinea rangurilor și verifică diferențele înainte.

Primul termen și rația stabilesc unic orice continuare cu indici succesivi. Această afirmație presupune că regula este valabilă pe tot domeniul indicilor. Dacă avem numai trei observații dintr-un experiment, continuarea prin aceeași diferență este o ipoteză de modelare până când enunțul o garantează sau datele suplimentare o susțin.

Nu este nevoie să memorezi separat o regulă pentru fiecare semn. Relațiile cu $r$ funcționează în toate cazurile. Când ai dubii la calcule, reia scăderea numerelor întregi, apoi verifică rezultatul prin operația inversă. O rație fracționară se tratează în același fel, folosind numitor comun.

5. Cum demonstrăm proprietatea dintr-o formulă?

Dacă șirul este dat printr-o formulă, înlocuiești peste tot $n$ cu $n + 1$ pentru a obține termenul următor. Abia apoi scazi formula termenului curent, pusă între paranteze. Rezultatul trebuie să fie același număr pentru fiecare indice din domeniul declarat.

Pentru familia $a_{n} = α n + β$ , unde $α$ și $β$ sunt constante reale, calculul este

$a_{n + 1} - a_{n} = α (n + 1) + β - (α n + β) = α .$

Așadar, fiecare asemenea șir este PA, cu rația $α$ . Cazul $α = 0$ rămâne inclus: formula este constantă. Nu spunem că rația este termenul liber $β$ ; acesta schimbă nivelul valorilor, fără să schimbe diferența dintre două ranguri vecine.

Prezența literei $n$ într-o expresie nesimplificată nu decide singură nimic. Poate exista o reducere de termeni care elimină dependența. Efectuează calculul și simplifică înainte de verdict. Invers, dacă diferența ia două valori distincte la doi indici admiși, ai deja o respingere sigură, chiar fără o formulă complicată.

Verificarea primilor termeni este folositoare ca verificare a calculului, dar nu înlocuiește demonstrația generală. Ea poate descoperi o greșeală și poate oferi un contraexemplu. Nu poate garanta, singură, toate valorile care nu au fost calculate.

6. Ce anume descrie rația într-o situație practică?

Într-un model aplicat, definește mai întâi termenul. El poate fi temperatura citită la o anumită observație, poziția unui cursor sau cantitatea prevăzută pentru o etapă. Rația are unitatea acelei mărimi pentru o trecere între indici consecutivi.

Dacă observațiile sunt făcute la fiecare cinci minute, rația descrie modificarea dintre două observații, deci pe cinci minute. Nu o numi automat modificare pe minut. Pentru o asemenea conversie ai nevoie și de ipoteza unei variații uniforme în interiorul intervalului. Tabelul cu valori la capete nu descrie singur toate momentele dintre ele.

Valorile măsurate aproximativ cer prudență în formulare. Diferențe aproape egale pot susține un model aproximativ, dar nu dau o egalitate matematică exactă. În exercițiile de aici, numerele sunt date exacte ale modelului, dacă nu precizăm altfel. Nu rotunjim diferențe distincte doar ca să obținem progresia dorită.

Într-un proces cu oprire, regula se folosește numai până la oprire. O cantitate de material nu poate deveni negativă prin simpla prelungire a formulei. O temperatură poate fi negativă, deci același semn nu are aceeași interpretare în toate contextele. Restricțiile vin din mărimea studiată și din condițiile enunțului.

7. Cum influențează unitatea și punctul de referință rația?

Aceeași listă de lungimi poate fi exprimată în centimetri sau în milimetri. Trecerea la milimetri înmulțește fiecare termen cu zece, deci înmulțește și fiecare diferență cu zece. Proprietatea de progresie aritmetică se păstrează, iar valoarea numerică a rației se schimbă odată cu unitatea. De aceea o rație fără unitate, într-o problemă de măsurare, poate fi incompletă ca răspuns.

Nu este o regulă nouă: pentru valori $a_{n}$ , dacă notăm $b_{n} = 10 a_{n}$ , obținem $b_{n + 1} - b_{n} = 10 (a_{n + 1} - a_{n}) = 10 r$ . Factorul de conversie se aplică întregii liste, nu numai unor termeni. Dacă ai amestecat unitățile în același tabel, diferențele calculate nu mai compară mărimi exprimate în același fel.

O altă schimbare posibilă este mutarea reperului de la care măsurăm pozițiile. Dacă adăugăm aceeași constantă $c$ tuturor valorilor, diferența devine $(a_{n + 1} + c) - (a_{n} + c) = r$ . Așadar, un alt punct de referință schimbă valorile, dar păstrează rația. Este motivul pentru care primul termen și modificarea repetată au roluri distincte.

Într-un tabel de poziții pe o riglă, alegerea altui zero poate muta unele valori din partea negativă în partea pozitivă. Ordinea lor și distanțele dintre poziții rămân aceleași. Această observație oferă încă o explicație pentru faptul că semnul termenilor nu determină semnul rației.

În schimb, citirea unei liste finite de la sfârșit către început inversează fiecare trecere. Lista inversată este tot PA, dar are rația $- r$ . Nu ai schimbat unitatea și nici valorile disponibile, ci ordinea în care le compari. Pentru rația zero, inversarea nu produce nicio diferență vizibilă.

Aceste controale sunt utile când două rezolvări par să dea rații diferite. Verifică mai întâi dacă folosesc aceeași unitate și aceeași ordine a rangurilor. Dacă da, rația unei PA cu cel puțin doi termeni este unică: ea trebuie să fie egală cu diferența aceleiași perechi consecutive. Nu pot exista două rații distincte pentru aceeași listă ordonată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea întregii liste

Un program folosește, în această ordine, valorile exacte $8, 4$ , $7, 7$ , $7$ , $6, 3$ . Formează ele o PA finită?

Rezolvare. Avem patru valori și calculăm toate cele trei diferențe: $7, 7 - 8, 4 = - 0, 7$ , $7 - 7, 7 = - 0, 7$ și $6, 3 - 7 = - 0, 7$ . Coincidența lor dovedește că lista completă este PA, cu rația $- 0, 7$ .

Valorile sunt pozitive, dar progresia este descrescătoare. Nu alegem rația pozitivă doar pentru că numerele afișate sunt pozitive. Dacă programul s-ar prelungi, ar trebui precizat că păstrează regula; verificarea listei actuale nu este o observație asupra unei etape viitoare necunoscute.

Exemplul 2 — Continuare cu fracții

O PA începe cu $a_{1} = - 5/6$ și are rația $r = 2/3$ . Scrie primii patru termeni.

Rezolvare. Scriem rația ca $4/6$ pentru a aduna ușor: $a_{2} = - 1/6$ , $a_{3} = 3/6 = 1/2$ , $a_{4} = 7/6$ . Lista este $- 5/6, - 1/6, 1/2, 7/6$ .

Controlăm, de exemplu, trecerea prin zero: $1/2 - (- 1/6) = 3/6 + 1/6 = 2/3$ . Trecerea de la un termen negativ la unul pozitiv nu schimbă pasul. Păstrarea fracțiilor oferă rezultate exacte și evită diferențe aparent inegale produse de rotunjirea zecimalelor.

Exemplul 3 — Rația zero

Un șir este definit prin $b_{1} = - 2, 4$ și $b_{n + 1} = b_{n}$ pentru fiecare $n \geq 1$ . Este progresie aritmetică?

Rezolvare. Relația dată poate fi scrisă $b_{n + 1} = b_{n} + 0$ . Diferența este zero la fiecare pas, deci șirul este PA de rație zero. Toți termenii au valoarea $- 2, 4$ .

Faptul că nu apare o creștere vizibilă nu înseamnă lipsa unei reguli. Regula spune tocmai că valoarea se păstrează. Nu deducem că termenii trebuie să fie zero: zero este modificarea, iar valoarea comună poate fi orice număr real.

Exemplul 4 — O diferență demonstrată pentru toate rangurile

Pentru $n \geq 1$ , se dă $c_{n} = (13 - 5 n) /6$ . Arată că șirul este PA și află primul termen.

Rezolvare. Termenul următor este $c_{n + 1} = (13 - 5 n - 5) /6$ . Scăzând,

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{13 - 5 n - 5 - ( 13 - 5 n )}{6} = - \frac{5}{6} .$

Rezultatul nu depinde de indice. Șirul este PA de rație $- 5/6$ , iar $c_{1} = (13 - 5) /6 = 4/3$ . La scădere am schimbat semnele întregului numărător scăzut. Primul termen și rația au semne diferite, fără nicio contradicție.

Exemplul 5 — Două valori egale nu sunt o regulă generală

Fie $d_{n} = n^{2} - 3 n$ , pentru $n \geq 1$ . Un elev observă că $d_{1} = d_{2}$ și declară șirul constant. Verifică afirmația.

Rezolvare. Avem $d_{1} = - 2$ , $d_{2} = - 2$ , dar $d_{3} = 0$ . Primele două diferențe sunt $0$ și $2$ , deci șirul nu este nici constant, nici PA. O singură egalitate între doi termeni nu stabilește toate trecerile.

Calculul general confirmă: $d_{n + 1} - d_{n} = 2 n - 2$ . La rangurile unu și doi această expresie are valori diferite. Pentru respingere ar fi fost suficientă comparația numerică; formula generală explică de ce modificarea nu rămâne aceeași.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se definește $u_{n} = (10 - 7 n) /4$ , $n \geq 1$ . Calculează $u_{1}, u_{2}$ , demonstrează că șirul este PA și determină termenul imediat anterior lui $u_{6} = - 8$ .

Rezolvare. Obținem $u_{1} = 3/4$ și $u_{2} = - 1$ . Diferența generală este

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{10 - 7 ( n + 1 ) - ( 10 - 7 n )}{4} = - \frac{7}{4} .$

Șirul este PA, de rație $- 7/4$ . Din $u_{6} = u_{5} + r$ rezultă $u_{5} = u_{6} - r = - 8 + 7/4 = - 25/4$ . Verificăm direct: $(10 - 35) /4 = - 25/4$ .

Exercițiul leagă substituția, definiția și mersul înapoi prin aceeași regulă. Este o propunere de antrenament; titlul său nu atribuie enunțul unui subiect oficial.

Să exersăm

Precizează dacă verifici o listă completă sau un șir definit pentru toate rangurile. La calculele cu rație, scrie scăderea în ordinea termenului nou minus termenul anterior. Exercițiile cer atât calcule, cât și justificarea a ceea ce datele permit să afirmi.

1. Verifică lista finită $- 11, - 7, - 3, 1$ și precizează rația, dacă există.

2. Valorile exacte $1, 2; 1, 7; 2, 2; 2, 8$ formează, în această ordine, o PA? Explică fără rotunjire.

3. O PA începe cu $9/5, 6/5, 3/5$ . Află rația și următorul termen.

4. Șirul $v_{n} = 0$ , pentru orice $n \geq 1$ , este PA? Numește atât valoarea termenilor, cât și rația.

5. Scrie primii cinci termeni ai PA cu $a_{1} = - 9$ și $r = 2$ . Este ea crescătoare, deși termenii găsiți sunt negativi?

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o PA, $b_{4} = 15$ și $b_{5} = 11$ . Reconstruiește $b_{3}$ și $b_{2}$ .

7. Într-o PA se cunosc $c_{2} = - 4$ , $c_{3} = - 1$ , $c_{4} = 2$ . Completează $c_{1}$ și $c_{5}$ , apoi verifică toate diferențele listei obținute.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Demonstrează că $d_{n} = (4 n + 9) /5$ , $n \geq 1$ , definește o PA și determină $d_{1}$ și rația.

9. Șirul $e_{n} = 12 - 2 n$ este definit pentru indicii întregi $n \geq 0$ . Află termenul de început și rația. Explică de ce primul indice nu este aici unu.

10. Șirul $f_{n} = n^{2} - 5 n$ , $n \geq 1$ , este PA? Folosește primii trei termeni pentru verdict.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Într-o PA cu $g_{4} = - 2$ și $g_{5} = 3$ , rația este $g_{4} - g_{5} = - 5$ .

12. Scrie trei termeni ai unei PA care începe cu $3$ și are rația $3$ . Faptul că rația este irațională împiedică definiția?

13. (Problemă aplicată.) Un cursor este reglat la $1, 5$ unități. Fiecare apăsare crește afișajul cu $0, 25$ unități. Scrie afișajul inițial și cele de după primele trei apăsări, precizând ce reprezintă un pas.

14. Din lista PA $7, 10, 13, 16$ se elimină numai termenul $10$ . Lista rămasă, citită consecutiv, mai este PA? Explică de ce eliminarea contează.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Lista $0, 5; 3; 5, 5; 8; 10, 5; 13$ este o PA de rație $2, 5$ . Termenii ei de rang par, $3; 8; 13$ , formează tot o PA, cu aceeași rație $2, 5$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $h_{n} = (n + 2)^{2} - (n - 1)^{2}$ , $n \geq 1$ . Calculează $h_{1}, h_{2}$ și demonstrează, prin diferența generală, că șirul este PA, deși formula conține pătrate. Precizează sensul variației.

17. (Problemă aplicată.) La minutele $0, 5, 10, 15$ , un model dă valorile $4, 6, 8, 10$ grade. Ce rație are lista observațiilor? Poți afirma numai din aceste valori ce s-a întâmplat în fiecare minut intermediar?

18. (Provocare.) Cunoști numai primii trei termeni ai unui șir: $- 2, 1, 4$ . Propune o valoare pentru al patrulea termen care păstrează PA pe cele patru poziții și una care o respinge. Ce arată cele două continuări despre informația inițială?

Răspunsuri și explicații

1. Toate cele trei diferențe sunt egale cu patru: $- 7 - (- 11) = 4$ , $- 3 - (- 7) = 4$ , $1 - (- 3) = 4$ . Lista este PA. Rația pozitivă descrie creșterea, chiar dacă lista începe cu valori negative.

2. Nu: diferențele sunt $0, 5$ , $0, 5$ și $0, 6$ . Ultima valoare este dată exact și nu poate fi înlocuită cu alta pentru a potrivi modelul. Primele două treceri egale nu salvează lista completă.

3. Rația este $- 3/5$ . Următorul termen este $3/5 - 3/5 = 0$ . Prezența lui zero este permisă; scăderea consecutivă rămâne definită și are aceeași valoare.

4. Da, toți termenii au valoarea zero, iar rația este tot zero. Sunt două roluri diferite ale aceluiași număr: valoare și modificare. Definiția este satisfăcută pentru fiecare indice.

5. Termenii sunt $- 9, - 7, - 5, - 3, - 1$ . Progresia este strict crescătoare deoarece adăugăm mereu un număr pozitiv. A crește nu înseamnă a avea deja valori pozitive.

6. $r = 11 - 15 = - 4$ . Mergând înapoi, $b_{3} = 15 - (- 4) = 19$ , iar $b_{2} = 19 - (- 4) = 23$ . În ordinea normală obținem $23, 19, 15, 11$ , cu diferența $- 4$ la fiecare trecere.

7. Rația este trei. Rezultă $c_{1} = - 7$ și $c_{5} = 5$ . Lista completată este $- 7, - 4, - 1, 2, 5$ ; toate cele patru diferențe sunt trei. Completarea folosește ipoteza că șirul este PA.

8. $d_{n + 1} - d_{n} = [4 (n + 1) + 9 - (4 n + 9)] /5 = 4/5$ . Diferența este constantă, deci avem PA, iar $d_{1} = 13/5$ . Termenul liber din numărător nu este rația.

9. Termenul de început este $e_{0} = 12$ , iar diferența $e_{n + 1} - e_{n} = - 2$ . Indicii admiși încep la zero deoarece așa este definit șirul. $e_{1} = 10$ este deja termenul de după o trecere.

10. Primii termeni sunt $- 4, - 6, - 6$ . Diferențele sunt $- 2$ și zero, deci șirul nu este PA. Această singură încălcare este suficientă pentru respingerea unei reguli care ar trebui să fie universală.

11. Fals. Rația înainte este $g_{5} - g_{4} = 3 - (- 2) = 5$ . Calculul dat descrie deplasarea inversă. Verificarea prin adunare confirmă: din $- 2$ , adăugând cinci, ajungem la trei.

12. Termenii sunt $3, 23, 33$ . Diferențele sunt $3$ , un număr real admis. Definiția nu limitează rația la numere raționale; păstrăm radicalul exact.

13. Valorile sunt $1, 5; 1, 75; 2; 2, 25$ . Pasul este o apăsare, nu o secundă. Regula dată garantează aceeași modificare între afișaje consecutive, indiferent de timpul petrecut între apăsări.

14. Rămân $7, 13, 16$ , cu diferențele șase și trei, deci nu mai avem PA în lista nouă. Prima trecere a sărit peste două intervale ale listei inițiale, iar a doua peste unul singur.

15. Fals. Termenii de rang par sunt $3$ , $8$ și $13$ , cu diferențele $8 - 3 = 5$ și $13 - 8 = 5$ . Ei formează o PA, dar de rație $5 = 2 \cdot 2, 5$ : între doi termeni vecini de rang par se fac două treceri ale listei inițiale, nu una.

16. $h_{1} = 9 - 0 = 9$ și $h_{2} = 16 - 1 = 15$ . Desfăcând pătratele, $h_{n} = n^{2} + 4 n + 4 - (n^{2} - 2 n + 1) = 6 n + 3$ , deci $h_{n + 1} - h_{n} = 6$ pentru fiecare $n \geq 1$ . Termenii pătratici se reduc, iar șirul este PA strict crescătoare, de rație $6$ .

17. Rația observațiilor este două grade pe un interval de cinci minute. Nu cunoaștem numai din tabel valorile intermediare. Pentru o creștere uniformă în fiecare minut ar fi necesară o regulă suplimentară, care nu a fost dată.

18. Valoarea șapte păstrează diferența trei, iar valoarea opt produce ultima diferență patru. Ambele continuări respectă primele trei date. Așadar, datele inițiale sunt compatibile cu PA, dar nu garantează că întregul șir este PA.

De reținut

O progresie aritmetică păstrează diferența dintre termenul următor și termenul curent. Rația se citește cu semn și poate fi orice număr real.
Semnul rației descrie variația, fără să impună semnul termenilor. Rația zero produce un șir constant, cu o valoare comună care nu trebuie să fie zero.
Pentru o listă finită completă verifici toate diferențele consecutive. Pentru un șir dat prin formulă, calculezi diferența la indice arbitrar.
O observație favorabilă nu acoperă rangurile necunoscute, în timp ce o încălcare este suficientă pentru respingere. Precizează întinderea concluziei.
Continuarea înainte adună rația, iar reconstruirea termenului anterior o scade. Următorul pas este formula termenului general al PA la M2, care numără direct mai multe asemenea treceri.

Greșeli frecvente

Rația păstrată numeric la schimbarea unității. Dacă exprimi toate valorile în altă unitate, convertește și diferența dintre ele. Aceeași modificare fizică poate avea altă valoare numerică.
Respingerea rației zero. Verifică definiția: zero este aceeași modificare la fiecare pas și produce o progresie constantă.
Confundarea creșterii cu pozitivitatea. Compară doi termeni între ei pentru variație și fiecare termen cu zero pentru semn.
Schimbarea reperului considerată o schimbare a rației. Adăugarea aceleiași constante la fiecare termen deplasează valorile, dar constantele se reduc în diferența a doi termeni consecutivi. Rația rămâne aceeași.
Uitarea parantezelor. La diferența dintre două formule, semnul minus se aplică întregii expresii a termenului scăzut.

Aplică acasă

Construiește un tabel cu cinci valori exacte, pornind de la o fracție aleasă și folosind o rație negativă. Cere unui coleg să reconstruiască valoarea de pornire după ce îi arăți ultimele patru. Verificați răspunsul citind întregul tabel în ordinea inițială.
Scrie apoi două liste care au aceiași primi trei termeni și continuări diferite: una păstrează PA, cealaltă o încalcă. Explică în câteva propoziții de ce observarea începutului nu este o demonstrație despre întregul șir. Activitatea verifică sensul definiției, nu rapiditatea adunării.
Alege una dintre listele tale și exprimă toate valorile într-o unitate de zece ori mai mică. Recalculează rația și explică de ce proprietatea de PA s-a păstrat, deși numărul care exprimă rația s-a schimbat.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează diferența constantă, rolul semnului și întinderea unei verificări. Elevul ar trebui să poată spune ce anume dovedește: proprietatea listei complete, proprietatea unui șir definit prin formulă sau doar compatibilitatea unor observații cu un model. Se recomandă compararea răspunsului verbal cu calculul, mai ales când rația este negativă și termenii sunt încă pozitivi.

Nu este nevoie să anticipăm toate formulele capitolului. Completarea pe câțiva pași și calculul diferenței pregătesc termenul general. Întrebări utile sunt „Ce reprezintă o trecere?” și „Ce informație te lasă să continui regula?”. Un rezultat numeric corect obținut dintr-o presupunere neprecizată nu constituie încă o justificare completă.

Programa și examenul. Lecția urmează unitatea IX.4 din programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Pentru elevii care încep liceul în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde progresiile aritmetice și geometrice. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre progresii; exercițiile marcate aici sunt antrenament propriu în limitele programei. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: progresia aritmetică și rația rămâne un reper separat.

Întrebări frecvente

Trebuie să verific și diferența după ultimul termen al unei liste finite? Nu, dacă lista dată este întregul obiect al cerinței. Verifici numai trecerile care există în ea. Pentru continuare trebuie să ai o regulă suplimentară sau să se spună explicit că lista face parte dintr-o PA. Dacă lista are numai două valori, poți calcula o singură diferență; aceasta nu stabilește singură comportamentul unor termeni viitori neprecizați.

De ce un șir de numere negative poate să crească? Creșterea compară fiecare termen cu cel anterior, nu cu zero. Un număr negativ mai apropiat de zero este mai mare. Semnul rației și semnul termenilor trebuie citite separat. De exemplu, trecerea de la minus cinci la minus doi este o creștere cu trei, deși ambele valori rămân negative.

Ce fac dacă două observații consecutive coincid? Diferența lor este zero. Dacă știi deja că șirul este PA, aceasta este rația întregii progresii. Dacă nu ai această ipoteză, verifici și celelalte treceri înainte de o concluzie generală. O pereche egală într-un șir arbitrar poate fi urmată de o valoare diferită; numai ipoteza PA propagă constanța.

Pot decide prin diferențe rotunjite? Pentru date exacte, folosești calcule exacte. Pentru măsurători aproximative, poți discuta un model aproximativ numai precizând toleranța și limitele datelor. Egalitatea exactă nu se obține prin ascunderea diferențelor reale. Păstrarea fracțiilor sau a zecimalelor exacte îți permite să compari diferențele fără să introduci erori de calcul suplimentare.

Ce urmărește varianta M2 față de lecția M1 despre aceeași noțiune? Definiția este aceeași. Aici accentul cade pe interpretarea modificării, pe zero și semne, pe verificarea datelor și pe formule simple. Lecția este autonomă și pregătește calculele progresiilor din traseul Științe. Nu este necesar să deschizi varianta M1 pentru a selecta materia potrivită: definițiile și verificările necesare se află aici.

Cum folosesc această lecție în pregătirea pentru bacalaureatul M2? Exersează recunoașterea rației și justificarea ei înainte de aplicarea formulelor. Programa ambelor examene include progresiile, dar modelul oficial 2026 nu are o cerință despre ele, deci nu atribui temei un loc fix în subiect. Poți continua cu testul M2 despre progresii aritmetice și geometrice. La fiecare verdict, scrie diferențele calculate, nu doar concluzia.