Pentru fiecare $$n\geq1$$, un șir are termenul $$b_n=-11$$. Care afirmație descrie corect rația?

Rația este zero, deoarece nu se schimbă valoarea.

Rația este negativă deoarece termenii sunt negativi.

Nu există rație pentru o listă constantă.

Ce arată semnul rației unei progresii?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Definiția și rația PA

Semnul rației arată sensul variației: pentru $r > 0$ progresia aritmetică este crescătoare, pentru $r < 0$ descrescătoare, iar pentru $r = 0$ constantă. El nu spune nimic despre semnul termenilor. Progresia $- 20, - 14, - 8$ are rația $6$ și crește, deși toți termenii sunt negativi. Progresia $30, 26, 22$ are rația $- 4$ și scade, deși termenii sunt pozitivi.

O progresie aritmetică păstrează aceeași diferență între termenul următor și cel curent. Această diferență se numește rație și se notează de obicei cu $r$ . Relațiile $a_{n + 1} - a_{n} = r$ și $a_{n + 1} = a_{n} + r$ exprimă aceeași regulă, pe toți indicii la care există trecerea respectivă.

Rația poate fi pozitivă, negativă sau zero. Semnul ei descrie evoluția, fără să fixeze semnul termenilor. O progresie cu valori negative poate fi crescătoare, iar una cu valori pozitive poate fi descrescătoare. Rația zero păstrează aceeași valoare la toate pozițiile, indiferent care este acea valoare.

Pentru o listă finită completă, verifică fiecare diferență consecutivă. Pentru un șir dat prin formulă, calculează diferența la un indice arbitrar. Datele parțiale pot fi compatibile cu o progresie fără să garanteze continuarea ei. Un singur pas care încalcă regula este suficient pentru respingerea unei liste.

Înainte aduni rația, iar înapoi o scazi. Păstrează parantezele când scazi numere negative sau expresii întregi. Într-un context aplicat, precizează mărimea, unitatea și semnificația unei treceri. Schimbarea unității modifică valoarea numerică a rației, iar schimbarea comună a reperului păstrează diferențele.

De reținut

$r > 0$ : crescătoare; $r < 0$ : descrescătoare; $r = 0$ : constantă
semnul rației nu determină semnul termenilor
rația se calculează ca termenul următor minus termenul curent

Greșeala tipică

Se crede că o progresie cu termeni negativi este descrescătoare; $- 20, - 14, - 8$ crește, pentru că rația $6$ este pozitivă.

Exerciții din această mini-lecție

Lista completă $27/4, 21/4, 15/4$ este o PA. Care este rația ei în ordinea scrisă?
- a) $3/2$
- b) $- 3/2$
- c) $- 3/4$
- d) $21/4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 3/2$

Scădem termenul anterior din următorul: $(21 - 27) /4 = - 6/4 = - 3/2$ . A doua diferență este aceeași.
Pentru fiecare $n \geq 1$ , un șir are termenul $b_{n} = - 11$ . Care afirmație descrie corect rația?
- a) Rația este negativă deoarece termenii sunt negativi.
- b) Nu există rație pentru o listă constantă.
- c) Rația este $- 11$ .
- d) Rația este zero, deoarece nu se schimbă valoarea.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Rația este zero, deoarece nu se schimbă valoarea.

Diferența dintre doi termeni egali este zero. Valoarea comună a termenilor și rația au roluri diferite.
Pentru $a_{n} = (8 n - 5) /3$ , $n \geq 1$ , care pereche reprezintă primul termen și rația?
- a) $a_{1} = 1, r = 8/3$
- b) $a_{1} = - 5/3, r = 8$
- c) $a_{1} = 8/3, r = 1$
- d) $a_{1} = 1, r = - 5/3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a_{1} = 1, r = 8/3$

Înlocuirea $n = 1$ dă $a_{1} = 1$ , iar diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ este $8/3$ .

Întrebări conexe

Este șirul $a_{n} = n^{2}$ o progresie aritmetică?

Nu. Diferențele dintre termeni consecutivi sunt $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 1$ , adică $3$ , $5$ , $7$ , …, deci nu sunt constante. La o progresie aritmetică diferența trebuie să fie aceeași la orice rang; aici ea crește odată cu $n$ .

Cum se schimbă rația unei progresii când schimb unitatea de măsură?

Rația se convertește la fel ca termenii. Lungimile $2$ m, $2, 5$ m, $3$ m au rația $0, 5$ m; în centimetri devin $200$ , $250$ , $300$ , cu rația $50$ cm. Creșterea fizică este aceeași, doar numărul care o exprimă s-a schimbat.

Ce progresie descrie o răcire cu $3$ °C la fiecare $5$ minute?

Dacă lichidul are inițial $80$ °C, temperaturile citite la fiecare $5$ minute sunt $80$ , $77$ , $74$ , $71$ , … °C. Este o progresie aritmetică cu rația $- 3$ °C pe interval. Rația negativă descrie scăderea; termenii rămân pozitivi.

Ce se întâmplă cu rația dacă scriu termenii în ordine inversă?

Rația își schimbă semnul. Progresia $4, 9, 14$ are rația $5$ , iar citită invers, $14, 9, 4$ , are rația $- 5$ . Diferența se calculează mereu ca termenul următor minus cel curent, în ordinea în care sunt scrise.

Ce rație are progresia $2$ , $22$ , $32$ ?

Diferențele consecutive sunt $22 - 2 = 2$ și $32 - 22 = 2$ , deci rația este $2$ , un număr irațional. Rația poate fi orice număr real, inclusiv unul irațional. Termenul următor se obține adunând rația: $42$ , apoi $52$ și așa mai departe.

Oamenii mai întreabă și: semnul rației unei progresii aritmetice · progresie aritmetică crescătoare sau descrescătoare · rație negativă · ce înseamnă rație pozitivă