Șiruri: termen, rang și formulă (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un experiment, aceeași valoare poate fi înregistrată la două momente diferite. Rezultatele nu se confundă: fiecare aparține unei anumite măsurători. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), notația șirurilor îți permite să păstrezi împreună poziția unei observații și valoarea ei. Această citire este necesară în problemele cu progresii, incluse în programa pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și în domeniul „Algebră” pentru MAT_P2 din 2030.

În lecția M2 despre dobânda simplă, soldurile au fost așezate după numărul anilor încheiați. Acum organizăm notația folosită acolo: ce înseamnă indicele, cum se citește o formulă și ce verifici când cauți o poziție. Pentru calcule poți relua calculul valorii unei funcții, din clasa a VIII-a. Accentul cade pe interpretare și pe respectarea rangurilor permise, înainte de formulele specifice progresiilor.

Ce vei învăța

Vei ști să citești împreună rangul și valoarea unui termen, inclusiv când valorile se repetă.
Vei ști să folosești o formulă explicită pentru un rang dat și să controlezi substituirea făcută.
Vei ști să distingi valoarea următoare din șir de valoarea curentă mărită cu unu.
Vei ști să reconstruiești termenii unei reguli recursive simple, pornind de la valoarea inițială.
Vei ști să verifici dacă un rang obținut prin calcul aparține domeniului modelului și dacă datele permit o continuare unică.

Hai să descoperim împreună

1. O poziție și o valoare trebuie citite împreună

Un șir de numere reale este o asociere care atribuie câte o valoare reală fiecărui indice natural din domeniul declarat. Această asociere este o funcție: fiecare indice admis are o singură imagine. Scriem $a_{n}$ pentru valoarea atribuită indicelui $n$ și numim indicele rang. Pentru un șir infinit, domeniul este de obicei $N^{*}$ sau $N$ ; numerotarea folosită se precizează. Într-un tabel de observații putem avea numai o succesiune finită de termeni.

Scrierea $a_{6} = 17$ spune că la rangul șase se găsește valoarea șaptesprezece. Numărul mic, de la indice, identifică poziția; numărul din dreapta egalității este rezultatul. Indicele nu înseamnă înmulțire și nici putere. Explicația în cuvinte te ajută să eviți o operație care nu a fost cerută.

De pildă, într-o listă ordonată $8$ , $11$ , $8$ , $15$ , numerotată de la unu, avem $a_{1} = a_{3} = 8$ . Sunt două observații, cu ranguri distincte, care au aceeași valoare. Dacă am transforma lista într-o mulțime, repetarea și ordinea nu ar mai fi păstrate. De aceea o mulțime de valori nu poate înlocui automat înregistrarea unui experiment.

Fiecărui rang îi corespunde totuși o singură valoare în același șir. Dacă două fișe dau valori diferite la aceeași poziție și pretind că descriu aceeași înregistrare, trebuie verificată sursa diferenței. Repetarea unei valori este permisă; atribuirea a două valori simultane aceluiași rang nu definește un șir obișnuit.

2. Unde începe numerotarea și unde se oprește?

Într-o succesiune indexată de la unu, primul termen este $a_{1}$ . Dacă momentul inițial este indexat cu zero, primul termen este $a_{0}$ . Ambele convenții sunt folosite în matematică, dar formulele lor nu se schimbă doar prin redenumirea primului indice. Legătura dintre indice și observație trebuie păstrată explicit.

Pentru indicii $0, 1, 2, 3$ avem patru termeni. Pentru indicii $1, 2, 3$ avem trei. În general, între indicii întregi $r$ și $s$ , incluși, sunt $s - r + 1$ poziții, atunci când $r \leq s$ . Numărul intervalelor dintre prima și ultima poziție este, în schimb, $s - r$ .

Această diferență apare când se fac observații la momente succesive. Cinci fotografii pot delimita patru intervale de timp. Dacă prima fotografie este cea inițială, rangul zero are un rol precis; nu reprezintă absența fotografiei. În rezolvare, scrie înaintea calculelor ce înseamnă indicele zero sau unu.

Un model cu indicii între zero și șapte are un domeniu finit. Chiar dacă expresia sa se poate calcula și pentru indicele zece, expresia nu garantează că există o observație la acel rang în problema dată. Domeniul face parte din informația matematică, la fel ca formula.

3. Cum se folosește o formulă explicită?

Formula explicită a termenului general oferă valoarea unui termen direct în funcție de rangul său. Dacă $u_{n} = 2 n + 7$ , pentru $n \geq 1$ , înlocuim indicele dorit în expresia din dreapta. De exemplu, $u_{9} = 2 \cdot 9 + 7 = 25$ . Nu este necesar să calculăm întâi toți termenii anteriori.

Când expresia conține mai multe apariții ale lui $n$ , toate primesc același rang. În formula $v_{n} = n (n + 4)$ , pentru rangul doi folosim $v_{2} = 2 (2 + 4) = 12$ . A înlocui numai prima apariție ar lăsa o variabilă într-un rezultat care trebuia să fie deja un număr.

Păstrează parantezele când substitui o expresie. Pentru a scrie termenul de rang $n + 1$ , înlocuiești fiecare $n$ cu întregul grup $n + 1$ . Formula îți spune cum se produce valoarea din rang, iar schimbarea rangului poate afecta mai multe operații, inclusiv un pătrat sau un produs.

Controlul cel mai simplu este să compari formula cu un termen cunoscut. Dacă fișa oferă și primul termen, calculează-l din formulă. O nepotrivire poate indica o eroare de numerotare ori de transcriere. Nu corectezi însă arbitrar enunțul; arăți exact care dintre date nu este respectată.

4. Termenul următor și adăugarea unei unități

Scrierile $a_{n + 1}$ și $a_{n} + 1$ au sensuri diferite. Prima schimbă rangul: cauți valoarea de la poziția următoare. A doua păstrează termenul curent și îi adaugă o unitate. Ele pot fi egale într-un anumit șir, dar notația singură nu impune egalitatea.

Dacă $a_{n} = 6 n$ , atunci $a_{n + 1} = 6 (n + 1) = 6 n + 6$ , în timp ce $a_{n} + 1 = 6 n + 1$ . Diferența dintre cele două expresii provine din regula care transformă rangul în valoare. Într-un șir constant, de exemplu, trecerea la rangul următor nici măcar nu schimbă valoarea.

Aceeași atenție se aplică lui $a_{2 n}$ și lui $2 a_{n}$ . Prima scriere cere termenul de rang dublu; a doua dublează o valoare. Nu avem nevoie aici de un catalog de identități: este suficient să citim în cuvinte ce modifică fiecare notație înainte să aplicăm formula.

Această lecție pregătește calculul termenilor consecutivi. Studiul diferenței constante și formulele progresiei vor folosi exact această substituire. Dacă indicele este citit corect, calculul ulterior pornește de la expresia potrivită și nu trebuie reparat după obținerea rezultatului.

5. Când regula pornește de la termenul precedent?

Un șir poate fi dat printr-o valoare inițială și o regulă care produce termenul următor din cel deja cunoscut. Aceasta este o definire prin recurență. Pentru a o folosi, ai nevoie de ambele informații: punctul de pornire și regula de trecere.

De exemplu, $w_{1} = 9$ și $w_{n + 1} = w_{n} + 2$ , pentru $n \geq 1$ , permit să calculăm succesiv $w_{2} = 11$ , apoi $w_{3} = 13$ . Regula singură, fără valoarea inițială, ar descrie multe șiruri diferite. Pornind de la alt număr, am adăuga tot două unități, dar am obține alte valori.

Într-o regulă recursivă, indicele indică exact ce valoare este folosită. Pentru a obține termenul al patrulea îl folosești pe al treilea. Nu înlocuiești automat indicele în locul valorii anterioare: $w_{n}$ este numărul calculat la pasul anterior, iar $n$ este rangul lui.

Nu orice recurență simplă din această lecție trebuie transformată imediat într-o formulă explicită. Pentru câțiva termeni, aplicarea succesivă a regulii este suficientă și verificabilă. Formulele progresiilor vor face ulterior mai rapid calculul unui termen îndepărtat pentru anumite tipuri de recurențe.

6. Ce putem deduce dintr-un tabel?

Un tabel finit spune exact ce valori sunt înregistrate la rangurile prezentate. Dacă nu este dată și o regulă de continuare, nu determină în general toți termenii viitori. Poți propune un model compatibil, dar trebuie să îl numești ipoteză, nu singura concluzie posibilă.

Gândește-te la un aparat care afișează aceeași creștere la primele măsurători. Poate continua la fel, se poate opri la un prag sau își poate schimba regimul. Într-o problemă matematică, formularea „continuă prin aceeași regulă” ar fixa comportamentul; simpla prezență a unor puncte de suspensie nu descrie suficient o lege necunoscută.

Când cauți rangul unei valori într-un șir dat prin formulă, rezolvi o ecuație și verifici rezultatul în domeniul indicilor. Un număr natural obținut în afara perioadei modelate nu este admis pentru acel model finit. O fracție nu este rang între două observații, chiar dacă ecuația ar avea sens ca ecuație cu necunoscută reală.

Verificarea se încheie prin substituirea rangului acceptat în formula inițială. Pentru un șir cu valori repetate pot exista mai multe ranguri potrivite; cerința trebuie citită ca atare. Pentru unele valori nu există niciun rang. Nu presupune unicitatea înainte să o justifice datele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea unei înregistrări finite

Un aparat produce cinci citiri, numerotate de la zero. Tabelul cuprinde valorile unei temperaturi, în grade Celsius. Află valoarea de la rangul trei și toate rangurile la care a fost înregistrată valoarea de nouăsprezece grade.

Rang	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Valoare	$18$	$19$	$19$	$21$	$20$

Rezolvare. Valoarea cerută la rangul trei este $a_{3} = 21$ . Temperatura de nouăsprezece grade apare la rangurile unu și doi. Nu alegem doar primul dintre ele, fiindcă cerința solicită toate pozițiile corespunzătoare.

Tabelul are cinci citiri, deși ultimul indice este patru. Nu putem calcula automat o a șasea valoare: enunțul nu a oferit o regulă pentru continuarea măsurătorilor. Răspunsul separă informația citită direct de o predicție pe care datele nu o justifică.

Exemplul 2 — Două ranguri, aceeași formulă

Șirul este definit prin $b_{n} = 2 n^{2} + 3$ , pentru $n \geq 1$ . Calculează termenii de rang patru și șapte și verifică ordinea operațiilor folosite.

Rezolvare. Înlocuim rangul înainte de calcul: $b_{4} = 2 \cdot 4^{2} + 3 = 35$ , iar $b_{7} = 2 \cdot 7^{2} + 3 = 101$ . Pătratul privește numai rangul, apoi rezultatul se înmulțește cu doi și se adună trei.

Nu ridicăm la pătrat întreaga expresie și nu calculăm de patru ori aceeași valoare inițială. Indicele precizează ce număr trebuie înlocuit în formulă. Ambele ranguri sunt naturale nenule, deci aparțin domeniului declarat. Pentru a obține termenul de rang șapte nu a fost nevoie să scriem termenii de rang cinci și șase.

Exemplul 3 — Citirea corectă a unei recurențe

Se dau $c_{1} = 14$ și $c_{n + 1} = c_{n} + 5$ , pentru $n \geq 1$ . Determină următorii trei termeni și spune câte aplicări ale regulii sunt necesare.

Rezolvare. Obținem succesiv $c_{2} = 14 + 5 = 19$ , $c_{3} = 19 + 5 = 24$ și $c_{4} = 24 + 5 = 29$ . Sunt trei aplicări ale regulii după termenul inițial. Lista celor patru termeni începe cu numărul dat, nu cu primul rezultat al adunării.

Dacă am calcula $n + 5$ la fiecare pas, am folosi rangul în locul termenului precedent. Regula spune să adăugăm cinci valorii cunoscute. Fiecare rezultat devine punctul de pornire al pasului următor, iar indicii ne ajută să păstrăm ordinea acestui calcul.

Exemplul 4 — Verificăm o scriere greșită

Pentru $d_{n} = 3 n^{2} - 2$ , un elev scrie $d_{n + 1} = d_{n} + 1$ . Este justificată egalitatea? Verifică folosind rangul doi și scrie expresia corectă a termenului următor.

Rezolvare. Din formulă avem $d_{2} = 10$ și $d_{3} = 25$ . În schimb, $d_{2} + 1 = 11$ . Prin urmare, egalitatea propusă este falsă; un singur caz nepotrivit respinge afirmația că ar fi valabilă la orice rang.

Expresia corectă se obține înlocuind întregul indice: $d_{n + 1} = 3 (n + 1)^{2} - 2$ . Paranteza face vizibil faptul că se ridică la pătrat noul rang. Nu dezvoltăm expresia dacă nu este necesar pentru cerință; sensul notației este deja clar din substituirea corectă.

Exemplul 5 — Date compatibile cu două continuări

Primele trei valori ale unei liste sunt $5$ , $9$ , $13$ . Compară regulile $A_{n} = 4 n + 1$ și $B_{n} = 4 n + 1 + (n - 1) (n - 2) (n - 3)$ la primele patru ranguri. Ce poți spune despre continuarea listei?

Rezolvare. La rangurile unu, doi și trei, produsul suplimentar este zero: de fiecare dată unul dintre factorii săi este zero. Ambele reguli dau primele trei valori din enunț. La rangul patru, prima dă $A_{4} = 17$ , iar a doua dă $B_{4} = 23$ .

Cele două continuări sunt diferite și respectă aceleași date inițiale. Așadar, primele trei valori nu determină singure termenul următor. Dacă enunțul ar preciza că diferența rămâne constantă, ar impune o informație suplimentară. Exemplul nu cere să construiești polinoame complicate, ci să observi rolul regulii declarate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră șirul $a_{n} = 9 n - 4$ , pentru $n \geq 1$ . Determinați rangul termenului egal cu $95$ . Exercițiul este construit pentru antrenament în citirea formulelor și în rezolvarea ecuației rangului.

Rezolvare. Cerința oferă valoarea termenului, deci rezolvăm $9 n - 4 = 95$ . Rezultă $9 n = 99$ , de unde $n = 11$ . Rangul este un număr natural nenul și respectă domeniul șirului.

Verificăm prin substituire: $9 \cdot 11 - 4 = 95$ . Prin urmare, valoarea dată este termenul de rang unsprezece. A calcula direct $a_{95}$ ar răspunde altei întrebări, deoarece ar trata valoarea cerută ca indice. Propoziția finală trebuie să numească rangul, nu doar să prezinte un număr fără interpretare.

Să exersăm

Pentru fiecare exercițiu, citește întâi domeniul indicilor. Dacă nu este precizat altfel, rangurile sunt naturale nenule. Formulele din problemele finite se folosesc numai pentru rangurile declarate.

1. Pentru $a_{n} = 4 n + 9$ , calculează termenul de rang patru.

2. Pentru $b_{n} = 3 n^{2} + 4$ , calculează termenii de rang doi și cinci.

3. Pentru $c_{n} = 40 - 3 n$ , cu $n \geq 0$ , calculează valoarea inițială și termenul de rang șase.

4. Pentru $d_{n} = 2 n + 11$ , află rangul termenului egal cu $33$ .

5. Pentru $e_{n} = 7 n - 2$ , verifică dacă valoarea $33$ apare în șir și precizează rangul.

6. Pentru $f_{n} = (n - 2)^{2} + 5$ , calculează termenii de rang unu, doi și trei. Ce valori se repetă?

7. Pentru $g_{n} = 5 n + 6$ , calculează $g_{2}$ și $g_{3}$ . Este adevărat că $g_{3} = g_{2} + 1$ ?

8. Pentru $h_{n} = n^{2} + 2 n$ , verifică afirmația „Termenul de rang cinci se obține adăugând unu termenului de rang patru”.

9. (Problemă aplicată.) După fiecare extragere a aceleiași cantități de lichid, volumul rămas, în ml, este $v_{n} = 90 - 6 n$ , pentru $0 \leq n \leq 10$ . Află volumele după opt și zece extrageri.

10. (Problemă aplicată.) Momentele unor citiri, în minute de la pornirea aparatului, sunt $t_{n} = 4 n + 3$ , pentru $0 \leq n \leq 5$ . Află primul moment și momentul de rang trei. Câte citiri cuprinde modelul?

11. În lista $- 2$ , $3$ , $3$ , $7$ , $4$ , numerotată de la unu, găsește toate rangurile valorii trei. Dacă ordonezi lista crescător, mai descrii aceleași observații în aceeași ordine?

12. Se dau $u_{0} = 23$ și $u_{n + 1} = u_{n} - 4$ , pentru $0 \leq n < 4$ . Calculează termenii de rang unu, trei și patru, păstrând fiecare pas al recurenței.

13. Un model finit este dat prin $w_{n} = 6 n + 4$ , pentru $1 \leq n \leq 8$ . Poate avea valoarea $58$ ? Compară rangul obținut din ecuație cu domeniul și calculează ultimul termen admis.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru $z_{n} = n (n + 1)$ , un elev spune că valorile de la rangurile trei și patru sunt egale. Verifică afirmația prin calcul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $x_{n} = 8 n - 3$ , calculați termenul de rang șase.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $y_{n} = 11 n + 2$ , determinați rangul termenului egal cu $145$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $z_{n} = 2 n^{2} - 1$ , calculați diferența dintre termenul de rang cinci și termenul de rang trei.

18. (Provocare.) Aceleași șapte observații sunt notate pe două fișe. Prima folosește $u_{n} = 5 n + 12$ , pentru $0 \leq n \leq 6$ . A doua începe numerotarea de la unu și notează valorile cu $v_{k}$ , pentru $1 \leq k \leq 7$ . Scrie formula celei de-a doua fișe și verifică valoarea observației a patra în ambele notații.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{4} = 25$ . Înlocuim rangul patru în expresia dată: patru înmulțit cu patru, apoi adunat cu nouă. Indicele nu este valoarea termenului.

2. $b_{2} = 16$ și $b_{5} = 79$ . Ridicăm întâi fiecare rang la pătrat, apoi aplicăm celelalte operații. Aceeași formulă este folosită separat pentru cele două ranguri.

3. $c_{0} = 40$ și $c_{6} = 22$ . Valoarea inițială are indicele zero conform domeniului dat. Înlocuirea lui zero în formulă nu elimină termenul constant.

4. Rangul este unsprezece: din $2 n + 11 = 33$ rezultă $n = 11$ , iar $d_{11} = 33$ . Rangul obținut este admis și verifică formula inițială.

5. Da, $e_{5} = 33$ , deoarece ecuația $7 n - 2 = 33$ conduce la $n = 5$ . Precizarea rangului susține afirmația de apartenență la șir.

6. $f_{1} = 6$ , $f_{2} = 5$ , $f_{3} = 6$ . Valoarea șase apare la două ranguri distincte. Nu eliminăm repetarea și nu modificăm ordinea termenilor.

7. $g_{2} = 16$ și $g_{3} = 21$ , deci afirmația este falsă. Termenul următor se obține din noul rang; adăugarea unei unități valorii curente ar produce alt număr.

8. $h_{4} = 24$ și $h_{5} = 35$ . Diferența valorilor este de unsprezece, nu de unu. Afirmația confundă schimbarea indicelui cu o operație asupra valorii.

9. $v_{8} = 42$ și $v_{10} = 30$ , în ml. Ambii indici sunt în domeniul permis, iar volumele sunt nenegative. Nu folosim formula pentru extrageri suplimentare neincluse în model.

10. $t_{0} = 3$ și $t_{3} = 15$ , în minute. Modelul are șase citiri, cu indicii de la zero la cinci incluși. Primul moment nu este minutul zero, chiar dacă primul indice este zero.

11. Valoarea trei apare la rangurile doi și trei. Ordonarea crescătoare schimbă pozițiile unor observații, deci nu mai păstrează succesiunea inițială. Ea poate servi unei alte analize, dar trebuie identificată ca listă reordonată.

12. Termenii calculați succesiv sunt $u_{1} = 19$ , $u_{2} = 15$ , $u_{3} = 11$ , $u_{4} = 7$ . Pentru termenul de rang trei folosim rezultatul pasului anterior, chiar dacă acesta nu a fost cerut separat.

13. Nu. Ecuația pentru valoarea cerută ar impune $n = 9$ , în afara domeniului finit. Ultimul termen admis este $w_{8} = 52$ . Faptul că expresia se poate calcula la nouă nu extinde modelul dat.

14. Fals: $z_{3} = 12$ și $z_{4} = 20$ . În produs înlocuim ambele apariții ale rangului. Cele două rezultate sunt distincte.

15. $x_{6} = 45$ . Înlocuim rangul șase și efectuăm înmulțirea înaintea scăderii. Cerința oferă rangul, deci nu este necesară rezolvarea unei ecuații.

16. Rangul este treisprezece, iar $y_{13} = 145$ . Ecuația $11 n + 2 = 145$ dă $11 n = 143$ și apoi $n = 13$ , număr natural nenul.

17. $z_{3} = 17$ și $z_{5} = 49$ , deci diferența cerută este $49 - 17 = 32$ . Respectăm ordinea termenilor din cerință; inversarea ei ar schimba semnul rezultatului.

18. A doua fișă folosește $v_{k} = u_{k - 1} = 5 (k - 1) + 12 = 5 k + 7$ . Observația a patra are pe prima fișă indicele trei și valoarea $u_{3} = 27$ , iar pe a doua indicele patru și valoarea $v_{4} = 27$ . Valoarea măsurată rămâne aceeași, se schimbă convenția indicilor.

De reținut

Fiecare indice admis identifică o singură valoare, iar aceeași valoare poate apărea la mai mulți indici.
Domeniul și formula trebuie citite împreună; o expresie calculabilă nu extinde singură un model finit.
Formula explicită folosește rangul, în timp ce recurența folosește termeni deja calculați și o valoare inițială.
Indicele modificat trebuie înlocuit integral, cu paranteze unde este nevoie, în toate aparițiile sale.
Un tabel finit descrie observațiile cunoscute; o continuare necesită o regulă ori o ipoteză suplimentară.

Greșeli frecvente

Elimini valorile repetate ca dintr-o mulțime. Într-o succesiune de observații păstrezi fiecare poziție, chiar dacă două măsurători sunt egale.
Confunzi primul indice cu timpul primei observații. Un indice zero poate desemna prima citire făcută la trei minute de la pornire; sensul vine din enunț.
Folosești regula recursivă fără să cunoști valoarea inițială. Aceeași regulă poate produce șiruri diferite; punctul de pornire nu este opțional.
Extinzi domeniul finit pentru a accepta o soluție a ecuației. Compară rangul cu limitele modelului, chiar dacă numărul găsit este natural.
Prezinți un tipar observat ca singura continuare posibilă. Separă datele înregistrate de ipoteza folosită pentru termenii care lipsesc.

Aplică acasă

Scrie cinci valori ale unor măsurători imaginare, dintre care două egale. Prezintă unui coleg lista și aceeași colecție fără ordine și fără repetări. Identificați împreună ce informații despre observații se pierd în a doua reprezentare.
Pregătește două cartonașe: pe unul valoarea inițială, pe celălalt o regulă simplă de trecere. Ascunde alternativ câte unul și explică de ce informația rămasă nu determină singură termenii ceruți. Apoi reconstruiește primele patru valori cu ambele cartonașe.
Etichetează aceeași serie scurtă de fotografii de la zero, apoi de la unu. Alege o fotografie și spune ambii indici ai ei. Scrie o explicație care permite unui coleg să treacă de la o convenție la cealaltă fără să schimbe ordinea fotografiilor.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează notația necesară progresiilor în traseul de științe. Calculul unui termen este legat de sensul indicelui, iar domeniile finite provin din contexte declarate. Nu se dezvoltă aici studiul general al monotoniei, al mărginirii sau al limitelor șirurilor. Aceste delimitări păstrează rolul lecției ca pregătire pentru progresiile cerute, fără a transforma fiecare proprietate posibilă a unui șir într-un obiectiv nou.

Verificați dacă elevul citește corect atât un termen cunoscut, cât și o cerință de aflare a rangului. Folosiți o listă cu valori repetate și o numerotare care începe de la zero; răspunsurile arată repede dacă el urmărește pozițiile ori memorează un tipar. La recurență, cereți explicarea fiecărui pas prin valoarea precedentă. Un semn de înțelegere este respingerea unui rang natural care depășește totuși domeniul finit al problemei.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Notația șirurilor susține domeniul progresiilor, inclus în „Algebră” la Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa enumeră explicit modalitățile de definire a unui șir și progresiile. În pregătirea Subiectului I, aceste deprinderi sprijină citirea și calculul termenilor; exercițiile lecției nu sunt prezentate ca subiecte oficiale.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: termenul și rangul unui șir la mate-info (M1). Pentru controlul logic al afirmațiilor făcute dintr-un tabel, poți reciti propoziția și valoarea de adevăr la M2. În lecțiile următoare, notația va fi folosită pentru diferențe și rapoarte constante, cu domeniile și condițiile fiecărui model păstrate explicit.

Întrebări frecvente

Ce păstrează lecția M2 din noțiunea de șir și cum se deosebește de versiunea M1?

Aici urmărim citirea termenilor, domeniul indicilor, formulele simple și regulile recursive care pregătesc progresiile. Versiunea M1 dezvoltă și verificări generale de monotonie. În M2, observațiile și modelele finite sunt folosite pentru a controla sensul datelor; nu trebuie să parcurgi acea tratare suplimentară pentru a rezolva exercițiile acestei pagini.

Cum folosesc această notație la Bacalaureatul M2, Subiectul I?

În problemele cu progresii trebuie să identifici ce termeni sunt dați și ce rang se cere înainte să alegi formula. Lecția antrenează această citire și substituirea corectă. Programa M_șt-nat 2027–2029 include șirurile și progresiile, iar MAT_P2 din 2030 include progresiile în „Algebră”; nu presupunem o cerință separată de notație în fiecare subiect.

De ce ultimul indice nu spune întotdeauna câte observații am?

Numărul observațiilor depinde și de indicele de pornire. O listă de la zero la patru are cinci poziții, iar una de la unu la patru are patru. Citește ambele capete și păstrează incluziunea lor. Indicele desemnează o poziție conform convenției, nu întotdeauna numărul total de valori scrise până acolo.

Pot folosi o soluție naturală a ecuației dacă modelul se oprește mai devreme?

Nu în modelul finit dat. Rezolvarea ecuației produce un candidat, care trebuie verificat și în domeniul indicilor. Dacă problema permite numai primele opt poziții, un rezultat de rang nouă nu reprezintă o observație a acelui model. Poți calcula expresia numeric, dar nu poți schimba astfel domeniul din enunț.

De ce nu este suficientă regula de trecere fără valoarea inițială?

Regula spune cum obții o valoare din alta deja cunoscută, dar nu stabilește singură punctul de pornire. Mai multe valori inițiale pot respecta aceeași regulă și pot genera liste diferite. Înainte să calculezi, caută termenul inițial și rangul lui; apoi aplică regula în ordinea indicilor precizați.

Un tabel de măsurători stabilește automat și valoarea următoare?

Tabelul stabilește valorile la pozițiile pe care le prezintă. Pentru pozițiile viitoare ai nevoie de o regulă declarată sau de o ipoteză de modelare. Mai multe reguli pot coincide pe datele cunoscute și se pot separa ulterior. De aceea o continuare propusă trebuie însoțită de condiția pe care se bazează.