Puteri cu exponent irațional: ideea de aproximare

Tastează pe un calculator științific $2$, apoi tasta de ridicare la putere, apoi $\sqrt{2}$. Ecranul îți răspunde imediat: $2,665144143$. Răspunsul vine atât de repede încât nici nu te întrebi de unde îl știe. Dar dacă te oprești o clipă, întrebarea devine serioasă: ce înseamnă $2^{\sqrt{2}}$? Definiția pe care o avem, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, cere ca exponentul să fie o fracție. Iar $\sqrt{2}$ nu este fracție — ai demonstrat asta în clasa a IX-a, prin reducere la absurd. Nu există niciun radical de vreun ordin care să dea $2^{\sqrt{2}}$, pentru simplul motiv că nu există niciun ordin de pus.

Și totuși numărul $2,665144143$ nu a apărut din senin. Ideea care îl produce este una dintre cele mai frumoase din toată matematica de liceu, iar tu o folosești deja fără să știi de fiecare dată când scrii $\sqrt{2}\approx 1,41$. Vom „prinde" exponentul irațional între două numere raționale, tot mai apropiate unul de altul, și vom urmări ce se întâmplă cu puterile corespunzătoare. Programa cere explicit ca această construcție să fie prezentată la nivel intuitiv, prin ideea de aproximare — deci nu vom construi nimic cu instrumente de analiză matematică, ci vom urmări un tabel de numere până când răspunsul devine evident.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce definiția veche nu funcționează pentru exponenți iraționali.
• Vei ști să construiești aproximările prin lipsă și prin adaos ale unui număr irațional, cu oricâte zecimale.
• Vei ști să încadrezi o putere cu exponent irațional între două puteri cu exponent rațional, tot mai apropiate.
• Vei ști să enunți definiția intuitivă a puterii cu exponent real și să explici de ce rezultatul este un singur număr.
• Vei ști ce se schimbă când baza este subunitară și de ce inegalitățile se răstoarnă.
• Vei ști să estimezi rapid, fără calculator, între ce numere întregi se află puteri de tipul $2^{\sqrt{5}}$ sau $3^{\pi }$.

Hai să descoperim împreună

1. Problema: $\sqrt{2}$ nu este fracție

Până acum, orice putere pe care am scris-o avea un exponent de forma $\frac{m}{n}$, iar definiția $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ îi dădea sens. Pentru $2^{\sqrt{2}}$ mecanismul se blochează din primul pas: ca să scriem un radical, avem nevoie de un ordin, adică de numitorul fracției. Dar $\sqrt{2}$ nu se scrie ca fracție de numere întregi.

Am putea fi tentați să spunem: „păi $\sqrt{2}\approx 1,41$, deci $2^{\sqrt{2}}\approx 2^{1,41}=2^{141/100}=\sqrt[100]{2^{141}}$". E un început onest, dar nu e o definiție — e o aproximare. Iar dacă e doar o aproximare, apar imediat două întrebări: cât de bună este, și ce se întâmplă dacă luăm mai multe zecimale? Tocmai din răspunsul la aceste întrebări se va naște definiția.

Reține deosebirea, pentru că e esențială: $2^{1,41}$ este un număr perfect definit, cu definiția de la exponenți raționali. Problema nu e cu aproximările, ci cu numărul spre care ele se îndreaptă.

2. Aproximări prin lipsă și prin adaos

Orice număr irațional se poate încadra oricât de strâns între două numere raționale. Pentru $\sqrt{2}=1,414213562\dots$ scriem șirurile zecimale:

• prin lipsă (tăiem zecimalele): $1$; $1,4$; $1,41$; $1,414$; $1,4142$; $1,41421$; …
• prin adaos (adăugăm o unitate la ultima zecimală): $2$; $1,5$; $1,42$; $1,415$; $1,4143$; $1,41422$; …

Aceste șiruri au trei proprietăți pe care le vom folosi:

1. Toate sunt numere raționale — sunt zecimale finite, deci fracții cu numitor putere a lui $10$. De exemplu $1,414=\frac{1414}{1000}=\frac{707}{500}$.
2. Șirul prin lipsă crește, șirul prin adaos scade, iar $\sqrt{2}$ este mereu între ele: $1<1,4<1,41<\cdots <\sqrt{2}<\cdots <1,415<1,42<1,5<2$.
3. Distanța dintre ele devine oricât de mică: la pasul cu $k$ zecimale, diferența este exact $10^{-k}$.

3. Tabelul care „prinde" numărul $2^{\sqrt{2}}$

Avem nevoie de o singură proprietate suplimentară, ușor de justificat: pentru o bază $a>1$ și exponenți raționali, dacă $r<s$ atunci $a^r<a^s$. Într-adevăr,

$$a^s-a^r=a^r\left(a^{s-r}-1\right),$$

iar $a^{s-r}>1$ pentru că $s-r>0$ și $a>1$: scriind $s-r=\frac{m}{n}$ cu $m,n>0$, avem $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}>\sqrt[n]{1}=1$. Cum și $a^r>0$, diferența este strict pozitivă.

Prin urmare, aplicând exponenții din cele două șiruri bazei $a=2$, obținem puteri care încadrează, de la stânga și de la dreapta, numărul căutat. Iată tabelul, cu valorile rotunjite la $7$ zecimale:

Citește tabelul pe verticală. Coloana din stânga crește, coloana din dreapta scade, iar distanța dintre ele se micșorează spectaculos: de la $2$ unități pe primul rând, la mai puțin de $0,00002$ pe ultimul. Cifrele se „fixează" una câte una: după al treilea rând știm sigur că răspunsul începe cu $2,66$; după al patrulea, cu $2,665$; după al cincilea, cu $2,6651$.

Toate valorile din tabel sunt puteri cu exponent rațional, deci perfect definite cu ce am învățat până acum. De exemplu, $2^{1,4}=2^{7/5}=\sqrt[5]{2^7}=\sqrt[5]{128}$, iar $2^{1,5}=2^{3/2}=2\sqrt{2}$. Noutatea nu e în ele, ci în ce arată ele împreună.

4. Definiția intuitivă a puterii cu exponent irațional

Tabelul de mai sus spune, în esență, următorul lucru: intervalele $\left[2^{r_k},2^{s_k}\right]$ sunt încuibate unul în altul, iar lungimile lor devin oricât de mici. Există atunci un singur număr real aflat în toate aceste intervale, oricât de departe am merge cu zecimalele. Acel număr îl numim $2^{\sqrt{2}}$.

Definiție (intuitivă). Fie $a>0$ și $x$ un număr irațional. Considerăm șirurile de aproximări raționale ale lui $x$, prin lipsă $(r_k)$ și prin adaos $(s_k)$, cu $r_k<x<s_k$ și $s_k-r_k\to 0$. Atunci $a^x$ este unicul număr real care satisface

$$a^{r_k}<a^x<a^{s_k}\text{pentru orice }k,\text{caˆnd }a>1.$$

Cu alte cuvinte, $a^x$ este numărul „prins" între puterile cu exponenți raționali care se strâng în jurul lui $x$.

Trei observații care completează definiția:

• Rezultatul nu depinde de șirurile alese. Am folosit aproximările zecimale pentru că sunt cele mai comode, dar orice alte șiruri de raționale care se apropie de $x$ de o parte și de alta dau același număr.
• Rezultatul este strict pozitiv, ca și la exponenți raționali: e prins între două numere pozitive.
• Definiția se potrivește cu cea veche. Dacă $x$ ar fi rațional, numărul prins între aproximări ar fi chiar $a^x$ calculat cu radicali — deci nu am stricat nimic din ce știam.

O justificare completă a existenței și unicității acestui număr folosește noțiunea de margine superioară a unei mulțimi, care se studiază la analiză matematică. Programa clasei a X-a cere explicit doar ideea de aproximare — iar ideea, sperăm, ți-e acum limpede: nu putem calcula $2^{\sqrt{2}}$ dintr-o singură mișcare, dar îl putem strânge între două numere pe care le putem calcula, până când nu mai rămâne loc decât pentru un singur răspuns.

5. Când baza este subunitară, inegalitățile se răstoarnă

Tot ce am făcut până acum a presupus $a>1$. Ce se schimbă pentru $0<a<1$? Un singur lucru, dar important: sensul inegalităților. Pentru $0<a<1$ și exponenți raționali $r<s$, avem $a^r>a^s$. Justificarea e aceeași ca înainte, cu o singură răsturnare: $a^{s-r}<1$ atunci când $a<1$ și $s>r$.

Să urmărim, pentru $a=\frac{1}{2}$ și $x=\sqrt{2}$, aceleași aproximări:

Acum coloana aproximărilor prin lipsă scade, iar cea prin adaos crește — dar intervalele se strâng exact la fel, iar numărul prins între ele este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}=0,3752142\dots$ Definiția rămâne aceeași; se schimbă doar care margine e „de jos" și care „de sus".

Rămâne cazul $a=1$, cel mai simplu dintre toate: toate aproximările dau $1^r=1$, deci $1^x=1$ pentru orice număr real $x$.

6. De ce baza trebuie să rămână strict pozitivă

Condiția $a>0$ nu dispare la exponenți iraționali; dimpotrivă, devine și mai necesară. La exponenți raționali, o bază negativă producea contradicții pentru că aceeași fracție se scria în mai multe feluri — ai văzut argumentul în lecția despre puteri cu exponent rațional. La exponenți iraționali problema e și mai gravă: printre aproximările raționale ale lui $\sqrt{2}$ apar fracții cu numitor par, pentru care $(-2{)}^r$ nici nu ar exista ca număr real. Șirul care ar trebui să încadreze rezultatul ar avea găuri la fiecare pas.

De aceea convenția este definitivă: puterile cu exponent real se definesc doar pentru baze strict pozitive. Iar $0^x$ se definește doar pentru $x>0$, cu valoarea $0$.

7. Al doilea exemplu, la scară mare: $3^{\pi }$

Să repetăm construcția pentru un număr mult mai mare, ca să vezi că metoda nu depinde de mărimi. Luăm $a=3$ și $x=\pi =3,14159265\dots$

Numărul prins între aceste margini este $3^{\pi }=31,5442807\dots$ Observă că, deși valorile sunt de zece ori mai mari decât la exemplul precedent, numărul de cifre corecte crește la fel de repede: fiecare zecimală adăugată la exponent fixează, aproximativ, încă o cifră a rezultatului.

O curiozitate care depășește programa, dar merită știută: numerele de tipul $2^{\sqrt{2}}$ sunt iraționale — mai mult, sunt transcendente, adică nu sunt rădăcini ale niciunei ecuații cu coeficienți întregi. Acest fapt a fost una dintre marile probleme deschise ale matematicii, formulată de David Hilbert în $1900$ și rezolvată abia în $1934$. Deci calculatorul, când îți afișează $2,665144143$, îți dă o aproximare — exact ca la $\pi$, nu ai cum să vezi vreodată toate cifrele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrarea unei puteri între numere întregi

Fără calculator, arătați că $4<2^{\sqrt{5}}<8$.

Rezolvare. Încadrăm întâi exponentul între întregi: din $4<5<9$ rezultă $2<\sqrt{5}<3$.

Baza este $2>1$, deci puterea păstrează sensul inegalităților:

$$2^2<2^{\sqrt{5}}<2^3,\text{adica˘}4<2^{\sqrt{5}}<8.$$

(Valoarea exactă, cu calculatorul, este $2^{\sqrt{5}}\approx 4,7111$ — se află într-adevăr în interval, mai aproape de capătul din stânga, pentru că $\sqrt{5}\approx 2,236$ e mai aproape de $2$ decât de $3$.)

Exemplul 2 — Încadrare mai fină, cu o zecimală

Încadrați $5^{\sqrt{3}}$ folosind aproximările lui $\sqrt{3}$ cu două zecimale.

Rezolvare. Avem $\sqrt{3}=1,7320508\dots$, deci aproximarea prin lipsă cu două zecimale este $1,73$, iar cea prin adaos $1,74$. Baza $5>1$, deci

$$5^{1,73}<5^{\sqrt{3}}<5^{1,74}.$$

Cu instrumente digitale, $5^{1,73}\approx 16,1889$ și $5^{1,74}\approx 16,4516$, deci $5^{\sqrt{3}}$ este între $16,18$ și $16,46$. Valoarea reală este $\approx 16,2425$. Cu trei zecimale ($1,732$ și $1,733$) intervalul se strânge la $[16,2411;16,2673]$ — încă o zecimală corectă câștigată.

Exemplul 3 — Bază subunitară

Comparați ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{3}}$ cu ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,7}$, fără să calculați valorile.

Rezolvare. Comparăm întâi exponenții: $\sqrt{3}\approx 1,7320>1,7$.

Baza este $\frac{1}{2}\in (0,1)$, deci puterea răstoarnă sensul inegalității: exponent mai mare înseamnă rezultat mai mic. Prin urmare

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{3}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,7}.$$

(Verificare numerică: $0,3010<0,3078$. ✓)

Exemplul 4 — Puterile raționale din tabel, calculate exact

Arătați că $2^{1,4}=\sqrt[5]{128}$ și că $2^{1,5}=2\sqrt{2}$.

Rezolvare. Zecimalele finite sunt fracții: $1,4=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$, deci

$$2^{1,4}=2^{7/5}=\sqrt[5]{2^7}=\sqrt[5]{128}\approx 2,6390.$$

Apoi $1,5=\frac{3}{2}$, deci $2^{1,5}=2^{3/2}={\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}\approx 2,8284$.

Acest exemplu arată de ce marginile din tabel nu sunt „aproximări vagi": fiecare dintre ele este un număr perfect definit, exprimabil cu radicali. Doar limita lor scapă limbajului radicalilor.

Exemplul 5 — Câte zecimale sunt sigure?

Din tabelul lecției se știe că $2,6651376<2^{\sqrt{2}}<2,6651560$. Câte zecimale ale lui $2^{\sqrt{2}}$ sunt determinate cu certitudine?

Rezolvare. Comparăm cele două margini cifră cu cifră: $2,66513\underline{7}6$ și $2,66515\underline{6}0$. Primele patru zecimale coincid: $2,6651$. A cincea diferă ($3$ față de $5$), deci nu poate fi decisă din această încadrare.

Concluzie: putem afirma cu certitudine $2^{\sqrt{2}}=2,6651\dots$, adică patru zecimale sigure. Pentru a cincea zecimală ar trebui să mergem cu încă o zecimală în aproximarea exponentului. (Valoarea reală este $2,6651441\dots$, deci a cincea zecimală este $4$ — între $3$ și $5$, cum ne așteptam.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul $A=2^{\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}$. a) Arătați că $A$ este număr natural. b) Determinați numărul întreg $n$ pentru care $n<3^{\pi }<n+1$.

Rezolvare. a) Aplicăm regula produsului puterilor cu aceeași bază, valabilă și pentru exponenți reali (o vom demonstra în lecția următoare):

$$A=2^{\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)}=2^2=4\in \mathbb{N}.$$

Observă eleganța: nu am calculat niciuna dintre cele două puteri, ambele iraționale — doar suma exponenților, care e întreagă.

b) Încadrăm exponentul: $3<\pi <4$, dar aceasta ar da doar $27<3^{\pi }<81$, interval prea larg. Rafinăm cu două zecimale: $3,14<\pi <3,15$, de unde, baza fiind supraunitară,

$$3^{3,14}<3^{\pi }<3^{3,15},\text{adica˘}31,489\dots <3^{\pi }<31,837\dots$$

Ambele margini sunt între $31$ și $32$, deci $n=31$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ai nevoie de valori numerice, folosește un calculator științific sau o aplicație — programa recomandă explicit instrumentele digitale pentru acest capitol. Restul se face prin raționament.

1. Scrieți primele cinci aproximări prin lipsă și primele cinci prin adaos ale numărului $\sqrt{3}=1,7320508\dots$

2. Scrieți ca fracții ordinare aproximările $1,7$; $1,73$; $1,732$ și precizați ordinul radicalului care apare la calculul lui $2^{1,73}$.

3. Încadrați între două numere întregi consecutive: $2^{\sqrt{7}}$, $3^{\sqrt{2}}$, $5^{\sqrt{3}}$.

4. Ordonați crescător, fără calculator: $2^{1,4}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{1,5}$.

5. Ordonați crescător, fără calculator: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,4}$, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{2}}$, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $2^{\sqrt{2}}$ se poate scrie ca radical de un anumit ordin dintr-o putere a lui $2$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice bază $a>0$ și orice număr real $x$, avem $a^x>0$."

8. Calculați exact (fără aproximări): $10^{\sqrt{5}}\cdot 10^{-\sqrt{5}}$ și $\frac{7^{\pi }}{7^{\pi -2}}$.

9. Folosind aproximările lui $\pi$ cu o zecimală, încadrați $2^{\pi }$ și precizați câte cifre ale rezultatului sunt sigure.

10. Completați un tabel cu $2^r$ pentru $r\in \{1,7;1,73;1,732\}$ și cu $2^s$ pentru $s\in \{1,8;1,74;1,733\}$, apoi precizați între ce numere se află $2^{\sqrt{3}}$.

11. Explicați, în două-trei fraze, de ce definiția puterii cu exponent irațional nu se poate da prin radicali.

12. Arătați că $1^{\sqrt{2}}=1$ și explicați de ce, în acest caz, cele două șiruri de aproximări coincid.

13. (Problemă aplicată.) O substanță radioactivă are timpul de înjumătățire de $1$ an: cantitatea rămasă după $t$ ani este $Q(t)=Q_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^t$. Încadrați, folosind aproximări cu două zecimale, procentul din cantitatea inițială rămas după $\sqrt{2}$ ani.

14. Fie $a>1$ și $x<y$ două numere reale. Justificați, folosind ideea de aproximare, de ce $a^x<a^y$.

15. Comparați $3^{\sqrt{5}}$ cu $3^{2,2}$ și ${\left(0,4\right)}^{\sqrt{5}}$ cu ${\left(0,4\right)}^{2,2}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $B=5^{\sqrt{3}+1}\cdot 5^{1-\sqrt{3}}$. a) Arătați că $B$ este număr natural. b) Determinați numărul întreg $k$ pentru care $k<2^{\sqrt{2}}+2^{\sqrt{3}}<k+1$, știind că $2^{\sqrt{2}}\approx 2,665$ și $2^{\sqrt{3}}\approx 3,322$.

17. Un elev afirmă că $(-2{)}^{\sqrt{2}}$ este un număr real, „pentru că $\sqrt{2}$ este pozitiv". Combateți afirmația, arătând ce se întâmplă cu aproximarea $r=1,5$.

18. (Provocare.) Se știe că $2^{\sqrt{2}}\approx 2,6651$. Folosind proprietățile puterilor, calculați exact ${\left(2^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$ și explicați de ce rezultatul este un număr întreg, deși ambele numere care intervin sunt iraționale.

Răspunsuri și explicații

1. Prin lipsă: $1$; $1,7$; $1,73$; $1,732$; $1,7320$. Prin adaos: $2$; $1,8$; $1,74$; $1,733$; $1,7321$. Diferența dintre marginile de pe același rând este, respectiv, $1$; $0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$.

2. $1,7=\frac{17}{10}$, $1,73=\frac{173}{100}$, $1,732=\frac{433}{250}$ (după simplificare cu $4$). La $2^{1,73}=2^{173/100}=\sqrt[100]{2^{173}}$ apare un radical de ordinul $100$ — ceea ce arată cât de nepractic ar fi calculul exact prin radicali.

3. $2<\sqrt{7}<3$ (căci $4<7<9$), deci $4<2^{\sqrt{7}}<8$. Apoi $1<\sqrt{2}<2$, deci $3<3^{\sqrt{2}}<9$. În fine, $1<\sqrt{3}<2$, deci $5<5^{\sqrt{3}}<25$. (Valorile reale: $6,258$; $4,729$; $16,242$.)

4. Baza $2>1$, deci ordinea puterilor urmează ordinea exponenților: $1,4<\sqrt{2}\approx 1,4142<1,5$, prin urmare $2^{1,4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1,5}$.

5. Baza $\frac{1}{3}\in (0,1)$, deci ordinea se răstoarnă: din $1,4<\sqrt{2}<1,5$ rezultă ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,5}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{1,4}$.

6. Fals. Un radical are întotdeauna un ordin, adică un număr natural, iar $\sqrt[n]{2^m}=2^{m/n}$ are exponent rațional. Cum $\sqrt{2}$ este irațional, nu există niciun ordin $n$ și niciun exponent $m$ care să dea $2^{\sqrt{2}}$.

7. Adevărat. La exponenți raționali, $a^r=\sqrt[n]{a^m}>0$. La exponenți iraționali, $a^x$ este prins între două puteri cu exponent rațional, ambele strict pozitive, deci este și el strict pozitiv.

8. $10^{\sqrt{5}}\cdot 10^{-\sqrt{5}}=10^0=1$. Apoi $\frac{7^{\pi }}{7^{\pi -2}}=7^{\pi -(\pi -2)}=7^2=49$. În ambele cazuri, părțile iraționale se anulează la adunarea exponenților.

9. $3,1<\pi <3,2$, deci $2^{3,1}<2^{\pi }<2^{3,2}$, adică $8,574<2^{\pi }<9,189$. Marginile nu au nicio cifră comună după virgulă și nici măcar partea întreagă nu e aceeași ($8$ față de $9$), deci nicio cifră nu e sigură; știm doar că rezultatul e între $8$ și $10$. (Valoarea reală: $8,82498$.)

10. $2^{1,7}\approx 3,2490$, $2^{1,73}\approx 3,3173$, $2^{1,732}\approx 3,3219$; $2^{1,8}\approx 3,4822$, $2^{1,74}\approx 3,3404$, $2^{1,733}\approx 3,3242$. Deci $3,3219<2^{\sqrt{3}}<3,3242$, adică $2^{\sqrt{3}}\approx 3,32$.

11. Pentru că un radical se scrie doar cu un ordin natural, iar ordinul provine din numitorul exponentului scris ca fracție. Un exponent irațional nu se poate scrie ca fracție de întregi, deci nu produce niciun ordin. Definiția trebuie să vină din altă direcție: din încadrarea între puteri cu exponent rațional.

12. Toate aproximările prin lipsă și prin adaos dau $1^r=1$, deci ambele șiruri de puteri sunt constant egale cu $1$. Intervalele care ar trebui să încadreze rezultatul se reduc la un singur punct de la bun început, deci $1^{\sqrt{2}}=1$. Baza $1$ este singurul caz în care puterea nu depinde deloc de exponent.

13. Din $1,41<\sqrt{2}<1,42$ și baza $\frac{1}{2}<1$ (deci inegalități răsturnate) rezultă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,42}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,41}$, adică $0,37371<Q/Q_0<0,37631$. Rămâne deci între $37,37\%$ și $37,64\%$ din cantitatea inițială — cam $37,5\%$.

14. Între $x$ și $y$ se află întotdeauna cel puțin două numere raționale $r<s$ (raționalele sunt „dese" pe axă), cu $x<r<s<y$. Din definiție, $a^x<a^r$ și $a^s<a^y$, iar $a^r<a^s$ pentru că regula e deja demonstrată la exponenți raționali. Înlănțuind: $a^x<a^r<a^s<a^y$.

15. $\sqrt{5}\approx 2,236>2,2$. Baza $3>1$ păstrează ordinea: $3^{\sqrt{5}}>3^{2,2}$. Baza $0,4<1$ o răstoarnă: ${\left(0,4\right)}^{\sqrt{5}}<{\left(0,4\right)}^{2,2}$.

16. a) $B=5^{\left(\sqrt{3}+1\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)}=5^2=25\in \mathbb{N}$. b) $2,665+3,322=5,987$, număr cuprins între $5$ și $6$, deci $k=5$.

17. Afirmația e greșită pentru că definiția cere baza pozitivă, nu exponentul. Concret: printre aproximările raționale ale lui $\sqrt{2}$ apare $r=1,5=\frac{3}{2}$, iar $(-2{)}^{3/2}=\sqrt{(-2{)}^3}=\sqrt{-8}$ nu este număr real. Șirul care ar trebui să încadreze rezultatul nu poate fi nici măcar scris.

18. ${\left(2^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=2^2=4$. Rezultatul e întreg pentru că produsul celor doi exponenți iraționali este întreg. Verificare numerică: $2,6651441^{1,4142136}\approx 4,0000$. Acest exemplu e celebru și pentru altceva: el arată că o putere cu bază irațională și exponent irațional poate fi rațională — punct de plecare al unei demonstrații clasice de existență.

De reținut

• Definiția veche nu se aplică: pentru un exponent irațional nu există niciun ordin de radical, pentru că nu există numitor.
• Ideea de aproximare: încadrezi exponentul irațional $x$ între raționale, prin lipsă și prin adaos, tot mai apropiate; puterile corespunzătoare încadrează, la rândul lor, un singur număr real, pe care îl numim $a^x$.
• Pentru $a>1$ puterile păstrează ordinea exponenților; pentru $0<a<1$ o răstoarnă; pentru $a=1$, $1^x=1$ oricare ar fi $x$.
• Baza rămâne strict pozitivă. La baze negative, aproximările cu numitor par nici nu produc numere reale, deci încadrarea nu se poate face.
• Fiecare zecimală în plus la exponent fixează, aproximativ, încă o cifră a rezultatului: din $2,6651376<2^{\sqrt{2}}<2,6651560$ deducem patru zecimale sigure.

Greșeli frecvente

• Confundarea aproximării cu valoarea exactă: a scrie „$2^{\sqrt{2}}=2^{1,41}$". Corect: $2^{1,41}$ este doar o margine inferioară; egalitatea este falsă, oricâte zecimale ai lua.
• Uitarea răsturnării la baze subunitare: din $1,4<\sqrt{2}$ a deduce ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,4}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}$. Pentru $0<a<1$, exponent mai mare înseamnă rezultat mai mic.
• Acceptarea bazelor negative „pentru că exponentul e pozitiv". Condiția privește baza, nu exponentul: $(-2{)}^{\sqrt{2}}$ nu are sens.
• Încadrări prea largi. A încadra $3^{\pi }$ doar cu $3<\pi <4$ dă $27<3^{\pi }<81$ — corect, dar inutil. Când problema cere partea întreagă, coboară la două zecimale ale exponentului.
• A crede că rezultatul depinde de șirul de aproximări ales. Nu depinde: orice șiruri de raționale care se strâng în jurul lui $x$ conduc la același număr.

Aplică acasă

1. Tabelul tău de încadrare. Alege o bază care îți place ($a=5$, de exemplu) și un exponent irațional ($\sqrt{3}$ sau $\pi$). Construiește, cu calculatorul telefonului, un tabel cu șase rânduri de aproximări prin lipsă și prin adaos. Subliniază, pe fiecare rând, cifrele care coincid deja — vei vedea cum „îngheață" una câte una.

2. Cât de repede se strâng intervalele? Pentru $a=2$ și $x=\sqrt{2}$, calculează diferența $2^{s_k}-2^{r_k}$ pentru $k=1,2,3,4$ zecimale și scrie rezultatele unul sub altul. Observă că fiecare diferență este cam de zece ori mai mică decât precedenta și explică-i unui coleg de ce.

3. Dezintegrarea din laborator. Caută timpul de înjumătățire al carbonului-14 (aproximativ $5730$ de ani). Scrie formula cantității rămase după $t$ ani și calculează, cu telefonul, ce fracțiune rămâne după $5730\sqrt{2}$ ani. Compară rezultatul cu cel de după $8000$ de ani și verifică dacă ordinea corespunde regulii bazelor subunitare.

Pentru părinți și profesori

Lecția este singurul loc din programa clasei a X-a unde apare, explicit, ideea de aproximare a unui număr real prin șiruri de raționale. Nota oficială a programei cere ca introducerea puterii cu exponent real să se facă „folosind, la nivel intuitiv, ideea de aproximare" — de aceea aici nu se construiește nimic riguros cu margine superioară, ci se lucrează cu tabele de valori și cu încadrări. Rigoarea vine în clasa a XI-a, la analiză matematică.

Ce verifică lecția: (1) elevul explică de ce definiția prin radicali nu funcționează; (2) construiește corect aproximările prin lipsă și prin adaos; (3) știe în ce sens merg inegalitățile pentru baze supraunitare și subunitare; (4) citește dintr-o încadrare câte cifre sunt sigure. Întrebări bune de control: „De ce nu putem scrie $2^{\sqrt{2}}$ ca radical?", „Ce se întâmplă cu ordinea dacă baza e $0,5$?", „Câte zecimale sigure îți dă o încadrare cu trei zecimale ale exponentului?".

Semne că elevul a înțeles: nu mai scrie semnul egal între $2^{\sqrt{2}}$ și $2^{1,41}$; poate încadra rapid $3^{\pi }$ între două întregi; explică singur de ce baza trebuie să rămână pozitivă. La Bacalaureat M1, exponenții iraționali apar aproape întotdeauna în exerciții de tipul „arătați că $a^{\sqrt{2}}\cdot a^{2-\sqrt{2}}$ este natural", unde soluția stă în proprietățile puterilor, nu în valori numerice — un tip de exercițiu tratat pe larg în lecția următoare, puteri cu exponent real: regulile de calcul. Legătura cu clasa a IX-a se face prin lecția despre numărul irațional e și funcția exponențială naturală, unde ideea de aproximare a apărut prima dată.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă $2$ la puterea radical din $2$? Este unicul număr real care se află între toate puterile $2^r$ și $2^s$, unde $r$ și $s$ sunt aproximările raționale ale lui $\sqrt{2}$ prin lipsă, respectiv prin adaos. Valoarea sa este aproximativ $2,665144143$, iar numărul însuși este irațional.

De ce nu pot scrie $2^{\sqrt{2}}$ ca radical? Pentru că orice radical are un ordin natural, iar ordinul vine din numitorul exponentului scris ca fracție. Cum $\sqrt{2}$ nu este fracție de numere întregi, nu există niciun ordin care să se potrivească.

Ce sunt aproximările prin lipsă și prin adaos? Sunt numerele raționale obținute tăind zecimalele unui număr irațional (prin lipsă) sau adăugând o unitate la ultima zecimală păstrată (prin adaos). Pentru $\sqrt{2}=1,41421\dots$, aproximările cu două zecimale sunt $1,41$ prin lipsă și $1,42$ prin adaos.

De ce se răstoarnă inegalitățile la baze subunitare? Pentru că pentru $0<a<1$ și $t>0$ avem $a^t<1$. Din $a^s-a^r=a^r\left(a^{s-r}-1\right)$ și $a^{s-r}<1$ rezultă că diferența este negativă, deci exponentul mai mare dă rezultatul mai mic.

Poate fi negativă o putere cu exponent irațional? Nu, dacă baza este pozitivă: rezultatul este prins între două puteri strict pozitive, deci este strict pozitiv. Pentru baze negative, puterea cu exponent irațional pur și simplu nu se definește.

Cum estimez $3^{\pi }$ fără calculator? Încadrezi exponentul cât mai fin: din $3,14<\pi <3,15$ obții $3^{3,14}<3^{\pi }<3^{3,15}$. Ambele margini sunt între $31$ și $32$, deci partea întreagă a lui $3^{\pi }$ este $31$.

Se studiază la clasa a X-a construcția riguroasă a puterii cu exponent real? Nu. Programa cere explicit doar ideea de aproximare, la nivel intuitiv. Construcția completă, cu marginea superioară a unei mulțimi de numere reale, se face în clasa a XI-a, la analiză matematică.

La ce îmi folosește această lecție mai departe? Ea dă sens funcției exponențiale $f(x)=a^x$ pentru orice $x$ real — altfel graficul ei ar avea găuri în fiecare punct irațional. Fără această lecție, toate lecțiile următoare despre exponențială și logaritm ar sta pe nisip.