Măsurători indirecte: triangulație, teren și navigație

Ești pe malul unui râu și vrei să afli cât e de lat. Nu poți întinde ruleta peste apă și nici nu poți traversa înot cu instrumentele în mână. Și totuși, cu un aparat de măsurat unghiuri și cu treizeci de metri de mal parcurși pe jos, poți afla lățimea râului cu o precizie de câțiva centimetri. Este exact ceea ce fac topografii de peste două sute de ani.

Ideea centrală se numește măsurătoare indirectă: în loc să măsori direct mărimea care te interesează, măsori altele — ușor accesibile — și o calculezi pe cea inaccesibilă. Instrumentul matematic este triunghiul, iar uneltele sunt teorema sinusurilor și teorema cosinusului. Cu ele s-au măsurat înălțimea munților înainte de a fi urcați și distanțele dintre orașe înainte de automobil. Lecția aceasta e despre cum transformi o situație din lumea reală într-un triunghi rezolvabil.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești configurația geometrică care modelează o situație reală, alegând singur baza și unghiurile de măsurat.
• Vei ști să afli o distanță inaccesibilă dintr-o bază măsurabilă și două unghiuri.
• Vei ști să calculezi înălțimea unui obiect cu baza inaccesibilă, cu două stații de observație.
• Vei ști ce este azimutul și cum transformi două direcții de busolă într-un unghi al unui triunghi.
• Vei ști să transpui date de pe o hartă digitală într-o problemă de triunghi și înapoi pe hartă.
• Vei ști ce verificări faci obligatoriu, ca să prinzi o eroare de măsurare la timp.

Hai să descoperim împreună

1. Rețeta, în patru pași

Toate problemele din lecție se rezolvă la fel. Reține schema, pentru că ea e adevărata „formulă" a capitolului:

1. Desenează situația, transformând obiectele reale în puncte, segmente și unghiuri. Marchează ce e accesibil și ce nu.
2. Alege baza — un segment măsurabil direct, din ale cărui capete se vede punctul inaccesibil.
3. Măsoară unghiurile din capetele bazei (sau unghiurile de elevație), cu un teodolit, un clinometru sau aplicația de pe telefon.
4. Rezolvă triunghiul: cu o latură și două unghiuri folosești teorema sinusurilor; cu două laturi și unghiul dintre ele, teorema cosinusului.

Ce nu se schimbă niciodată: suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$. Al treilea unghi îl afli prin scădere, iar suma îți dă primul control al măsurătorii.

2. Lățimea unui râu

Vrei să afli distanța de la tine până la un copac $C$ de pe malul opus. Marchezi pe malul tău două puncte, $A$ și $B$, și măsori distanța dintre ele: $AB=40$ m. Aceasta e baza. Din $A$ măsori unghiul dintre direcția către $B$ și direcția către copac: $m(\angle CAB)=65^{\circ }$. Din $B$ măsori $m(\angle ABC)=78^{\circ }$.

Acum ai un triunghi cu o latură și două unghiuri alăturate ei — configurația ULU. Al treilea unghi:

$$m(\angle ACB)=180^{\circ }-65^{\circ }-78^{\circ }=37^{\circ }.$$

Cu teorema sinusurilor, latura $AC$ (opusă unghiului $B$):

$$AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{40\cdot \sin 78^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}\approx \frac{40\cdot 0,9781}{0,6018}\approx 65,01\text{m}.$$

Dacă vrei chiar lățimea râului — distanța de la copac până la linia malului tău — ea este înălțimea din $C$:

$$d=AC\cdot \sin 65^{\circ }\approx 65,01\cdot 0,9063\approx 58,92\text{m}.$$

Verificare pe a doua cale: $BC=\frac{40\cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}\approx 60,24$ m, iar $BC\cdot \sin 78^{\circ }\approx 60,24\cdot 0,9781\approx 58,92$ m ✓. Aceeași valoare, pe alt drum — semn că nu am greșit.

3. Înălțimea unui obiect cu baza inaccesibilă

Un turn se ridică dincolo de un gard, iar tu nu poți ajunge la baza lui ca să măsori distanța. Soluția: două stații de observație, pe aceeași dreaptă cu turnul.

Din punctul $A$, mai îndepărtat, măsori unghiul de elevație al vârfului $T$: $32^{\circ }$. Te apropii cu $AB=50$ m, până în $B$, și măsori din nou: $47^{\circ }$.

În triunghiul $ABT$ cunoaștem: unghiul din $A$ are $32^{\circ }$, iar unghiul $\angle ABT$ este suplementul unghiului de elevație din $B$, adică $180^{\circ }-47^{\circ }=133^{\circ }$ (pentru că $A$, $B$ și baza turnului sunt coliniare, iar $A$ e dincolo de $B$). Deci

$$m(\angle ATB)=180^{\circ }-32^{\circ }-133^{\circ }=15^{\circ }.$$

Cu teorema sinusurilor:

$$BT=\frac{AB\cdot \sin 32^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,5299}{0,2588}\approx 102,37\text{m},$$

iar înălțimea turnului, în triunghiul dreptunghic format de $BT$ cu solul:

$$h=BT\cdot \sin 47^{\circ }\approx 102,37\cdot 0,7314\approx 74,87\text{m}.$$

Control. Distanțele orizontale până la baza turnului sunt $\frac{h}{\mathrm{tg}32^{\circ }}\approx 119,81$ m și $\frac{h}{\mathrm{tg}47^{\circ }}\approx 69,81$ m; diferența lor este $50,00$ m, exact distanța dintre stații ✓.

4. Distanța dintre două puncte, amândouă inaccesibile

Situația cea mai grea: vrei distanța dintre două puncte $P$ și $Q$ la care nu poți ajunge — două stânci pe malul opus, două antene pe un deal. Metoda are trei pași:

1. măsori o bază $AB$ de unde se văd amândouă și, din fiecare capăt, unghiurile către $P$ și către $Q$;
2. rezolvi cu teorema sinusurilor triunghiul $ABP$ (obții $AP$) și triunghiul $ABQ$ (obții $AQ$);
3. în triunghiul $APQ$ ai acum două laturi și unghiul dintre ele — diferența unghiurilor măsurate din $A$ — deci aplici teorema cosinusului și obții $PQ$.

Observă structura: două triunghiuri rezolvate cu teorema sinusurilor pregătesc un al treilea, rezolvat cu teorema cosinusului. Este tiparul clasic al triangulației; calculul complet, pe numere, îl găsești în Exemplul 3.

5. Triangulația în lanț

Când distanța e mare, nu se măsoară o singură bază uriașă, ci se construiește un lanț de triunghiuri: latura calculată într-un triunghi devine bază pentru următorul. Așa au fost cartografiate țările întregi, înainte de sateliți.

Exemplu. Baza $AB=200$ m; în triunghiul $ABC$ se măsoară $m(\angle A)=72^{\circ }$ și $m(\angle B)=51^{\circ }$, deci $m(\angle C)=57^{\circ }$ și

$$BC=\frac{200\cdot \sin 72^{\circ }}{\sin 57^{\circ }}\approx 226,80\text{m}.$$

Trecem în punctul $C$ și folosim $BC$ drept bază nouă: în triunghiul $BCD$ măsurăm $m(\angle DBC)=63^{\circ }$ și $m(\angle BCD)=48^{\circ }$, deci $m(\angle D)=69^{\circ }$ și

$$CD=\frac{226,80\cdot \sin 63^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx 216,46\text{m},BD=\frac{226,80\cdot \sin 48^{\circ }}{\sin 69^{\circ }}\approx 180,54\text{m}.$$

Am ajuns la punctul $D$ fără să fi măsurat vreodată o distanță mai mare de $200$ m. Atenție însă: erorile se transmit de la un triunghi la altul. De aceea, la capătul lanțului se măsoară din nou o distanță și se compară cu valoarea calculată.

6. Azimut și navigație

Pe apă și în aer, direcțiile se dau prin azimut.

Convenție (o folosim peste tot în lecție): azimutul unei direcții este unghiul măsurat din direcția nord, în sens orar, cu valori în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$. Nordul are azimutul $0^{\circ }$, estul $90^{\circ }$, sudul $180^{\circ }$, vestul $270^{\circ }$.

Regula care ne interesează: dacă mergi pe azimutul $\alpha$ și apoi schimbi pe azimutul $\beta$, cu $|\beta -\alpha |<180^{\circ }$, unghiul interior al triunghiului în punctul de cotitură este $180^{\circ }-|\beta -\alpha |$. Motivul: direcția „înapoi" de unde ai venit are azimutul $\alpha +180^{\circ }$, iar unghiul dintre ea și noua direcție se obține prin scădere.

Exemplu. Un vas pleacă din portul $P$, navighează $30$ km pe azimutul $40^{\circ }$ până în punctul $M$, apoi schimbă pe azimutul $110^{\circ }$ și mai face $45$ km, până în $N$. La ce distanță de port se află?

Schimbarea de direcție este $110^{\circ }-40^{\circ }=70^{\circ }$, deci unghiul interior din $M$ este $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$. Cu teorema cosinusului în triunghiul $PMN$:

$$P{N}^2=30^2+45^2-2\cdot 30\cdot 45\cdot \cos 110^{\circ }\approx 900+2025+923,45=3848,45,$$

deci $PN\approx 62,04$ km. Observă semnul: cosinusul unui unghi obtuz e negativ, deci termenul se adaugă.

Dacă cele două direcții pleacă din același punct (două vase care ies simultan din port), atunci unghiul dintre ele este direct diferența azimuturilor, fără scădere din $180^{\circ }$. Confuzia dintre cele două situații e cea mai frecventă greșeală aici: desenează întotdeauna.

7. De pe harta digitală în caiet și înapoi

Programa cere explicit transpunerea unor date pe o hartă digitală. Iată cum arată, concret, drumul complet.

Pasul 1 — citești baza de pe hartă. Alegi două repere fixe: două turnuri de biserică, două colțuri de clădire. Cu instrumentul de măsurare al aplicației obții distanța dintre ele, să zicem $AB=1,20$ km. Fii atent la unitate și păstreaz-o până la final.

Pasul 2 — citești direcțiile. Harta e orientată cu nordul în sus, deci se poate folosi direct pentru azimuturi. Presupunem că $B$ se află la est de $A$, deci azimutul direcției $A\to B$ este $90^{\circ }$. Vizezi un al treilea obiectiv $C$ și citești: azimutul $A\to C$ este $40^{\circ }$, azimutul $B\to C$ este $340^{\circ }$.

Pasul 3 — traduci azimuturile în unghiuri ale triunghiului. Unghiul din $A$, dintre direcțiile $A\to B$ și $A\to C$, este $90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$. În $B$, direcția $B\to A$ are azimutul $270^{\circ }$, deci unghiul din $B$ este $340^{\circ }-270^{\circ }=70^{\circ }$. Al treilea unghi:

$$m(\angle C)=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }.$$

Pasul 4 — rezolvi triunghiul.

$$AC=\frac{1,20\cdot \sin 70^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 1,302\text{km},BC=\frac{1,20\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 1,062\text{km}.$$

Pasul 5 — pui rezultatul înapoi pe hartă. Din $A$, pe direcția de azimut $40^{\circ }$, măsori $1302$ m cu instrumentul aplicației: acolo trebuie să cadă obiectivul $C$. Dacă apare în alt loc, ai o eroare de citire — cel mai des la azimuturi. Aceasta e metoda numită intersecție înainte, folosită și azi în orientare: două direcții și o bază îți dau poziția unui punct pe care nu-l poți atinge.

8. Verificările obligatorii

O măsurătoare indirectă bună nu dă doar un număr, ci un număr verificat. Trei controale, în ordine:

1. Suma unghiurilor. În fiecare triunghi, $180^{\circ }$. Dacă cele trei unghiuri măsurate dau $182^{\circ }$, ai o eroare de $2^{\circ }$ și nu ai voie să continui.
2. Inegalitatea triunghiului. Fiecare latură calculată trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.
3. Plauzibilitatea. Latura cea mai mare stă în fața unghiului cel mai mare. Dacă îți iese $600$ m până la un copac care se vede la vreo $60$ m, verifică dacă nu ai lăsat calculatorul pe radiani.

Un al patrulea control, când e posibil: rezolvă pe a doua cale, cum am făcut la râu și la turn. Și o observație de practică: cu cât unghiul din vârf e mai mic, cu atât o eroare mică de citire produce o eroare mare în rezultat — de aceea stațiile se aleg cât mai depărtate una de alta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lățimea unui râu

Pe malul unui râu se aleg punctele $A$ și $B$, cu $AB=30$ m. Un copac $C$ de pe malul opus se vede sub unghiurile $m(\angle CAB)=70^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=65^{\circ }$. Calculați distanța $AC$.

Rezolvare. Al treilea unghi: $m(\angle ACB)=180^{\circ }-70^{\circ }-65^{\circ }=45^{\circ }$. Latura $AC$ este opusă unghiului $B$, deci

$$AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{30\cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\approx \frac{30\cdot 0,9063}{0,7071}\approx 38,45\text{m}.$$

Plauzibilitate: unghiul $C$ e cel mai mic, deci latura $AB$ opusă lui e cea mai scurtă ✓. $■$

Exemplul 2 — Turn cu baza inaccesibilă

Un turn se vede din punctul $A$ sub un unghi de elevație de $25^{\circ }$. Apropiindu-ne cu $60$ m pe aceeași direcție, până în $B$, unghiul devine $40^{\circ }$. Calculați înălțimea turnului.

Rezolvare. În triunghiul $ABT$ ($T$ = vârful turnului): unghiul din $A$ are $25^{\circ }$, unghiul $\angle ABT=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$, deci $m(\angle ATB)=180^{\circ }-25^{\circ }-140^{\circ }=15^{\circ }$. Atunci

$$BT=\frac{60\cdot \sin 25^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx \frac{60\cdot 0,4226}{0,2588}\approx 97,97\text{m},$$

iar înălțimea:

$$h=BT\cdot \sin 40^{\circ }\approx 97,97\cdot 0,6428\approx 62,98\text{m}.$$

Control: $\frac{h}{\mathrm{tg}25^{\circ }}-\frac{h}{\mathrm{tg}40^{\circ }}\approx 135,05-75,05=60,00$ m ✓, exact distanța parcursă. $■$

Exemplul 3 — Două puncte inaccesibile

De pe o bază $AB=100$ m se vizează două stânci $P$ și $Q$ de pe malul opus: $m(\angle PAB)=68^{\circ }$, $m(\angle PBA)=42^{\circ }$, $m(\angle QAB)=35^{\circ }$, $m(\angle QBA)=80^{\circ }$. Calculați distanța $PQ$.

Rezolvare. În triunghiul $ABP$: $m(\angle APB)=70^{\circ }$ și $AP=\frac{100\sin 42^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}\approx 71,21$ m. În triunghiul $ABQ$: $m(\angle AQB)=65^{\circ }$ și $AQ=\frac{100\sin 80^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx 108,66$ m. Cum $m(\angle PAQ)=68^{\circ }-35^{\circ }=33^{\circ }$, teorema cosinusului dă

$$P{Q}^2\approx 5070,5+11807,1-12979,2=3898,4⟹PQ\approx 62,45\text{m}.■$$

Exemplul 4 — Navigație

Un vas pleacă din portul $P$, parcurge $30$ km pe azimutul $40^{\circ }$, apoi $45$ km pe azimutul $110^{\circ }$. La ce distanță de port se află și care este aria triunghiului format?

Rezolvare. Unghiul interior din punctul de cotitură este $180^{\circ }-(110^{\circ }-40^{\circ })=110^{\circ }$. Cu teorema cosinusului:

$$P{N}^2=900+2025-2700\cos 110^{\circ }\approx 2925+923,45=3848,45⟹PN\approx 62,04\text{km}.$$

Aria triunghiului, cu formula sinusului:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 45\cdot \sin 110^{\circ }\approx 675\cdot 0,9397\approx 634,3{\text{km}}^2.■$$

Exemplul 5 — De pe harta digitală

Pe o hartă digitală, două turnuri $A$ și $B$ sunt la $1,20$ km unul de altul, iar $B$ este exact la est de $A$. Un releu $C$ se vede din $A$ pe azimutul $40^{\circ }$ și din $B$ pe azimutul $340^{\circ }$. La ce distanță este releul de fiecare turn?

Rezolvare. Azimutul $A\to B$ este $90^{\circ }$, deci unghiul din $A$ are $90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$; azimutul $B\to A$ este $270^{\circ }$, deci unghiul din $B$ are $340^{\circ }-270^{\circ }=70^{\circ }$. Atunci $m(\angle C)=60^{\circ }$ și

$$AC=\frac{1,20\cdot \sin 70^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 1,302\text{km},BC=\frac{1,20\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 1,062\text{km}.$$

Verificare pe hartă: din $A$, pe azimutul $40^{\circ }$, la $1302$ m ajungi chiar la releu ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Doi observatori se află în punctele $A$ și $B$, cu $AB=120$ m. Un far $C$ se vede sub unghiurile $m(\angle CAB)=50^{\circ }$ și $m(\angle CBA)=70^{\circ }$. a) Calculați $m(\angle ACB)$. b) Calculați distanța $BC$. c) Calculați aria triunghiului $ABC$.

Rezolvare. a) $m(\angle ACB)=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$.

b) Latura $BC$ este opusă unghiului $A$, deci

$$BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{120\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{120\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 106,15\text{m}.$$

c) Unghiul $B$ este cuprins între laturile $AB$ și $BC$:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 120\cdot 106,15\cdot \sin 70^{\circ }\approx 6369\cdot 0,9397\approx 5984,7{\text{m}}^2.$$

Control pe a doua cale: $AC=\frac{120\sin 70^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 130,21$ m, iar $\frac{1}{2}\cdot 130,21\cdot 106,15\cdot \sin 60^{\circ }\approx 5984,7$ m² ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, desenează întâi figura și marchează ce e accesibil și ce nu. Rotunjește la două zecimale și verifică suma unghiurilor înainte de orice calcul.

1. Pe malul unui râu, $AB=30$ m; un copac $C$ de pe malul opus se vede sub unghiurile $m(\angle CAB)=70^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=65^{\circ }$. Calculează $BC$.

2. De la $40$ m de baza unui bloc, vârful lui se vede sub un unghi de elevație de $38^{\circ }$. Ce înălțime are blocul, dacă instrumentul este ținut la $1,6$ m de sol?

3. Doi observatori aflați la $80$ m unul de altul văd un balon $C$ sub unghiurile de $55^{\circ }$ și $65^{\circ }$, măsurate față de dreapta care îi unește. Calculează distanța de la primul observator la balon.

4. Un turn cu baza inaccesibilă se vede din $A$ sub un unghi de elevație de $25^{\circ }$, iar din $B$, cu $60$ m mai aproape, sub $40^{\circ }$. Calculează înălțimea turnului.

5. Un vas pleacă din port, parcurge $25$ km pe azimutul $50^{\circ }$, apoi $40$ km pe azimutul $140^{\circ }$. Arată că traseul formează un unghi drept și calculează distanța până la port, în formă exactă.

6. Două nave pleacă simultan din același port: prima $60$ km pe azimutul $20^{\circ }$, a doua $80$ km pe azimutul $95^{\circ }$. La ce distanță se află una de alta?

7. Pe o hartă, baza $AB$ măsoară $800$ m. Un obiectiv $C$ se vede din $A$ sub $45^{\circ }$ și din $B$ sub $75^{\circ }$, unghiurile fiind măsurate față de dreapta $AB$. Calculează $AC$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ca să afli o distanță inaccesibilă, e suficient să măsori o bază și un singur unghi."

9. Într-un triunghi de triangulație s-au măsurat unghiurile $62^{\circ }$, $71^{\circ }$ și $49^{\circ }$. Ce concluzie tragi și ce faci mai departe?

10. Lanț de triangulație: baza $AB=150$ m, cu $m(\angle A)=66^{\circ }$ și $m(\angle B)=54^{\circ }$ în triunghiul $ABC$. a) Calculează $BC$. b) Folosind $BC$ drept bază nouă, în triunghiul $BCD$ se măsoară $m(\angle DBC)=68^{\circ }$ și $m(\angle BCD)=47^{\circ }$. Calculează $CD$.

11. De la baza unui deal, vârful se vede sub un unghi de elevație de $12^{\circ }$. Înaintând $200$ m către deal, unghiul devine $20^{\circ }$. Calculează înălțimea dealului față de linia de observație.

12. Un teren triunghiular are latura accesibilă $AB=90$ m, iar al treilea colț $C$ se vede din $A$ sub $48^{\circ }$ și din $B$ sub $72^{\circ }$. a) Calculează $BC$. b) Calculează suprafața terenului.

13. (Problemă aplicată.) Peste o vale trebuie construit un pod de la $A$ la $C$. Pe marginea văii se măsoară baza $AB=75$ m, apoi $m(\angle CAB)=58^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=66^{\circ }$. Ce lungime va avea podul?

14. (Problemă aplicată.) Pe harta digitală a localității tale, două repere $A$ și $B$ sunt la $0,9$ km unul de altul. Turnul bisericii $C$ se vede din $A$ sub un unghi de $42^{\circ }$ și din $B$ sub un unghi de $73^{\circ }$, față de direcția $AB$. Calculează distanța de la $A$ la turn, în metri.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=60$, $m(\angle A)=42^{\circ }$ și $m(\angle B)=63^{\circ }$. a) Calculați $m(\angle C)$. b) Calculați $BC$. c) Calculați aria triunghiului $ABC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Un vas parcurge $35$ km, apoi schimbă direcția și mai parcurge $50$ km, unghiul interior al traseului fiind de $120^{\circ }$. Calculați distanța dintre punctul de plecare și cel de sosire, lăsând rezultatul și în formă exactă.

17. În triunghiul de triangulație $ABC$ se cunosc $AB=100$ m, $m(\angle A)=55^{\circ }$ și $m(\angle B)=65^{\circ }$. Calculează $BC$ și $AC$, apoi verifică rezultatele recalculând $AB$ cu teorema cosinusului.

18. (Provocare.) Pentru a măsura distanța dintre două puncte $P$ și $Q$ de pe malurile opuse ale unui lac, un topograf alege un punct $O$ de unde se văd amândouă și măsoară $OP=320$ m, $OQ=450$ m și $m(\angle POQ)=78^{\circ }$. a) Calculează $PQ$. b) Calculează aria triunghiului $POQ$. c) Calculează $m(\angle OPQ)$ și verifică rezultatul de la punctul a) cu teorema sinusurilor.

Răspunsuri și explicații

1. $m(\angle ACB)=45^{\circ }$, iar $BC$ este opusă unghiului $A$: $BC=\frac{30\sin 70^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\approx \frac{30\cdot 0,9397}{0,7071}\approx 39,87$ m.

2. Deasupra instrumentului: $40\cdot \mathrm{tg}38^{\circ }\approx 31,25$ m, deci blocul are $31,25+1,6\approx 32,85$ m.

3. Al treilea unghi are $180^{\circ }-55^{\circ }-65^{\circ }=60^{\circ }$. Distanța de la primul observator ($A$) la balon este latura opusă unghiului din $B$: $\frac{80\sin 65^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 83,72$ m.

4. $m(\angle ABT)=140^{\circ }$ și $m(\angle ATB)=15^{\circ }$, deci $BT=\frac{60\sin 25^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx 97,97$ m și $h=BT\sin 40^{\circ }\approx 62,98$ m.

5. Schimbarea de direcție este $140^{\circ }-50^{\circ }=90^{\circ }$, deci unghiul interior este $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$ — traseul formează un triunghi dreptunghic. Cu Pitagora: $d=\sqrt{25^2+40^2}=\sqrt{2225}=5\sqrt{89}\approx 47,17$ km.

6. Ambele direcții pleacă din același punct, deci unghiul dintre ele este $95^{\circ }-20^{\circ }=75^{\circ }$. Cu teorema cosinusului: $d^2=3600+6400-9600\cos 75^{\circ }\approx 10000-2484,7=7515,3$, deci $d\approx 86,69$ km.

7. $m(\angle C)=60^{\circ }$, iar $AC$ este opusă unghiului din $B$: $AC=\frac{800\sin 75^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 892,28$ m.

8. Fals. Cu o bază și un singur unghi, triunghiul nu e determinat: punctul inaccesibil poate fi oriunde pe semidreapta vizată. Ai nevoie de două unghiuri (configurația ULU) sau de un unghi și de încă o latură. Excepția aparentă — turnul măsurat de la o distanță cunoscută — folosește și unghiul drept dintre turn și sol, deci tot două unghiuri.

9. Suma este $182^{\circ }$, cu $2^{\circ }$ mai mult decât $180^{\circ }$. Măsurătoarea conține o eroare; se reiau citirile și abia apoi se calculează laturile.

10. a) $m(\angle C)=180^{\circ }-66^{\circ }-54^{\circ }=60^{\circ }$, deci $BC=\frac{150\sin 66^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 158,23$ m. b) În triunghiul $BCD$, $m(\angle D)=180^{\circ }-68^{\circ }-47^{\circ }=65^{\circ }$, iar $CD$ este opusă unghiului din $B$: $CD=\frac{158,23\sin 68^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx 161,88$ m.

11. Unghiul din vârful dealului este $20^{\circ }-12^{\circ }=8^{\circ }$. Cu teorema sinusurilor în triunghiul format de cele două puncte de observație și vârf: $BT=\frac{200\sin 12^{\circ }}{\sin 8^{\circ }}\approx 298,78$ m, iar $h=BT\sin 20^{\circ }\approx 102,19$ m. Control: $\frac{h}{\mathrm{tg}12^{\circ }}-\frac{h}{\mathrm{tg}20^{\circ }}\approx 200,0$ m ✓.

12. a) $m(\angle C)=60^{\circ }$, deci $BC=\frac{90\sin 48^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 77,23$ m. b) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 90\cdot 77,23\cdot \sin 72^{\circ }\approx 3305,3$ m².

13. $m(\angle ACB)=180^{\circ }-58^{\circ }-66^{\circ }=56^{\circ }$, iar podul $AC$ este latura opusă unghiului din $B$: $AC=\frac{75\sin 66^{\circ }}{\sin 56^{\circ }}\approx 82,65$ m.

14. $m(\angle C)=180^{\circ }-42^{\circ }-73^{\circ }=65^{\circ }$, iar $AC$ este opusă unghiului din $B$: $AC=\frac{0,9\sin 73^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx 0,9496$ km, adică aproximativ $950$ m.

15. a) $m(\angle C)=180^{\circ }-42^{\circ }-63^{\circ }=75^{\circ }$. b) $BC$ este opusă unghiului $A$: $BC=\frac{60\sin 42^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx 41,56$. c) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 41,56\cdot \sin 63^{\circ }\approx 1111,0$.

16. Cu teorema cosinusului și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$:

$$d^2=35^2+50^2-2\cdot 35\cdot 50\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1225+2500+1750=5475,$$

deci $d=\sqrt{5475}=5\sqrt{219}\approx 73,99$ km.

17. $m(\angle C)=60^{\circ }$; $BC=\frac{100\sin 55^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 94,59$ m și $AC=\frac{100\sin 65^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 104,65$ m. Verificare: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }\approx 8947,3+10951,6-9898,8\approx 10000$, deci $AB\approx 100$ m ✓.

18. a) Cu teorema cosinusului:

$$P{Q}^2=320^2+450^2-2\cdot 320\cdot 450\cdot \cos 78^{\circ }\approx 304900-59878=245022,$$

deci $PQ\approx 495,00$ m. b) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 320\cdot 450\cdot \sin 78^{\circ }\approx 72000\cdot 0,9781\approx 70426,6$ m². c) Unghiul $\angle OPQ$ este opus laturii $OQ$, deci

$$\sin (\angle OPQ)=\frac{OQ\cdot \sin 78^{\circ }}{PQ}\approx \frac{450\cdot 0,9781}{495,00}\approx 0,8892⟹m(\angle OPQ)\approx 62,78^{\circ }.$$

Verificare: al treilea unghi are $180^{\circ }-78^{\circ }-62,78^{\circ }=39,22^{\circ }$, iar teorema sinusurilor dă $\frac{OP}{\sin 39,22^{\circ }}\approx 506,09$ și $\frac{PQ}{\sin 78^{\circ }}\approx 506,06$ ✓ — deci rezultatul de la a) e corect. (Am ales soluția ascuțitunghică, pentru că unghiul obtuz e deja în $O$.)

De reținut

• Măsurătoarea indirectă înseamnă: măsori o bază accesibilă și unghiuri, apoi calculezi distanța la care nu poți ajunge.
• ULU $\to$ teorema sinusurilor; LUL $\to$ teorema cosinusului.
• La un obiect cu baza inaccesibilă se folosesc două stații pe aceeași direcție; unghiul din vârf este diferența unghiurilor de elevație.
• Azimutul se măsoară din nord, în sens orar; la o schimbare de direcție, unghiul interior al triunghiului este $180^{\circ }$ minus diferența azimuturilor.
• Se verifică întotdeauna: suma unghiurilor $=180^{\circ }$, inegalitatea triunghiului și plauzibilitatea; ideal, rezultatul se recalculează pe a doua cale.

Greșeli frecvente

• Unghiul de elevație folosit direct ca unghi al triunghiului. La stația mai apropiată, unghiul din triunghi este suplementul unghiului de elevație ($180^{\circ }-47^{\circ }$, nu $47^{\circ }$).
• Confuzia dintre cele două situații de navigație. Traseu frânt: unghiul interior este $180^{\circ }$ minus diferența azimuturilor. Direcții din același punct: unghiul este chiar diferența.
• Latura confundată cu unghiul opus. În teorema sinusurilor, latura calculată se împarte la sinusul unghiului opus ei, nu al unuia alăturat.
• Suma unghiurilor neverificată. Se calculează zece minute pornind de la trei unghiuri care dau $183^{\circ }$. Verificarea durează cinci secunde.
• Calculatorul pe radiani. Un rezultat absurd de mare sau de mic are, aproape întotdeauna, această cauză. Testează cu $\sin 30^{\circ }=0,5$.

Aplică acasă

1. Cât e de înalt blocul din fața ta? Măsoară cu pasul distanța până la bază, apoi vizează vârful cu aplicația de clinometru. Calculează înălțimea cu tangenta, adunând înălțimea la care ai ținut instrumentul. Repetă de la altă distanță și compară rezultatele.

2. O distanță pe care nu o poți parcurge. Alege un obiect de peste o stradă intensă sau un gard: un stâlp, un copac, un colț de clădire. Marchează o bază de $20$–$30$ de pași, măsoară unghiurile din capetele ei către obiect și calculează distanța. Verifică pe o hartă digitală.

3. Triunghiul de pe hartă. Alege pe o hartă digitală trei repere din localitatea ta. Măsoară o singură latură și citește cele două azimuturi din capetele ei către al treilea reper. Calculează celelalte două laturi cu teorema sinusurilor, apoi măsoară-le și pe hartă: cât de mari sunt diferențele, în procente?

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de trigonometrie în geometrie și este, prin excelență, lecția de modelare: elevul nu primește un triunghi gata desenat, ci o situație reală pe care trebuie s-o transforme singur într-o configurație geometrică — exact ce cere programa de trunchi comun (construirea unei configurații care modelează o situație reală, transpunerea unor date pe o hartă digitală, transformarea unei probleme de teren cu elemente inaccesibile într-o problemă de geometrie). De aceea, la fiecare exercițiu, primul pas cerut este desenul, nu formula.

Întrebări bune de control: „Care este baza și de ce ai ales-o acolo?"; „Ce unghi din triunghi corespunde unghiului de elevație măsurat la a doua stație?" (suplementul lui); „Ce verifici înainte de a calcula ceva?" (suma unghiurilor). Semne că a înțeles: desenează configurația fără să i se ceară, marchează ce e accesibil și ce nu și își controlează rezultatul prin a doua metodă.

La Bacalaureat, aceste probleme apar în formă „curățată": un triunghi cu o latură și două unghiuri, la care se cer o latură și aria (exercițiul 15), sau un traseu frânt rezolvat cu teorema cosinusului (exercițiul 16). O recapitulare utilă înainte de lucrare: rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU și aria suprafețelor poligonale prin descompunere.

Întrebări frecvente

Cum măsor lățimea unui râu fără să-l traversez? Marchezi pe malul tău o bază de lungime cunoscută, vizezi din ambele capete un reper de pe malul opus și măsori cele două unghiuri. Rezolvi triunghiul cu teorema sinusurilor, apoi calculezi distanța perpendiculară pe mal.

Ce este triangulația? Metoda prin care se determină distanțe mari măsurând direct doar o bază scurtă și multe unghiuri. Laturile calculate într-un triunghi devin baze pentru următoarele, formând un lanț.

Cum aflu înălțimea unui turn dacă nu pot ajunge la baza lui? Faci două observații de pe aceeași direcție, din puncte aflate la distanță cunoscută, și măsori două unghiuri de elevație. Rezolvi triunghiul format de cele două puncte și de vârful turnului.

Ce înseamnă azimut? Este unghiul unei direcții măsurat din nord, în sens orar, între $0^{\circ }$ și $360^{\circ }$: nordul are $0^{\circ }$, estul $90^{\circ }$, sudul $180^{\circ }$, vestul $270^{\circ }$. Se folosește în navigație, în aviație și pe hărți.

Cum transform două azimuturi într-un unghi al triunghiului? Dacă direcțiile pleacă din același punct, unghiul este diferența azimuturilor. Dacă e vorba de un traseu frânt, unghiul interior din punctul de cotitură este $180^{\circ }$ minus diferența azimuturilor.

Pot folosi o hartă digitală pentru probleme de trigonometrie? Da, și programa o recomandă. Măsori o bază cu instrumentul aplicației, citești azimuturile către un al treilea punct, rezolvi triunghiul și verifici rezultatul măsurând pe hartă distanțele calculate.

De ce trebuie verificată suma unghiurilor? Pentru că este singurul control care prinde o eroare de măsurare înainte de calcule. Dacă cele trei unghiuri nu dau $180^{\circ }$, orice rezultat obținut din ele va fi greșit.