Radicali de ordin 2 și 3: proprietăți și expresii conjugate (M2, științe ale naturii)

Pe eticheta unui încărcător scrie „$230$ V”, dar tensiunea din priză atinge, în vârfurile ei, aproximativ $325$ de volți. Legătura dintre cele două numere este un radical: valoarea de vârf este $230\sqrt{2}$ volți. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), radicalii de ordin 2 și 3 se studiază ca instrumente de calcul: proprietățile lor, cu condițiile de semn, scoaterea și introducerea factorilor, expresiile conjugate cu litere și raționalizarea numitorilor care conțin radicali de ordinul 3. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține radicalul de ordin $n$ și proprietățile radicalilor la materia clasei a X-a.

Radicalul de ordin 2 ca funcție este descris în funcția radical de ordin 2 la M2, iar raționalizarea numitorilor cu radicali de ordinul 2, cu expresia conjugată, ai lucrat-o în lecția M2 despre raționalizarea numitorilor; aici le folosim, fără să le reluăm. Lecția anterioară, funcția inversă la M2, a arătat că radicalii sunt inversele ridicării la putere. Lecția următoare, ecuațiile cu radicali la M2, folosește toate regulile de aici.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici proprietățile produsului și câtului la radicalii de ordin 2 și 3, cu condițiile lor de semn.
• Vei ști să scoți factori de sub radical și să introduci factori sub radical, cu litere și cu semnul corect la ordinul 3.
• Vei ști să compari numere cu radicali fără calculator și să aduni radicali după ce îi aduci la forma cea mai simplă.
• Vei ști să folosești expresiile conjugate în expresii cu litere, păstrând condițiile de existență.
• Vei ști să raționalizezi un numitor care conține un radical de ordinul 3.
• Vei ști să urmărești unitățile de măsură sub un radical într-o formulă din fizică sau chimie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce regulă leagă radicalul unui produs de radicalii factorilor?

Radicalul unui produs de numere nenegative este produsul radicalilor factorilor: pentru $a\ge 0$ și $b\ge 0$ are loc $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$. Motivul vine din definiția radicalului: produsul $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ este un număr nenegativ, iar pătratul lui este ${\left(\sqrt{a}\right)}^2\cdot {\left(\sqrt{b}\right)}^2=ab$. Singurul număr nenegativ cu pătratul $ab$ este $\sqrt{ab}$, deci cele două numere coincid. Exemplu: $\sqrt{36\cdot 49}=\sqrt{1764}=42$, iar $\sqrt{36}\cdot \sqrt{49}=6\cdot 7=42$.

Pentru câturi, cu $a\ge 0$ și $b>0$, avem $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Regula lucrează în ambele sensuri: o folosim ca să despărțim un radical în doi sau ca să unim doi radicali într-unul singur.

Cele două sensuri servesc la lucruri diferite. Despărțirea ajută când sub radical stă un număr mare care conține un pătrat perfect: în loc să cauți direct radicalul unui număr de patru cifre, cauți un factor pe care îl recunoști. Unirea ajută când doi radicali „urâți” dau împreună un pătrat perfect, iar produsul lor devine un număr natural. În ambele cazuri, după calcul, ridică rezultatul la pătrat: trebuie să regăsești numărul de sub radicalul inițial.

2. Ce păstrează ridicarea la cub și pierde ridicarea la pătrat?

Radicalul de ordin 3 există pentru orice număr real și păstrează semnul. De aceea proprietățile lui nu au condiții de semn: $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}$ pentru orice $a,b$ reale, iar $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ pentru $b\ne 0$. Justificarea este aceeași, cu cubul în locul pătratului.

Exemplu cu un factor negativ: $\sqrt[3]{-125\cdot 8}=\sqrt[3]{-1000}=-10$, iar $\sqrt[3]{-125}\cdot \sqrt[3]{8}=(-5)\cdot 2=-10$. Identitatea $\sqrt[3]{a^3}=a$ este adevărată pentru orice număr real, pe când la ordinul 2 avem $\sqrt{a^2}=|a|$: rezultatul unui radical de ordin 2 nu este niciodată negativ.

Diferența vine din felul în care se comportă puterile. Ridicarea la pătrat pierde semnul, deci drumul înapoi nu poate să-l regăsească și alege mereu varianta nenegativă. Ridicarea la cub păstrează semnul, deci drumul înapoi îl recuperează. Când lucrezi cu un radical, întreabă-te întâi ce ordin are: de răspuns depinde dacă scrii o condiție de semn și dacă apare un modul.

3. Ce rămâne sub radical după ce extragem pătratele și cuburile?

La ordinul 2 cauți în numărul de sub radical cel mai mare factor care este pătrat perfect; la ordinul 3, cel mai mare factor care este cub perfect. Descompunerea în factori primi arată totul: fiecare pereche de factori egali iese de sub radicalul de ordin 2 ca un singur factor, iar fiecare grup de trei iese de sub radicalul de ordin 3.

De exemplu, $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$, deci $\sqrt{180}=2\cdot 3\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5}$. La ordinul 3, $-375=(-5{)}^3\cdot 3$, deci $\sqrt[3]{-375}=-5\sqrt[3]{3}$: semnul iese de sub radicalul de ordin 3 odată cu factorul. Când sub radicalul de ordin 2 apare pătratul unei litere, iese modulul ei: $\sqrt{9m^2}=3|m|$, pentru orice număr real $m$.

Dacă știi din enunț semnul literei, modulul dispare: pentru $m\ge 0$ scrii $3m$, iar pentru $m<0$ scrii $-3m$, un număr tot pozitiv. Rezultatul corect are sub radical un număr care nu mai conține niciun pătrat perfect diferit de unu, la ordinul 2, și niciun cub perfect diferit de unu, la ordinul 3. Dacă după primul pas mai recunoști un asemenea factor, înseamnă că n-ai ales de la început cel mai mare, iar procedeul continuă.

4. Cum introducem un factor sub radical și la ce ne folosește?

Drumul invers: un factor nenegativ din fața radicalului de ordin 2 intră sub radical ridicat la pătrat, $c\sqrt{b}=\sqrt{c^{2}b}$ pentru $c\ge 0$. Un factor negativ nu intră: $-4\sqrt{2}$ se scrie $-\sqrt{32}$, cu minusul rămas afară. La ordinul 3 intră orice factor, ridicat la cub, cu tot cu semn.

Introducerea este metoda de a compara numere cu radicali fără calculator. Ca să compari $5\sqrt{3}$ cu $4\sqrt{5}$, scrii $5\sqrt{3}=\sqrt{75}$ și $4\sqrt{5}=\sqrt{80}$. Radicalul de ordin 2 păstrează ordinea numerelor nenegative, iar $75<80$, deci $5\sqrt{3}<4\sqrt{5}$. Compararea se face astfel exact, chiar când numerele sunt foarte apropiate.

Metoda funcționează pentru că ambele numere sunt pozitive și le-am adus la aceeași formă, un singur radical. La ordinul 3 poți introduce sub radical orice factor, cu tot cu semn, iar compararea rămâne valabilă și pentru numere negative, fiindcă radicalul de ordin 3 păstrează ordinea pe toată axa.

5. Ce înseamnă că doi radicali sunt asemenea?

Adunarea și scăderea se fac numai între radicali asemenea, adică radicali de același ordin, cu același număr sub radical. Ei se adună ca termenii asemenea din algebră: coeficienții se adună, radicalul rămâne. Deseori radicalii devin asemenea abia după scoaterea factorilor: $\sqrt{63}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=5\sqrt{7}$.

Un radical de ordin 2 și unul de ordin 3 nu sunt asemenea, chiar dacă au același număr sub semn: $\sqrt{5}$ și $\sqrt[3]{5}$ sunt numere diferite și rămân separate într-o sumă. Înmulțirea, în schimb, se face între orice radicali de același ordin, fără să fie asemenea. Rețeta pentru o expresie lungă are trei pași: scoți factorii din fiecare radical, grupezi radicalii asemenea, apoi aduni coeficienții fiecărei grupe.

6. Cum se simplifică o fracție cu radicali și litere?

Pentru numere, conjugata a fost folosită la raționalizare. Cu litere, aceeași formulă devine un instrument de simplificare: pentru $x\ge 0$ și $y\ge 0$, $\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x-y$. Citită de la dreapta la stânga, ea spune că o diferență de numere nenegative se poate scrie ca produsul a două expresii conjugate.

De exemplu, pentru $x\ge 0$, $x\ne 16$, avem $x-16=\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)$, deci $\frac{x-16}{\sqrt{x}-4}=\sqrt{x}+4$. Simplificarea păstrează condițiile expresiei inițiale: formula finală există și în $x=16$, dar expresia de la care am pornit nu, deci valoarea $16$ rămâne exclusă. Asemenea transformări vor reapărea în clasa a XI-a, la calculul limitelor.

Cum alegi ce descompui? Te uiți la partea fracției care conține o diferență de numere nenegative și încerci să o scrii ca produs de conjugate, apoi cauți factorul comun cu cealaltă parte. Dacă numărul nu este un pătrat perfect, formula funcționează la fel: $x-3=\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)$, pentru $x\ge 0$. Condiția $x\ge 0$ este obligatorie, fiindcă altfel $\sqrt{x}$ nu există.

7. Cum se raționalizează un numitor cu radical de ordinul trei?

Dacă numitorul este $\sqrt[3]{a}$, amplificăm cu $\sqrt[3]{a^2}$, ca sub radical să apară un cub: $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$, pentru $a\ne 0$. De exemplu, $\frac{4}{\sqrt[3]{6}}=\frac{4\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{216}}=\frac{4\sqrt[3]{36}}{6}=\frac{2\sqrt[3]{36}}{3}$.

Dacă numitorul este o diferență sau o sumă cu radicali de ordinul 3, se folosesc formulele de calcul prescurtat pentru cuburi din lecția M2 despre formulele de ordinul 3: $(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right)=u^3-v^3$ și $(u+v)\left(u^2-uv+v^2\right)=u^3+v^3$. Cu $u=\sqrt[3]{5}$ și $v=\sqrt[3]{4}$, produsul $\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{16}\right)$ este $5-4=1$. Așadar, la ordinul 3, expresia care face radicalii să dispară are trei termeni, nu doi. Controlul se face la fel ca la ordinul 2: calculezi aproximativ fracția inițială și rezultatul și compari câteva zecimale. Dacă numitorul raționalizat nu este un număr întreg mic, verifică încă o dată semnele din factorul cu trei termeni: la diferența de cuburi termenul din mijloc are plus, la suma de cuburi are minus.

8. Ce se întâmplă cu unitățile de măsură sub un radical?

Radicalul se aplică și unității. Dacă aria unui pătrat este de $49$ de centimetri pătrați, latura este de $7$ cm; dacă volumul unui cub este de $64$ de centimetri cubi, latura este de $4$ cm. O formulă cu radical este corectă din punct de vedere fizic numai dacă sub radical ajunge o unitate care, extrasă, dă unitatea mărimii calculate. La ordinul 3 regula este aceeași, cu cuburi: centimetrii cubi dau centimetri, iar metrii cubi dau metri. Un radical de ordin 2 aplicat unui volum nu dă o lungime, deci o asemenea formulă trebuie privită cu suspiciune.

Acest control al unităților prinde greșeli de formulă înainte de orice calcul. De pildă, într-o formulă pentru o viteză, sub radicalul de ordin 2 trebuie să ajungă metri pătrați pe secundă la pătrat, sau o combinație echivalentă de unități. Păstrează forma exactă până la final: o aproximare făcută devreme se înmulțește apoi cu coeficienții formulei, iar rotunjirea se face o singură dată, pe rezultat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radicali de ordine diferite în aceeași sumă

Calculează $A=\sqrt[3]{-54}+\sqrt{72}-\sqrt[3]{16}$ și explică de ce rezultatul nu se mai poate scrie cu un singur radical.

Rezolvare. Scoatem factorii: $-54=(-3{)}^3\cdot 2$, deci $\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}$; $72=6^2\cdot 2$, deci $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$; $16=2^3\cdot 2$, deci $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$. Cei doi radicali de ordinul 3 sunt asemenea: $-3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}=-5\sqrt[3]{2}$. Radicalul de ordinul 2 rămâne separat, deși are sub semn același număr: $A=6\sqrt{2}-5\sqrt[3]{2}$.

Control numeric: $\sqrt{2}\approx 1,414$ și $\sqrt[3]{2}\approx 1,260$, deci $A\approx 8,485-6,300\approx 2,19$, iar direct $-3,780+8,485-2,520\approx 2,19$. Semnul primului termen a ieșit de sub radicalul de ordinul 3 odată cu factorul $-3$. Cele două tipuri de radicali se grupează separat, ca două necunoscute diferite.

Exemplul 2 — Tensiunea eficace și valoarea de vârf

O tensiune alternativă sinusoidală cu valoarea de vârf $U_{max}$ are valoarea eficace $U_{ef}=\frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$. Figura A arată o tensiune cu valoarea de vârf de $24$ V. Calculează valoarea eficace în formă exactă și rotunjită, apoi valoarea de vârf a tensiunii de $230$ V din priză.

Rezolvare. $U_{ef}=\frac{24}{\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}\approx 16,97$ V. Pe figură, nivelul eficace este linia punctată aflată la aproximativ șapte zecimi din înălțimea vârfului. Unitatea rămâne voltul, fiindcă $\sqrt{2}$ este un număr fără unitate.

Pentru priză, valoarea eficace este dată: $230=\frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$, deci $U_{max}=230\sqrt{2}\approx 325,27$ V. Formula valorii eficace este valabilă pentru o tensiune sinusoidală, nu pentru orice formă de semnal: pentru un semnal dreptunghiular, valoarea eficace este egală cu valoarea de vârf. Un voltmetru obișnuit de curent alternativ afișează valoarea eficace, nu vârful.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: coeficient sau radicand?

Un elev scrie: „$\frac{\sqrt{28}}{2}=\sqrt{14}$” și „$3\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$”. Unde greșește? Scrie calculele corecte.

Rezolvare. În primul calcul, elevul a împărțit numărul de sub radical la $2$, ca și cum $2$ ar fi fost tot sub radical. Corect: $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, deci $\frac{\sqrt{28}}{2}=\sqrt{7}$. Control: ${\left(\sqrt{14}\right)}^2=14$, pe când ${\left(\frac{\sqrt{28}}{2}\right)}^2=\frac{28}{4}=7$.

În al doilea, elevul a înmulțit coeficienții, dar a uitat că și radicalii se înmulțesc: $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$. Corect: $3\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}=6\cdot 7=42$. Regula care evită ambele greșeli: coeficienții se înmulțesc cu coeficienții, radicalii cu radicalii, iar un număr din fața radicalului intră sub el numai ridicat la pătrat. Ambele greșeli se prind printr-o estimare: $\sqrt{28}$ este puțin peste $5$, deci jumătatea lui este puțin peste $2,5$, pe când $\sqrt{14}$ este aproape $3,7$.

Exemplul 4 — Simplificări cu conjugata, cu litere

Simplifică expresiile $E(x)=\frac{x-25}{\sqrt{x}+5}$, pentru $x\ge 0$, și $F(x)=\frac{\sqrt{x}-7}{x-49}$, pentru $x\ge 0$, $x\ne 49$. Calculează apoi $E(36)$ și $F(9)$.

Rezolvare. Numărătorul lui $E$ se scrie ca produs de conjugate: $x-25=\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)$, deci $E(x)=\sqrt{x}-5$, pentru orice $x\ge 0$. Aici nu apare nicio excludere nouă, fiindcă numitorul $\sqrt{x}+5$ nu se anulează niciodată. Atunci $E(36)=6-5=1$.

La $F$, numitorul este cel care se descompune: $x-49=\left(\sqrt{x}-7\right)\left(\sqrt{x}+7\right)$, deci $F(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+7}$, pentru $x\ge 0$, $x\ne 49$. Valoarea $49$ rămâne exclusă, deși formula simplificată ar da acolo $\frac{1}{14}$. Atunci $F(9)=\frac{1}{3+7}=\frac{1}{10}$. Control direct: $F(9)=\frac{3-7}{9-49}=\frac{-4}{-40}=\frac{1}{10}$. Cele două simplificări arată cele două situații posibile: la $E$ factorul comun a dispărut de la numitor, iar la $F$ a dispărut de la numărător, lăsând în urmă o fracție mai simplă.

Exemplul 5 — Latura unui recipient cubic

Un recipient de laborator în formă de cub trebuie să aibă volumul de $250$ de centimetri cubi. Ce latură are, în formă exactă și rotunjită? Ce arie are o față a lui, pe care trebuie lipită o etichetă care o acoperă complet?

Rezolvare. Latura este $\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{5^3\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}$ centimetri, iar $5\sqrt[3]{2}\approx 6,30$ cm. Cheia a fost să cauți cel mai mare cub perfect care divide volumul, aici $125$.

Aria unei fețe este pătratul laturii: ${\left(5\sqrt[3]{2}\right)}^2=25{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2=25\sqrt[3]{4}$ centimetri pătrați, iar $25\sqrt[3]{4}\approx 39,69$ cm². Control: $6,30^2\approx 39,7$. Unitățile urmează aceeași regulă: centimetrii cubi dau, prin radicalul de ordinul 3, centimetri, iar pătratul lor dă centimetri pătrați. Rotunjirea s-a făcut o singură dată, la final; ridicând la pătrat valoarea rotunjită $6,30$ obții doar aproximativ aceeași arie.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul $a=\sqrt{112}-\sqrt{28}$. Arătați că $a^2=28$.

Rezolvare. Scoatem factorii: $112=4^2\cdot 7$ și $28=2^2\cdot 7$, deci $\sqrt{112}=4\sqrt{7}$ și $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Atunci $a=4\sqrt{7}-2\sqrt{7}=2\sqrt{7}$, iar $a^2=4\cdot 7=28$. Enunțul este un antrenament propriu, nu un subiect oficial. Strategia este cea obișnuită: aduci radicalii la forma cea mai simplă, reduci termenii asemenea și abia apoi faci operația cerută. Ridicarea la pătrat a expresiei inițiale, fără simplificare, ar fi dus la un calcul mult mai lung, cu un produs dublu de radicali.

Să exersăm

Scrie rezultatele în formă exactă, cu radicalii simplificați. Unde se cere aproximarea, rotunjește numai la final.

1. Calculează folosind proprietatea produsului: $\sqrt{20}\cdot \sqrt{45}$, $\sqrt{0,5}\cdot \sqrt{32}$ și $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}$.

2. Scoate factorii de sub radical: $\sqrt{294}$, $\sqrt{245}$, $\sqrt[3]{192}$ și $\sqrt[3]{-625}$.

3. Introdu factorul sub radical: $7\sqrt{3}$, $2\sqrt[3]{7}$ și $-2\sqrt[3]{5}$.

4. Un dreptunghi are laturile de $\sqrt{75}$ cm și $\sqrt{48}$ cm. Calculează perimetrul, scris sub forma $k\sqrt{3}$, și aria.

5. Simplifică $\sqrt{16x^2}$ pentru $x<0$ și $\sqrt{x^2+6x+9}$ pentru $x\ge -3$.

6. Raționalizează numitorii: $\frac{14}{\sqrt[3]{7}}$, $\frac{9}{\sqrt[3]{12}}$ și, pentru $a\ne 0$, $\frac{a}{\sqrt[3]{2a}}$.

7. Pentru $x$ real, $y\ge 0$ și $a\ge 0$, calculează produsele $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)$ și $\left(\sqrt{3a}-2\right)\left(\sqrt{3a}+2\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $\sqrt[3]{-24}+\sqrt[3]{375}$ este pozitiv.

9. Compară, fără calculator, numerele $4\sqrt{7}$ și $6\sqrt{3}$, apoi numerele $2\sqrt[3]{9}$ și $\sqrt[3]{70}$.

10. (Problemă aplicată.) Pe coarda unui monocord de laborator, cu masa de $4$ grame pe metru, o undă se propagă cu viteza $v=\sqrt{250F}$ metri pe secundă, unde $F$ este forța de întindere, în newtoni. Calculează viteza pentru $40$ N, $90$ N și $50$ N, în formă exactă, iar pentru ultima și cu două zecimale.

11. Calculează $\sqrt[3]{640}-\sqrt[3]{-80}$.

12. Raționalizează numitorul fracției $\frac{1}{\sqrt[3]{3}+1}$, folosind formula sumei cuburilor.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[3]{18}=6$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că numărul $\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+3\right)-2\sqrt{5}$ este natural.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sqrt[3]{-64}+4\sqrt{2,25}=2$.

16. Simplifică expresia $E=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{44}}{\sqrt{11}}$.

17. Pentru $x\ge 0$ și $y\ge 0$, scrie mai simplu expresia $\sqrt{4x^{2}y}+x\sqrt{9y}$.

18. (Provocare.) Raționalizează numitorul fracției $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, amplificând de două ori cu câte o expresie potrivită.

Răspunsuri și explicații

1. Unim radicalii sub unul singur: $\sqrt{20}\cdot \sqrt{45}=\sqrt{900}=30$; $\sqrt{0,5}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{16}=4$; $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4$. În toate trei cazurile produsul de sub radical a ieșit putere perfectă, deși factorii nu erau.

2. $\sqrt{294}=\sqrt{7^2\cdot 6}=7\sqrt{6}$; $\sqrt{245}=\sqrt{7^2\cdot 5}=7\sqrt{5}$; $\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{4^3\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[3]{-625}=\sqrt[3]{(-5{)}^3\cdot 5}=-5\sqrt[3]{5}$. La ultimul, semnul a ieșit odată cu factorul $-5$.

3. $7\sqrt{3}=\sqrt{49\cdot 3}=\sqrt{147}$; $2\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{8\cdot 7}=\sqrt[3]{56}$; $-2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{(-2{)}^3\cdot 5}=\sqrt[3]{-40}$. La ordinul 3 factorul negativ intră sub radical cu tot cu semn, iar rezultatul rămâne negativ: $\sqrt[3]{-40}<0$.

4. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ și $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, deci perimetrul este $2\left(5\sqrt{3}+4\sqrt{3}\right)=18\sqrt{3}$ cm, iar aria este $\sqrt{75}\cdot \sqrt{48}=\sqrt{3600}=60$ de centimetri pătrați. La perimetru ne-au trebuit radicali asemenea, la arie proprietatea produsului.

5. $\sqrt{16x^2}=4|x|$, iar pentru $x<0$ modulul este $-x$, deci rezultatul este $-4x$, un număr pozitiv. Apoi $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, deci $\sqrt{x^2+6x+9}=|x+3|$, adică $x+3$ pentru $x\ge -3$. Condiția dată în enunț a hotărât semnul expresiei din modul.

6. $\frac{14}{\sqrt[3]{7}}=\frac{14\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{343}}=\frac{14\sqrt[3]{49}}{7}=2\sqrt[3]{49}$. La a doua, $12=2^2\cdot 3$, deci amplificăm cu $\sqrt[3]{2\cdot 3^2}=\sqrt[3]{18}$: $\frac{9\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{216}}=\frac{9\sqrt[3]{18}}{6}=\frac{3\sqrt[3]{18}}{2}$. La a treia amplificăm cu $\sqrt[3]{4a^2}$, fiindcă $2a\cdot 4a^2=8a^3$: $\frac{a\sqrt[3]{4a^2}}{\sqrt[3]{8a^3}}=\frac{a\sqrt[3]{4a^2}}{2a}=\frac{\sqrt[3]{4a^2}}{2}$. De fiecare dată am căutat factorul care completează un cub sub radical.

7. $\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)=x^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2=x^2-y$ și $\left(\sqrt{3a}-2\right)\left(\sqrt{3a}+2\right)=3a-4$. În ambele produse radicalul a dispărut, fiindcă apare doar la pătrat.

8. Adevărat. $\sqrt[3]{-24}=-2\sqrt[3]{3}$ și $\sqrt[3]{375}=5\sqrt[3]{3}$, deci suma este $3\sqrt[3]{3}$, un număr pozitiv. Semnul primului termen a ieșit de sub radical odată cu factorul $-2$.

9. $4\sqrt{7}=\sqrt{112}$ și $6\sqrt{3}=\sqrt{108}$; cum $112>108$, avem $4\sqrt{7}>6\sqrt{3}$. Apoi $2\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{72}$, iar $72>70$, deci $2\sqrt[3]{9}>\sqrt[3]{70}$. În ambele comparări am adus numerele la un singur radical de același ordin.

10. Pentru $40$ N: $v=\sqrt{10000}=100$ m/s. Pentru $90$ N: $v=\sqrt{22500}=150$ m/s. Pentru $50$ N: $v=\sqrt{12500}=50\sqrt{5}\approx 111,80$ m/s. Forța a crescut de la $40$ la $90$ N, adică de $2,25$ ori, iar viteza doar de $1,5$ ori. Formula vine din $v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$, cu $\mu =0,004$ kg/m; sub radical, newtonii împărțiți la kilograme pe metru dau metri pătrați pe secundă la pătrat.

11. $640=4^3\cdot 10$ și $-80=(-2{)}^3\cdot 10$, deci $\sqrt[3]{640}=4\sqrt[3]{10}$ și $\sqrt[3]{-80}=-2\sqrt[3]{10}$. Rezultatul este $4\sqrt[3]{10}-\left(-2\sqrt[3]{10}\right)=6\sqrt[3]{10}$: scăderea unui radical negativ a devenit adunare.

12. Cu $u=\sqrt[3]{3}$ și $v=1$, formula sumei cuburilor dă $\left(\sqrt[3]{3}+1\right)\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1\right)=3+1=4$. Deci $\frac{1}{\sqrt[3]{3}+1}=\frac{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1}{4}$. Control numeric: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}+1}\approx 0,4095$, iar forma raționalizată dă aceeași valoare.

13. $\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{216}=6$, fiindcă $6^3=216$.

14. $\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+3\right)=5+3\sqrt{5}-\sqrt{5}-3=2+2\sqrt{5}$, deci numărul este $2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2$, natural.

15. $\sqrt[3]{-64}=-4$ și $\sqrt{2,25}=1,5$, deci $\sqrt[3]{-64}+4\sqrt{2,25}=-4+6=2$.

16. $\sqrt{99}=3\sqrt{11}$ și $\sqrt{44}=2\sqrt{11}$, deci $E=\frac{3\sqrt{11}-2\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=1$. Nu a fost nevoie de raționalizare: după simplificare, radicalul de la numitor s-a redus.

17. $\sqrt{4x^{2}y}=2|x|\sqrt{y}=2x\sqrt{y}$, fiindcă $x\ge 0$, iar $x\sqrt{9y}=3x\sqrt{y}$. Cei doi termeni sunt asemenea, deci expresia este $5x\sqrt{y}$.

18. Grupăm $1+\sqrt{2}$ și amplificăm cu $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$: numitorul devine ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-3=2\sqrt{2}$. Amplificăm apoi cu $\sqrt{2}$: $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$. Control numeric: $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}\approx 0,2412$ și $\frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}\approx 0,2412$.

De reținut

• Pentru $a,b\ge 0$: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ și, cu $b>0$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$; la ordinul 3 aceleași reguli merg pentru orice numere reale, cu numitor nenul.
• Scoți de sub radical pătratele perfecte (ordinul 2) sau cuburile perfecte (ordinul 3); la ordinul 3 semnul iese odată cu factorul, iar la ordinul 2 un pătrat cu literă iese în modul.
• Un factor intră sub radicalul de ordin 2 numai dacă este nenegativ; introducerea factorilor permite compararea exactă a numerelor cu radicali.
• Cu litere, $x-y=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$ pentru $x,y\ge 0$ servește la simplificare, iar condițiile expresiei inițiale rămân.
• La un numitor cu radical de ordinul 3 amplifici cu $\sqrt[3]{a^2}$ sau cu expresia cu trei termeni dată de formulele cuburilor; sub radical, și unitatea de măsură se extrage.

Greșeli frecvente

• „Tai” un termen al numărătorului cu numitorul. În $\frac{\sqrt{x}+6}{6}$ nu se poate simplifica $6$ cu $6$: numitorul împarte întreaga sumă. Rezultatul corect se scrie $\frac{\sqrt{x}}{6}+1$ sau rămâne cum este.
• Scoți factorul de sub radicalul de ordin 3 fără semn. $\sqrt[3]{-16}$ nu este $2\sqrt[3]{2}$, ci $-2\sqrt[3]{2}$, fiindcă $-16=(-2{)}^3\cdot 2$. La ordinul 3, semnul face parte din factor, iar un cub negativ are radical negativ.
• Uiți valoarea exclusă după o simplificare cu conjugata. După ce scrii $\frac{x-16}{\sqrt{x}-4}=\sqrt{x}+4$, valoarea $x=16$ rămâne exclusă, chiar dacă formula nouă o acceptă. Condițiile se copiază de la expresia de pornire.
• Înmulțești sub un singur radical doi radicali de ordine diferite. $\sqrt{5}\cdot \sqrt[3]{5}$ nu este nici $\sqrt{25}$, nici $\sqrt[3]{25}$: proprietatea produsului unește numai radicali de același ordin. În lecția aceasta produsul rămâne scris ca atare, iar controlul numeric arată diferența: $2,236\cdot 1,710\approx 3,82$, pe când $\sqrt{25}=5$.
• La un radical de ordin 3 la numitor, amplifici cu același radical. $\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ amplificat cu $\sqrt[3]{5}$ dă $\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{25}}$, tot cu radical la numitor. Factorul potrivit este $\sqrt[3]{25}$, care completează un cub.

Aplică acasă

1. Citește eticheta a două încărcătoare sau adaptoare de rețea și notează tensiunea de intrare. Calculează valoarea de vârf a tensiunii din priză în formă exactă și cu o zecimală, apoi compară, pentru ieșirea unui transformator de jucărie, valoarea eficace cu cea de vârf. Notează la fiecare calcul forma exactă și abia apoi aproximarea.
2. Calculează pe calculatorul telefonului $\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}$, $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{32}$ și $\sqrt{75}-\sqrt{12}$, apoi aceleași numere pe hârtie, în formă exactă, cu proprietățile din lecție. Notează ce afișează calculatorul la fiecare pas intermediar, dacă îl folosești pe bucăți, și explică de ce forma exactă, $9$, $4$ și $3\sqrt{3}$, nu depinde de câte zecimale reții pe drum.
3. Pe hârtie cu pătrățele de un centimetru, desenează pătrate cu aria de $2$, $8$ și $18$ centimetri pătrați, cu vârfurile în noduri ale rețelei și laturile oblice. Măsoară laturile cu rigla și compară-le cu $\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$ și $3\sqrt{2}$. Explică de ce laturile sunt multipli ai aceluiași radical. Desenează apoi un pătrat cu aria de $5$ centimetri pătrați și explică de ce latura lui nu este un multiplu al lui $\sqrt{2}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția lucrează cu radicalii ca numere și ca expresii cu litere: graficele radicalului de ordin 2 și 3 au fost citite în clasa a IX-a, raționalizarea numitorilor de ordinul 2 a fost lucrată tot atunci, iar ecuațiile cu radicali urmează în lecția următoare. Gestul de verificat la fiecare elev este controlul prin ridicare la pătrat sau la cub, ori printr-o aproximare scurtă, după fiecare transformare. Un elev care face acest control nu mai confundă coeficientul cu numărul de sub radical.

Merită insistat pe distincția dintre ordinul 2 și ordinul 3: condițiile de semn, modulul și felul în care iese un factor negativ. La simplificările cu litere, cereți elevilor să scrie condițiile înaintea calculului și să le recopieze la rezultat. O întrebare bună de control este „pentru ce valori are sens expresia de la care ai pornit?”, pusă înainte de primul calcul, nu după ultimul. Sumele telescopice și radicalii dubli nu fac parte din lecție. Radicalii de ordin mai mare decât 3 apar, pentru programa de examen din 2014, prin puterile cu exponent rațional din lecția de supliment puteri cu exponent rațional la M2.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul X.3 „Funcții” numește „Radicali de ordin 2 și 3: proprietăți”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține la materia clasei a X-a „Radical de ordin n (n ∈ ℕ și n ≥ 2) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor”. Formulele de calcul prescurtat pentru cuburi, folosite la raționalizarea cu trei termeni, nu sunt numite în acea programă; de aceea exercițiile care le cer nu sunt marcate ca tip bacalaureat. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerințele Subiectului I nu conțin radicali; un radical apare în funcția de la Subiectul al III-lea.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: radicali, proprietăți și expresii conjugate. Pentru radicalul de ordinul 3 ca funcție, revedeți funcția radical de ordin 3 la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre radicali?

Varianta M2 folosește radicalii în calcule din fizică, cum sunt tensiunea eficace și latura unui cub din volum, și urmărește unitățile de măsură sub radical. Nu lucrează cu sume telescopice și nici cu radicali dubli. În schimb, tratează separat semnul la ordinul 3, simplificările cu conjugata în expresii cu litere și raționalizarea cu radicali de ordinul 3.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 pot apărea radicalii?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține radicalul de ordin $n$ și proprietățile radicalilor la materia clasei a X-a, fără să precizeze subiectul la care se evaluează. În modelul publicat pentru 2026, cerințele Subiectului I nu conțin radicali; un radical apare în funcția de la Subiectul al III-lea. Pentru proba MAT_P2 din 2030, radicalii de ordin 2 și 3 sunt în domeniul „Algebră”.

De ce la ordinul 3 expresia care elimină radicalii are trei termeni?

La ordinul 2, produsul conjugatelor dă o diferență de pătrate, iar pătratul unui radical de ordin 2 este un număr fără radical. La ordinul 3 ai nevoie de un cub, iar formula diferenței de cuburi are, pe lângă factorul $u-v$, un al doilea factor cu trei termeni: $u^2+uv+v^2$. Abia produsul lor dă $u^3-v^3$, fără radicali.

Ce se întâmplă cu condițiile când simplific o expresie cu litere și radicali?

Ele rămân cele ale expresiei de la care ai pornit. O simplificare poate produce o formulă care există pentru mai multe valori, dar asta nu extinde domeniul: valorile excluse la început rămân excluse. De aceea scrii condițiile înainte de calcul și le copiezi lângă rezultat, chiar dacă par să nu mai fie necesare.

Se aplică aceleași reguli și radicalilor de ordin 4 sau 5?

Da, cu aceeași idee: un radical de ordin par cere număr nenegativ sub el și dă un rezultat nenegativ, iar unul de ordin impar se poate extrage din orice număr real. Programa de științe din clasa a X-a cere însă numai ordinele 2 și 3. Pentru programa de examen din 2014, ordinele mai mari apar prin puterile cu exponent rațional.

Unde apar radicalii în formulele din științe?

Oriunde o mărime depinde de pătratul sau de cubul alteia: valoarea eficace a unei tensiuni alternative, viteza unei unde pe o coardă întinsă, latura unui cub din volum, viteza moleculelor dintr-un gaz din temperatură. Când formula se inversează ca să afli mărimea însăși, apare un radical de ordin 2 sau 3, aplicat și unității de măsură.