Cum arăt că 1/(2- √3)+ 1/(2+ √3) este număr natural?

Aduci fracțiile la numitorul comun (2- √3)(2+ √3)=4-3=1. La numărător se adună 2+ √3 și 2- √3, iar radicalii se reduc, deci rămâne 4. Suma este 4/1=4, un număr natural. Tiparul este tipic pentru un calcul de la bacalaureatul M2.

Unde apare fracția 1/√2 în fizică?

La curentul alternativ, tensiunea efectivă este U= Uₘₐₓ/√2= (Uₘₐₓ √2)/2. Forma raționalizată se calculează ușor de mână: pentru Uₘₐₓ=311 V obții 311· 0,707≈ 220 V, tensiunea din priză. Înmulțirea cu 0,707 e mai simplă decât împărțirea la 1,414.

Ce este expresia conjugată a unui numitor?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Raționalizarea numitorilor

Expresia conjugată a lui $a + b$ este $a - b$ , adică aceiași doi termeni, cu semnul dintre ei schimbat. Produsul lor, $a^{2} - b$ , nu mai conține radicali, de aceea conjugata este factorul cu care se amplifică o fracție ca să scapi de radicalul de jos. Exemplu: $\frac{3}{4 + 7} = \frac{3 ( 4 - 7 )}{16 - 7} = \frac{4 - 7}{3}$ . Proba cu aproximări: ambele forme dau circa $0, 451$ .

Un radical de la numitor poate fi mutat „sus” fără ca fracția să-și schimbe valoarea: o amplifici, adică o înmulțești cu $1$ scris ca raport cu numărător și numitor egali. Atât înseamnă a raționaliza numitorul — o formă nouă pentru același număr.

Factorul potrivit depinde de ce ai jos. Un radical singur cere chiar acel radical. Doi termeni cer expresia conjugată: păstrezi termenii și întorci semnul care îi desparte, unul singur — lui $3 - 5$ îi corespunde $3 + 5$ , nu o variantă cu ambele semne întoarse.

Mecanismul este diferența de pătrate: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b$ , adică un rezultat curat de radicali. El poate să iasă și sub zero — la $2 - 7$ obții $- 3$ — fără ca asta să fie o eroare.

Lucrează în patru pași, în ordinea asta: conjugata, numitorul nou, simplificarea, desfacerea numărătorului. Până la simplificare numărătorul rămâne strâns în paranteză, deci $6 (4 + 10)$ , nu $6 \cdot 4 + 10$ .

Un tipar pe care îl recunoști repede: ți se cere să arăți că un număr este natural, iar drumul trece tot pe aici — aduni două fracții cu numitori conjugați și radicalii se sting. Control de final: dacă numitorul nou a ieșit peste $a^{2}$ , ai făcut adunare în loc de scădere.

De reținut

conjugata lui $a + b$ este $a - b$ : se schimbă doar semnul dintre termeni
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b$ , un număr fără radicali
amplificarea cu conjugata se face la numărător și la numitor deodată

Greșeala tipică

Se scrie conjugata lui $4 + 7$ ca $- 4 - 7$ , adică opusul numărului; corect este $4 - 7$ , cu primul termen neschimbat.

Exerciții din această mini-lecție

Care este expresia conjugată a numitorului din $\frac{1}{3 - 5}$ ?
- a) $- 3 + 5$
- b) $3 + 5$
- c) $- 3 - 5$
- d) $5 - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3 + 5$

Conjugata se obține schimbând un singur semn, cel dintre cei doi termeni: din $3 - 5$ iese $3 + 5$ . Variantele a) și d) sunt același număr, $5 - 3$ , adică opusul numitorului dat, nu conjugata lui; varianta c) schimbă ambele semne.
Raționalizează numitorul fracției $\frac{2}{5 - 3}$ .
- a) $\frac{5 + 3}{11}$
- b) $\frac{5 - 3}{11}$
- c) $\frac{5 + 3}{14}$
- d) $\frac{10 + 3}{22}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5 + 3}{11}$

Amplifici cu $5 + 3$ : numitorul devine $25 - 3 = 22$ , iar numărătorul $2 (5 + 3)$ . Simplifici prin $2$ și obții $\frac{5 + 3}{11}$ . Varianta c) adună $25 + 3$ , iar d) pierde paranteza de la numărător.
Cât este $(4 - 10) (4 + 10)$ ?
- a) $26$
- b) $16 - 10$
- c) $6$
- d) $- 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Este diferența de pătrate: $4^{2} - (10)^{2} = 16 - 10 = 6$ . Varianta a) adună în loc să scadă, iar b) uită că radicalul se ridică la pătrat.

Întrebări conexe

Cum arăt că $\frac{1}{2 - 3} + \frac{1}{2 + 3}$ este număr natural?

Aduci fracțiile la numitorul comun $(2 - 3) (2 + 3) = 4 - 3 = 1$ . La numărător se adună $2 + 3$ și $2 - 3$ , iar radicalii se reduc, deci rămâne $4$ . Suma este $\frac{4}{1} = 4$ , un număr natural. Tiparul este tipic pentru un calcul de la bacalaureatul M2.

Cum raționalizez un numitor cu doi radicali, de exemplu $5 - 2$ ?

Conjugata este $5 + 2$ , iar produsul lor dă $5 - 2 = 3$ . Astfel $\frac{6}{5 - 2} = \frac{6 ( 5 + 2 )}{3} = 2 (5 + 2)$ . Numitorul nou nu mai are radicali, iar factorul $3$ s-a simplificat cu numărătorul. Verificare aproximativă: $6 : 0, 822 \approx 7, 30$ , iar $2 \cdot 3, 650 = 7, 30$ , deci cele două forme au aceeași valoare.

Unde apare fracția $\frac{1}{2}$ în fizică?

La curentul alternativ, tensiunea efectivă este $U = \frac{U _{ma x}}{2} = \frac{U _{ma x} 2}{2}$ . Forma raționalizată se calculează ușor de mână: pentru $U_{ma x} = 311$ V obții $311 \cdot 0, 707 \approx 220$ V, tensiunea din priză. Înmulțirea cu $0, 707$ e mai simplă decât împărțirea la $1, 414$ .

Ce semn are numitorul după amplificarea cu conjugata lui $1 - 3$ ?

Numitorul nou este $1^{2} - 3 = - 2$ , deci negativ, și asta nu e o greșeală. Obții $\frac{1}{1 - 3} = \frac{1 + 3}{- 2} = - \frac{1 + 3}{2}$ . Rezultatul e negativ, la fel ca fracția inițială, pentru că $3 > 1$ ; ambele valori sunt aproximativ $- 1, 366$ .

Care este inversul numărului $2 + 1$ ?

Inversul este $\frac{1}{2 + 1}$ , iar după amplificarea cu conjugata $2 - 1$ numitorul devine $2 - 1 = 1$ . Deci inversul lui $2 + 1$ este chiar $2 - 1$ . Proba: $(2 + 1) (2 - 1) = 1$ , exact definiția a două numere inverse.

Cum verific rapid o raționalizare făcută cu conjugata?

Compari valorile aproximative ale formei inițiale și ale formei finale. De exemplu, $\frac{2}{3 - 5}$ devine $\frac{3 + 5}{2}$ ; cu $5 \approx 2, 236$ , prima dă $2 : 0, 764 \approx 2, 618$ , iar a doua $5, 236 : 2 = 2, 618$ . Dacă valorile diferă, ai greșit semnul sau numitorul.

Oamenii mai întreabă și: conjugata unui numitor · ce înseamnă expresie conjugată · conjugata lui a plus radical din b · conjugata lui 3 minus radical din 5 · expresia conjugată la raționalizare

Ce este expresia conjugată a unui numitor?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum arăt că 2−3​1​+2+3​1​ este număr natural?

Cum raționalizez un numitor cu doi radicali, de exemplu 5​−2​?

Unde apare fracția 2​1​ în fizică?

Ce semn are numitorul după amplificarea cu conjugata lui 1−3​?

Care este inversul numărului 2​+1?